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文檔簡介

第11講整式(3個知識點+8個考點+易錯分析)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.了解單項式、多項式、整式的概念

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理(吃透教材)2.理解單項式的系數(shù)和次數(shù)的概念

模塊三核心考點舉一反三3.理解多項式中項、項的系數(shù)、多項式的次數(shù)等概念

模塊四小試牛刀過關(guān)測4.了解整式在解決實際問題中的應(yīng)用

知識點1.單項式

1

單項式的概念:如-2xy2,mn,-1,它們都是數(shù)與字母的積,像這樣的式子叫單項式,單獨的一個數(shù)或

3

一個字母也是單項式.

要點歸納:(1)單項式包括三種類型:①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子;②單獨的一個

數(shù);③單獨的一個字母.

st1

(2)單項式中不能含有加減運算,但可以含有除法運算.如:可以寫成st。但若分母中含有字母,

22

5

如就不是單項式,因為它無法寫成數(shù)字與字母的乘積.

m

單項式的系數(shù):單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù).

要點歸納:(1)確定單項式的系數(shù)時,最好先將單項式寫成數(shù)與字母的乘積的形式,再確定其系數(shù);

(2)圓周率π是常數(shù).單項式中出現(xiàn)π時,應(yīng)看作系數(shù);

(3)當(dāng)一個單項式的系數(shù)是1或-1時,“1”通常省略不寫;(4)單項式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時,通常寫成假

15

分?jǐn)?shù),如:1x2y寫成x2y.

44

單項式的次數(shù):一個單項式中,所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).

要點歸納:單項式的次數(shù)是計算單項式中所有字母的指數(shù)和得到的,計算時要注意以下兩點:

第1頁共13頁.

(1)沒有寫指數(shù)的字母,實際上其指數(shù)是1,計算時不能將其遺漏;

(2)不能將數(shù)字的指數(shù)一同計算.

知識點2.多項式(重點)

1.多項式的概念:幾個單項式的和叫做多項式.

要點歸納:“幾個”是指兩個或兩個以上.

多項式的項:每個單項式叫做多項式的項,不含字母的項叫做常數(shù)項.

要點歸納:(1)多項式的每一項包括它前面的符號.

(2)一個多項式含有幾項,就叫幾項式,如:6x2-2x-7是一個三項式.

多項式的次數(shù):多項式里次數(shù)最高項的次數(shù),叫做這個多項式的次數(shù).

要點歸納:(1)多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和,而是多項式中次數(shù)最高的單項式的次數(shù).(2)一

個多項式中的最高次項有時不止一個,在確定最高次項時,都應(yīng)寫出.

知識點3.整式(重點)

整式

單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.

要點:(1)單項式、多項式、整式這三者之間的關(guān)系如圖所示.

即單項式、多項式必是整式,但反過來就不一定成立.

(2)分母中含有字母的式子一定不是整式.

易錯點1.確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時出錯

單項式的系數(shù)包括前面的符號,且只與數(shù)字因數(shù)有關(guān),而次數(shù)只與字母有關(guān);確定系數(shù)時容易漏掉系數(shù)中的

“_”號和“π”.確定次數(shù)時注意不要把“π”的次數(shù)也計算在內(nèi)

易錯點2.混淆多項式次數(shù)和單項式次數(shù)

不要與單項式的次數(shù)混淆,誤將所有字母的指數(shù)和作為多項式的次數(shù)

考點1:單項式的判斷

1x+14m

【例1】下列代數(shù)式2x,-ab2c,,πr2,,a2+2a,0,中,單項式有()

32xn

A.4個B.5個C.6個D.7個

【變式1-1】(2023秋?赤坎區(qū)校級期末)下列式子是單項式的是()

A.a(chǎn)-1B.a(chǎn)2C.a(chǎn)+bD.a(chǎn)+b=1

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【變式1-2】(2023秋?舟山期末)下列各式不是單項式的是()

b1

A.3B.a(chǎn)C.D.x2y

a2

m+n12R

【變式1-3】在代數(shù)式、2x2y、、-5、a、中,單項式的個數(shù)是()

2xp

A.6B.5C.3D.4

考點2:確定單項式的系數(shù)和次數(shù)

【例2】分別寫出下列單項式的系數(shù)和次數(shù).

5ab3c22πxy2

(1)-ab2;(2);(3).

73

【變式2-1】單項式﹣23a2b3的系數(shù)和次數(shù)分別是()

A.﹣2,8B.﹣2,5C.2,8D.﹣8,5

【變式2-2】(2021?海南)下列整式中,是二次單項式的是()

A.x2+1B.xyC.x2yD.﹣3x

【變式2-3】(2023秋·全國·七年級課堂例題)填表:

3a2b3c4

單項式--3abpr3-22a3b5-x

23

系數(shù)

次數(shù)

考點3:單項式的應(yīng)用

【例3】用單項式表示下列各式,并指出其系數(shù)和次數(shù).

(1)王明同學(xué)買2本練習(xí)冊花了n元,那么買m本練習(xí)冊要花多少元?

(2)正方體的棱長為a,那么它的表面積是多少?體積呢?

xy2

【變式1-1】(2023秋?路北區(qū)期中)已知a表示-5的相反數(shù),b表示-2的立方,c表示-的系數(shù),d

2

表示0.6的倒數(shù).

(1)直接寫出各字母所表示的數(shù);

(2)計算a,b,c,d中所有負(fù)數(shù)的乘積,并判斷結(jié)果是否為正整數(shù).

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【變式1-2】寫出滿足條件的單項式.

(1)寫出所有系數(shù)是2,且只含字母x和y的五次單項式;

(2)系數(shù)是-5,含a,b兩個字母,且a的指數(shù)是2,單項式的次數(shù)是6;

9

(3)系數(shù)是-,次數(shù)是3,含x,y兩個字母,且y的指數(shù)是2.

2

2

【變式1-3】.(2023秋?衡東縣校級期中)已知單項式-xy2m-1與-22x2y2的次數(shù)相同.

3

(1)求m的值;

2

(2)求當(dāng)x=-9,y=-2時單項式-xy2m-1的值.

3

【變式1-4】.(2023秋?蓬江區(qū)校級月考)已知x2y|a|+(b+2)是關(guān)于x、y的五次單項式,求a2-3ab的值.

考點4:單項式、多項式與整式的識別

【例4】指出下列各式中哪些是單項式?哪些是多項式?哪些是整式?

a+b112

x2+y2,-x,,10,6xy+1,,m2n,2x2-x-5,,a7.

3x7x2+x

m+n1x

【變式4-1】.(2023秋·全國·七年級課堂例題)下列式子:,2x3y,,,a,2x-y中,多項式的個數(shù)是

2x3

()

A.1B.2C.3D.4

【變式4-2】.(2023秋·全國·七年級課堂例題)把下列式子分別填在相應(yīng)的大括號內(nèi):

第4頁共13頁.

12n-3pa-bm2n2

-x,a2-,,,-7,9,.

3m35

單項式:{…};

多項式:{…}

整式:{…}.

【變式4-3】.把下列各代數(shù)式的序號填入相應(yīng)集合的括號內(nèi):

11m2+n22

①2a2b+ab2;②a-;③0;④;⑤﹣mn;⑥2x﹣3y=5;⑦2a+6abc+3k

3b35

單項式集合:{};

多項式集合:{};

二項式集合:{}.

考點5:確定多項式的項數(shù)和次數(shù)

【例5】寫出下列各多項式的項數(shù)和次數(shù),并指出是幾次幾項式.

2

(1)x2-3x+5;(2)a+b+c-d;(3)-a2+a2b+2a2b2.

3

【變式5-1】(2023秋?蓮都區(qū)期末)多項式x2y-xy-1的次數(shù)和常數(shù)項分別是()

A.3,1B.3,-1C.5,1D.5,-1

1

【變式5-2】.(2023秋?慶陽期末)多項式x2+3xy2-z-1的一次項系數(shù)是()

2

1

A.3B.1C.-D.-1

2

【變式5-3】.(2023秋?山陽縣期末)對于多項式x2-5x-6,下列說法正確的是()

A.它是三次三項式B.它的常數(shù)項是6

C.它的一次項系數(shù)是-5D.它的二次項系數(shù)是2

【變式5-4】.(2023秋?贛州期末)多項式m3n4-5m3n5+3的項數(shù)和次數(shù)分別為()

A.2,7B.3,8C.2,8D.3,7

考點6:根據(jù)多項式的概念求字母的取值

【例6】已知-5xm+104xm-4xmy2是關(guān)于x、y的六次多項式,求m的值,并寫出該多項式.

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【變式6-1】.(2023秋?武功縣期末)已知關(guān)于x、y的多項式-x2y3-10xm+1y3-xy+9x-3是七次五項式,

n是五次項的系數(shù),求m,n的值.

【變式6-2】.(2023秋?合陽縣期末)已知關(guān)于x、y的多項式xy3-3x4+x2ym+2-5mn是五次四項式(m,

n為有理數(shù)),且單項式5x4-myn-3的次數(shù)與該多項式的次數(shù)相同.求m,n的值.

【變式6-3】.(2023秋?漢陰縣期末)已知關(guān)于m,n的多項式m2n3+mn2-10ma+3n-4b是六次四項式,

常數(shù)項是2.求a,b的值.

【變式6-4】.(2023秋?東豐縣期末)已知多項式x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四項式,單項式6x2ny5-m

的次數(shù)與這個多項式的次數(shù)相同,求m+n的值.

考點7:多項式中不含某項問題

【例7】若關(guān)于x的多項式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次項和一次項,求m、n的值.

1

【變式7-1】.(2023秋?輝縣市期中)對于多項式x|m|-(m-3)x+k2-1

2

(1)若此多項式是關(guān)于x的三次三項式,求m的值.

(2)若此關(guān)于x的多項式不含常數(shù)項,求k的值.

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【變式7-2】若關(guān)于x的多項式x3-5x2-(2m-1)x2+(2-3n)x-1不含二次項和一次項,求m,n的值.

【變式7-3】.(2022秋?虎林市校級期中)(1)已知多項式-3x3ym+1+xy3+(n-1)x2y2-4是六次三項式,

求(m+1)2n-3的值.

(2)關(guān)于x,y的多項式(3a+2)x2+(9a+10b)xy-x+2y+7不含二次項,求3a-5b的值.

【變式7-4】.(2023秋?巴東縣期末)已知二項式-x3y2-2中,含字母的項的系數(shù)為a,多項式的次數(shù)為

b,且a,b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A,B,點C為數(shù)軸上任意一點,對應(yīng)的數(shù)為c.

(1)a=,b=,并在數(shù)軸上標(biāo)出A,B;

(2)當(dāng)點C為線段AB的三等分點時,求c的值;

(3)在(2)的條件下,若點C離點B較近時,點P、Q、M分別從點A、B、C同時向左運動,其速度

分別為每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度.是否存在常數(shù)k,使kQM-3PQ為定值,若存

在,求k的值;若不存在,請說明理由.

考點8:多項式的應(yīng)用

【例8】如圖,某居民小區(qū)有一塊寬為2a米,長為b米的長方形空地,為了美化環(huán)境,準(zhǔn)備在此空地的四

個頂點處各修建一個半徑為a米的扇形花臺,在花臺內(nèi)種花,其余種草.如果建造花臺及種花費用每平方

米為100元,種草費用每平方米為50元.那么美化這塊空地共需多少元?

第7頁共13頁.

【變式8-1】.(2023秋?山陽縣期末)如圖是某居民小區(qū)的一塊寬為2a米,長為b米的長方形空地,為了

美化環(huán)境,準(zhǔn)備在這塊長方形空地的四個頂點處各修建一個半徑為a米的扇形花臺,然后在花臺內(nèi)種花,其

余種草.(單位:m)

(1)請用含a,b的式子表示種草的面積;

(2)當(dāng)a=10,b=35時,求種草的面積.(p取3.14)

【變式8-2】如圖是某居民小區(qū)的一塊長為4a米,寬為b米的長方形空地,為了美化環(huán)境,準(zhǔn)備在這個

長方形的四個頂點處各修一個半徑為a米的四分之一圓形花臺,然后在花壇內(nèi)種花,其余植草.(本題

中的取3.14)

(1)請用含a,b的式子表示種花的面積和種草的面積.

(2)如果a=10,b=20.1,且建造花臺及種花費用每平方米需要資金100元,種草每平方米需要資金50

元,那么美化這塊空地共需資金多少元?

第8頁共13頁.

【變式8-3】.(2023秋?市中區(qū)期中)如圖,某居民小區(qū)有一塊長為a,寬為2b的長方形空地.為了美化

環(huán)境,準(zhǔn)備在這個長方形空地的四個頂點處修建一個半徑為b的扇形花臺,其余部分鋪設(shè)草坪.

(1)草坪(陰影部分)的周長為,面積為.(結(jié)果用含有a,b,p的式子表示)

(2)如果鋪設(shè)草坪的費用為每平方米50元.當(dāng)a=6米,b=2米,p取3時,鋪設(shè)草坪共需多少元?

【變式8-4】(2023秋?武漢期末)A、B為數(shù)軸上的兩個點,點A對應(yīng)的數(shù)記為a,點B對應(yīng)的數(shù)記為b,

且8xyb-10+(a+8)xy-1是關(guān)于x、y的三次二項式.解答下列問題:

(1)a=,b=;

(2)若數(shù)軸上有一點C,且3AC=BC,求點C對應(yīng)的數(shù);

(3)若點M、N分別從O、B出發(fā),同時向左勻速運動,點M的速度為m個單位長度每秒,點N的速度

是3個單位長度每秒,點P、Q分別為線段AM、線段BN的中點.設(shè)運動時間為t秒,在點M,N的運

動過程中,若PQ+MN的長度與t的取值無關(guān),求m的值及PQ+MN的長度.

考點9:整式的規(guī)律探究

【例9】用棋子擺出下列一組“口”字,按照這種方法擺下去,則第n個“口”字需要用棋子()

A.(4n﹣4)枚B.4n枚C.(4n+4)枚D.n2枚

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【變式9-1】.(2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末)觀察下列單項式:-x,2x2,-3x3,4x4,…,根據(jù)

你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,第10個單項式為_____________.

【變式9-2】如圖所示,用同樣規(guī)格的黑白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面,請觀察下列各圖:則第n個圖形

中需要用黑色瓷磚塊.(用含n的代數(shù)式表示)

【變式9-3】(2023?十堰)用火柴棍拼成如圖圖案,其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形,

第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形,…,若按此規(guī)律拼下去,則第n個圖案需要火柴棍的

根數(shù)為.(用含n的式子表示)

【變式9-4】.觀察下列圖形:

它們是按一定規(guī)律排列的.

(1)依照此規(guī)律,第20個圖形共有幾個五角星?

(2)擺成第n個圖案需要幾個五角星?

(3)擺成第2015個圖案需要幾個五角星?

第10頁共13頁.

一.選擇題(共6小題)

51

1.(2024?肇源縣開學(xué))在代數(shù)式x2+5,-1,x2-3x+2,p,,x2+中,整式有()

xx+1

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.(2023秋?法庫縣期末)下列說法正確的是()

A.整式就是多項式B.p是單項式

3x-1

C.x4+2x3是七次二項式D.是單項式

5

3.(2024?東莞市校級一模)單項式4pr2表示球的表面積,其中p表示圓周率,r表示球的半徑.下列說

法中,正確的是()

A.系數(shù)是4,次數(shù)是2B.系數(shù)是4,次數(shù)是3

C.系數(shù)是4p,次數(shù)是3D.系數(shù)是4p,次數(shù)是2

4

4.(2024?涼州區(qū)校級三模)單項式pr3的系數(shù)與次數(shù)分別是()

3

4444

A.,3B.,4C.p,3D.p,4

3333

5.(2023秋?坡頭區(qū)期末)下列說法正確的是()

A.單項式3ab的次數(shù)是1

B.多項式-4a2b+3ab-5的常數(shù)項是5

3pxy3

C.單項式-的系數(shù)是-

22

D.3a-2a2b-1是三次三項式

6.(2023秋?龍華區(qū)期末)多項式-x2+3x-5的二次項系數(shù)是()

A.-x2B.-1C.3D.-5

二.填空題(共8小題)

7.(2023秋?錦州期末)單項式-3ab4的次數(shù)是.

2

8.(2023秋?赤坎區(qū)校級期末)單項式-xy2的系數(shù)是.

3

9.(2023秋?斗門區(qū)期末)請你寫出一個單項式,使它的系數(shù)為5,次數(shù)為3,這個單項式是.

13ab2ab

10.(2023秋?通遼期中)下列式子:x2+2,+4,,,-5x,0,整式的個數(shù)是個.

a7c

1

11.(2023秋?永州期末)單項式-x2y的系數(shù)為a,次數(shù)為b,則ab=.

2

5x2-2

12.(2023秋?崇明區(qū)期末)多項式的常數(shù)項是.

7

第11頁共13頁.

13.(2023秋?臺兒莊區(qū)期末)若多項式(k-1)x2+3x|k+2|+2為三次三項式,則k的值為.

14.(2023秋?荔城區(qū)期末)若關(guān)于x的多項式-2mx2-5x2+x2-2x

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