高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟類）課后習(xí)題及答案第十一章 級數(shù)習(xí)題答案

i

習(xí)題11-1(A)

1.寫出下列級數(shù)的前5項:

8n8（一1尸

(2)z⑶旺?,⑷￡午.

⑴Zl+n23〃

〃=|n=l〃=1〃?/1=|〃

+3+2+L

解：⑴Z，+2

1+n225101726

8(T尸11111.

---------1—；-------H—r+L.

39333435

n=l3"

(3)

trn\2!3!4!5!

§2刀一1,3579.

(4)=l+/k/+&+L

2.根據(jù)級數(shù)收斂于發(fā)散的定義判定下列級數(shù)的斂散性：

8I001

（1）y-j=_<=；（2）

占+?ytr-（2〃--1-）（2-〃-+-1）

00100

⑶X--；⑷力[a+（〃-l）d].

解：(1)由于〃“=I-----j=-Vn+T-4n,故有

y/n+\

Sn=〃]+〃2+L+wn

二(&-1)+(6-揚+(石-6)+1^4n-4n^\)+(y/n+i-y[n)

=J.+l-1.

由于limS“=limGTT-1=8,所以此級數(shù)發(fā)散.

(2)由于〃=-------------=—(―--）,故有

(2〃-1)(2〃+1)22n-\2〃+1

Sn=〃]+〃2+L+wn

]

2n-\2n+\

n

2n+\

n|

由于limS“=lim-----=-,所以此級數(shù)收斂.

2〃+12

2

(3)由于〃—=---i---=-----,故有

n+n〃("+1)nn+\

Sn=u}+u2+L+un

,11111,11

=1---1------1------FLT-----

22334nn+\

n+\〃+l

由于limS〃=lim—=H所以此級數(shù)收斂.

W-HOn-^x)n+l

(4)由于〃-=〃+(〃-l)d,故有

S”=%+4+L+以

=a+(a+d)+(a+2d)+L+a+(〃-l)d

2

皿二Dd=8,所以此級數(shù)發(fā)散.

由于limS“=limna+

H->00W—>*X)2

3.判定下列級數(shù)的斂散性:

3323333””

(1)--+￡T-￡T+L+(-ir—+L；

442434”

L3+L+"；

3693〃

1111

-+-T=4--7=+TL+-T=+LT；

3V3V3近

552535"

(4)丁不+不+L4----FL

1L」+L；

(5)+L+

24再再(2"4"

(6)L"+LL+L-L+L.

2104202"10〃

3〃33

解：⑴由于此級數(shù)的〃〃=(-1)"下，所以此級數(shù)為首項4=,公比9=一二的等比級數(shù)，且

44

3

同<1,故此級數(shù)收斂于5=

3

18[1SI8]

(2)級數(shù)L+'+L+L+—+L=y—由于級數(shù)x上是調(diào)和級數(shù)，且是發(fā)散的,

3693〃雷3〃3算〃七！幾

所以原級數(shù)發(fā)散.

1且lim以=lim-1=l￥O,故原級數(shù)發(fā)散?

(3)級數(shù)的一般項以

?3J1—>00W—KO03

S〃55

(4)由于此級數(shù)的以二/，所以此級數(shù)為首項4=彳，公比夕=：的等比級數(shù)，且目>1,故

此級數(shù)發(fā)散.

1

s11

由于z「是首項為上,公比同二gvl的等比級數(shù)，故此級數(shù)收斂于s

±2°2

2

之二是首項為1，公比0=2<1的等比級數(shù)，故此級數(shù)收斂于b=—標(biāo)=』，有性質(zhì)2可知原

￡4"4114\-q3

I2

級數(shù)收斂于1一±二士.

33

00181

(6)由于LLLLL+L-L+Ly—+Y—,故有

2104202"10/?白2”占10〃

級數(shù)si收斂于，7二屋級嵯擊

發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散.

白2”J

2

4.若級數(shù)￡(1+5)收斂，求極限limw”.

n-xx>

/1=1

解:由于數(shù)Z(1+〃“)收斂，故由級數(shù)收斂的必要條件可知lim(1+/)=0,所以lim〃=-1.

n=\nx

5.設(shè)銀行存款的年利率為10%,若以年復(fù)利計算，應(yīng)在銀行中一次存入多少資金才能

保證從存入之后起，以后每年能從銀行提取500萬元以支付職工福利直至永遠.

解：設(shè)r=10%為年復(fù)利率，由于以后每年需要支付500萬元直至永近，故在銀行存入的資金總額

為

500500500+L+工+L空500

-------------------+-----該幕級數(shù)是公比為"17rLi

1+r(1+r)2(1+r)(1+rf

所以該級數(shù)的和函數(shù)5(/)=產(chǎn)器=5000.

即銀行應(yīng)一次性存入5000萬元才能保證以后每年能從銀行提取500萬元以支付職工福利直至永遠.

4

習(xí)題ll-l(B)

1.判定下列級數(shù)的斂散性：

00".81

(1)E(J〃+2-2y]n+l+G)；(2)Z-j——

“in>i4〃-1

00

(3)Z〃ln\+n

W=12+^

(4)-+-+—+—=-^-—+—=+L.

23468616%

解：(1)級數(shù)的一般項〃“二而5―2jH+〃=/1/-/1/，該級數(shù)的部

A/〃+2+，〃+1Vn+1+Vn

分和

S〃=場+/+L+%

I11111

=_+_+Lr+-=^^^=—=^^=r_____

x/3+>/2X/2+\T5/44-5/3\/3+>/2J.+2+J.+1+

=———1^―+—1

&+WJ-+2+5/〃+1

=1-72+.1.

。〃+2+>/〃+1

因此，lim5H=lim(l-x/2+..)=l->/2.

e,?V/I+2+VH+1

所以該級數(shù)收斂.

(2)級數(shù)的一般項

11II1

H=----------=-----------------------=-(----------------------)

"4/Z2-1(2/7+1)(2/?-1)22H-12/14-1

故該級數(shù)的部分和

11111

S?=W|+W2+L+W?=-一+---+----+L+

4335572/1-12/?+1J

木)

1(I

因此,limS?=lim—1-

〃T8n/l->、0O2cI2/2+1

所以該級數(shù)收斂.

(3)級數(shù)的一般項

5

1+n

=;?ln

2+〃

故

1+77\

=limln=Inlim2+〃J=Inlim1+

”->oon-xx>2+〃

2+/i2+w

=Inlim14--=lne-1=-1^0.

g2+n

所以該級數(shù)發(fā)散.

（4）該級數(shù)可以寫成

LLLU+4+4+"+L」+L

248163右近內(nèi)2n也

令%=：，為=士，由于級數(shù)￡>”=￡:收斂，發(fā)散，由級數(shù)的性質(zhì)可知該

—73/i=in=\—n=ln=l73

級數(shù)發(fā)散.

6

習(xí)題11-2（A）

1.用比較審斂法或其極限形式判定下列級數(shù)的收斂性：

9ron1

(1)Y—?—；(2)f」一

七3〃+5￡3〃+2

81§n+1

(3)(4)

z〃一

/l=l21

8O

(5)>--------(-6--)-----

￡(九+1)(〃+4)

⑺￡ta吟;(8)

n-13

2

解：（1）由于lim4=lim駕±=Hm二^=2,又因為級數(shù)f是發(fā)散的，由比較審斂法

….匕rt-xo工”-83"+53Z?n

n

的極限形式可知，級數(shù)￡一■二是發(fā)散的.

念3〃+5

118]

（2）由于/=-----V—=匕，級數(shù)￡二是等比級數(shù)且是收斂的，由比較審斂法可知級數(shù)

H3"+23""念3"

之士是收斂的?

〃=1D十N

11111次]

（3）由于%=—!—>」-=上」=上匕，級數(shù)工一是調(diào)和級數(shù)且是發(fā)散的，由比較審斂法可知

2/1-12n2n2篙〃

級數(shù)￡」一是發(fā)散的.

n=\2〃-1

?11

/,、士十「―/12+1..n2+ni81

(4)由于hm-uhm〃丁1=hm=——=1,又因為級數(shù)￡一是發(fā)散的，由比較審斂法的極限

n=l〃

形式可知，級數(shù)之字1是發(fā)散的.

念〃+1

1130]s1

（5）由于以=------------<==匕，級數(shù)?是夕呦數(shù)，且p=2>l,故級數(shù)?是收

5+1）5+4）H2〃占〃2

"1

斂的，由比較審斂法可知級數(shù)￡------------是收斂的.

￡5+1）（〃+4）

(6)由于lim殳=lim怏+3=.誓=2,又因為級數(shù)之1是級數(shù)，且〃=之>1,

"_>°y〃T81”T8〃〃+3喜弓2

-n2

后

是收斂的，由比較審斂法的極限形式可知，級數(shù)￡j是收斂的.

n\ln+3

兀

tan-00

(7)由于limMulim......-=1,又因為級數(shù)是等比級數(shù)且是收斂的，由比較審斂法的極

M=i3

F

限形式可知，級數(shù)￡

tan-jj?是收斂的.

n=l3”

/\W//1V8]

(8)由于-<A|=1=Vj,級數(shù)是等比級數(shù)且是收斂的,由比較審斂

\2n+\)\2n)\2)“=12

00(、”

法可知級數(shù)￡」一是收斂的.

trl2n+lj

2.用比值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性:

(4)￡(〃+l)sin牛.

”=o3

u(〃4113向4"”nV4

解：(1)由于lin)3=limi=—-=lim.............—?—白二一>1，由比值審斂法可知該

…Uni…(〃+1>3向4”3

7F

級數(shù)發(fā)散.

(〃+1)2

.〃+15+1)22"1

(2)由于limu3=iim——=lim"二一<1,由比值審斂法可知該級數(shù)收斂.

un00

“isn"eI2n2

F

(3)由于

2〃s?(〃+])!

M+,n

r5+1嚴r2.(/:+1)!n2.12?

lim=lim-------乙-----=hm---------------------=2lim--------——=—<1,

?->?2Mn\〃T8(〃+l)"2"〃！丁]+與1e

nnn

由比值審斂法可知該級數(shù)收斂.

8

(〃+1)乃

(〃+2)sin3〃+

(4)由于lim&=lim=-＜1,由比值審斂法可知該級數(shù)收斂.

“T8〃〃-,、.n]3

(zn+l)sin—

習(xí)題11-2(B)

1.用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸ㄏ铝屑墧?shù)的收斂性

8I01

(1)（2）y—（。＞0）；

M=l

8an(4)￡001

(3)E戶TTs>°)；

n=la十1(2〃一1)(2〃)

￡(J/+1-\ln2:*”4

(5)(6)y------

士5+1)!

n=l

解：⑴由于

￡，=]+[+!+...+_L+...G+』+4+…+_L+...=i+￡_L.

2233nn22232ny2"

又因為是等比級數(shù)，是收斂的，由比較判別法可知原級數(shù)收斂.

n=22

（2）由于

1

“11H---

a+1[.an

lim-=lim0——：——=hm——^―

n->ooy1a+1

a+

F+ia"

*I1

當(dāng)。＞1時,lim"=lim—^-=-<1,由比值審斂法可知該級數(shù)收斂;

00

I〃,，1%十_!_a

dl

當(dāng)。=1時,級數(shù)發(fā)散;

當(dāng)Ova<1時，lim〃”=lim----=-1^0,所以級數(shù)發(fā)散.

/-1

（3）由于

1+4

Jin.\，〃+1,…

//2/1+2.ia+1a+。

|im-2tL=lim-^~=lim------=hm——lim——

nW-HX>a"W-KOa2n+2+lan"fga2+1

QH---1~_

a2,,+\“2〃+1

9

n_2/iI

當(dāng)時，lim3=lim—=-<l,由比值審斂法可知該級數(shù)收斂;

"Too〃rr->co1/7

〃a+^—r

當(dāng)。=1時，級數(shù)發(fā)散；

2；|+1

當(dāng)Ovavl時，lim3~=lim“_"=avl,所以級數(shù)收斂.

-a+1

111力]

(4)由于以=——5—<------5-------=—且級數(shù)￡—J是收斂的，故原級

(2/1-1)2/?2(n-l)2(n-l)4(〃一±4(〃-

數(shù)收斂.

2

(5)由于〃“=J/+1—yJn-----------y-------------

2

]im%=lim頁辿遙!ZL=lim/2〃

…乙…5j〃2+i+j〃2_]

81

且z上是發(fā)散的，由比較判別法的極限形式可知原級數(shù)是發(fā)散的.

，』n

(6)由于

5+1)4

..%+|..(〃+2)!5+1)45+1)!..5+1)4八/

hm-2^=hm-~~-^―=hm------------------=hm-----------=O<1,

"廿un28n"->?(/?+2)!nz8(〃+2)〃

5+1)!

故由比值判別法可知原級數(shù)收斂.

2.若正項級數(shù)”收斂，證明級數(shù)名旦與級數(shù)￡>：都收斂.

?=1"=11+〃n=l

叫

證：(1)由于limLd=lim/1,且級數(shù)收斂，由比較審斂法的極限形式可知級數(shù)

“TOO]+n

"T8Unn=l

W"'〃〃n,,

y—M攵斂.

急i+〃

2

(2)由于lim-~二lim〃“，且級數(shù)￡〃“收斂，故lim以=0,所以lim*=lim/=0,由比較

w-?ooifZTTOOn->ooun-^x：

審斂法的極限形式可知級數(shù)￡u；收斂.

n=\

3.若存在，證明：正頂級數(shù)￡〃”收斂.

w-?+oo

“=1

10

證：由于lim=]im?=A,又因為級數(shù)之二

是收斂的，由比較判別法的極限形式可知正

n-?4J<1oT+COn->+coJ〃-

W=1n

項級數(shù)￡〃“收斂.

?=1

4.求下列極限

⑴想^(2)limY

〃。+火2）（2+公）?

解：⑴考慮級數(shù)鬻由J35LQI),且

”2-5-8-L(3〃-1)

limjn/35LQ+D2581(3〃-1]而汕=。,

f°un2-5-8-L(3〃+2)1-3-5L(2n-l)"-3〃+23

故級數(shù)￡L35L（2〃—1）是收斂的.由級數(shù)收斂的必要條件可知

±2581（3〃-1）

帚35】(2”「)二0

I002-5-8L(3〃-1)

s]11x1

考慮級數(shù)石而EV由于上而而收斂，由比較審斂

“1

法可知級數(shù)Z—3—丁收斂，不妨記其和為s,因此

￡（1+產(chǎn)）（2+公）

————-=limfIxJ―-

〃(1+尸)(2+/)〃*(〃分(]+/)(2+左2)

I?1

lim—limV-----------—=0x5=0,

(念(1+公)Q+女2),

1

所以lim￡=0.

，(1+公)(2+公)

11

習(xí)題11-3(A)

1.討論下列交錯級數(shù)的收斂性:

2n2n1

(1)⑵自㈠嚴sm蘇

f(T)"2

n=l3n+2〃+1

2/i

解：⑴由于lim|〃J=lim聲0,故此級數(shù)發(fā)散.

12

n—>oon-KO3n+2/14-1

(2)所給級數(shù)為交錯級數(shù)滿足〃“=sin」-Nsin——-——=wn+l,limwM=limsin—=0,滿足

2n2(〃+1)2n

萊布尼茨定理的條件，故此級數(shù)收斂.

2.判定下列級數(shù)是否收斂？如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?

1

(1)----r+

*T+*導(dǎo)…+(T嚴(2n)2

⑵士(-1尸9(3)y(-i)n—^―；

￡2〃+l

n?l乙

8

1〃乃

(4)Z----cos——(5)y(-I)M(I-COS-)

/|=0H+1---2n=l"

S1

⑺，(T)"tan-.

n=lk〃n=l

I1i不?

解：(1)由于(-If1—r=-7因為級數(shù)￡二是收斂的，所以原級數(shù)是絕對收斂的.

(2研(2號)241占〃2

714-1

(2)由于lim"=lim"=工<1,故原級數(shù)絕對收斂.

n—>00〃JJT8n2

T

(3)由于lim」一二1工0,故原級數(shù)發(fā)散.

"T82〃+12

800

由于￡1?二(-1)”1

(4)w+T

n=02357w=02n+l

w

又y(-i)—?—=y—發(fā)散;

占2H+1占2〃+1

」一，因為111S1

而對于Z(-1)"2〃+1>2(〃+1)+1,lim--=0,所以Z(T)"：；—收斂?

〃=02〃+12〃+1M2〃+1

所以原級數(shù)條件收斂.

12

i1

l-cos—[

1又器收斂,

(5)由于cos—=\(l-cos—),而limn_

1~2

nn=l,"n

所以原級數(shù)絕對收斂.

Inf1+-

所以自ln(l+：)發(fā)散；而

(6)由于1+-,又lim=1,

1

n=l

n

對于￡(—l)"】nn+\,有l(wèi)n1+，可+總(1、

JimIn1+—=0,

n=ln"TOO

所以￡(7)"Inn+l

收斂.故原級數(shù)條件收斂.

n=\

1e1所以巧發(fā)散，而對于

(7)由于X(—D〃tan=Ltan-r，

忑n=\7nw=l>/〃

111limtan^==0

E(-DMtan,有tan->tan-j—,

yjnyjn+\

所以f(T)"tan—】條件收斂.

n=iy/n

習(xí)題11-3(B)

1時，級數(shù)￡(—〉L㈤絕對收

1.已知級數(shù)收斂，對于任意常數(shù)2>0,證明：當(dāng)a>

a

w=lMJn+k

斂.

證:小?！閲ば蔻?11

2+-----

na+k

00001GO

\f1

而收斂，￡丁丁(。>1,&>0)收斂，所以工二+--收--斂-.

念念曖+k念2(na+k

所以級數(shù)￡(-1)”同

當(dāng)a>1時絕對收斂.

n=l4rf+k

2.若lim//存在，證明：級數(shù)“絕對收斂.

n=l

2|〃2〃“卜Jimn2|M|=|a|,(0<\a\<-H?)

證：因為lim存在，可設(shè)limnuH=a,limZJ

/1T2〃一>也n—>-bx

13

〃0000

即,如一二時,又1收斂，所以B收斂，因此絕對收斂.

"__n=l曾/>■1n=l

2

n~

b3n

3.證明：lim----=0.

田n\an

戶

證：若。=0,則lim------=0成立；

若力，0,考察級數(shù)因為lim馴=lim華二0,

^\nlan\28同“T8(〃+l)!。"*h3n

所以級數(shù)宮分

絕對收斂，所以lim=0.

4.判斷級數(shù)=?是否收斂？若收斂是條件收斂還是絕對收斂?

叫2"+(T)〃

11061X

解：由于而2萬=是發(fā)散的，所以發(fā)散;

J〃+(—1)"v2Mn?iy/2H〃?i

由于該級數(shù)是交錯級數(shù)，不滿足萊布尼茨定理，故用定義考慮

進一步's*=一七+(爰一擊)+…+(?一言什看.

所以S?”為單調(diào)減少且有下界的數(shù)列，從而limS2〃=s,又因為lim〃2“+i=0,所以

所以之JR條件收斂.

limS“=s,故原級數(shù)收斂

〃=1yjn+(-\y)

14

習(xí)題11-4(A)

1.求下列幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域:

⑴*⑵￡天⑶Z孤

n=l”=1幺“=0(〃+1)

X'

(4)XH--------1-+---?-?-?-+--l-3-5---(2n-l)+，，，：

1-31-3-5

8(x-2)n

(5)⑹z

n=i

〈（一1）匕為8nx2n+l

(7)(8)X

"+1

2nn=\

解：（1）因為lim-=lim3=l,所以收斂半徑R=l,收斂區(qū)間為（一1,1）；

當(dāng)％=1時，級數(shù)為發(fā)散，當(dāng)x=T時，級數(shù)為力發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為

n=ln=l

(-1,1).

(2)因為lim-=.〃—=-,所以收斂半徑R=2,收斂區(qū)間為（一2,2）；

"廿anis2"?(九+1)2

當(dāng)x=2時，級數(shù)為之1發(fā)散，當(dāng)尢=一2時，級數(shù)為之（一1）〃2收斂，

所以級數(shù)的收斂域為12,2）.

（3）因為Iim4a=lim生土?"?-=8,所以收斂半徑R=0,級數(shù)只在x=0收斂,

Z8Qn"T8（〃+2）~n\

所以級數(shù)的收斂域為x-o.

(4)因為lim&旦=lim—'35-(2〃-1)_二0,所以收斂半徑R=8,收斂域為

〃T8an135…(2〃-1)(2〃+1)

(-oo,+oo).

(5)因為lim?=lim―現(xiàn)一?匕==2，所以收斂半徑/?=-,收斂區(qū)間為(-L3；

Tq|—(〃+1)+12〃222

1s]1x1

當(dāng)時，級數(shù)為收斂，當(dāng)工=一上時，級數(shù)為￡（一1）"——收斂,

2￡r+12仁"+]

所以級數(shù)的收斂域為[-9].

15

..\ln1

(6)因為lim=lim----=1所以收斂半徑R=l，收斂區(qū)間為(1,3)；

ZJ-X*\/n+]

當(dāng)x-2=1,級數(shù)為之3發(fā)散，當(dāng)工-2=-1,級數(shù)為9-收斂,

n=lS?n=lyjn

X1

當(dāng)x=3時，級數(shù)為發(fā)散，當(dāng)％=i時，級數(shù)為z(-收斂,

n=lV〃

所以一1?無一2<1,即1<x<3時級數(shù)收斂，所以級數(shù)的收斂域為［1,3).

(]嚴B+2

〃向(幻277+2

(7)因為lim=lim二廠，

w?(x)

2n

(T)”一

故尤2<1時收斂，原級數(shù)絕對收斂;時，原級數(shù)發(fā)散.

/1■!In

所以級數(shù)的收斂半徑尺=1,收斂區(qū)間為(-1,1)；

當(dāng)x=l時，級數(shù)為收斂，當(dāng)x=T時，級數(shù)為￡點收斂,

n12〃?=12n

所以級數(shù)的收斂域為

(〃+1產(chǎn)3

(n+l)2+l

2

(8)因為limlim=x，

W-XCW—>00

/z2+l

(7)"/

故d<l時W收斂，原級數(shù)絕對收斂；d>i時，原級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收

n=l2n

斂半徑R=l,收斂區(qū)間為

800

當(dāng)X=1時