2025屆沈陽市20中高三數(shù)學(xué)（上）第三次模擬考試卷附答案解析

屆沈陽市20中高三數(shù)學(xué)（上）第三次模擬考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z1、z2滿足z1+z2=A.22 B.1 C.22.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，A.?12 B.?23 C.3.在半徑為2的圓C上任取三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，P，且|AB|=22，則PA?PBA.2+2 B.2+22 C.4.已知正四棱臺下底面邊長為42，若內(nèi)切球的體積為323πA.49π B.56π C.65π D.130π5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，anA.45×(48?1) B.456.當(dāng)n∈N時(shí)，將三項(xiàng)式(x2+x+1)n展開，可得到如圖所示的三項(xiàng)展開式和“廣義楊輝三角形”：

(x2+x+1)0=1

(x2+x+1)1=x2A.1 B.?1 C.2 D.?27.已知f(x)=memx?lnx(m≥0)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A.(0,1e) B.(0,1e28.已知a>e2，b>0，c>0，當(dāng)x>0時(shí)，(exx?A.e327 B.127 C.e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c則下列說法正確的是(

)A.AC?CB>0，則△ABC是銳角三角形

B.若cos2A+cos2B?cos2C=1，則△ABC是直角三角形

10.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2?4xy+y2A.|x?y|≥2 B.|x?y|≤12 C.x2+y11.如圖，在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且AB=AA1=2，∠BAD=60°，M為線段A.若μ=1時(shí)，三棱錐P?DBC的體積為定值

B.若λ=12時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得PD⊥PB1

C.若λ+μ=12，則|PN|+|PC|的最小值為3

D.若λ=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若命題“?x∈R，都有mx2?2mx?4>0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______13.曲線y=lnx與曲線y=12e14.已知函數(shù)f(x)=2x?3x?2?ex，g(x)=2x?3x?2?lnx的零點(diǎn)分別為x1，x2，且x1>2，x2>2，則x1?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知Sn=an+1?1.

(1)求{an}16.(本小題15分)

已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N，M分別是線段B1C1和線段DD1上的動(dòng)點(diǎn)，且C1N=λC117.(本小題15分)

某校為了提高教師身心健康號召教師利用空余時(shí)間參加陽光體育活動(dòng).現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報(bào)名，本周隨機(jī)選取2人參加.

(1)求在有女教師參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女教師參加活動(dòng)的概率；

(2)記參加活動(dòng)的女教師人數(shù)為X，求X的分布列及期望E(X)；

(3)若本次活動(dòng)有慢跑、游泳、瑜伽三個(gè)可選項(xiàng)目，每名女教師至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為12，每名男教師至少從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為12，每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，記隨機(jī)選取的兩人得分之和為Y，求Y18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanA=3tanC.

(Ⅰ)若C=π4，b=tanB，求△ABC的面積S；

(Ⅱ)求證：2a2?219.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln(1?ax)+12x2(a≠0).

(1)證明：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(3)若a=?1答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵z1+z2=z1z2，

又∵z1?=1?i，

∴z1=1+i，

2.【答案】B

【解析】解：∵Sn=(2Sn+1)Sn+1，

∴Sn=Sn+1+2Sn?Sn+1,1Sn+1?1Sn=2，

∴1S1=1a1=1，

∴{1Sn3.【答案】D

【解析】解：在△ABP中，由正弦定理，

得ABsin∠APB=APsin∠ABP=BPsin∠BAP=2r=4，

即22sin∠APB=4，所以sin∠APB=22，

又∠APB∈(0,π)，所以∠APB=π4或3π4，

當(dāng)∠APB=π4時(shí)，設(shè)∠ABP=θ(0<θ<3π4)，則∠BAP=3π4?θ，

由APsin∠ABP=BPsin∠BAP=4，得AP=4sinθ,BP=4sin(3π4?θ)，

所以4.【答案】C

【解析】解：由題意知正四棱臺ABCD?A1B1C1D1下底面邊長AB=42，所以令其內(nèi)接球半徑為r，

因此4π3r3=323π，所以r3=8，解得r=2，

取AB，CD，A1B1，C1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，

所以四邊形EFF1E1內(nèi)切圓即為正四棱臺內(nèi)接球的截面大圓，

所以四邊形EFF1E1是等腰梯形，EE1=12(EF+E1F1)，又因?yàn)镋E12=[12(EF?E1F1)]2+(2r)2，

[12(EF+E1F1)]5.【答案】A

【解析】解：由題可得數(shù)列{an}為類周期數(shù)列，且以T=4變化，

而a1=2cosπ2=0,a2=22cos6.【答案】A

【解析】解：依題意，“廣義楊輝三角形”構(gòu)造方法為：

第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)(不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計(jì)為0)之和，

所以“廣義楊輝三角形”的第5行為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，

“廣義楊輝三角形”的第6行為1，6，21，50，90，126，141，126，90，50，21，6，1，

“廣義楊輝三角形”的第7行為1，7，28，77，161，266，357，393，357，266，161，77，28，7，1，

在(x2+x+1)7的展開式中，x6的系數(shù)為266，x7的系數(shù)為357，

則(1+ax)(x2+x+1)5的展開式中，x77.【答案】A

【解析】解：若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則f(x)=memx?lnx=0有兩個(gè)解，等價(jià)于mxemx?xlnx=0(x>0)有兩個(gè)解，

令g(t)=tet，則原式等價(jià)于g(mx)=g(lnx)有兩個(gè)解，

即mx=lnx(x>0)有兩個(gè)大于零的解．

令?(x)=lnxx(x>0)，則?′(x)=1?lnxx2，

當(dāng)0<x<e時(shí)，?′(x)>0，當(dāng)x>e時(shí)，?′(x)<0，

所以?(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，且?(e)=18.【答案】A

【解析】解：當(dāng)x>0時(shí)，原不等式化為(exx?a)(x2?bx+c)≥0恒成立，

令f(x)=exx?a，g(x)=x2?bx+c，求導(dǎo)得f′(x)=ex(x?1)x2，

由f′(x)<0，得0<x<1；由f′(x)>0，得x>1，

函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

而f(1)=e?a<0，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，

則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，記為x1，x2(0<x1<x2)，

顯然當(dāng)x<x1或x>x2時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<0，

要使f(x)g(x)≥0恒成立，則x1，x2也是g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，

于是b=x1+x2，c=x1x2，由e9.【答案】BCD

【解析】解：A，因?yàn)锳C?CB>0，因此CA?CB<0，

故cosC<0，因?yàn)?<C<π，

因此C為鈍角，故A錯(cuò)誤；

B，因?yàn)閏os2A+cos2B?cos2C=1，

因此1?sin2A+1?sin2B?(1?sin2C)=1，

整理得sin2C=sin2A+sin2B，由正弦定理得c2=a2+b2，

所以△ABC為直角三角形，故B正確；

C，因?yàn)锳+B<π2，

所以0<B<π2?A<π2，

因此sinA+sinB<sinA+sin(π210.【答案】AC

【解析】解：因?yàn)閤2?4xy+y2=6，

所以y=4x±16x2?4(x2?6)2=2x±3x2+6，

當(dāng)y=2x+3x2+6時(shí)，x?y=?3x2+6?x，

令μ=?3x2+6?x，

可得μ′=?6x23x2+6?1，

當(dāng)x<?1時(shí)，μ′>0，函數(shù)μ=?3x2+6?x在(?∞,?1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>?1時(shí)，μ′<0，函數(shù)μ=?3x2+6?x在(?1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以μmax=?3×12+6+1=?2，無最小值，

則|x?y|≥2，

當(dāng)y=2x?3x2+6時(shí)，x?y=3x2+6?x，

可得x?y=3x2+6?x，

令μ=3x2+6?x，

可得μ′=6x23x2+6?1，

當(dāng)x<1時(shí)，μ′<011.【答案】ACD

【解析】解：對于選項(xiàng)A：當(dāng)μ=1時(shí)，B1P=λBC，故點(diǎn)P在B1C1上運(yùn)動(dòng)，而B1C1//平面DBC，

所以三棱錐P?DBC的體積為定值．故A正確；

對于選項(xiàng)B：當(dāng)λ=12時(shí)，取BC中點(diǎn)記為E，連接EN，易得點(diǎn)P在EN上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)P與點(diǎn)E，N重合時(shí)，由勾股定理可得|PB1|2+|PD|2=|DB1|2，所以PD⊥PB1，故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：當(dāng)λ+μ=12時(shí)，取BC中點(diǎn)記為E，取BB1中點(diǎn)記為F，連接EF，

則點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，易得點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為C′，連接NC′，

此時(shí)點(diǎn)N、E、C′三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)取得最小值為3，故C正確；

對于選項(xiàng)D：當(dāng)λ=0，μ=12時(shí)，P為BB1的中點(diǎn)，

過點(diǎn)P作DM的平行線交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作DE的平行線交B1C1于點(diǎn)F，

即可得到截面MDEPF，易知12.【答案】[?4,0]

【解析】解：由題意可得，?x∈R，都有mx2?2mx?4≤0是真命題，

當(dāng)m=0時(shí)，不等式為?4≤0恒成立，符合題意；

當(dāng)m≠0時(shí)，要使得mx2?2mx?4≤0恒成立，則m<0Δ=4m2?4m(?4)≤0，解得?4≤m<0；

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[?4,0].

故答案為：[?4,0].13.【答案】2x?2【解析】解：設(shè)f(x)=lnx，g(x)=12ex2的公切線為l：y=kx+b，

且l：y=kx+b與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)A(x1,y1)，與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)B(x2,y2)，

由f′(x)=1x，得k=1x1，則1x1?x1+b=lnx1，即1+b=lnx1①．

由g′(x)=1ex，得k=1ex2，則1ex22+b=12ex22，即b=?12ex22②．

易得1x1=1ex2，即x1=ex2③，將②③代入①，可得x22?2elnx2=0，

令?(x)=x2?2elnx，則?′(x)=2x?14.【答案】2

6

【解析】解：函數(shù)y=2x?3x?2與兩函數(shù)y=ex，y=lnx圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為f(x)和g(x)的零點(diǎn)，

反比例函數(shù)y=1x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

函數(shù)y=2x?3x?2=2+1x?2的圖象，可以由y=1x的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，

則對稱直線為y=(x?2)+2=x，

所以函數(shù)y=2x?3x?2=2+1x?2的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

又函數(shù)y=ex與y=lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x對稱，

當(dāng)x1>2，x2>2時(shí)，有點(diǎn)(x1,ex1)與點(diǎn)(x2,lnx2)關(guān)于直線y=x對稱，

則有2+1x1?2=ex1=x2，2+1x2?2=lnx2=x1，

所以x1?15.【答案】解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=(an+1?1)?(an?1)=an+1?an，

∴an+1=2an(n≥2)，

∴等比數(shù)列{an}的公比q=2.

當(dāng)n=1時(shí)，由Sn=an+1?1得【解析】(1)根據(jù)an=Sn?Sn?1(n≥2)得等比數(shù)列公比為2，結(jié)合條件計(jì)算a1=2的值，得到{an}的通項(xiàng)公式．16.【答案】解：(1)證明：因?yàn)锳1A⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，

所以A1A⊥AD，A1A⊥AB，又AD⊥AB，

所以AB，AD，AA1兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，

因?yàn)锳B=AA1=2，AD=DC=1，

則D1(0,1,2)，C1(1,1,2)，B1(2,0,2)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

所以C1B1=(1,?1,0)，

因?yàn)镃1N=λC1B1=λ(1,?1,0)，

所以N(λ+1,?λ+1,2)，

所以D1N=(λ+1,?λ,0)，

又CB1=(1,?1,2)，DD1=(0,0,2)，DM=λDD1=λ(0,0,2)，

所以M(0,1,2λ)，CM=(?1,0,2λ)，

設(shè)平面CB1M的法向量為n=(x,y,z)，

所以n?CM=x?y+2z=0n?CB1=?x+2λz=0，

令z=1，則n=(2λ,2λ+2,1)，【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，由已知長度分別求出D1N和平面CB1M的法向量，利用法向量同時(shí)垂直于直線和平面證明即可；

(2)求出B17.【答案】解：(1)設(shè)“有女教師參加活動(dòng)”為事件A，“恰有一名女教師參加活動(dòng)”為事件B，

則P(AB)=C41C21C62=815，P(A)=C41C21+C22X012P281E(X)=0×25+1×815+2×115=23.

(3)設(shè)一名女教師參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)為X1，一名男教師參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)為X2，

則X1的所有可能取值為3，6，X2的所有可能取值為6，9，

P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(【解析】(1)由條件概率的計(jì)算公式即可求解；

(2)參加活動(dòng)的女教師人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，即可寫出X的分布列及期望．

(3)根據(jù)一名女教師和一名男教師參加活動(dòng)獲得分?jǐn)?shù)的期望，即可得Y=15?3X，即可求得E(Y).

本題考查超幾何分布、條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18.【答案】解：(Ⅰ)由題意，tanA=3tanC=3tanπ4=3，

則sinA=31010,tanB=?tan(A+C)=?tanA+tanC1?tanAtanC=?3+11?3×1=2，

則sinB=255，所以b=tanB=2,a=bsinAsinB=2×31010255=322，【解析】本題考查了正弦定理和