2023-2024學年福州市高二數(shù)學上學期期末聯(lián)考試卷附答案解析

-2024學年福州市高二數(shù)學上學期期末聯(lián)考試卷2024.1一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比為（）A. B.4 C. D.22.拋物線的準線方程為（）A.B.C. D.3.已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.4.直線過定點Q，若為圓上任意一點，則的最大值為（）A.1 B.3 C.4 D.25.在等差數(shù)列中，若，則=（）A.100 B.120 C.57 D.186.在平面直角坐標系中，設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，其中且雙曲線漸近線的斜率絕對值小于，則下列關(guān)系不正確的是（）A. B. C. D..7.已知首項為1的數(shù)列，且對任意正整數(shù)恒成立，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C. D.8.已知長方體，，，是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（）A.3 B. C. D.2二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若方程所表示的曲線為，則下面四個說法中正確的是（）A.若，則橢圓B.若橢圓，且焦點在軸上，則C.曲線可能是圓D.若為雙曲線，則10.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈．這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.11.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.的最小值為12.已知拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，直線過C的焦點F，且與C交于M，N兩點，則下列說法中正確的是（）A.若直線的斜率為，則B.最小值為C.若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為，則點M的橫坐標為D.若點，則的周長最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列的前項之和，則數(shù)列的通項公式__________．14.已知雙曲線方程為（），若直線與雙曲線左右兩支各交一點，則實數(shù)的取值范圍為__________.15.如圖，四棱錐中，底面，底面是邊長為6的正方形，且四棱錐的外接球的表面積為，點在線段上，且為線段的中點，則點到直線上任意點的距離的最小值為_____________．16.瑞典數(shù)家科赫在1904年構(gòu)造能描述雪花形狀的圖案，就是數(shù)學中一朵美麗的雪花——“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形（圖1），并把每一條邊三等分，再以中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線（圖2），如此繼續(xù)下去形成雪花曲線（圖3），直到無窮，形成雪花曲線．設(shè)雪花曲線的邊數(shù)為，面積為，若正三角形的邊長為，則=________；=________.圖1圖2圖3四、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（共6大題，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）17.已知等差數(shù)列的前項和為，；（1）求等差數(shù)列的前項和及的最大值；（2）求數(shù)列的前項和.18.已知圓，直線過點.（1）若直線與圓相交，求直線的斜率的取值范圍；（2）以線段為直徑圓與圓相交于兩點，求直線的方程及的面積.19.已知標準雙曲線的焦點在軸上，且虛軸長，過雙曲線的右焦點且垂直軸的直線交雙曲線于兩點，的面積為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線交雙曲線于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.20.在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．21.已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；（2）若，記數(shù)列的前n項和為，求．22.已知點，是圓：上任意一點，線段的垂直平分線交于點，設(shè)動點的軌跡曲線為；（1）求曲線的方程；（2）過點作斜率不為0的直線交曲線于兩點，交直線于．過點作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點，直線交軸于點，求線段中點M的坐標．2023～2024學年度第一學期八縣（市）一中期末聯(lián)考高中二年數(shù)學科試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比為（）A. B.4 C. D.2【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后將已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式化簡計算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，，所以，所以，解得或（舍去），故選：D2.拋物線的準線方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線轉(zhuǎn)化成標準式，由定義求出準線.【詳解】由得，故拋物線的準線方程為.故選：D3.已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】依題意得，，，，而在和上單調(diào)遞增，且在上，，在上，所以，即.故選：D4.直線過定點Q，若為圓上任意一點，則的最大值為（）A1 B.3 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】求出直線定點坐標、圓心坐標、半徑，再由點與圓的圓心之間的距離加半徑求解【詳解】由，得，所以直線過定點，由，知圓心坐標，半徑為2，所以到圓心的距離為，則在圓內(nèi)，則的最大值為，故選：B5.在等差數(shù)列中，若，則=（）A.100 B.120 C.57 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和性質(zhì)求解．【詳解】是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列，又，，所以，，，所以，故選：B．6.在平面直角坐標系中，設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，其中且雙曲線漸近線的斜率絕對值小于，則下列關(guān)系不正確的是（）A. B. C. D..【答案】D【解析】【分析】A選項，根據(jù)離心率的定義得到；B選項，先得到，從而得到，得到B正確；C選項，根據(jù)和得到；D選項，根據(jù)基本不等式得到，得到D錯誤.【詳解】A選項，由題意得，，故，A正確；B選項，雙曲線的一條漸近線方程為，故，故，故，B正確；C選項，由A知，故，故，C正確；D選項，因為，，，所以，又，且，由基本不等式得，故，所以，D錯誤.故選：D7.已知首項為1的數(shù)列，且對任意正整數(shù)恒成立，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】變形得到，利用累乘法得到，故，利用裂項相消法求和得到答案.【詳解】由題意易知，由變形為，故，所以，因為，所以，故，所以.故選：C8.已知長方體，，，是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（）A.3 B. C. D.2【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得點在矩形及內(nèi)部，結(jié)合平面，利用面面平行的知識找出點的軌跡，然后根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征與解三角形的知識算出答案.【詳解】在長方體中，由，，，得點在矩形及內(nèi)部，又平面，故點在過且平行于平面的平面內(nèi)，連接交于點，取中點，連接，在上取點，使得，連接，，，由是長方體，可知對角面為矩形，且，因為，，所以且，四邊形為平行四邊形，可得，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為是平面內(nèi)的相交直線，故平面平面，即平面是過且平行于平面的平面，所以點的軌跡是四邊形截面與平面的交線，即線段.因為矩形中，，，可知，所以，可得中，，所以，即動點的軌跡所形成的軌跡長度為3.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若方程所表示的曲線為，則下面四個說法中正確的是（）A.若，則為橢圓B.若為橢圓，且焦點在軸上，則C.曲線可能是圓D.若為雙曲線，則【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓標準方程的特征列不等式求解即可判斷AB；根據(jù)方程為圓列式求解判斷C；根據(jù)雙曲線的特征判斷D.【詳解】當時，方程為，此時表示圓，故A錯；C對；若為橢圓，且焦點在軸上，則，解得，故B對；若為雙曲線，則，解得，或，故D錯；故選：BC10.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以．反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈．這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【分析】求出數(shù)列的前幾項，可得數(shù)列中從第4項起以4，2，1循環(huán)，然后一一分析判斷即可.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，所以，所以AB正確，C錯誤，因為數(shù)列中從第4項起以4，2，1循環(huán)，而，所以，所以D正確，故選：ABD11.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)題意，由，得的范圍，由變形得，因此可得，由此分析選項是否正確，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列的公比為，由，所以，若，得，變形得，又且，則，故，故A對；由，故B錯；，故C對；因為又且，所以等比數(shù)列遞增數(shù)列，而，則的最小值為，故D錯；故選：AC12.已知拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，直線過C的焦點F，且與C交于M，N兩點，則下列說法中正確的是（）A.若直線的斜率為，則B.的最小值為C.若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為，則點M的橫坐標為D.若點，則周長最小值為【答案】BCD【分析】求出拋物線的方程，得焦點坐標，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組應用韋達定理求弦長判斷A，再根據(jù)韋達定理得出焦點弦的性質(zhì)，然后利用基本不等式求解后判斷B，作出大致圖象，過點作準線的垂線，結(jié)合拋物線的定義判斷C，過作準線的垂線（是垂足），寫出三角形的周長，結(jié)合拋物線的定義轉(zhuǎn)化后得出不等關(guān)系，從而可得最小值判斷D．【詳解】拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，則第一象限內(nèi)的交點的縱坐標為，代入圓方程得橫坐標為1，即，所以，，即拋物線方程為，焦點為，對選項A，設(shè)直線方程為，由得，設(shè)，則，，，直線的斜率為時，，所以，A錯誤；對選項B，由拋物線定義得，所以，當且僅當，即時等號成立，因此的最小值為，B正確；對選項C，如圖，過點作準線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點，過作軸垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線定義可得，所以，所以以為直徑的圓與軸相切，因此為切點，所以點縱坐標為1，又是中點，所以點縱坐標為2，而是拋物線上的點，因此其橫坐標為1，C正確；對選項D，過作垂直于拋物線的準線，垂足為，所以的周長為，當且僅當點的坐標為時取等號（即與準線垂直），D正確．故選：BCD．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列的前項之和，則數(shù)列的通項公式__________．【答案】【解析】【詳解】分析：根據(jù)和項與通項得關(guān)系求結(jié)果.詳解：因為當時，，當時，，因，所以.點睛：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.應用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.14.已知雙曲線方程為（），若直線與雙曲線左右兩支各交一點，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】求出漸近線方程，結(jié)合直線與雙曲線左右兩支各交一點，比較斜率即可得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線方程為（），所以雙曲線的漸近線方程為，因為直線與雙曲線左右兩支各交一點，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為，故答案為：15.如圖，四棱錐中，底面，底面是邊長為6的正方形，且四棱錐的外接球的表面積為，點在線段上，且為線段的中點，則點到直線上任意點的距離的最小值為_____________．【答案】【解析】【分析】以D為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立坐標系，由外接球的表面積為，求出，由求得，為線段的中點，求出，然后幾根據(jù)兩點間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)求最值可得.【詳解】由底面，所以由底面是正方形，所以，以D為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立坐標系，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為r，由外接球的表面積為，即，所以，，所以，所以，又，即，設(shè)，所以，所以，所以，又，因為為線段的中點，所以，設(shè)直線上一點，所以當時，點到直線上任意點的距離的最小，其最小值為.故答案為：16.瑞典數(shù)家科赫在1904年構(gòu)造能描述雪花形狀的圖案，就是數(shù)學中一朵美麗的雪花——“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形（圖1），并把每一條邊三等分，再以中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線（圖2），如此繼續(xù)下去形成雪花曲線（圖3），直到無窮，形成雪花曲線．設(shè)雪花曲線的邊數(shù)為，面積為，若正三角形的邊長為，則=________；=________.圖1圖2圖3【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)圖形，得出成等比數(shù)列，從而可得通項公式，再由圖形的形成過程得出邊長也成等比數(shù)列，而是在的基礎(chǔ)上每條邊向外增加一個小正三角形，由此可得面積間的關(guān)系，利用累加法求得通項公式．【詳解】由題意，，，即是等比數(shù)列，公比是4，所以，設(shè)雪花曲線的邊長為，則，，所以，因為，當時，，所以．故答案為：；.【點睛】方法點睛：本題考查歸納猜想，考查數(shù)列的應用，解題方法是觀察圖形，通過圖形的形成歸納總結(jié)出與的關(guān)系：邊數(shù)間的關(guān)系，邊長的關(guān)系，面積的關(guān)系，從而利用數(shù)列的知識求得結(jié)論．四、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（共6大題，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）17.已知等差數(shù)列的前項和為，；（1）求等差數(shù)列的前項和及的最大值；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），210；（2）212.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前項和公式，結(jié)合性質(zhì)求出公差及首項即可得解.（2）由（1）求出數(shù)列的通項公式，判斷項的正負，再結(jié)合（1）的結(jié)論求解即得.【小問1詳解】等差數(shù)列的前項和為，由，得，解得，由，得，解得，則，公差，因此，對稱軸為，因為，則當或時，，所以，的最大值為210.【小問2詳解】由（1）知，，則，所以.18.已知圓，直線過點.（1）若直線與圓相交，求直線的斜率的取值范圍；（2）以線段為直徑的圓與圓相交于兩點，求直線的方程及的面積.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用圓心到直線的距離小于半徑或聯(lián)立直線方程、圓的方程結(jié)合判別式均可以求出斜率的范圍.（2）求出弦長和圓心到直線的距離后可求三角形的面積，或者求出兩個交點的坐標后可求三角形的面積.【小問1詳解】法一：由已知可得圓，直線即，∵直線與圓相交，∴圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，故直線的斜率的取值范圍為.法二：設(shè)直線的方程,聯(lián)立方程得,故，解得.故直線的斜率的取值范圍.【小問2詳解】以為直徑的圓，且半徑，圓的方程為，由圓和圓：可得：的方程為：，整理得直線的方程為.法一：因為圓心到直線的距離即,，，所以的面積.法二：聯(lián)立方程，得，解得或，所以的面積.19.已知標準雙曲線的焦點在軸上，且虛軸長，過雙曲線的右焦點且垂直軸的直線交雙曲線于兩點，的面積為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線交雙曲線于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，表示出，再由的面積，并結(jié)合雙曲線中的關(guān)系求解；（2）法一：設(shè)出直線的點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達定理和中點坐標公式求解；法二：利用點差法求解.【小問1詳解】由題設(shè)雙曲線，直線的方程為聯(lián)立方程解得，又，，則而所以雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】法一：因為過點的直線與雙曲線相交于兩點，可知，直線的方程不是，設(shè)直線的方程為即聯(lián)立方程得①解得將代入①，得故直線的方程為.法二：因為過點的直線與雙曲線相交于兩點，可知，直線的方程不是，設(shè)得，,直線的方程為，即，聯(lián)立方程得，故直線的方程為.20.在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法一：利用構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；法二：利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；（2）依題意建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的法向量，從而利用空間向量法即可得解.【小問1詳解】法一：取中點，連接，為的中點，，又，，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.法二：取中點，連接，為的中點，，平面平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面又，平面，平面平面，又平面，平面.【小問2詳解】因為平面平面，平面平面平面，，平面，取中點，連接，則平面，所以是直線與平面所成的角，即，又，，又，又，則，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖，，，設(shè)平面的一個法向量，，則，取，則，易得平面的一個法向量可取，設(shè)平面與平面所成的夾角為，，故平面與平面所成的夾角的余弦為.21.已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；（2）若，記數(shù)列的前n項和為，求．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義及構(gòu)造法求通項可判斷；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式、等差數(shù)列求和公式，利用數(shù)列分組求和及錯位相減法求和可得結(jié)果.小問1詳解】法一：若解得，則數(shù)列不是等比數(shù)列；若即，因為