2024年研究生考試考研數(shù)學(xué)（二302）測(cè)試試題與參考答案

}若f[f(a)]=2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()-2≤a≤0,我們有0≤a2+2a≤4,但a2+2a不可能等于2(因?yàn)楫?dāng)a2+2a=2時(shí)，解得a=-1±√3,都不在區(qū)間(-2,0內(nèi))。因此，在0≤a2+2a≤4的范圍內(nèi)，f(a2+2a)=(a2+2a)2+2(a2+2a)一定大于2(因?yàn)?a2+2a)2的最小值是0,而2(a2+2a)在O≤a2+2a≤4時(shí)至少為0)。綜合以上兩種情況，我們得到a的取值范圍是(0,+○),但由于題目選項(xiàng)中只有(-一，0]U{1}與這個(gè)范圍有交集(雖然交集只有{1}),并且我們可以驗(yàn)證當(dāng)a=1但需要注意的是，原答案中給出的(-○,-2)U{1}是不完全正確的，因?yàn)楫?dāng)a≤-2時(shí)，f(a)=a2+2a一定大于0,不滿(mǎn)足f(a)=2或f(a)≤0的條件。D(盡管它包含了一些不必要的部分)。但如果我們想要一個(gè)完全準(zhǔn)確的答案，那么應(yīng)該是{1}(但這個(gè)選項(xiàng)在題目給出的2、設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ^2),若P(ξ<c)=a,則P(c<ξ<A.1-2aB.1-aC.2aD.已知條件不足，無(wú)法求解隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布M(2,o2),這意味著其概率密度函數(shù)是關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)已知P(ξ<c)=a,由于正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，我們可以得出P(ξ>4-c)=P(ξ<接下來(lái)，我們需要求P(c<ξ<4-c)。由于正態(tài)分布的全概率為1,即Rξ∈R)=1,我們可以將全概率拆分為三部分：將已知的R(ξ<c)=a和P(ξ>4-c)=a代入上式，得：解這個(gè)方程，我們得到：P(c<ξ<4-c)=1-2a首先，求函數(shù)f(x)=(x-1)e+1的導(dǎo)數(shù)。利用乘法法則，有：f(x)=eX+(x-)e?=xe接下來(lái)，我們需要找出導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，即解方程：f(x)=xe?=0由于e×在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)總是大于0(除了x=-○時(shí)，但x不能取到-○),所以方程xe?=0的解只能是x=0。然后，我們需要判斷x=0是極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)還是無(wú)意義點(diǎn)。f(0=(0-1)e?+1=-1+1=0。A.(a=1,b=1)因此，正確答案是B.(a=2,b=0。解析：為了使函數(shù)在(x=1)處連續(xù)，左右兩邊的函數(shù)值必須相等，即左極限(I2+1=2)必須等于右極限(a·1+b),從而得出(a+b=2)。選項(xiàng)B是唯一滿(mǎn)足該條件5、設(shè)函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,I])上連續(xù)，在((-1,))內(nèi)可導(dǎo)，且滿(mǎn)足條件(f(-1)=f(1)=0。如果對(duì)于所有(-I<x<1),都有(|f'(x)|≤2|f(x)|),試問(wèn)下列哪個(gè)選B.(f(x))必有極大值點(diǎn)C.(f(x))必有極小值點(diǎn)D.(f(x))在((-1,))內(nèi)單調(diào)遞增E.(f(x))在((-1,D)內(nèi)單調(diào)遞減根據(jù)題意，(f(x))在([-1,1)上連續(xù)，在((-1,))內(nèi)可導(dǎo)，且(f(-1)=f(1)=0,這提示我們可以通過(guò)羅爾定理來(lái)分析此題。由羅爾定理知，存在至少一點(diǎn)(ξ∈●對(duì)于選項(xiàng)A,考慮如果(f(x))不恒等于0,則由于(f(-1=f(1)=0,在((-1,))不恒為0,那么根據(jù)給定的條件(If'(x)|≤2|f(x)|),我們可以推斷(f(x))在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,但(f(x))也不能無(wú)限增長(zhǎng)，否則會(huì)違背(|f(x)|≤2|f(x)|)的不●選項(xiàng)D和E涉及函數(shù)的單調(diào)性，但若(f(x)=0),則函數(shù)既不是單綜上所述，正確的答案是A.(f(x)=0)。假設(shè)(f(x)>0,則根據(jù)不等式(-2f(x)≤f'(x)≤2f(x)),我們得到兩個(gè)微分不D=0,這意味著(f(x)=0。同理，如果假設(shè)(f(x)<0),類(lèi)似的分析也將得出(f(x)=の的結(jié)論。因此，正確答案為A.(f(x)=の。首先，由于f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x-1,我們可以接下來(lái)，我們需要解不等式f(log?(x+))<1。將f(x)的表達(dá)式代入不等式，得到：由于底數(shù)為2(大于1),我們可以直接去掉指數(shù)，得到：解這個(gè)絕對(duì)值不等式，我們得到：利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步解得：但是，由于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域要求，x+1>0,即x>-1。綜合以上兩個(gè)條件，我們得到解集為：,k∈ZD.(即x在然而，由于前面有一個(gè)負(fù)號(hào)，所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間實(shí)際上是cos2x的單調(diào)遞減區(qū)間，即：π](即x上取負(fù)值時(shí)，g(x)仍然是單調(diào)遞減的。但由于cos2x在上已經(jīng)從1減到0了，所以這部分是g(x)的主要單調(diào)遞減區(qū)間。另外，由于cos2x的周期性，我們還可以將區(qū)間擴(kuò)展到(但注意這部分并不滿(mǎn)足題目中的選項(xiàng)),然而由于,所以)是負(fù)的，8、設(shè)函數(shù)(f(x))在區(qū)間((-1,1))上連續(xù)，在((-1,))內(nèi)可導(dǎo)，并且滿(mǎn)足(f(-1)=f(1)=0。如果對(duì)于所有(ξ∈(-1,)),都有(If'(ξ)|<2|f(ξ)|),那么下列哪個(gè)結(jié)論一定成立?C.對(duì)于所有(x∈[-1,1]),有(|f(x)|>1)E.以上都不對(duì)我們可以通過(guò)分析給定條件來(lái)判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的。首先，由羅爾定理，因?yàn)?f(x))在閉區(qū)間([-1,1)上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間((-1,I))內(nèi)可導(dǎo)，并且端點(diǎn)值相等((f(-1)=f(1)=の),因此至少存在一點(diǎn)(c∈(-1,I))使得再考慮不等式(|f'(ξ)|<2|f(ξ)|),可以推斷出函數(shù)(f(x))的變不會(huì)超過(guò)其函數(shù)值的兩倍，這意味著(f(x))在區(qū)間([-1,1])上的變化不會(huì)太劇烈。結(jié)合上述信息，我們可以得出選項(xiàng)B是正確的，即存在(c∈(-1,D)),使得(f(c)=0。這是因?yàn)楹瘮?shù)在兩端點(diǎn)取值為0,根據(jù)連續(xù)性和可導(dǎo)性，中間必定存在一個(gè)點(diǎn)其他選項(xiàng)均無(wú)法從給定的信息直接推斷出來(lái)。正確答案是B?？磥?lái)在嘗試生成示例函數(shù)圖像的過(guò)程中遇到了格式問(wèn)題，不過(guò)我們可以直接描述這個(gè)示例圖像的特點(diǎn)來(lái)輔助解析?；陬}目描述，我們可以想象函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,1])上的行為，它在兩端點(diǎn)(-1)和(1)處取值為(の,并且由于滿(mǎn)足羅爾定理的條件，在((-1,1))內(nèi)至少存在一點(diǎn)(c)使得(f'(c)=0。根據(jù)題目中的不等式條件化率不會(huì)太大，這意味著函數(shù)(f(x))在([-1,1])區(qū)間內(nèi)可能會(huì)有一個(gè)或多個(gè)極值點(diǎn)，其中一個(gè)可能的情況是在((-1,D)內(nèi)某處穿過(guò)(x)軸，從而驗(yàn)證了選項(xiàng)B的正確性。首先，考慮函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x+1|。由于絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，我們需要對(duì)x的取值范圍進(jìn)行分段討論。f(x)=-(2x-1)+(x+1)=-x+2解不等式-x+2≤2,得到x≥0。但這與x≤-1矛盾，所以此段無(wú)解。f(x)=-(2x-1)-(x+1)=-3x解不等式-3x≤2,得到10、設(shè)函數(shù)(f(x))在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，并且滿(mǎn)足A.存在(ξ∈(0,D),使得(f'(ξ)=1)C.存在(ξ∈(0,)),使得(f(ξ)=ξ)D.以上都不對(duì)由題意知，(f(x))在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)。根據(jù)拉格對(duì)于選項(xiàng)C,根據(jù)固定點(diǎn)定理(FixedPointTheorem),如果(閉區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，則存在至少一個(gè)點(diǎn)(ξ∈[0,I1)使得(f(ξ)=ξ)。由于(f(0)=の和(f(1)=1),并且(f(x))在[0,1]上連續(xù)，可以推斷在(0,1)內(nèi)二、填空題(本大題有6小題，每小題5分，共30分)1、設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,o^2),若P(ξ<4)=0.9,則P(0<ξ<2)=— —答案：0.4由于隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布M(2,o2),其均值μ=2,即正態(tài)分布曲線(xiàn)關(guān)于x=2P(ξ<4)=0.9。接下來(lái)，我們需要求P(O<ξ<2)。由于正態(tài)分布的全概率為1,即Rξ∈R)=1,且P(ξ≤0=1-Rξ>0=1-又因?yàn)镻(O<ξ<2)是Rξ>の和P(ξ≤2)的差(注意這里P(ξ≤2)實(shí)際上是P(ξ<2)+Rξ=2),但由于正態(tài)分布是連續(xù)分布，P(ξ=2)=0),即P(ξ<2)=P(ξ>2)=1-P(ξ≤2)=1-0.9=0.1(這里實(shí)際上不需要真的去求P(ξ≤2),因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道P(ξ>0=0.9,且曲線(xiàn)關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng))。答案：1或0函數(shù)f(x)是一個(gè)分段函數(shù)，我們需要根據(jù)a的取值范圍，分別代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式求解。當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(a)的表達(dá)式為2-1。根據(jù)題意，我們有f(a)=1,代入得：2-1=12=2由于底數(shù)相同，所以指數(shù)也相同，即a=1。但這與a≤0矛盾，所以此情況下無(wú)解。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(a)的表達(dá)式為log?(a+1)。根據(jù)題意，我們有f(a)=1,代入得：log?(a+1)=1利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到：a+1=21a+1=2a=1這滿(mǎn)足a>0的條件，所以此情況下解為a=1。3、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-6x2+9x+C),其中(0)為常數(shù)。若函數(shù)(f(x))在區(qū)間([1,4)上的最大值為8,則常數(shù)(C)的值為0為了求解這個(gè)問(wèn)題，我們首先需要找到函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值。這通常涉及對(duì)函數(shù)進(jìn)行微分并確定其臨界點(diǎn)，然后檢查這些點(diǎn)以及區(qū)間的端點(diǎn)來(lái)確定最大值。2.找臨界點(diǎn)：解方程(f'(x)=の來(lái)找出可能的最大值點(diǎn)。3.計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)和臨界點(diǎn)處的函數(shù)值：4.確定最大值：比較上述值，找出最大的那個(gè)，它應(yīng)該等于8。4、已知點(diǎn)A(-1,2),B(3,4),則點(diǎn)P(1,3)分有向線(xiàn)段AB所成的比為定比分點(diǎn)公式，有：由于AP和A·PB方向相同(或相反，但在這個(gè)問(wèn)題中它們是相同的),且它們的模(4,2)解這個(gè)方程組(實(shí)際上是兩個(gè)方程，因?yàn)樽鴺?biāo)的x分量和y分量都要相等),我們得到：5、設(shè)函數(shù)f(x)=1/(x^2-1),6、若雙曲>の的右焦點(diǎn)為F?,過(guò)F?作垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)，若△AF?B(F?為左焦點(diǎn))是等邊三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率過(guò)焦點(diǎn)F?作垂直于x軸的直線(xiàn)方程為x=C。將x=c代入雙曲線(xiàn)方,解得：和。因此，交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別和。3b?=4a2(a2+b2)=3b?=4a?+4a2b2三、解答題(本大題有7小題，每小題10分，共70分),,1.求導(dǎo)：2.找駐點(diǎn)：由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R,所以駐點(diǎn)為x=1和x=-1。3.判斷極值點(diǎn)性質(zhì)：由此可知，在x=-1處，函數(shù)由遞增變?yōu)檫f減，因此x=-1是極大值點(diǎn)；在x=1極大值為f(-1),極小值為f(1)。具體計(jì)算得：f(-1)={0}^{-1},dt=-{0}^{1},du=-{0}^{1}=-+10因此，極大值為-1n2+1,極小值為ln2-1。第二題,其中a∈R。(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！敬鸢浮?1)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=In(x)-x2+x?！袷紫却_定函數(shù)的定義域。由于有自然對(duì)數(shù)ln(x),所以x>0,即函數(shù)的定義域?yàn)椤裾页鰧?dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。令f'(x)=0,解得x=1(忽略不在定義域內(nèi)的解)?！衽袛鄦握{(diào)性。當(dāng)0<x<1時(shí)，(因(0,D)上大于2x),○)上小于2x),所以f(x)在(1,+○)上單調(diào)遞減。0在(1,+○)上恒成立?！袂骻(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x),并找出其零點(diǎn)，判斷g●經(jīng)過(guò)計(jì)算，可得g(x)在(1,+○)上單調(diào)遞減，且,其中a∈R。令g(x)=x2+(2-2a)x+1,其判別式為●當(dāng)a≤0時(shí)，△≥0,但g(0=1>0,g(x)在(0,+○)上無(wú)零點(diǎn)，故f'(x)>0,●當(dāng)0<a<1時(shí)，△<0,g(x)>0恒成立，故f"(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+○)●當(dāng)a=1時(shí)，△=0,g(x)=(x+1)2≥0,但g(x)≠0