第11講 整式（3個知識點(diǎn)+8個考點(diǎn)+易錯分析）原卷版

第11講整式（3個知識點(diǎn)+8個考點(diǎn)+易錯分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.了解單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式的概念

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.理解單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的概念

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三3.理解多項(xiàng)式中項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)、多項(xiàng)式的次數(shù)等概念

模塊四小試牛刀過關(guān)測4.了解整式在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用

知識點(diǎn)1.單項(xiàng)式

1

單項(xiàng)式的概念：如-2xy2，mn，-1，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個數(shù)或

3

一個字母也是單項(xiàng)式．

要點(diǎn)歸納：（1）單項(xiàng)式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨(dú)的一個

數(shù)；③單獨(dú)的一個字母．

st1

（2）單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算，但可以含有除法運(yùn)算．如：可以寫成st。但若分母中含有字母，

22

5

如就不是單項(xiàng)式，因?yàn)樗鼰o法寫成數(shù)字與字母的乘積．

m

單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項(xiàng)式的系數(shù)．

要點(diǎn)歸納：（1）確定單項(xiàng)式的系數(shù)時，最好先將單項(xiàng)式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)；

（2）圓周率π是常數(shù)．單項(xiàng)式中出現(xiàn)π時，應(yīng)看作系數(shù)；

（3）當(dāng)一個單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1時，“1”通常省略不寫；（4）單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，通常寫成假

15

分?jǐn)?shù)，如：1x2y寫成x2y．

44

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù)．

要點(diǎn)歸納：單項(xiàng)式的次數(shù)是計算單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和得到的，計算時要注意以下兩點(diǎn)：

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（1）沒有寫指數(shù)的字母，實(shí)際上其指數(shù)是1，計算時不能將其遺漏；

（2）不能將數(shù)字的指數(shù)一同計算．

知識點(diǎn)2.多項(xiàng)式（重點(diǎn)）

1.多項(xiàng)式的概念：幾個單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．

要點(diǎn)歸納：“幾個”是指兩個或兩個以上．

多項(xiàng)式的項(xiàng)：每個單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．

要點(diǎn)歸納：（1）多項(xiàng)式的每一項(xiàng)包括它前面的符號．

（2）一個多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式，如：6x2-2x-7是一個三項(xiàng)式．

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個多項(xiàng)式的次數(shù)．

要點(diǎn)歸納：（1）多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和，而是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次數(shù)．（2）一

個多項(xiàng)式中的最高次項(xiàng)有時不止一個，在確定最高次項(xiàng)時，都應(yīng)寫出．

知識點(diǎn)3.整式（重點(diǎn)）

整式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．

要點(diǎn)：（1）單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式這三者之間的關(guān)系如圖所示．

即單項(xiàng)式、多項(xiàng)式必是整式，但反過來就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

易錯點(diǎn)1.確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)時出錯

單項(xiàng)式的系數(shù)包括前面的符號,且只與數(shù)字因數(shù)有關(guān),而次數(shù)只與字母有關(guān);確定系數(shù)時容易漏掉系數(shù)中的

“_”號和“π”.確定次數(shù)時注意不要把“π”的次數(shù)也計算在內(nèi)

易錯點(diǎn)2.混淆多項(xiàng)式次數(shù)和單項(xiàng)式次數(shù)

不要與單項(xiàng)式的次數(shù)混淆,誤將所有字母的指數(shù)和作為多項(xiàng)式的次數(shù)

考點(diǎn)1：單項(xiàng)式的判斷

1x＋14m

【例1】下列代數(shù)式2x，－ab2c，，πr2，，a2＋2a，0，中，單項(xiàng)式有()

32xn

A．4個B．5個C．6個D．7個

【變式1-1】（2023秋?赤坎區(qū)校級期末）下列式子是單項(xiàng)式的是()

A．a(chǎn)-1B．a(chǎn)2C．a(chǎn)+bD．a(chǎn)+b=1

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【變式1-2】（2023秋?舟山期末）下列各式不是單項(xiàng)式的是()

b1

A．3B．a(chǎn)C．D．x2y

a2

m+n12R

【變式1-3】在代數(shù)式、2x2y、、-5、a、中，單項(xiàng)式的個數(shù)是（）

2xp

A．6B．5C．3D．4

考點(diǎn)2：確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)

【例2】分別寫出下列單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)．

5ab3c22πxy2

(1)－ab2；(2)；(3).

73

【變式2-1】單項(xiàng)式﹣23a2b3的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

A．﹣2，8B．﹣2，5C．2，8D．﹣8，5

【變式2-2】（2021?海南）下列整式中，是二次單項(xiàng)式的是（）

A．x2+1B．xyC．x2yD．﹣3x

【變式2-3】（2023秋·全國·七年級課堂例題）填表：

3a2b3c4

單項(xiàng)式--3abpr3-22a3b5-x

23

系數(shù)

次數(shù)

考點(diǎn)3：單項(xiàng)式的應(yīng)用

【例3】用單項(xiàng)式表示下列各式，并指出其系數(shù)和次數(shù)．

(1)王明同學(xué)買2本練習(xí)冊花了n元，那么買m本練習(xí)冊要花多少元？

(2)正方體的棱長為a，那么它的表面積是多少？體積呢？

xy2

【變式1-1】（2023秋?路北區(qū)期中）已知a表示-5的相反數(shù)，b表示-2的立方，c表示-的系數(shù)，d

2

表示0.6的倒數(shù)．

（1）直接寫出各字母所表示的數(shù)；

（2）計算a，b，c，d中所有負(fù)數(shù)的乘積，并判斷結(jié)果是否為正整數(shù)．

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【變式1-2】寫出滿足條件的單項(xiàng)式．

（1）寫出所有系數(shù)是2，且只含字母x和y的五次單項(xiàng)式；

（2）系數(shù)是-5，含a，b兩個字母，且a的指數(shù)是2，單項(xiàng)式的次數(shù)是6；

9

（3）系數(shù)是-，次數(shù)是3，含x，y兩個字母，且y的指數(shù)是2．

2

2

【變式1-3】．（2023秋?衡東縣校級期中）已知單項(xiàng)式-xy2m-1與-22x2y2的次數(shù)相同．

3

（1）求m的值；

2

（2）求當(dāng)x=-9，y=-2時單項(xiàng)式-xy2m-1的值．

3

【變式1-4】．（2023秋?蓬江區(qū)校級月考）已知x2y|a|+(b+2)是關(guān)于x、y的五次單項(xiàng)式，求a2-3ab的值．

考點(diǎn)4：單項(xiàng)式、多項(xiàng)式與整式的識別

【例4】指出下列各式中哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？哪些是整式？

a＋b112

x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.

3x7x2＋x

m+n1x

【變式4-1】．（2023秋·全國·七年級課堂例題）下列式子：，2x3y，，，a，2x-y中，多項(xiàng)式的個數(shù)是

2x3

（）

A．1B．2C．3D．4

【變式4-2】．（2023秋·全國·七年級課堂例題）把下列式子分別填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：

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12n-3pa-bm2n2

-x,a2-,,,-7,9,．

3m35

單項(xiàng)式：{…}；

多項(xiàng)式：{…}

整式：{…}．

【變式4-3】.把下列各代數(shù)式的序號填入相應(yīng)集合的括號內(nèi)：

11m2+n22

①2a2b+ab2；②a-；③0；④；⑤﹣mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k

3b35

單項(xiàng)式集合：{}；

多項(xiàng)式集合：{}；

二項(xiàng)式集合：{}．

考點(diǎn)5：確定多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)

【例5】寫出下列各多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)，并指出是幾次幾項(xiàng)式．

2

(1)x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；(3)－a2＋a2b＋2a2b2.

3

【變式5-1】（2023秋?蓮都區(qū)期末）多項(xiàng)式x2y-xy-1的次數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是()

A．3，1B．3，-1C．5，1D．5，-1

1

【變式5-2】．（2023秋?慶陽期末）多項(xiàng)式x2+3xy2-z-1的一次項(xiàng)系數(shù)是()

2

1

A．3B．1C．-D．-1

2

【變式5-3】．（2023秋?山陽縣期末）對于多項(xiàng)式x2-5x-6，下列說法正確的是()

A．它是三次三項(xiàng)式B．它的常數(shù)項(xiàng)是6

C．它的一次項(xiàng)系數(shù)是-5D．它的二次項(xiàng)系數(shù)是2

【變式5-4】．（2023秋?贛州期末）多項(xiàng)式m3n4-5m3n5+3的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)分別為()

A．2，7B．3，8C．2，8D．3，7

考點(diǎn)6：根據(jù)多項(xiàng)式的概念求字母的取值

【例6】已知－5xm＋104xm－4xmy2是關(guān)于x、y的六次多項(xiàng)式，求m的值，并寫出該多項(xiàng)式．

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【變式6-1】．（2023秋?武功縣期末）已知關(guān)于x、y的多項(xiàng)式-x2y3-10xm+1y3-xy+9x-3是七次五項(xiàng)式，

n是五次項(xiàng)的系數(shù)，求m，n的值．

【變式6-2】．（2023秋?合陽縣期末）已知關(guān)于x、y的多項(xiàng)式xy3-3x4+x2ym+2-5mn是五次四項(xiàng)式(m，

n為有理數(shù)），且單項(xiàng)式5x4-myn-3的次數(shù)與該多項(xiàng)式的次數(shù)相同．求m，n的值．

【變式6-3】．（2023秋?漢陰縣期末）已知關(guān)于m，n的多項(xiàng)式m2n3+mn2-10ma+3n-4b是六次四項(xiàng)式，

常數(shù)項(xiàng)是2．求a，b的值．

【變式6-4】．（2023秋?東豐縣期末）已知多項(xiàng)式x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四項(xiàng)式，單項(xiàng)式6x2ny5-m

的次數(shù)與這個多項(xiàng)式的次數(shù)相同，求m+n的值．

考點(diǎn)7：多項(xiàng)式中不含某項(xiàng)問題

【例7】若關(guān)于x的多項(xiàng)式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，求m、n的值．

1

【變式7-1】．（2023秋?輝縣市期中）對于多項(xiàng)式x|m|-(m-3)x+k2-1

2

（1）若此多項(xiàng)式是關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，求m的值．

（2）若此關(guān)于x的多項(xiàng)式不含常數(shù)項(xiàng)，求k的值．

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【變式7-2】若關(guān)于x的多項(xiàng)式x3-5x2-(2m-1)x2+(2-3n)x-1不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，求m，n的值．

【變式7-3】．（2022秋?虎林市校級期中）（1）已知多項(xiàng)式-3x3ym+1+xy3+(n-1)x2y2-4是六次三項(xiàng)式，

求(m+1)2n-3的值．

（2）關(guān)于x，y的多項(xiàng)式(3a+2)x2+(9a+10b)xy-x+2y+7不含二次項(xiàng)，求3a-5b的值．

【變式7-4】．（2023秋?巴東縣期末）已知二項(xiàng)式-x3y2-2中，含字母的項(xiàng)的系數(shù)為a，多項(xiàng)式的次數(shù)為

b，且a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)C為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，對應(yīng)的數(shù)為c．

（1）a=，b=，并在數(shù)軸上標(biāo)出A，B；

（2）當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的三等分點(diǎn)時，求c的值；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C離點(diǎn)B較近時，點(diǎn)P、Q、M分別從點(diǎn)A、B、C同時向左運(yùn)動，其速度

分別為每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度．是否存在常數(shù)k，使kQM-3PQ為定值，若存

在，求k的值；若不存在，請說明理由．

考點(diǎn)8：多項(xiàng)式的應(yīng)用

【例8】如圖，某居民小區(qū)有一塊寬為2a米，長為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準(zhǔn)備在此空地的四

個頂點(diǎn)處各修建一個半徑為a米的扇形花臺，在花臺內(nèi)種花，其余種草．如果建造花臺及種花費(fèi)用每平方

米為100元，種草費(fèi)用每平方米為50元．那么美化這塊空地共需多少元？

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【變式8-1】．（2023秋?山陽縣期末）如圖是某居民小區(qū)的一塊寬為2a米，長為b米的長方形空地，為了

美化環(huán)境，準(zhǔn)備在這塊長方形空地的四個頂點(diǎn)處各修建一個半徑為a米的扇形花臺，然后在花臺內(nèi)種花，其

余種草．（單位：m)

（1）請用含a，b的式子表示種草的面積；

（2）當(dāng)a=10，b=35時，求種草的面積．(p取3.14)

【變式8-2】如圖是某居民小區(qū)的一塊長為4a米，寬為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準(zhǔn)備在這個

長方形的四個頂點(diǎn)處各修一個半徑為a米的四分之一圓形花臺，然后在花壇內(nèi)種花，其余植草．（本題

中的取3.14)

（1）請用含a，b的式子表示種花的面積和種草的面積．

（2）如果a=10，b=20.1，且建造花臺及種花費(fèi)用每平方米需要資金100元，種草每平方米需要資金50

元，那么美化這塊空地共需資金多少元？

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【變式8-3】．（2023秋?市中區(qū)期中）如圖，某居民小區(qū)有一塊長為a，寬為2b的長方形空地．為了美化

環(huán)境，準(zhǔn)備在這個長方形空地的四個頂點(diǎn)處修建一個半徑為b的扇形花臺，其余部分鋪設(shè)草坪．

（1）草坪（陰影部分）的周長為，面積為．（結(jié)果用含有a，b，p的式子表示）

（2）如果鋪設(shè)草坪的費(fèi)用為每平方米50元．當(dāng)a=6米，b=2米，p取3時，鋪設(shè)草坪共需多少元？

【變式8-4】（2023秋?武漢期末）A、B為數(shù)軸上的兩個點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)記為a，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)記為b，

且8xyb-10+(a+8)xy-1是關(guān)于x、y的三次二項(xiàng)式．解答下列問題：

（1）a=，b=；

（2）若數(shù)軸上有一點(diǎn)C，且3AC=BC，求點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)；

（3）若點(diǎn)M、N分別從O、B出發(fā)，同時向左勻速運(yùn)動，點(diǎn)M的速度為m個單位長度每秒，點(diǎn)N的速度

是3個單位長度每秒，點(diǎn)P、Q分別為線段AM、線段BN的中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，在點(diǎn)M，N的運(yùn)

動過程中，若PQ+MN的長度與t的取值無關(guān)，求m的值及PQ+MN的長度．

考點(diǎn)9：整式的規(guī)律探究

【例9】用棋子擺出下列一組“口”字，按照這種方法擺下去，則第n個“口”字需要用棋子（）

A．（4n﹣4）枚B．4n枚C．（4n+4）枚D．n2枚

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【變式9-1】．（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列單項(xiàng)式：-x，2x2，-3x3，4x4，…，根據(jù)

你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第10個單項(xiàng)式為_____________．

【變式9-2】如圖所示，用同樣規(guī)格的黑白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察下列各圖：則第n個圖形

中需要用黑色瓷磚塊．（用含n的代數(shù)式表示）

【變式9-3】（2023?十堰）用火柴棍拼成如圖圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，

第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，…，若按此規(guī)律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的

根數(shù)為．（用含n的式子表示）

【變式9-4】.觀察下列圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的．

(1)依照此規(guī)律，第20個圖形共有幾個五角星？

(2)擺成第n個圖案需要幾個五角星？

(3)擺成第2015個圖案需要幾個五角星？

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一．選擇題（共6小題）

51

1．（2024?肇源縣開學(xué)）在代數(shù)式x2+5，-1，x2-3x+2，p，，x2+中，整式有()

xx+1

A．3個B．4個C．5個D．6個

2．（2023秋?法庫縣期末）下列說法正確的是()

A．整式就是多項(xiàng)式B．p是單項(xiàng)式

3x-1

C．x4+2x3是七次二項(xiàng)式D．是單項(xiàng)式

5

3．（2024?東莞市校級一模）單項(xiàng)式4pr2表示球的表面積，其中p表示圓周率，r表示球的半徑．下列說

法中，正確的是()

A．系數(shù)是4，次數(shù)是2B．系數(shù)是4，次數(shù)是3

C．系數(shù)是4p，次數(shù)是3D．系數(shù)是4p，次數(shù)是2

4

4．（2024?涼州區(qū)校級三模）單項(xiàng)式pr3的系數(shù)與次數(shù)分別是()

3

4444

A．，3B．，4C．p，3D．p，4

3333

5．（2023秋?坡頭區(qū)期末）下列說法正確的是()

A．單項(xiàng)式3ab的次數(shù)是1

B．多項(xiàng)式-4a2b+3ab-5的常數(shù)項(xiàng)是5

3pxy3

C．單項(xiàng)式-的系數(shù)是-

22

D．3a-2a2b-1是三次三項(xiàng)式

6．（2023秋?龍華區(qū)期末）多項(xiàng)式-x2+3x-5的二次項(xiàng)系數(shù)是()

A．-x2B．-1C．3D．-5

二．填空題（共8小題）

7．（2023秋?錦州期末）單項(xiàng)式-3ab4的次數(shù)是．

2

8．（2023秋?赤坎區(qū)校級期末）單項(xiàng)式-xy2的系數(shù)是．

3

9．（2023秋?斗門區(qū)期末）請你寫出一個單項(xiàng)式，使它的系數(shù)為5，次數(shù)為3，這個單項(xiàng)式是．

13ab2ab

10．（2023秋?通遼期中）下列式子：x2+2，+4，，，-5x，0，整式的個數(shù)是個．

a7c

1

11．（2023秋?永州期末）單項(xiàng)式-x2y的系數(shù)為a，次數(shù)為b，則ab=．

2

5x2-2

12．（2023秋?崇明區(qū)期末）多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)是．

7

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13．（2023秋?臺兒莊區(qū)期末）若多項(xiàng)式(k-1)x2+3x|k+2|+2為三次三項(xiàng)式，則k的值為．

14．（2023秋?荔城區(qū)期末）若關(guān)于x的多項(xiàng)式-2mx2-5x2+x2-2x