高考數(shù)學(xué)經(jīng)典復(fù)習(xí)題+圓錐曲線+知識(shí)與能力測(cè)試題+高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題一集合

高考數(shù)學(xué)經(jīng)典復(fù)習(xí)題+圓錐曲線

+知識(shí)與能力測(cè)試題+高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題一集合

高考數(shù)學(xué)經(jīng)典復(fù)習(xí)題(附參考答案)

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

a+b

-----叫做a和b的等差中項(xiàng).

2

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點(diǎn)：［1)數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相

同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；(2)同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)；(3)數(shù)

列看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集(｛1,2,3,…，n｝)的函數(shù).

2.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通常不是唯一的.

3.數(shù)列｛8｝的前n項(xiàng)的和Si與小之間的美系；a='!若適合

an(n>2),則an不用分段形式表示，切不可不求ai而直接求薪

4.從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a)+(n-l)d=d?n+a-d,an是關(guān)于n的

一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)(n,%)均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定

一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列.

5、對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式的理解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式可變形為

S=—H2+(?,--)/?,若令A(yù)=&,B=ai——,則S”=An、Bn.

6、在解決等差數(shù)列問題時(shí)，如已知，a,a”，d,S〃，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］已知數(shù)列1,4,7,10,3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.(1)指出這個(gè)數(shù)列的通

項(xiàng)公式；(2)指出1+4+-+(3n-5)是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和.

錯(cuò)解：(1)ao=3n+7;

(2)1+4+…+(3n-5)是該數(shù)列的前n項(xiàng)之和.

錯(cuò)因：誤把最后一項(xiàng)(含n的代數(shù)式)看成了數(shù)列的通項(xiàng).(1)若令?1,@二10工1,顯然3/7

不是它的通項(xiàng).

正解：(1)a?=3n—2;

(2)1+4+…+(3n-5)是該數(shù)列的前n—l項(xiàng)的和.

22

［例2］已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)之和為①S?=2n-n②Sn=n+n+\

求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式。

22

錯(cuò)解：①an=2n-n-2(n-l)+(n-i)=4n-3

22

②an=n+H+1-(M-1)-(n-i)-l=2n

錯(cuò)因：在對(duì)數(shù)列概念的理解上，僅注意了&尸Sn—Sg與的關(guān)系，沒注意aHi.

正解：①當(dāng)〃=1時(shí)，4=跖=1

22

當(dāng)〃22時(shí)，an=2n—n—2(n—I)+(〃-1)=4〃-3

經(jīng)檢驗(yàn)〃時(shí)q=l也適合，，4〃=4〃—3

②當(dāng)〃=1時(shí)，q=$=3

22

當(dāng)〃之2時(shí)，an=n+7?+1-(A?-1)-(72-1)-1=2n

3(n=1)

2n(n>2)

［例3］已知等差數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)之和記為Sn,Sio=lO,S30=70,則力。等于.

錯(cuò)解：S；so=Sio,2d.d=30,Sio=Sso+d=100.

錯(cuò)因：將等差數(shù)列中Sn,S加-S?,S3n-S如成等差數(shù)列誤解為Sn,SMSm成等差數(shù)列.

1(kZ1+

正解：由題意：得q=—,d=—

30x29”515

30a[+-----a7=70

2

40x39

代入得=40%+--—x40d=120°

［例4］等差數(shù)列｛4｝、底｝的前「項(xiàng)和為和、若2=」”、5三乂）,求生；

Tn4/?+27b-j

錯(cuò)解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令an=7n+l;bn=4n+27.

的_7x7+1_10

.9―4x7+27-TT

錯(cuò)因：誤認(rèn)為——=

Tnh?

正解.%_%+%_53_7x13+1_92

b-jb-j+b-j兀4x13+2779

［例5］已知一個(gè)等差數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式a.=25-5n,求數(shù)列｛"“|｝的前n項(xiàng)和;

錯(cuò)解：由*0得n<5

{q}前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)，

/.Sn=ai+a2+a3+a4+a5=50(n<5)

當(dāng)n>6時(shí)，S?=II+Ia7I+IasI+…+IaJ=(20--5)

2

50,/?<5

二.Sn=-(20-5n)(n-5)

-----,nNb

I2

錯(cuò)因：一、把n45理解為n=5,二、把“前n項(xiàng)和”誤認(rèn)為“從nN6起”的和.

，〃工5

正解：nn2<

(2。-5〃)(〃-5)+50,北6

2

［例6］已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,

由此可以確定求其前〃項(xiàng)和的公式嗎？

解：理由如下：由題設(shè)：510=3105^=1220

10tz,+45^=310(a=4

J：n?}

12067,+1906/=1220[d=6

/.S=4〃+—―x6=3n2+n

〃2

［例7］已知：凡=1024+lg2~(lg2=0.3010)neN+(1)問前多少項(xiàng)之和為最

大？(2)前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最小？

%=1024+(1-〃)愴220102/1

解：(1)<n<1=3403403

%=1024-nlg2<0記1g2

???n=3402

(2)S“=1024〃+^照2)二0

當(dāng)S〃=0或S“近于0時(shí)其和絕對(duì)值最小

令：Sn=0即1024+“"；D(-電2)=0

得：〃=22^+1^680499

1g2

:neN+n=6805

［例8］項(xiàng)數(shù)是2〃的等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為&和《用是方程f-〃x+g=o的兩根，求證此

數(shù)列的和$2〃是方程lg2X-(lgn2+lg〃2)lgx+(lg〃+lg")2=0的根。(S?.>0)

證明：依題意/+。用=p

c+a-,,,)

???/+%”=a?+4+1=P?*-S2n=-----=np

Vlg2x-(lg?2+lgp2)lgx+(lgn+lgp)2=0

2

(Igx-lgnp)=0x=np=S2n(獲證)。

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.己知4=3且=S〃_]+2",求4”及S”。

2.設(shè)=71x2+,2x3+J3x4d--b+1),求證：十"<an<("+"。

3.求和：1+---+----------+??■+--------------------

1+21+2+31+2+3+…+〃

4.求和:(1002-992)+(982-972)+---+(42-32)+(22-I2)

5.已知友c?依次成等差數(shù)列，求證：依次成等差數(shù)列.

6.在等差數(shù)列｛〃“｝中，a5+al3=40,則+al0=()。

A.72B.60C.48D.36

7.已知｛an｝是等差數(shù)列，且滿足am=〃,an=m(mwn)，則%”等于。

8.已知數(shù)列J」一成等差數(shù)列，且%=-?,%=-"，求心的值。

an+2J67

§4.2等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同

一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,

公比通常用字母q表示.

2.等比中項(xiàng)：若a,G,b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項(xiàng).

(q=1)

H

3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=\a.(\-q)a,-a-q

—:--------=---------=1)

\-q

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0,因此q也不為0.

2.對(duì)于公比q,要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.

3.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2

項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)

列，這時(shí)可以說此數(shù)列從.第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.

4.在已知等比數(shù)列的a和q的前提下，利用通項(xiàng)公式就刊口丁可求出等比數(shù)列中的任

一項(xiàng).

5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用③二須屋”可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).

6.等比數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式可改寫為%=".必.當(dāng)q>0,且qWl時(shí)，y=qx

q

是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而》二5?/是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列｛aj

q

的圖象是函數(shù)y=幺4的圖象上的一群孤立的點(diǎn).

q

7.在解決等比數(shù)列問題時(shí)，如已知，a1,揄，d,S“，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］已知數(shù)列｛qj的前n項(xiàng)之和Sn=aqn(。工0,夕工1,夕為非零常數(shù))，則｛?！埃秊?)。

A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

錯(cuò)解：??.=S“M—S〃=aq--aq"=acj\q-X)

?.an~S〃-=a(f'(q—1)

,?.5=q(常數(shù))

an

...｛4｝為等比數(shù)列，OPBo

錯(cuò)因：忽略了.?.4=S〃一S,一中隱含條件n>l.

正解：當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=aq;

x

當(dāng)n>1時(shí)，/.an=S〃一S,i=a(f~(q-1)

聯(lián)=g(常數(shù))

但「竺=q_lwq

4

.?.｛%｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。

［例2］已知等比數(shù)列｛風(fēng)｝的前n項(xiàng)和記為S”，S10=10,S3O=7O,則S”等于.

錯(cuò)解：$3<)=Sio,Q二.q~=7,q=i,Sio=Sm?q=i70x/7.

錯(cuò)因：是將等比數(shù)列中Sn,S2n—Sm,S3n-S加成等比數(shù)列誤解為Sn,S加，S.成等比數(shù)列.

r八/iJ。、

、？'=10-^-=-10

"q得,

正解：由題意：1-4,

卬7兄7。

/=2或才。=-3(舍去)

i-q

4O

/.S.1O=-^-(1-^)=200.

i-q

［例3］求和：a+a2+a3+***+an.

\-n

錯(cuò)解：a+a2+a3+,,,+an=-----a-.

1-a

錯(cuò)因：是(1)數(shù)列｛a"｝不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(2)用

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q是否等于1.

正解：當(dāng)a=0時(shí)，a+aN+a、…+an=0;

當(dāng)a=l時(shí)，a+a'a，…+an=n;

\-n

當(dāng)a。1時(shí)，a+a2+a，+…+a”=----a--.

\-a

［例4］設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，(a2+b2\l2-2b(a+c)d+b2+c2=0,

求證：上。成等比數(shù)列且公比為d。

證明：

證法一：關(guān)于d的二次方程(4+從'2—次。+。卜+62+C.2=0有實(shí)根，

A=4/?2(a+c)2-4(a2+b2\b2+c2)>0,：.-(b2-acj>0

則必有：b2-ac=0,即從=ac,???非零實(shí)數(shù)成等比數(shù)列

設(shè)公比為q,則人=。夕，c=a豕代入

(a2+a2q2)d2-lac^a+acf+a2q2+a2q4=0

???(g2+l)2H0即d2-%d+q2=。，即d=qw0.

證法二：V(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0

???(a2d2-2abd+b2)+僅/-2bcd+c2)=0

(ad-b^+(Z?J-c)2=0,：,ad=b,且bd=c

bc

???a,/c,d非零，??.2=.=d。

ab

［例5］在等比數(shù)列｛b〃｝中，2=3,求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。

解：b、b2b3b4b5b6b7=■四)(/4X&A>4

???b；=他=b力6=，,前七項(xiàng)之積丫x3=37=2187

［例6］求數(shù)列｛”」-｝前〃項(xiàng)和

2”

解：S=1x—F2x—F3x—F................+〃x—①

“2482"

—=lx—4-2X-4-3x—+???+(/?-l)x—4-7?x-^—②

2"48162H2w+,

兩式相減：-Sn=-+--i--+……+--nx-^=^~~——

22482"2n1112M+,

1----

2

?S=2(1--.......—)=2——i.........-

,?12n2,,+lf2r~l2n

［例7］從盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出lkg鹽水，然后加入1kg水，以后每

次都倒出1kg鹽水，然后再加入1kg水，

問：(1)第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽多kg?

(2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的

質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？

解：(D每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為(可),則：

ai=0.2(kg),?>=—X0.2(kg),ai=(—)2X0.2(kg)

22

l5-,4

由此可見：an=(-)^X0.2(kg),斬(-)X0.2=(-)X0,2=0.0125(kg)。

222

1

⑵由⑴得｛?｝是等比數(shù)列a=0.2,^2

62(1-為

日（1一夕與

-----0.3937縱g)

1——

2

0.4-0.39375=0.0062張g)

0.006254-2=0.00312^)

答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg；6次倒出后，一共倒出039375kg

鹽，此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.003125o

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

1）ai=-2,53—8

2）&=5,月.2a°】=—3&

3）a=5,且

〃+1

2.在等比數(shù)列｛%｝,已知％=5,a9al0=100,求卬8?

022?-1

3.已知無窮數(shù)列10工10110"……10T,……,

求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列

（2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的

10

（3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。

3

4.設(shè)數(shù)列｛an｝為l,2x,3/,4x……幾/”??.（x。0）求此數(shù)列前〃項(xiàng)的和。

5.已知數(shù)列中，&=-2且嬴1=￡,求品5

6.是否存在數(shù)列｛%｝,其前項(xiàng)和W組成的數(shù)列｛￡｝也是等比數(shù)列，且公比相同？

7.在等比數(shù)列｛4｝中，=36,%+々4=6QS“>400,求〃的范圍。

§4.3數(shù)列的綜合應(yīng)用

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問

題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利

用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.

2.應(yīng)用題成為熱點(diǎn)題型，且有著繼續(xù)加熱的趨勢(shì)，因?yàn)閿?shù)列在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣

泛，所以數(shù)列應(yīng)用題占有很重要的位置，解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟：（1）閱讀理解材料,

且對(duì)材料作適當(dāng)處理；（2）建立變量關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型；（3）討論變量性

質(zhì)，挖掘題目的條件，分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求和還是求薪一般情況下,

增或減的量是具體體量時(shí)，應(yīng)用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)用等比數(shù)列公

式.若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則增或減的百分?jǐn)?shù)，加1就是

公比q.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.首項(xiàng)為正（或負(fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或最小）問題,

轉(zhuǎn)化為解不等式［凡之0（或［4工0］解決；

2.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公

式時(shí)，勿忘分類討論思想；

nnm

3.等差數(shù)列中，a?=an+（n-m）d,八一土；等比數(shù)列中，an=anq";q

m-na..、

4.當(dāng)m+n=p+q（m、n、p、qGN+）時(shí)，對(duì)等差數(shù)列｛a,J有：an+an=aP+a,l；對(duì)等比數(shù)列

｛3n｝有*HpHq;

5.若區(qū)｝、瓜｝是等差數(shù)列，則｛kan+bbj（k、b是非零常數(shù)）是等差數(shù)列；若｛aj、瓜｝

是等比數(shù)列,則｛kan｝、⑸bn｝等也是等比數(shù)列；

6.等差（或等比）數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如

aiRE,川⑸血，加⑶％…）仍是等差（或等比）數(shù)列；

7.對(duì)等差數(shù)列｛須｝,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S曠S6=nd；項(xiàng)數(shù)為2n-l時(shí)，S布一S偶=a^

（nWN+）；

8.若一階線性遞推數(shù)列arkaki+b（kNO,k#l）,則總可以將其改寫變形成如下形

式：a+，_=■〃1+〃_）（n22）,于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］設(shè)｛〃,,｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，也是其前n項(xiàng)和?證明：

10gS〃+10gS〃+2

----------------------->］og5/J+1o

Z2

log］S〃+log|S〃+2

錯(cuò)解：欲證一2-------------——>log,Sn+l

22

只需證log,S?+log,5?+2>21og,S?+1

222

即證：logl（S“?S〃+2）>loglS3

22

由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證（S〃?S〃+2）VS3

/(I—/")?

s?s2—s；］

(1—4(1—4

=-a-q"<0

SjSmVS：

原不等式成立.

錯(cuò)因：在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，忽視了q=l的情況.

log]5,,+log,Sn+2

正解：欲證一百-------------——>log,Sn+1

22

只需證log,Sn+log,Sn+2>2log,S.+i

222

即證：k）gi⑸工+2）>1嗚53

22

由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證（5〃?S〃+2）<S：+I

由已知數(shù)列｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，

q>0,4>0.

若夕=1,

2

則S〃-S〃+2-S2[=na]5+2)，一[(〃+D?J=一a：<0；

若夕。1,

_af(l-qn)(l-qn+2)幻。-〃)?

?\-S〃+]

+2。一爐(j)2

=-afq"<0

S”,Sq+2VS.1

/.原不等式成立.

[例2]一個(gè)球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回至原高度的一半落下，當(dāng)它

第10次著地時(shí)，共經(jīng)過了多少米？（精確到1米）

錯(cuò)解：因球每次著地后又跳回至原高度的一半，從而每次著地之間經(jīng)過的路程形

成了一公比為L(zhǎng)的等比數(shù)列，又第一次著地時(shí)經(jīng)過了100米，故當(dāng)它第10次著地時(shí)，

2

共經(jīng)過的路程應(yīng)為前10項(xiàng)之和.

ioqi-（l）10]

即So=----------f—=199（米）

1——

2

錯(cuò)因：忽視了球落地一次的路程有往有返的情況.

正解：球第一次著地時(shí)經(jīng)過了100米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過

inn

T2x—=100(米)…因此到球第10次著地時(shí)共經(jīng)過的路程為

2

I2MX)KX)100100

100+100+——+^-+^-+---+—7-

2222328

ioqi-4)9]

=100+---------/—?300(米)

1----

2

答：共經(jīng)過300米。

[例3]一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每

年生日，到銀行儲(chǔ)蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時(shí)存款(含利息)

自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲上大學(xué)時(shí)，將所有存款(含利息)全部取回，則取回

的錢的總數(shù)為多少？

錯(cuò)解：?.?年利率不變，每年到期時(shí)的錢數(shù)形成一等比數(shù)列，那18年時(shí)取出的錢數(shù)應(yīng)為以a

為首項(xiàng)，公比為1+r的等比數(shù)列的第19項(xiàng)，即awad+r)上

錯(cuò)因：只考慮了孩子出生時(shí)存入的a元到18年時(shí)的本息，而題目要求是每年都要存入a元.

正解：不妨從每年存入的a元到18年時(shí)產(chǎn)生的本息入手考慮，出生時(shí)的a元到18年時(shí)變

為a(l+r>8,

1歲生日時(shí)的a元到18歲時(shí)成為a(l+r)”,

2歲生日時(shí)的a元到18歲時(shí)成為a(1+r)16,

17歲生日時(shí)的a元到生歲時(shí)成為ad+r)1,

a(1+r)18+a(l+r),7+???+a(l+r)'

_f/(l+r)[l-(l+r)18]

l-(l+r)

=-[(1+r)'9-(1+r)]

r

答：取出的錢的總數(shù)為2[(1+三--(1+力]。

r

[例4]求數(shù)列1+1，5+4,3+7,二+10一--4T+(3/?-2),……的前〃項(xiàng)和.

解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為a,前〃項(xiàng)和為S,則/=」丁+(3〃-2)

a

??S0=(l+;+=+……+3)+"4+7+……+(3?-2)]

2

「(1+3〃-2)〃3n+n

當(dāng)。=1時(shí),S“=?+----------------=-----------

22

1-------

當(dāng)〃工1時(shí)，Sn=——--------——----------------

?1ZCl-Clz

1——

a

6____6____66

前〃項(xiàng)和

［例5］求數(shù)列T^2,2^3*3^4

解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為b”則勿=-—=6(-一一—)

〃(〃+1)nn+\

*3+……+或=6[”?§4+……+（卜力]

6〃

=6(磊心H+1

［例6］設(shè)等差數(shù)列｛電｝的前〃項(xiàng)和為￡,且S”一(處鏟^(〃曰"+),

求數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和

解：取〃=1,則《=(竽)2=q=1

又由SL畫押可得:"（%+%）=（6+1）2

2~2

an工-1（〃￡N"）an=2n-1

/.S“=1+3+5+...+(2z?-1)=n~

［例7］大樓共〃層，現(xiàn)每層指定一人，共〃人集中到設(shè)在第4層的臨時(shí)會(huì)議室開會(huì)，問

A如何確定能使〃位參加人員上、下樓梯所走的路程總和最短。(假定相鄰兩層樓梯長(zhǎng)

相等)

解：設(shè)相鄰兩層樓梯長(zhǎng)為百，則

S=a(l+2+...+2—1)+0+［1+2+....+(〃—4)］

=a［k2一(〃+1)k+"

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，取左二但S達(dá)到最小值

2

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，取左=2或4土2s達(dá)到最大值

22

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.在［1000,2000］內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個(gè)？

2.某城市1991年底人口為500萬，人均住房面積為6/,如果該城市每年人口平均增長(zhǎng)率

為1%,每年平均新增住房面積為30萬序，求2000年底該城市人均住房面積為多少加用（精

確到0.01）

3.已知數(shù)列｛/｝中，5〃是它的前〃項(xiàng)和，并且Se=44+2,4=1

（1）設(shè)勿=。向一2%,求證數(shù)列物,｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)%=整，求證數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列。

4.在4ABC中，三邊成等差數(shù)列，JZ,6，正也成等差數(shù)列，求證AABC為正三角形。

5.三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三個(gè)數(shù)減去32,則成等差數(shù)列，若再將這等差數(shù)列的第二個(gè)

數(shù)減去4,則又成等比數(shù)列，求原來三個(gè)數(shù)。

6.已知/（X）是一次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)（3,5）,又/（2）,/（5）,15成等差數(shù)列，求

/（1）+/（2）+3+/5）的值.

第五章不等式

§5.1不等式的解法

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.一元一次不等式ax>b

⑴當(dāng)a>0時(shí)，解為

⑵當(dāng)aVO時(shí)，解為％<夕；

a

（3）當(dāng)a=0,b?0時(shí)無解；當(dāng)a=0,bVO時(shí)，解為R.

2.一元二次不等式：（如下表）其中a>0,Xi,X2是一元二次方程axJbx+c=O的兩實(shí)根，且

Xl<X2

型

ax2+bx+c>0ax2+bx+c^Oax2+bx+c<0ax?+bx+cWO

解

A>0(X|X〈Xi或X>Xz}{xIxWxi或x2x?}{x|XiVxVX2){x|XiWxWXz}

{x1X#-A,

{xIx=-^-}

A=0R

la

xeR}

A<0RR①①

3.簡(jiǎn)單的一元高次不等式：可用區(qū)間法（或稱根軸法）求解，其步驟是:

①將f（x）的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；

②將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積；

③將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線;

④根據(jù)曲線顯示出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集.

4.分式不等式：先整理成盤>0或這20的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，即:

g(x)g(x)

△^>0<=>f(x)?g(x)>0

g(x)

［f(x)=0一

f(rx{/、c或f(x)g(x)>0

/(x)20。［g(x)w。

g(x)

然后用“根軸法”或化為不等式組求解.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.不等式解法的基本思路

解不等式的過程，實(shí)質(zhì)上是同解不等式逐步代換化簡(jiǎn)原不等式的過程，因而保持同解

變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則，實(shí)際上高中階段所解的不等式最后都要轉(zhuǎn)化

為一元一次不等式或一元二次不等式，所以等價(jià)轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路.代數(shù)化、

有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.為此，一要能熟練準(zhǔn)確地解一元

一次不等式和一元二次不等式，二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價(jià)變形.

2.不等式組的解集是本組各不等式解集的交集，所以在解不等式組時(shí)，先要解出本組

內(nèi)各不等式的解集，然后取其交集，在取交集時(shí)，一定要利用數(shù)軸，將本組內(nèi)各不等

式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，注意同一不等式解的示意線要一樣高，不要將一個(gè)

不等式解集的兩個(gè)或幾個(gè)區(qū)間誤看成是兩個(gè)或幾個(gè)不等式的解集.

3.集合的思想和方法在解不等式問題中有廣泛的應(yīng)用，其難點(diǎn)是區(qū)分何時(shí)取交集，何

時(shí)取并集.解不等式的另一個(gè)難點(diǎn)是含字母系數(shù)的不等式求解一注意分類.

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］如果kx'2kx-(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

A.一IWkWOB.一lWk<0C.一kkWOD.-Kk<0

伙<0

錯(cuò)解：由題意：，

(2幻2一4火[一/+2)]<0

解得：-l<k<0

錯(cuò)因：將kx2+2kx-(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k=0的情況.

正解：當(dāng)k=0時(shí)，原不等式等價(jià)于一2V0,顯然恒成立，k=0符合題意.

k<0

當(dāng)k/0時(shí)，由題意:

(2&)2-4匕[一(2+2)]<0

解得：-l<k<0

/.一欠<0,故選C.

［例2］命題V3,命題8:(x+2)(x+a)V0,若A是B的充分不必要條件，則a的

取值范圍是______________

A.(4,+oo)B.[4,+co)C.(-oo,-4)I).(-oo,-4]

錯(cuò)解：由Ix—lIV3得：-2<x<4,

又由(x+2)(x+a)=0得x=—2或x=-a,

A是B的充分不必要條件，

{x|—2<x<4}u{x|—2<x<—a)

—a>4故選D.

錯(cuò)因：忽略了a=-4時(shí)，{x|-2VxV4}={x|-2VxV-a},此時(shí)A是B的充要條件,

不是充分不必要條件.

正解：由Ix—1IV3得：-2VxV4,

又由(x+2)(x+a)=0得x=—2或x=-a,

???A是B的充分不必要條件，

{x|—2<x<4}u{x|—2<x<—a}

-a>4故選C.

V

[例3]已知f(x)=ax+-,若一34/(1)40,3?/(2)V6,求/(3)的范圍.

-3<a+b<0①

錯(cuò)解:由條件得<

3<2a+-<6

2②

②X2-①6<a<15③

QU7

①X2—②得V—V④

333

③+④得—<3a+-<—,即竺Wf(3)W生.

33333

X

錯(cuò)因：采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)/(X)=其值是

b

同時(shí)受。和人制約的.當(dāng)。取最大(小)值時(shí)，b不一定取最大(小)值，因而整個(gè)解題思

路是錯(cuò)誤的.

/(I)=a+b

正解：由題意有J〃，

f(2)=2a+-

12

解得：?=-[2/(2)-/(I)],Z)=-[2/(l)-/(2)],

A/(3)=3a+1=y/(2)-1/(l).把/⑴和〃2)的范圍代入得y</(3)<y.

[例4]解不等式(x+2)2(X+3)(x-2)>0

錯(cuò)解：???(x+2)2>0

原不等式可化為：(x+3)(x—2)>0

原不等式的解集為{x|x?-3或xN2}

錯(cuò)因：忽視了“2”的含義，機(jī)械的將等式的運(yùn)算性質(zhì)套用到不等式運(yùn)算中.

正解：原不等式可化為：(x+2)2(X+3)(x-2)=0①或(x+2)2(X+3)(X-2)>。②,

解①得：x=-3或x=-2或x=2

解②得：x<-3或x>2

原不等式的解集為{x|x<-3或xN2或x=-2}

［例5］解關(guān)于x的不等式。*一〃力)>"工+。份

解：將原不等式展開，整理得：(a-b)x>ab(a+b)

.,qab(a+b)

討病：當(dāng)時(shí)，x>——--------

a-b

當(dāng)4時(shí)，若a=/>20時(shí)XE。；若a=b<0時(shí)xe/?

、口,…abia+b)

當(dāng)a<力時(shí)，xv-------------

a-b

點(diǎn)評(píng)：在解一次不等式時(shí)，要討論一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).

［例6］關(guān)于x的不等式aj<?+hx+c<0的解集為{x\x<-2或x>-1}

求關(guān)于x的不等式ar2-bx+c>0的解集.

解：由題設(shè)知a<0,且x=-2,x,是方程”+公+。=0的兩根

2

?b_5c_

??一—9-1

ala

b

從而ax2-Z?x+c>0可以變形為I?——x+—c<0

aa

即：x2--x+l<0：.-<x<2

22

點(diǎn)評(píng)：二次不等式的解集與二次方程的根之間的聯(lián)系是解本題的關(guān)健，這也體現(xiàn)了方程思想

在解題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

［例7］(06年高考江蘇卷)不等式log,(x+'+6)43的解集為

x

x+-<2

解：log2(x+，+6)W3,0<xHF6?8,"x

x+—+6>0

x

x<0,期=1

-3-2也<X<-3+2在或x>0

解得xc（-3-2短,-3+2應(yīng)）u{l}

反思：在數(shù)的比較大小過程中，要遵循這樣的規(guī)律，異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相

同的部分，再去比較它們剩余部分,就會(huì)很輕易啦.一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：（1）

作差比較法和作商比較法，前者和零比較,后者和1比較大?。孩普抑虚g量,往往是1,在這些數(shù)

中,有的比1大,有的比1??；，⑶計(jì)算所有數(shù)的值；⑷選用數(shù)形結(jié)合的方法，畫出相應(yīng)的圖形;

⑸利用函數(shù)的單調(diào)性等等.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

--3x+2

1.解不等式<0

工,—2x—3

2.解不等式X3+3X2＞2X4-6

3.解不等式（工2一44-5）。2+4+2）＜0

4.解不等式（工十2）2（尤一1）3（X十1）。一2）＜0

5.解不等式也〈％-1

x-1

+2左t+k

6.4為何值時(shí)，下式恒成立：2Vl

4x2+6x+3

7.解不等式J3X—4—J^>0

8.解不等式-6x+4vx+2

§5.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.目標(biāo)函數(shù)：P=2x+y是一個(gè)含有兩個(gè)變量x和y的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù).

2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.

3.整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).

4.線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱

為線性規(guī)劃問題.只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決.

5.整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)

計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、

財(cái)務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安

排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù).

1.對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線.

2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：

任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一

側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域.若直線不過

原點(diǎn)，通常選擇原點(diǎn)代入檢驗(yàn).

3.平移直線y=-kx+P時(shí)，直線必須經(jīng)過可行域.

4.對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，