高考數(shù)學(xué)（文）專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

小題增分專項(xiàng)1函數(shù)的圖象與性質(zhì)

命I題I分I析

卷全國(guó)卷3年高考

年份全國(guó)I卷全國(guó)n卷全國(guó)ffl卷

&乜*函數(shù)的奇偶性、單

2020未考查未考查

調(diào)性?T】o

函數(shù)的圖象

7田3時(shí)小函數(shù)的奇偶性及函

2019函數(shù)的圖象函數(shù)的奇偶性及單

數(shù)求值?16

調(diào)性?T12

函數(shù)圖象的識(shí)

分段函數(shù)及函函數(shù)圖象的識(shí)辨(3

辨不

2018數(shù)的單調(diào)性、抽象函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性及對(duì)

解不等式?「2及周期性

數(shù)式運(yùn)算?26

@命題規(guī)律

1.高考對(duì)此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性

質(zhì)及分段函數(shù)等方面，常以選擇、填空題形式考查，難度一般。

主要考查函數(shù)的定義域、分段函數(shù)求值或分段函數(shù)中參數(shù)的求解

及函數(shù)圖象的判斷。

2.此部分內(nèi)容有時(shí)出現(xiàn)在選擇、填空題壓軸題的位置，多與

導(dǎo)數(shù)、不等式或創(chuàng)新性問(wèn)題相結(jié)合命題，難度較大。

明確考點(diǎn)。考點(diǎn)整合?？弁埔c(diǎn)

1.函數(shù)定義的注意問(wèn)題

(1)定義中最重要的是定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域是由兩者確

定，在求/”⑴)類型的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)按先內(nèi)后外的原則計(jì)算。

(2)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，應(yīng)抓住兩點(diǎn)：①定義域是否相同;

②對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，解析式是否可以化簡(jiǎn)。

2.函數(shù)的圖象

(1)對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩

種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平

移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換。

(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、值域、零點(diǎn)時(shí)，要注意結(jié)

合其圖象研究。

(3)函數(shù)圖象的對(duì)稱性。

①若函數(shù)y=/(x)滿足f(a+x)=f(a—x),即/(x)=/(2a—x),

則y=/(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

②若函數(shù)y=/(x)滿足f(a+x)=—/(〃—x),即/⑴=—/(2〃

一%)，則y=/(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱。

3.函數(shù)的性質(zhì)

(1)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)。證明函

數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號(hào)和下結(jié)

論。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則。

(2)奇偶性：①若/㈤是偶函數(shù)，則/(尤)=/(一力

②若/(%)是奇函數(shù)，。在其定義域內(nèi)，則/(0)=0。

③奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶

函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性。

(3)周期性：①若y=/(x)對(duì)九￡R,/(x+a)=/(x—。)或/(x+

2〃)=/。)(〃>0)恒成立，則y=/(x)是周期為2a的周期函數(shù)。

②若y=/(x)是偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線x=q(aWO)對(duì)稱，

則/(%)是周期為2⑷的周期函數(shù)。

③若>=/(幻是奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線x=〃(aWO)對(duì)稱，

則/(%)是周期為4間的周期函數(shù)。

11

④若/('+〃)=一/。1的。+。)=±^伍20),則y=/(x)是

周期為2間的周期函數(shù)。

易錯(cuò)提醒〕

錯(cuò)用集合運(yùn)算符號(hào)致誤：函數(shù)的多個(gè)單調(diào)區(qū)間若不連續(xù)，不

能用符號(hào)連接，可用“和”或”連接。

精析精研重點(diǎn)攻關(guān)_____________________________e考向探究e

考向一函數(shù)的圖象及應(yīng)用重點(diǎn)微專題

角度1函數(shù)圖象的識(shí)別

[例1]（2020?福建重點(diǎn)高中聯(lián)考）函數(shù)的大

致圖象為（）

CD

解析易知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椋?8,0）U（0,+8）,且/（一

所以為偶函數(shù)，排除B,C;/（l）

CC

I31

=/W=-f<l,排除人。故選口。

答案D

法悟通

本題是一道非基本初等函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題，求解這類問(wèn)題常

用的方法是排除法，即先判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等，排除不

符合的選項(xiàng)，再觀察圖象上的特殊點(diǎn)，如本題通過(guò)觀察點(diǎn)(1,7(I))

所在的位置，排除剩余選項(xiàng)，從而使問(wèn)題得到解答。

【變式訓(xùn)練1](2020.天津高考)函數(shù)丁=滯A.■Y的圖象大致

為()

C

4x

解析解法一：令/㈤=冷,顯然/(一劉=一/(x),f(x)

為奇函數(shù)，排除C,D;由/(1)>0,排除B,故選A。

4x

解法二：令由/(-1)<0,故選A。

答案A

角度2函數(shù)圖象的應(yīng)用

x2—x,

[例2]已知函數(shù)，(x)=1/八若存在九o￡R

ln(x+1),x>0,

使得/(xo)^oro-l,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,+00)

B.[-3,0]

C.(-8,-3]U[3,+8)

D.(-8,-3]U(0,+8)

2

解析根據(jù)題意，函數(shù)加)=|xg—+xl,)%,W0四,其圖象如圖，

直線y=or—1恒過(guò)定點(diǎn)(0,—1),若存在xO￡R使得/(xo)Woro

-1,則函數(shù)/㈤的圖象在直線丁=辦一1下方有圖象或與直線有

交點(diǎn)，當(dāng)〃=0時(shí)，/(%)與1圖象無(wú)交點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)。＞0時(shí)，直線y=〃x—1經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，與函數(shù)/(%)

的圖象必有交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)。＜0時(shí)，直線)=以—1經(jīng)過(guò)第二、

三、四象限，若直線)=以―1與/(幻有交點(diǎn)，必然相交于第二象

y=-X

限，則有:即依一iMX2-%變形可得％2—(々+1)X+

[y=cuc—lf

1=0,令/20,解得々W—3或Q汩(舍去)，則有aW—3,綜上

可得，。的取值范圍為(-8,-3]U(0,+8)。

答案D

法悟通

(1)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問(wèn)題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象

本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì)。

(2)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與

應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究。

【變式訓(xùn)練2】若當(dāng)元￡(1,2)時(shí)，函數(shù)y=(x-的圖象始

終在函數(shù)y=logd的圖象的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=(x—1產(chǎn)

和y=logaX的圖象。由于當(dāng)工￡(1,2)時(shí)，函數(shù)y=(x—Ip的圖象恒

d>\,

在函數(shù)y=logd的圖象的下方，則七解得

Uoga221,

答案lv〃W2

重I點(diǎn)協(xié)川強(qiáng)I練

1.(2020?廣州市調(diào)研測(cè)試)函數(shù)/(x)=ln|x|+|siii￥|(-TIWXW兀

且XW0)的圖象大致是()

解析由于/(—x)=ln|x|+|siiu|=f(x),所以函數(shù)/(x)為偶函

數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由此排除B：f(7i)=InTt+sinjt=ln7r>0,

由此排除C;當(dāng)0<xW兀時(shí)，/(x)=lnx+sinx,令且(1)=尸(%)=一十

X

cosx,則g%￥)=_R+sinx

<0,故廣(x)在區(qū)間(0,兀］上單調(diào)遞減,

TT2/1

且r5=一>°，/(兀)=一一1<0,所以廣。)在區(qū)間(0,兀］上有唯一零

\A)兀71兀71

點(diǎn)，/。)在區(qū)間(0,兀］上有唯一的極值點(diǎn)，由此排除A。故選D。

答案D

2.定義在R上的偶函數(shù)滿足/(x+1)=-/。),當(dāng)xe［0,1］

時(shí)，f（x）=-2x4-1,設(shè)函數(shù)以1）=9卜"（一1<X<3）,則函數(shù)/（九）

與g（x）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）

A.2B.4C.6D.8

解析因?yàn)?a+i）=-/a）,所以的周期為2,又了。）

為偶函數(shù)，所以/（X）的因象關(guān)于直線x=l對(duì)稱。函數(shù)g（x）=5”

一"的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，作出/（X）及g（x）在（-1,3）上的圖

象，可得四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2X2=4。

答案B

考向二函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用重點(diǎn)微專題

角度1函數(shù)的單調(diào)性與最值

【例3】（1）（2020?北京市適應(yīng)性測(cè)試）下列函數(shù)中，在區(qū)間

（0,+8）上為減函數(shù)的是（）

A.y=yjx+1B.^=x2—1

C.>=?。鼶.y=log2%

解析函數(shù)y=y/x+1在區(qū)間L1,+8）上為增函數(shù)；函數(shù)y

=/—1在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù)；函數(shù)y=在區(qū)間（0,+

8）上為減函數(shù)；函數(shù)y=log2X在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù)。綜上

所述，故選C。

答案c

⑵（2020?全國(guó)II卷）設(shè)函數(shù)/（此=爐一則/。）（）

A.是奇函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增

D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

解析解法一：函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),

因?yàn)?(一%)=(—x)3_^^=_^+己=_卜一$|=-/(X),

所以

函數(shù)為奇函數(shù)，排除C,D;因?yàn)楹瘮?shù)y=x\y=一§在(0,

+8)上均為增函數(shù)，所以一！在(0,+8)上為增函數(shù),

排除B。故選A。

解法二：函數(shù)/⑴的定義域?yàn)?一8,0)0(0,+8),因?yàn)?(一

/^=一^+±=一卜一±)=一/(此，所以函數(shù)/(工)

x)=(-x)3

為奇函數(shù)，排除C,D;當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，由/。)=/一9，得

31

fz(x)=3x2+—>0,所以f(無(wú))=V一飛在(0,+8)上為增函數(shù)，排

XX"

除B。故選A。

答案A

(3)如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,函數(shù)/⑶都滿足/(工)=/(1一幻，且

當(dāng)九斗寸，/(x)=log2(3x-l),那么函數(shù)/(x)在［-2,0］上的最大值

為()

A.1B.2C.3D.4

解析由函數(shù)/(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有fQ)=/(l—x),可

得了(%)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。當(dāng)時(shí)，/(x)=log2(3x—1),

f(x)為增函數(shù),故當(dāng)XV；時(shí)，/㈤為減函數(shù)，故函數(shù)”幻在［-2,0］

上單調(diào)遞減，故/⑴在[-2,0]上的最大值為"—2)=/(3)=log2(9

—l)=3o

答案C

法悟通

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較大小，解不等式，求函數(shù)最值

等。

(2)求函數(shù)的最值可以用圖象法、均值不等式法等，也要考慮

函數(shù)的單調(diào)性。

【變式訓(xùn)練3】(1)(2020?廣州市階段訓(xùn)練)已知函數(shù)/⑴滿

2

足當(dāng)元時(shí)，f(x)=x--則，

/(I—x)=/(l+x),21-/V9{x(x+2)>l}

=()

A.{x\x<-3或x>0}B.{x\x<0或x>2}

C.[x\x<—2或x>0}D.[x\x<2或x>4}

解析由/(I—x)=/(l+x)知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=1

2

對(duì)稱。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，f(x)=x-—，易知函數(shù)/(x)在[1,+8)上

單調(diào)遞增，且/(2)=1,所以/㈤在(一8,1)上單調(diào)遞減，/(0)

=1,所以由/(x+2)>l得x+2>2或x+2<0,解得x>0或x<一2。

故選C。

答案c

(2)已知函數(shù)/(%)滿足/(工一1)=/(5—1)，且對(duì)任意的汨，x?

￡[2,+0°),都有">二"'"<0成立,若〃=/(log216),

X\X2

(7=/(log47),m=/錯(cuò)誤!，則p,q,機(jī)的大小關(guān)系為()

A.q<m<pB.p<m<q

C.q<p<mD.p<q<m

解析因?yàn)?。-1)=/(5—尤)，所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線

X=2對(duì)稱。又對(duì)任意的X\,X2E[2,+°°),都心二3

X]

<0成立，所以/(x)在區(qū)間[2,+8)上單調(diào)遞減，在(一8,2)上

單調(diào)遞增。因?yàn)閘og216=4,所以/(log216)=/(4)=/(0),又

3

l<log47<log48=2,0V同錯(cuò)誤！V錯(cuò)誤！°=1,所以0<錯(cuò)誤！錯(cuò)誤!

<1<log47<2,所以p<m<qo故選B。

答案B

角度2函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性

[例4](1)(2020?武漢市質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知函數(shù)f(x)=arsiav

77

+xcosx(a￡R)為奇函數(shù)，則f[一方=()

71_小式

AB.

A?一d6

S兀

C匹

J6D.6

解析解法一：因?yàn)?⑴為奇函數(shù)，所以/(-%)=

-f(x),即a(-x)sin(-x)+(—x)cos(-x)=-(arsirti+xcosx),整

7171(71

理得2oxsiax=0,所以Q=0,f(x)=xcosx9fgeos

-

Zoo故選Ao

解法二：因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，y=xcosx為奇函數(shù)，所以y=/(x)

-xcosx=axsinx為奇函數(shù)，所以Q=0,f(x)=xcosx,f3；=~

71兀

3C0SF3j*。故選A。

答案A

(2)(2020?四省八校聯(lián)盟聯(lián)考)已知/(x)是定義在R上的奇函

數(shù)，滿足"一%)=/(1+辦若/⑴=2,則/⑴+八2)+/⑶+???

+/(50)=()

A.-50B.0

C.2D.50

解析由題意知，/(I+%)=/(1-x),/(x)=-/(-x),所以/

(^+4)=/[1+(X+3)]=/[1-(X+3)]=/(-2-X)=-/(2+X),即/

[(x+2)+2]=-/(2+x),所以/(x+2)=-/(無(wú))，所以/a+4)=/

(x),所以函數(shù)/(x)的周期為4。而/(1)=2,/(2)=/(1+1)=/(1

-l)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,/(4)=/(0)=0,所以

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,所以/(1)+/(2)+…+/(49)+/(50)

=12[f(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2)=2o

答案C

法悟通

(1)奇偶性，具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上，其

圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問(wèn)題時(shí)可以轉(zhuǎn)化

到部分(一般取一半)區(qū)間上，注意偶函數(shù)常用結(jié)論/(x)=/(W)o

(2)周期性，利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，

把不在已知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解。

(3)對(duì)稱性，常圍繞圖象的對(duì)稱中心設(shè)置試題背景，利用圖象

對(duì)稱中心的性質(zhì)簡(jiǎn)化所求問(wèn)題。

【變式訓(xùn)練4】(2020?福建省質(zhì)量檢測(cè))已知/⑴是定義在R

上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱。以下關(guān)于八尢)的結(jié)論：

◎⑴是周期函數(shù)；②f(x)滿足/(x)=/(4—x)；③在(0,2)

上單調(diào)遞減；?(x)=cos號(hào)是滿足條件的一個(gè)函數(shù)。

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

解析因?yàn)?(幻為偶函數(shù)，所以/(一］)=/(幻，又其圖象關(guān)于

點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以/(一月=一/(2+工)，故。(%+2)=—/(%),故有

/(x+4)=-/(x+2)=f(x),即/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，故

①正確。/(-%)=/(x)=/(%+4),把x替換成一x可得/(x)=/(4

TTY

—x),故②正確。/(x)=cos7是定義在R上的偶函數(shù)，且(1,0)是

它的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，可得④正確。不妨令f(x)=-COS7，

此時(shí)/(x)滿足題意，但f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，故③錯(cuò)誤。故正

確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3。故選B。

答案B

重I點(diǎn)I加I強(qiáng)I練

2SxWO,

1.己知函數(shù)f(x)=則/(l)十/(2)+/(3)+…

f(x-2),x>0,

+/(2021)=()

A.2021B.1516

20213031

?2D.

2"xV0

解析因?yàn)楹瘮?shù)小)寸(二］，＞。，所以")+〃2)+/

⑶H---F/(2021)=1011X/(-l)+l010X/(0)=l011X2-1+l

010X2。1

答案D

2.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(2—x)及/0)=一/(一

X),且在［0用上有/(x)=f,則/(201用

)

91

--

4B.4

A.

C9D.1

--

-44

解析函數(shù)/(x)的定義域是RJ(x)=一/(一/),所以函數(shù)/(尢)

是奇函數(shù),又/(1)=/(2—幻，所以/(-x)=/(2+x)=-/(x),所

以/(4+x)=-/(2+x)=/(x),故函數(shù)/(x)是以4為周期的奇函數(shù)，

(n(n(n

所以/12019+方=/12020—2^|=/[2=一/日。因?yàn)樵冢?,1］上

⑴m1rn1,

有/(1)=/,所以/日1=［，｝=不故/。019/J=一笳故選D。

答案D

3.(2020?西安五校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)/(幻和g(x),

其中/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,-2)

中心對(duì)稱，且/(?—gCxOnB'+r+B,則/(4)=o

解析根據(jù)題意，/(劃一雙幻=3'+爐+3,令x=0得，/(0)

—g(0)=4①，令x=4得，八4)一g(4)=81+64+3=148②。

由/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，得/(0)=/(4),由g(x)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(2,一2)中心對(duì)稱,得g(0)+g(4)=—4,所以/(0)—g(0)

=/(4)+g(4)+4=4,即〃4)+g(4)=0③。又由/(4)一趴4)=148,

得"4)=74。

答案74

重點(diǎn)增分專練(十四)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

已知集合是函數(shù)丁=臚公的定義域，集合是函數(shù)

1.MN

y=f—4的值域，則MAN=()

JA—1

A.\xx^2B.\x-4^A<2

丁)不<；且》

C.(x,2—4D.0

(n

解析由題意得M=1—8,N=[—4,+°°),所以MGN

n.

-4,2J0故選B。

答案B

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=x錯(cuò)誤！B.y=2~x

C.y=\ogi_xD.y=~

2/x

解析對(duì)于能.函數(shù)當(dāng)a>0時(shí)，y=K在(0,+8)上單

調(diào)遞增，當(dāng)a<0時(shí)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以A正確;

D中的函數(shù)y=,可轉(zhuǎn)化為所以函數(shù)>=,在(0,+8)上單

XX

調(diào)遞減，故D不符合題意；對(duì)于指數(shù)函數(shù)〉=優(yōu)(〃>0,且。71),

當(dāng)OVQVl時(shí)，丁=優(yōu)’在(一8,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)a>［時(shí)，y=

優(yōu).在(-8,+8)上單調(diào)遞增，而B(niǎo)中的函數(shù)丁=2一"可轉(zhuǎn)化為y

=8},因此函數(shù)y=2=在(0,+8)上單調(diào)遞減，故B不符合題

意；對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=k)gd(a>0,且〃W1),當(dāng)時(shí)，y=\ogaX

在(0,+8)上單調(diào)遞減：當(dāng)〃>1時(shí)，y=logd在(0,+8)上單調(diào)

遞增，因此C中的函數(shù)y=log,x在(0,+8)上單調(diào)遞減，故c

2

不符合題意。故選A。

答案A

［x2,x20,

3.已知函數(shù)/(x)=.則/?(—2))=()

—X,x<0,

A.4B.3

C.2D.1

X2

解析因?yàn)?(x)='7；所以/(-2)=—(-2)=2,

-x,x<0,

所以/(/(一2))=/(2)=22=4。故選A。

答案A

4.(2020?江西省紅色七校聯(lián)考)函數(shù)/(其中e為

CIC

自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在［-6,6］的圖象大致為()

8

當(dāng)心>0時(shí)，/a)>o,排除c；又/(2)=e??已—?>[°古攵Ao

答案A

5.函數(shù)y=xcosx的大致圖象為()

解析函數(shù)y=xcosx為奇函數(shù)，故排除B,D;當(dāng)x取很小

的正實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)值大于零。故選A。

答案A

6.(2020?開(kāi)封市一模)已知定義在[加一5/-2加]上的奇函數(shù)f

(x),滿足x>0時(shí)，/(工)=2]—1,則/(加)的值為()

A.一15B.-7C.3D.15

解析由題意知，(m—5)+(1—2/71)=0,解得加=—4o又當(dāng)

x>0時(shí),/(尤)=2」1,則/(附=/(-4)=一/(4)=一(24—1)=一15。

故選A。

答案A

7.(2020?陜西省百校聯(lián)盟模擬)函數(shù)/㈤在[0,+8)上單調(diào)

遞增，且/。+2)的圖象關(guān)于直線工=-2對(duì)稱，若/(-2)=1,則

滿足2)W1的x的取值范圍是()

A.[-2,2]B.(-8,-2]U[2,+8)

C.(—8,0]U[4,+8)D.[0,4]

解析依題意得，函數(shù)/(幻是偶函數(shù)，則/(x—2)Wl,即/(|x

一2|)守(|一2|)。由函數(shù)/(x)在。+8)上單調(diào)遞增得打一2區(qū)2,

即一24工一242,04x44。所以滿足/(x—2)41的x的取值范圍是

[0,4]o故選D。

答案D

8.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(I+x)=/(l-x),

且/(l)=m則/(2)+/(3)+/(4)=()

A.0B.-a

C.aD.3a

解析因?yàn)楹瘮?shù)/Q)滿足/(1+1)=/(1一幻，所以f(x)的圖象

關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以/(2)=/(0),/(3)=/(—1)。又是定

義在R上的奇函數(shù)，所以"0)=0,又由/(l+x)=/(l—x)可得了(X

+D=/(I-X)=-/(X-I),所以/(X+2)=—/(尤)，故/。+4)=

-/(x+2)=/(x),因此，函數(shù)/1)是以4為周期的周期函數(shù)，所

以/(4)=/(0),又/(1)=〃，因此/(2)+/(3)+/(4)=/(0)+/(—1)

+/(0)=-/(l)=-?o故選B。

答案B

[\/l—x2,

9.(202。南充市適應(yīng)性考試)函數(shù)/(x)=

辰I，W>1,

若方程/(x)=Q有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a滿足()

A.a=\B.a>\

C.OWavlD.。<0

解析方程/(%)=〃有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則直線y=a與/(%)

的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，當(dāng)Q

=1時(shí)，直線y=a與函數(shù)/(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)。故選Ao

答案A

e-x,xWO,

10.已知函數(shù)/(x)=J2_若f(a—l)/f(一

XT2xI],X/0，

標(biāo)+1),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.[—2,1]

B.[-1,2]

C.(一8,-2]U[1,+8)

D.(一8,-1]U[2,+8)

解析因?yàn)?(x)=:八在區(qū)間(一8,+8)

上單調(diào)遞減，所以不等式/3—l)2/(—a2+l)同解于不等式Q—

lW—a2+l,即〃2+?！?W0,解得一2WaWl。故選A。

答案A

二、填空題

H.已知/。)="'若加L1))=14,則實(shí)數(shù)

[爐+logd,x＞0,

a的值為o

解析由題知/(—1)=4,則/(4)=16+log,/4=14,解得。=

1

2°

套案-

u木2

Inx,尤21,

12,設(shè)函數(shù)/(冗)=《若/(加)＞1,則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是O

解析解法一：若皿21,則由In機(jī)＞1,得加＞e;若加vl,則

由1—得根＜0,故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(一8,O)U(e,+

°°)o

Inx,

解法二：如圖所示，可得/(x)=?的圖象與直線

1—x9x<\

y=l的交點(diǎn)分別為(0,1),(e,l),由圖可知，若/(⑼>1,則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是(一8,Q)U(e,+°°)o

答案(-8,Q)U(e,+°°)

尤e'rx2

13.(2020?南充市適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)=

CeIJL+

siBA，則/(—5)+/(—4)+/(—3)+/(—2)+/(—l)+/(0)+/(l)+/

(2)+/(3)+/(4)+/(5)的值是o

axex+x+2x(ex+l)+22

解析fW=e^+1+siiu=—函口—+sinx=~^+x

+siiu,所以/(—x)="x+sin(—x—sinx,所以

2?eA

/(x)+/(-x)=—+—=2,所以/(0)+/(0)=2=/(0)=1,

所以/(-5)+/(—4)+/(—3)+/(—2)+/(—1)+/(0)+/(1)+/(2)

+/(3)+/(4)+/(5)=5X2+l=llo

答案11

14.(2020?長(zhǎng)沙市模擬考試)已知函數(shù)/a)=Qx-log2(2'+l)

+cosx(〃￡R)為偶函數(shù)，則a=o

解析解法一：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以/(—x)=/(x),即一

ax—log2(2-v+1)+cos(~x)=ax—log2(2A+l)+cosx,所以2ax=

2'+1_

log2(2'+1)—log2(2~'+l)=log2并不Y=X,由X的任意性，可得。

1

2°

解法二：因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，所以/(2)=/(—2),即2〃一k)g25

+cos2=-2?~log2^+cos(—2),所以4〃=log25—log2/=2,解得

a=2°

答案|

B級(jí)素養(yǎng)落實(shí)

2廠叫xWl,

15.設(shè)函數(shù)/㈤=「若/(I)是/⑴的最小值，則

X十19X>1,

實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[—1,2)B.[—1,0]

C.[lz2]D.[1,+8)

解析解法一：因?yàn)?⑴是/(x)的最小值，所以丁=2廣。1在(一

8,I】上單調(diào)遞減，所以即”』所以

1,

八77c所以故選C。

解法二：當(dāng)4=0時(shí)，函數(shù)/(%)的最小值是/(0),不符合題意，

排除A,B；當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)/(%)無(wú)最小值，排除D。故選C。

答案C

16.(2020.北京高考)為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部

門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水處理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改。

設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間■的關(guān)系為卬=/?),用一刑三譬

的大小評(píng)價(jià)在[。，切這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱。已知

整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示。

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在［小句這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);

②在殳時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在白時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0,對(duì)，質(zhì)，句，歷，目這三段時(shí)間中,在［0,%

的污水治理能力最強(qiáng)。

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是O

解析由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在Z1時(shí)刻高于乙企

業(yè)，而在亥時(shí)刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在句這

段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；由題

圖知在亥時(shí)刻，甲企業(yè)對(duì)應(yīng)的關(guān)系圖象斜率的絕對(duì)值大于乙企業(yè)

的，故②正確；在打時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污

水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，③正確；甲企業(yè)在［0,4］,山，句，

上2,旬這三段時(shí)間中，在［0,對(duì)的污水治理能力明顯低于也，目

時(shí)的，故④錯(cuò)誤。

答案①②③

小題增分專頊2基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

命I題I分I析

星全國(guó)卷3年高考

年份全國(guó)I卷全國(guó)||卷全國(guó)III卷

指數(shù)與對(duì)數(shù)的實(shí)際

指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)指數(shù)函數(shù)單調(diào)

2020應(yīng)用工

算F性應(yīng)用?T]2

對(duì)數(shù)比較大小?七()

指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大

小不

2019未考查函數(shù)的零點(diǎn)?T5

函數(shù)的實(shí)際應(yīng)

用工

由對(duì)數(shù)值求參數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象對(duì)稱

2018未考查

問(wèn)題?》3問(wèn)題?17

母命題規(guī)律

從近3年高考情況來(lái)看，本部分內(nèi)容一直是高考的熱點(diǎn)，尤

其是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)的判斷及利用零點(diǎn)存在性定

理判斷零點(diǎn)是否存在和零點(diǎn)存在區(qū)間的考查較為頻繁。一般會(huì)將

本部分內(nèi)容的知識(shí)與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來(lái)考查，綜合性較

強(qiáng)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)。解題時(shí)要充分利用函數(shù)與方

程、數(shù)形結(jié)合等思想。

明?考點(diǎn)考點(diǎn)整合?________________________..要點(diǎn)

1.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的七個(gè)運(yùn)算公式

(l)am-an=am+n；

(2)(am)n=amn；

注：Q>0,m,〃￡Q。

(3)log?(MA0=log“M+1。速可

M

(4)log，w=logdM—logJV；

(5)IogaM〃=〃log〃M(〃￡R)；

(6)引。g，=N；

TogbN

(7)log〃N=

log/以

注：a,b>0且a,b八M>0,N>0。

2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)y="（a>0,aWl）與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log?x（tz>0,。工1）

的圖象和性質(zhì)，分0<a<l,。>1兩種情況，當(dāng)。>1時(shí)，兩函數(shù)在

定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)0<。<1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函

數(shù)。

3.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

（1）函數(shù)/a）=/a）—g。）的零點(diǎn)就是方程/a）=g。）的根，即

函數(shù)y=/（尤）的圖象與函數(shù)y=g。）的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（2）確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：①直接解方程法；②利用零點(diǎn)

存在性定理；③數(shù)形結(jié)合，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解。

4.應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般程序

讀題建模求解反饋

文字語(yǔ)言=數(shù)學(xué)語(yǔ)言=數(shù)學(xué)應(yīng)用=檢驗(yàn)作答。

精析精研重點(diǎn)攻關(guān)_________________________e考向探究e

考向一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【例1】（1）（2019.浙江高考）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y

=!，^=lognx+|j（6i>0,且aWl）的圖象可能是（）

ABCD

解析解法一：若0<。<1,則函數(shù))=±是增函數(shù)，y=

(n

log,卜+句是減函數(shù)且其困象過(guò)點(diǎn)5,0,結(jié)合選項(xiàng)可知，D可能

1(n

成立；若〃>1,則>=不是減函數(shù)，而y=loga[x+1|是增函數(shù)且其

圖象過(guò)點(diǎn)后，oj,結(jié)合選項(xiàng)可知，沒(méi)有符合的圖象。故選D。

解法二：分另ij取〃=：和〃=2,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出相應(yīng)

函數(shù)的圖象(圖略)，通過(guò)對(duì)比可知選D。

答案D

2

(2)(2020?全國(guó)III卷)設(shè)a=log32,/2=log53,c=y貝U()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

解析因?yàn)?3<32,所以2<3錯(cuò)誤!，所以Iog32<log33錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，

所以。<金因?yàn)?3>52,所以3>5錯(cuò)誤!，所以Iog53>log55錯(cuò)誤!，所

以b>c,所以a<c<bo故選Ao

答案A

法悟通

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，若

底數(shù)。的值不確定，要注意分。>1和0<a<\兩種情況討論:當(dāng)。>1

時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)在定義

域內(nèi)都為減函數(shù)。

(2)由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，其性

質(zhì)的研究往往通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，

然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判

斷。

【變式訓(xùn)練1]⑴已知log2^>log2^,則下列不等式一定成

立的是(）

11

（）

A.-a>TbB.ln6/-/?>0

1

C.2a~b<\D.

解析由log2〃>log2b可得a>b>0,故a—b>0,逐一考查所給

的選項(xiàng)。A中，焉;B中，a—b>0,ln(a—。)的符號(hào)不能確定；

fn

C中，2“r>l;D中，I"

答案D

(2)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)/(x)=2—分和g(x)=log〃(x+

解析由題意知a>0,函數(shù)/(x)=2—ax為減函數(shù)，排除C;

▼2

若則函數(shù)/(工)=的零點(diǎn)檢=一￡(且函數(shù)

2—axCI2,+°°),

ga)=loga(x+2)在(-2,+8)上為減函數(shù)，排除B；若。>1,則

2

函數(shù)f(x)=2—ax的零點(diǎn)xo=~e(O,2),且函數(shù)gq)=log〃a+2)在

(—2,+8)上為增函數(shù)，排除D。

答案A

考向二函數(shù)的零點(diǎn)重點(diǎn)微專題

角度1確定零點(diǎn)的所在區(qū)間

［例2］函數(shù)/(X)=log*一］的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是

()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析因?yàn)閒(2)=log82-1=|-1>0,

所以/(1)?"2)<0,又知函數(shù)/a)=logs%一2在(0,+8)上為單調(diào)

增函數(shù)，所以函數(shù)/(X)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)所在

的區(qū)間是(1,2)。故選B。

答案B

法悟通

判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法

(1)解方程：當(dāng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程易求解時(shí)，可通過(guò)解方程判斷

方程是否有根落在給定區(qū)間上。

(2)利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷。

(3)畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有

交點(diǎn)來(lái)判斷。

【變式訓(xùn)練2】設(shè)/(x)=lnx+x—2,則函數(shù)/㈤的零點(diǎn)所

在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析解法一：因?yàn)?(l)=0+l—2=—lv0,772)=ln2+2

-2=ln2>0,所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2)。故選B。

解法二：函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=\nx9

h(x)=—x+2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的取值范圍，作出圖象如圖

所示。由圖可知/⑴的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)。故選B。

答案B

角度2求參數(shù)的取值范圍

[例3]已知函數(shù)/。)=1。+2(第4))與g(x)=ln(x+a)+2的

圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

{1}、

A.-8,-B.(—8,e)

(1(n

一二，

C.IeeJD.\—e,c"j

解析由題意知，方程/(一工)一式元)=0在(0,+8)上有解，

即e—"+2—Inq+a)—2=0在(0,+8)上有解，即函數(shù)與

y=ln(x+〃)的圖象在(0,+8)上有交點(diǎn)。函數(shù)y=ln(x+a)可以看

作由y=lnx左右平移得到，當(dāng)。＜0時(shí)，向右平移，兩函數(shù)圖象總

有交點(diǎn)，當(dāng)a=0時(shí)，兩函數(shù)圖象總有交點(diǎn)，當(dāng)。＞0時(shí)，向左平

移，由圖可知，將函數(shù)y=hrr的圖象向左平移到過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，兩

函數(shù)的圖象在(0,+8)上不再有交點(diǎn)，把(01)代入y=ln(x+〃)，

得l=lna,即〃=e,所以0v〃ve。綜上，a＜e。

答案B

法悟通

解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，關(guān)

鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或

不等式求解。

【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)/(x)=]g(x)=/(x)

|lnx|,x>0<

+-若g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,—1)B.[―1,+00)

C.(一8,0)D.[0,+8)

解析如圖，g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程/(x)+x=0

有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合的圖象與y=-x的圖象可知，

當(dāng)e0+420,即—1時(shí)，y=/(x)的圖象與y=-x的圖象有唯

一交點(diǎn)。

答案B

重I點(diǎn)I加I強(qiáng)I練

1.若函數(shù)/(x)=|l0gM—3一”3>0,的兩個(gè)零點(diǎn)是加，n,

則()

A.mn=1B.mn>\

C.0<mn<\D.無(wú)法判斷

解析令/(x)=0,得|k)gM=*,則y=|log〃N與尸卷的圖象

有兩個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)m<n9作出兩函數(shù)的國(guó)象(如圖)，所以

即一log。心log/,所以log”(加〃)<0,則0<nmvl。

答案c

r(x-2)X|2v-l|,x<2,

2.已知函數(shù).f(x)=<3若函數(shù)g(x)=/

X.X—1

(x)—g+2m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(1,3)

解析函數(shù)g(x)=/㈤一加x+2m的零點(diǎn)即方程/(x)=m(x—

「2」1|,x<2,

2)的根，所以加=但={3.根據(jù)題意可知直線y

I—X>2,

x<2,

=機(jī)與函數(shù)y=<3的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)。在同

7,x>2

、x—\

一平面直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知當(dāng)

Ovmvl時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)=f(x)

—nvc+2m有三個(gè)不同的零點(diǎn)、。故選B。

答案B

考向三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

[例4](2020?全國(guó)m卷)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之

一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域。有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)

新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位：天)的Logistic模型：/⑺

=l+eQ23「3)，其中K為最大確診病例數(shù)。當(dāng)伍*)=0.95K時(shí)，

標(biāo)志著已初步遏制疫情，則/約為(lnl9-3)()

A.60B.63

C.66