第04講 有理數(shù)的減法（人教版）（解析版）

第04講有理數(shù)的減法

【人教版】

·模塊一有理數(shù)的減法法則

·模塊二有理數(shù)的加減混合運算

·模塊三課后作業(yè)

模塊一有理數(shù)的減法法則

有理數(shù)的減法法則:

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；即a?b=a+(?b).

【考點1有理數(shù)的減法法則】

【例1.1】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）在下列橫線上填上適當?shù)臄?shù)．

（1）(?7)?(?3)=(?7)+=；

（2）(?5)?4=(?5)+=；

（3）0?(?2.5)=0+=．

【答案】3?4(?4)?92.52.5

【分析】（1）減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；

（2）減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；

（3）減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．

【詳解】解：（1）(?7)?(?3)=(?7)+3=?4，

故答案為：3，?4；

（2）(?5)?4=(?5)+(?4)=?9，

故答案為：(?4)，?9；

（3）0?(?2.5)=0+2.5=2.5，

故答案為：2.5，2.5．

【點睛】本題考查有理數(shù)的減法，掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．

【例1.2】（2023·安徽宿州·三模）比?2小4的數(shù)是（）

第1頁共28頁.

A．1B．?1C．?6D．6

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的減法運算，正確的翻譯句子，列出算式進行計算即可．

【詳解】解：比?2小4的數(shù)是?2?4=?6；

故選C．

【例1.3】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）計算：

(1)16?17；

(2)?4?(?14)；

15

(3)??71；

1616

(4)?|?6?14|?(?20)．

【答案】(1)?1

(2)10

(3)8

(4)0

【分析】根據(jù)有理數(shù)加減運算法則求解即可得到答案．

【詳解】（1）解：16?17=16+(?17)=?1；

（2）解：?4?(?14)=?4+14=10；

15151

（3）解：??71=+7=8；

16161616

（4）解：?|?6?14|?(?20)=?20+20=0．

【點睛】本題考查有理數(shù)加減運算，熟練掌握相關運算法則是解決問題的關鍵．

【變式1.1】（2023七年級·吉林延邊·階段練習）若()+(?4)=9，則括號內(nèi)的數(shù)是．

【答案】13

【分析】本題考查有理數(shù)的減法，根據(jù)有理數(shù)的加法的逆運算進行解答即可．

【詳解】解：由題可知，9?(?4)=13．

故答案為：13．

【變式1.2】（2023七年級·河南南陽·期中）下列計算錯誤的是（）

A．?2?(?2)=0B．?3?4?5=?12

C．?7?(?3)=?10D．3?15=?12

第2頁共28頁.

【答案】C

【分析】有理數(shù)的減法：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的減法法則進行運算，再逐一

比對，即可得到答案.

【詳解】解：?2?(?2)=?2+2=0,故A不符合題意；

?3?4?5=?12，故B不符合題意；

?7?(?3)=?7+3=?4,故C符合題意；

3?15=?12，故D不符合題意；

故選:C.

【點睛】本題考查的是有理數(shù)的減法運算，掌握有理數(shù)的減法運算法則是解題的關鍵.

【變式1.3】（2023七年級·全國·課堂例題）列式計算：

(1)一個數(shù)與?0.12的和為?0.36，求這個數(shù)；

(2)差是?7.8，被減數(shù)是0.18，減數(shù)是多少？

(3)一個數(shù)比8的相反數(shù)小3，求這個數(shù)．

【答案】(1)?0.24

(2)7.98

(3)?11

【分析】（1）用?0.36減去?0.12，即可求解；

（2）用0.18減去?7.8，即可求解；

（3）用?8減去3，即可求解．

【詳解】（1）解：(?0.36)?(?0.12)=?0.24．

（2）0.18?(?7.8)=7.98．

（3）(?8)?3=?11．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法運算，熟練掌握有理數(shù)的減法法則是解題的關鍵．

【考點2有理數(shù)減法的應用】

【例2.1】（2023·浙江杭州·二模）珠穆朗瑪峰是世界最高的山峰，某日測得山腳氣溫為19℃，山頂氣溫為

?31℃，則山腳與山頂?shù)臏囟炔顬椋ǎ?/p>

A．12℃B．26℃C．50℃D．69℃

【答案】C

【分析】此題主要考查了有理數(shù)的減法運算的應用，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．直接利用有理數(shù)

第3頁共28頁.

的減法運算法則計算得出答案．

【詳解】解：∵山腳氣溫為19℃，山頂氣溫為?31℃，

∴山腳與山頂?shù)臏囟认嗖顬椋?9?(?31)=19+31=50(°C)．

故選：C．

【例2.2】（2023·浙江舟山·一模）舟山市體育中考，女生立定跳遠的測試中，以1.97m為滿分標準，若小賀

跳出了2.00m，可記作+0.03m，則小鄭跳出了1.90m，應記作（）

A．?0.07mB．+0.07mC．+1.90mD．?1.90m

【答案】A

【分析】本題考查了正負數(shù)的意義、有理數(shù)減法的應用，正確列出運算式子是解題關鍵．根據(jù)題意，列出

運算式子，再計算有理數(shù)的減法即可得答案．

【詳解】解：根據(jù)題意，小鄭跳出了1.90m，應記作1.90?1.97=?0.07m．

故選：A

【例2.3】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）全班學生分成四個組進行游戲，每個組的基本分為100分，答對

一題加50分，答錯一題扣50分，游戲結束時，各組的分數(shù)如表：

第一組第二組第三組第四組

100150?400350

(1)第一名超出第二名多少分？

(2)第一名超出第四名多少分？

【答案】(1)第一名超出第二名200分

(2)第一名超出第四名750分

【分析】（1）根據(jù)分數(shù)表格，得到第一名為第四組，第二名為第二組，作差即可得到答案；

（2）根據(jù)分數(shù)表格，得到第一名為第四組，第四名為第三組，作差即可得到答案．

【詳解】（1）解：∵350>150>100>?400，

∴第一名為第四組，第二名為第二組，

∴350?150=200（分），

答：第一名超出第二名200分；

（2）解：∵350>150>100>?400，

∴第一名為第四組，第四名為第三組，

第4頁共28頁.

∴350?(?400)=350+400=750（分），

答：第一名超出第四名750分．

【點睛】本題考查正負數(shù)的實際應用，有理數(shù)的減法的應用，讀懂題意，準確列式是解決問題的關鍵．

【變式2.1】（2023·陜西西安·期末）西安市2023年元旦這天的最高氣溫是8℃，最低氣溫是?2℃，則這天

的最高氣溫比最低氣溫高（）

A．10℃B．?10℃C．6℃D．?6℃

【答案】A

【分析】本題考查有理數(shù)減法的應用，用最高氣溫減去最低氣溫列式并求解是解答的關鍵．

【詳解】解：這天的最高氣溫比最低氣溫高8?(?2)=10℃，

故選A．

【變式2.2】（2023七年級·甘肅定西·階段練習）近年來，我國科技工作者踐行“科技強國”使命，不斷取得

世界級的科技成果，如由我國研制的我國首臺作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號”，最大下潛深度

10907米，填補了我國水下萬米作業(yè)型無人潛水器的空白；由我國自主研發(fā)的極目一號Ⅲ型浮空艇“大白

鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄．如果把海平面以上

9050米記作“+9050米”，那么海平面以下10907米記作“?10907米”，則兩者相差米．

【答案】19957

【分析】本題考查的是有理數(shù)的減法運算的應用，根據(jù)有理數(shù)減法法則計算即可．

【詳解】解：(+9050)?(?10907)=19957（米），

故答案為：19957．

【變式2.3】（2023七年級江蘇·期末）某《科技名人辭典》記載：斯特拉博(?63～19)，古希臘地理學家、

歷史學家．如果公元前記為“?”，斯特拉博活了歲．

【答案】81

【分析】本題考查有理數(shù)減法的應用，根據(jù)有理數(shù)的減法運算即可，注意沒有公元0年，計算應減去1．

【詳解】19?(?63)?1=81（歲），

∴斯特拉博活了81歲．

故答案為：81．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級·江蘇南通·階段練習）設[?)表示不大于m的最大整數(shù)，如[5.5)=5，

[?3.2)=?4，則[?9.8)?[12)=（）

第5頁共28頁.

A．?21B．?22C．?23D．?24

【答案】B

【分析】本題考查新定義運算，有理數(shù)的減法運算，根據(jù)[?)的定義求出[?9.8)和[12)，再計算減法即可．

【詳解】解：由題意知[?9.8)=?10，[12)=12，

∴[?9.8)?[12)=?10?12=?22，

故選B．

【題型2】（2023七年級江蘇·期末）某教育機構七年級兩個競賽班，這兩個班共有87名學生，其中有58

名學生在數(shù)學競賽中獲過獎，有63名學生在英語競賽中獲過獎，有49名學生在數(shù)學競賽和英語競賽中都獲

過獎，那么在數(shù)學競賽和英語競賽中都沒有獲獎的學生人數(shù)有名．

【答案】15

【分析】本題考查了有理數(shù)的減法運算在實際中的應用，計算87?63?(58?49)即可求解．

【詳解】解：由題意得：

在數(shù)學競賽和英語競賽中都沒有獲獎的學生人數(shù)有：87?63?(58?49)=15(名)，

故答案為：15

【題型3】（2023七年級·廣東深圳·期末）某人乘電梯從地下5層升至地上8層，電梯一共升了層．

【答案】12

【分析】本題考查有理數(shù)減法運算的實際應用，地上8層記作+8，地下5層記作?5，可以看作從?5層上

升到+8層，但因為沒有0層，所以減去1，由此可解．

【詳解】解：8?(?5)?1=8+5?1=12（層），

即電梯一共升了12層，

故答案為：12．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級·黑龍江哈爾濱·開學考試）某地今年1月1日至4日每天的最高氣溫與最低氣溫如下

表：其中溫差最大的是（）

日期1月1日1月2日1月3日1月4日

最高氣溫5℃4℃0℃4℃

最低氣溫0℃2℃?4℃?3℃

A．1月1日B．1月2日C．1月3日D．1月4日

第6頁共28頁.

【答案】D

【分析】首先要弄清溫差的含義是最高氣溫與最低氣溫的差，那么這個實際問題就可以轉化為減法運算，

再比較差的大小即可．

【詳解】解：1月1日：5?0=5(℃)；

1月2日：4?2=2(℃)；

1月3日：0?(?4)=4(℃)；

1月4日：4?(?3)=7(℃)；

故選：D．

【點睛】此題考查了有理數(shù)的減法，解題的關鍵在于掌握運算法則．

【題型2】（2023七年級·湖北黃岡·階段練習）數(shù)軸上有?、?、?三點，?點表示的數(shù)是?1，?點表示的數(shù)

是2，點?與點?的距離為1，則??=

【答案】2或4

【分析】分情況討論點?在?的左側和右側兩種情況．

【詳解】解：①當?在?的左側時，

?代表的數(shù)為1，

此時??=1?(?1)=2．

②當?在?的右側時，

?代表的數(shù)是3，

此時??=3?(?1)=4，

故答案為：2或4．

【點睛】本題主要考查數(shù)軸上點與點之間距離的計算，解題關鍵在于要分情況討論點的情況．

【題型3】（2023七年級·江西南昌·開學考試）1993年，一個老人說：“今年我的生日已過，40多年前的今

天，我還是20多歲的青年，那時我的年齡剛好等于那年年份的四個數(shù)字之和．”老人2019年是多大年齡？

【答案】93歲

【分析】根據(jù)“40多年前的今天，”1993年的40多年前，應是1993?49=1944年和1993?41=1952年之

間．由“那年20多歲，他的年齡剛好等于那年年份的四個數(shù)字之和”得到：應在1947～1949年之間．只有

1947、1948、1949每個年份的四個數(shù)字之和是20多．于是1947?21=1926，1948?22=1926，

1949?23=1926．所以老人在1926年出生．然后進一步解答即可．解答本題關鍵是確定這位老人的年齡

范圍．

第7頁共28頁.

【詳解】解：1993年的40多年前，應是1993?49=1944年和1993?41=1952年之間．

∵“那年20多歲，他的年齡剛好等于那年年份的四個數(shù)字之和”

∴應在1947～1949年之間．

則只有1947、1948、1949每個年份的四個數(shù)字之和是20多．

∴1947?21=1926，1948?22=1926，1949?23=1926．

所以老人在1926年出生．

2019?1926=93（歲）．

模塊二有理數(shù)的加減混合運算

【考點1加減法統(tǒng)一成加法】

【例1.1】（2023七年級·全國·課堂例題）把(?2)?(+3)?(?5)+(?4)轉化成幾個有理數(shù)相加的形式，正確

的為（）

A．(?2)+(+3)+(?5)+(?4)B．(?2)+(?3)+(+5)+(?4)

C．(+2)+(+3)+(+5)+(+4)D．(?2)+(+3)+(?5)+(+4)

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則即可轉化成幾個有理數(shù)相加的形式

【詳解】解：(?2)?(+3)?(?5)+(?4)

=(?2)+(?3)+(+5)+(?4)．

故選：B．

【點睛】本題考查了有理數(shù)加、減法運算法則，掌握減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)是關鍵．

【例1.2】（2023七年級·江蘇蘇州·期中）將(+2)?5+(?3)寫成省略加號和括號的形式是（）

A．2?5?3B．?2?5?3C．?2?5+3D．?2+5+3

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉化成加法，并寫成省略括

號的和的形式是解題的關鍵．

【詳解】解：把(+2)?5+(?3)寫成省略括號的和的形式為2?5?3．

故選：A．

【例1.3】（2023七年級·全國·課堂例題）算式?8?3+1?7按“和”的意義讀作；按“運算”

的意義讀作．

第8頁共28頁.

【答案】負8、負3、正1、負7的和負8減3加1減7

【分析】將算式添加括號得(?8)+(-3)+(+1)+(?7)，即可解答；再根據(jù)有理數(shù)的算式讀法即可解答．

【詳解】解：?8?3+1?7=(?8)+(-3)+(+1)+(?7)，

∴看成幾個數(shù)的和可以讀作：負8、負3、正1、負7的和，包含減法運算可以讀作：負8減3加1減7，

故答案為：負8、負3、正1、負7的和，負8減3加1減7．

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算的讀法，正確理解有理數(shù)加法和減法的運算法則以及實際

意義是解題的關鍵．

【變式1.1】（2023七年級·全國·課前預習）（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）轉化為加法：

這個算式我們可以看作是、、、這四個數(shù)的和．

為書寫簡單，省略算式中的括號和加號寫為．

我們可以讀作負的和，或讀作

【答案】（-20）+（+3）+（+5）+（-7）-20+3+5-7-20+3+5-720、

正3、正5、負7負20加3加5減7

【解析】（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）轉化為加法：（-20）+（+3）+（+5）+（-7）,這個算式我

們可以看作是-20、+3、+5、-7這四個數(shù)的和．為書寫簡單，省略算式中的括號和加號寫為-20+3+5-7,我們

可以讀作負20、正3、正5、負7;或讀作負20加3加5減7.

【變式1.2】（2023七年級·廣西南寧·期中）不改變原式的值，省略算式中的括號和加號后，可以寫成?7+4?5

的是（）

A．(?7)?(+4)?(?5)B．?(+7)?(?4)?(+5)

C．?(+7)+(+4)?(?5)D．(?7)?(+4)+(?5)

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算．根據(jù)有理數(shù)加減法法則計算即可．

【詳解】解：A、(?7)?(+4)?(?5)=?7?4+5，本選項不符合題意；

B、?(+7)?(?4)?(+5)=?7+4?5，本選項符合題意；

C、?(+7)+(+4)?(?5)=?7+4+5，本選項不符合題意；

D、(?7)?(+4)+(?5)=?7?4?5，本選項不符合題意；

故選：B．

【變式1.3】（2023七年級·山東泰安·期中）把算式16?(?2)+(?4)?(?6)統(tǒng)一為加法算式：．

【答案】16+2+(?4)+6

第9頁共28頁.

【分析】根據(jù)規(guī)則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，處理解答．

【詳解】解：16?(?2)+(?4)?(?6)=16+2+(?4)+6；

故答案為：16+2+(?4)+6．

【點睛】本題考查有理數(shù)的減法法則，掌握法則是解題的關鍵．

【考點2有理數(shù)的加減混合運算】

【例2.1】（2023七年級·全國·課堂例題）下列各式運用運算律變形錯誤的是（）

A．1+(?0.25)+(?0.75)=1+[(?0.25)+(?0.75)]

B．1?2+3?4+5?6=(1?2)+(3?4)+(5?6)

3112

C．??+=3+1+?1+2

46234263

D．7?8?3+6+2=(7?3)+(?8)+(6+2)

【答案】C

【分析】利用有理數(shù)加法的結合律和交換律一一計算即可判斷．

【詳解】解：A、1+(?0.25)+(?0.75)=1+[(?0.25)+(?0.75)]，變形正確；

B、1?2+3?4+5?6=(1?2)+(3?4)+(5?6)，變形正確；

31123112

C、??+=(?)+(?+)，故原變形錯誤；

46234263

D、7?8?3+6+2=(7?3)+[(?8)+(6+2)]，變形正確．

故選：C．

【點睛】本題考查了有理數(shù)加法的結合律和交換律，解題的關鍵是掌握有理數(shù)加法的結合律和交換律并靈

活運用，屬于中考?？碱}型．

【例2.2】（2023七年級·廣東梅州·期中）下列算式與?3+(?2)?(+1)結果相同的是（）

A．?3+2+1B．?3?2+1C．?3?2?1D．?3+2?1

【答案】C

【分析】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運算，利用化簡多重符號的方法化簡即可．

【詳解】解：?3+(?2)?(+1)=?3?2?1．

故選：C．

【例2.3】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）計算下列各式：

26

(1)?3?(?6)+11?+53

777

(2)?3??1??2+?11

7575

第10頁共28頁.

(3)?0.5+(?15)?(?17)?|?12|

(4)?81??(+6.5)?(?3.3)?61

25

1

【答案】9

(1)7

1

?1

(2)7

(3)?10.5

(4)0.9

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減計算，根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可．

26

【詳解】（1）解：?3?(?6)+11?+53

777

263

=?3+11?5+6

777

1

=3+6

7

1

=9；

7

（2）解：?3??1??2+?11

7575

3211

=?+??+1

7755

1

=??1

7

1

=?1；

7

（3）解：?0.5+(?15)?(?17)?|?12|

=?0.5?15+17?12

=?10.5；

（4）解：?81??(+6.5)?(?3.3)?61

25

1

=?8?(?6.5+3.3?6.2)

2

1

=?8?(?9.4)

2

1

=?8+9.4

2

=0.9．

第11頁共28頁.

【變式2.1】（2023七年級·河北石家莊·階段練習）計算下列各式，結果最小的是（）

A．(?2)+3?(?1)+8B．(?2)?3+(?1)+8

C．(?2)+3?(?1)?8D．(?2)?3+(?1)?8

【答案】D

【分析】由有理數(shù)的加減運算，分別對每個選項進行計算，然后判斷，即可得到答案．

【詳解】解：A.(?2)+3?(?1)+8=10；

B.(?2)?3+(?1)+8=2；

C.(?2)+3?(?1)?8=?6；

D.(?2)?3+(?1)?8=?14；

∵?14<?6<2<10；

故選：D

【點睛】本題考查了有理數(shù)的比較大小，有理數(shù)的加減混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則，正確的進

行計算．

【變式2.2】（2023七年級·貴州遵義·階段練習）計算?1+2?3+4?5+6+…?2021+2022?2023的值等

于（）

A．－1012B．－1011C．1012D．1013

【答案】A

【分析】從第二個數(shù)開始，相鄰兩個數(shù)的和為?1，再確定?1的個數(shù)，最后求解．

【詳解】解：?1+2?3+4?5+6+…?2021+2022?2023

=?1+(2?3)+(4?5)+(6?7)+…+(2022?2023)

=?1+(?1)×1011

=?1+(?1011)

=?1012，

故選：A．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．

【變式2.3】（2023七年級·江蘇蘇州·階段練習）簡便計算：

(1)?2.8+(?3.6)+(+1.8)?(?3.6)；

(2)(?81)+(+75)?(?25)?(+19)；

(3)?32?(+15.5)++182??51；

772

第12頁共28頁.

(4)1.5??41+3.75?+81?(?6)．

42

【答案】(1)?1

(2)0

(3)5

(4)7

【分析】（1）先去括號，再根據(jù)有理數(shù)的簡便運算，即可求解；

（2）先去括號，再正數(shù)與正數(shù)相加，負數(shù)與負數(shù)相加，即可求解；

（3）把小數(shù)化成分數(shù)，先去括號，再同分母分數(shù)想加減，即可求解；

（4）把小數(shù)化成分數(shù)，先去括號，再同分母分數(shù)想加減，即可求解．

【詳解】（1）解：?2.8+(?3.6)+(+1.8)?(?3.6)

=?2.8?3.6+1.8+3.6

=(?2.8+1.8)?(3.6?3.6)

=?1?0

=?1．

（2）解：(?81)+(+75)?(?25)?(+19)

=?81+75+25?19

=(?81?19)+(75+25)

=?100+100

=0．

（3）解：?32?(+15.5)++182??51

772

221

=?3?15.5+18+5

772

2211

=?3+18?15?5

7722

=15?10

=5．

（4）解：1.5??41+3.75?+81?(?6)

42

11

=1.5+4+3.75?8+6

42

第13頁共28頁.

1113

=1?8+4+3+6

2244

=?7+8+6

=7．

【點睛】本題考查了去括號，有理數(shù)的加減法，解題關鍵是熟練掌握去括號的方法及有理數(shù)加減法法則．

【考點3有理數(shù)加減混合運算的應用】

【例3.1】（2023七年級·貴州黔西·階段練習）某種零件，標明要求是Φ：10±0.02mm（Φ表示直徑）．經(jīng)

檢查，一個零件的直徑是9.9mm，該零件（填“合格”或“不合格”）．

【答案】不合格

【分析】本題考查有理數(shù)加減法的實際應用，先求出合格區(qū)間，再進行判斷即可．

【詳解】解：∵10+0.02=10.02,10?0.02=9.98，

∴合格零件的直徑范圍為9.98mm～10.08mm，

∵一個零件的直徑是9.9mm，

∴該零件不合格；

故答案為：不合格．

【例3.2】（2023七年級·四川達州·期末）小明近期幾次數(shù)學測試的成績?nèi)缦拢旱谝淮?5分，第二次比第一

次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分，則小明第四次測試的成績是（）

A．85分B．93分C．81分D．91分

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減的應用，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關鍵．

根據(jù)題意列出算式，即可得出答案．

【詳解】85+8?12+10=91(分)，

即小明第四次測驗的成績是91分，

故選：D．

【例3.3】（2023七年級·山東青島·期中）如圖1是流花河的水文資料（單位：米），取河流的警戒水位作

為0點，下表是小明記錄的今年雨季流花河一周內(nèi)水位變化情況（上周末的水位達到警戒水位，正號表示

水位比前一天上升，負號表示水位比前一天下降）．

星期一二三四五六日

水位變化（單位：米）+0.2+0.8?0.4+0.1+0.3?0.4?0.1

第14頁共28頁.

與上周末相比，本周末河流水位是上升了還是下降了？變化了多少？本周末河流水位是多少米？與水文資

料中最高水位的距離是多少米？

【答案】本周末河流水位是上升了，上升了0.5米，本周末河流水位是33.9米，與水文資料中最高水位的距

離是1.4米

【分析】本題考查了正負數(shù)的實際應用，以及有理數(shù)的運算在實際問題中的應用．注意計算的準確性．

【詳解】解：0.2+0.8?0.4+0.1+0.3?0.4?0.1=0.5（米）；

33.4+0.5=33.9（米）；

35.3?33.9=1.4（米）；

即本周末河流水位是上升了，上升了0.5米，本周末河流水位是33.9米，與水文資料中最高水位的距離是1.4

米．

【變式3.1】（2023七年級·廣東深圳·開學考試）三（1）班有30人，訂閱《少兒書畫》的有20人，訂閱

《少年博覽》的有25人，每人至少訂閱一種刊物，兩種刊物都訂閱的有（）人

A．15B．25C．35D．45

【答案】A

【分析】將訂閱《少兒書畫》的人數(shù)與訂閱《少年博覽》的人數(shù)相加再減去總人數(shù)即可求解．

【詳解】解：(20+25)?30

=45?30

=15（人），

答：兩種刊物都訂閱的有15人，

故選A．

【點睛】本題考查了有理數(shù)加減混合運算的應用，理清題意列出算式是解題的關鍵．

【變式3.2】（2023七年級·江蘇南京·階段練習）小明從A地向東走10米，然后折回向西走了13米，又折

回向東走了6米，則現(xiàn)在小明距離A地米．

第15頁共28頁.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意列式求解即可．

【詳解】由題意可得，10?13+6=3

∴現(xiàn)在小明距離A地3米．

故答案為：3．

【點睛】此題考查了有理數(shù)加減法的實際應用，解題的關鍵是根據(jù)題意正確列出算式求解．

【變式3.3】（2023七年級·陜西商洛·期中）一個病人每天需要測量一次血壓，其中一位病人星期一至星期

五收縮壓的變化情況記錄如下：上升30個單位，下降20個單位，上升15個單位，上升5個單位，下降20

個單位．這位病人上星期日的收縮壓是160個單位，這位病人星期五的收縮壓是多少個單位？

【答案】170個單位

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法和減法，解題的關鍵是：上升用加法，下降用減法，用上星期日的收縮

壓逐步計算即可．

【詳解】解：由題意可得：

160+30?20+15+5?20=170，

∴這位病人星期五的收縮壓是170個單位．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）規(guī)定圖形表示運算???+?，圖形表示運算

?+?????，則+=．（直接寫出答案）

【答案】0

【分析】本題考查了有理數(shù)運算，解題關鍵是根據(jù)題意列出算式，準確進行計算即可．

【詳解】

解：規(guī)定圖形表示運算???+?，圖形表示運算?+?????，

所以，+=1?2+3+4+6?5?7=0，

故答案為：0．

【題型2】（2023·湖南長沙·一模）某數(shù)學老師在課外活動中做了一個有趣的游戲：黑板上寫了1到10這

第16頁共28頁.

10個數(shù)，每次任意擦去兩個數(shù)，再寫上一個新數(shù)（這兩個數(shù)的和減去一），若干次后，黑板上只剩下一個

數(shù)，這個數(shù)是．

【答案】46

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，操作一次，黑板上的數(shù)減少1個，數(shù)字總和減少1．經(jīng)過10?1=9次操

作，剩下的一個數(shù)是(1+2+…+10)?9，據(jù)此解答即可．

【詳解】解：10?1=9（次）

(1+2+…+10)?9

=55?9

=46

答：這個數(shù)是46，

故答案為：46．

【題型3】（2023七年級·浙江杭州·階段練習）小蟲從某點O出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路

程記為正，向左爬行的路程記為負，爬過的路程依次為（單位：cm）：+5，?3，+10，?8，?6，+12，

?10．問：

(1)請說明小蟲最后的具體位置？

(2)小蟲離開出發(fā)點O最遠是多少厘米？

(3)在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵三粒芝麻，則小蟲共可得到多少粒芝麻？

【答案】(1)點O

(2)12厘米

(3)162粒芝麻

【分析】本題主要考查了正負數(shù)的意義，熟練掌握正負數(shù)是解題的關鍵．

（1）把爬行記錄相加，然后根據(jù)正負數(shù)的意義解答；

（2）分別求出各記錄與出發(fā)點的距離，然后判斷即可；

（3）求出所有爬行記錄的絕對值的和，解題即可．

【詳解】（1）解：5?3+10?8?6+12?10=0，

小蟲最后的具體位置在點O；

（2）解：根據(jù)記錄，小蟲離開出發(fā)點?的距離分別為5、2、12、4、2、10、0，

故小蟲離開出發(fā)點O最遠是12厘米；

第17頁共28頁.

（3）解：爬行距離=5+3+10+8+6+12+10=54cm，

54×3=162粒芝麻．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）符號“H”表示一種運算，它對正整數(shù)的運算結果如下：

?(1)=?2,?(2)=3,?(3)=?4,?(4)=5，…，求?(7)+?(8)+?(9)+?+?(99)的結果．

【答案】?(7)+?(8)+?(9)+?+?(99)=?54．

【分析】根據(jù)符號“H”表示一種運算，對正奇數(shù)結果都是負的，數(shù)的絕對值比奇數(shù)大1；對偶數(shù)符號不變結

果比偶數(shù)大1，得到新定義后的有理數(shù)，利用結合律進行連續(xù)兩數(shù)相加，再計算結果即可．

【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：

H(7)+H(8)+H(9)+?+H(99)

=?8+9+(?10)+11+(?12)+?+(?98)+99+(?100)

=(?8+9)+(?10+11)+(?12+13)+?+(?98+99)+(?100)

=1+1+1+?+1+(?100)

=46+(?100)．

=?54．

【點睛】本題考查有理數(shù)的新定義，掌握有理數(shù)的新定義實質，利用定義轉化為有理數(shù)加減混合運算，適

當利用運算律巧算是解題關鍵．

【題型2】（2023七年級·山東青島·期末）小明設計了一個“幻圓”游戲，將?2，?4，?6，?8，11，13，

15，17分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圓圈上的4個數(shù)之和都相等，則圖中?+?的值

為．

【答案】7或?14

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，設小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，先求出這8個數(shù)的和，然后即可

求出橫行、豎列以及內(nèi)外兩圓圈上的4個數(shù)之和，從而求出a、c的值，即可得出?+?的值，進而分別分析

求解即可．

第18頁共28頁.

【詳解】解：設小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，

∵?2?4?6?8+11+13+15+17=36，

又∵橫行、豎列以及內(nèi)外兩圓圈上的4個數(shù)之和都相等，

∴這個數(shù)和為36÷2=18，

∴?=18?(11+17?2)=?8，

?=18?(?8?4+17)=13，

?+?=18?(?4+13)=9，

當?=?6時，?=9?(?6)=15，

當?=15時，?=9?15=?6，

∴?+?=?8?6=?14或?+?=?8+15=7，

故答案為：7或?14．

【題型3】（2023七年級·重慶大足·期末）隨著手機的普及，直播帶貨的興起，許多人抓住這種機會，做起

了“微商”，很多農(nóng)產(chǎn)品改變原來的銷售模式，實行網(wǎng)上銷售，某果農(nóng)把自家果園的凍橙放到網(wǎng)上，他原

計劃每天賣200斤凍橙，但由于種種原因，實際每天的銷售量相比有出入，下表是某周的銷售情況（超

額記為正，不足記為負．單位：斤）：

星期一二三四五六日

計劃量的差額+4?3?5+14?8+21?6

(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售________斤；

(2)求本周實際銷售總量與計劃總量相比，具體增加或減少了多少斤？

【答案】(1)29

(2)具體增加了17斤

【分析】本題考查正數(shù)和負數(shù)及有理數(shù)運算的實際應用，

（1）根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的實際意義列式計算即可；

（2）根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的實際意義列式計算即可．

結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．

【詳解】（1）解：21?(?8)=21+8=29（斤)，

即銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售29斤，

第19頁共28頁.

故答案為：29；

（2）4?3?5+14?8+21?6=17（斤)，

即本周實際銷售總量與計劃總量相比，具體增加了17斤．

模塊三課后作業(yè)

1．（2023·天津武清·三模）計算(?6)?(?2)的結果等于（）

A．?4B．4C．?8D．8

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)的減法，原式利用減法法則變形，計算即可，掌握減法法則是解題的關鍵．

【詳解】解：(?6)?(?2)

=?6+2

=?4，

故選：A．

2．（2023·遼寧葫蘆島·二模）一包零食的包裝袋上標著“70±2克”，則下列四個包裝中質量合格的是（）

A．67克B．69克C．73克D．74克

【答案】B

【分析】本題考查的是有理數(shù)的加減運算，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．

根據(jù)有理數(shù)的加減運算，求解即可．

【詳解】解：∵一包零食的質量標識為“70±2克”，

而70?2=68(克)，70+2=72(克)，

∴一包零食的質量合格范圍為：68~72克，

∴69克在其合規(guī)范圍內(nèi)，

故選：B．

3．（2023七年級·新疆烏魯木齊·階段練習）將式子7?(?3)+(?5)?(+2)省略括號和加號后變形正確的是

（）

A．7+3?5?2B．7?3?5?2C．7+3+5?2D．7+3?5+2

【答案】A

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減計算，根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可．

【詳解】解：將式子7?(?3)+(?5)?(+2)省略括號和加號后變形正確的是7+3?5?2，

故選：A．

第20頁共28頁.

67

．（七年級河南駐馬店階段練習）在里填上一個數(shù)，使式子?+□能用運算律進行簡便計算，

42023··“□”“138”

則這個數(shù)可能是（）

7357

A．B．C．D．

13743

【答案】A

【分析】本題考查同學們對加法運算定律的認識以及了解.我們通過題干給出的信息，可以知道題目要求我

們運用加法的交換律和結合律，即?+?+?=(?+?)+?，我們知道分數(shù)相加減，一般把分母相同的放在一

起，因此選項分母與題干中6的分母相同，這樣這道題目就解答出來了

A13.

7

【詳解】解：當□里的數(shù)為時，可用交換律和結合律；

“”13

677713771

即?+=6+7?=?=1?=；

138131313813888

故選：A

5．（2023·山東臨沂·一模）小青雙休日想幫媽媽做下面的事情：用洗衣機洗衣服要用15分鐘；掃地要用5

分鐘；擦家具要用11分鐘；晾衣服要用3分鐘．她經(jīng)過合理安排，做完這些事至少要花（）分鐘．

A．15B．18C．19D．20

【答案】C

【分析】本題主要考查了有理數(shù)加減混合計算的實際應用，由于洗衣服和晾衣服是必須要花費時間的，因

此要使時間最少，則在洗衣服期間可以掃地和搬家具，據(jù)此可得答案．

【詳解】解：15+3+(11+5?15)=19分鐘，

∴她經(jīng)過合理安排，做完這些事至少要花19分鐘，

故選；C．

6．（2023·陜西西安·二模）如圖，在數(shù)軸上點?表示的數(shù)是2，點?被墨水遮住了，已知??=4，則點?表示

的數(shù)為．

【答案】?2

【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，有理數(shù)的減法；由數(shù)軸可知，點?在點?的

左側，根據(jù)題意并結合兩點間的距離公式計算即可．

【詳解】解：由數(shù)軸可知，點?在點?的左側，

第21頁共28頁.

∵點?表示的數(shù)是2，??=4，

∴點?表示的數(shù)為：2?4=?2，

故答案為：?2．

7．（2023七年級·河南南陽·期中）在高速公路上開車時，父親注意到汽車的里程表顯示15951千米，這種

向前和向后讀是一樣的數(shù)稱為回文數(shù)．一小時后，里程表顯示為下一個稍大一點的回文數(shù)，在這期間汽車

行駛千米．

【答案】110

【分析】本題考查了有理數(shù)的減法．由題意可得：下一個稍大一點的回文數(shù)為16061，即可求解．

【詳解】解：由題意可得：下一個稍大一點的回文數(shù)為16061，

∴汽車行駛的路程=16061?15951=110（千米），

故答案為：110．

8．（2023七年級·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·階段練習）計算(?1)+2+(?3)+4+(?5)+6+

?+(?97)+98+(?99)的結果為．

【答案】?50

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算．先利用加法的結合律得

?1+2?3+4?5+6?…?99+100=(?1+2)+(?3+4)+(?5+6)?…+(?99+100)，共100個數(shù)，所

以分成了50組，每組得和為1，即可得到答案．

【詳解】解：(?1)+2+(?3)+4+(?5)+6+…+(?99)+100

=?1+2?3+4?5+6?…?99+100

=(?1+2)+(?3+4)+(?5+6)?…+(?99+100)

=1+1+…+1

=50．

50?100=?50，

故答案為：?50．

9．（2023七年級·福建三明·階段練習）錯用運算律，可能會導致計算的結果出錯

例如有同學計算5?3.2+0.2時，得到的結果為1.6，這位同學的計算過程如下：

解：5?3.2+0.2①

=5?(3.2+0.2)②

=5?(3.4)③

第22頁共28頁.

=1.6④

以上計算過程中，開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應的序號是.

【答案】②

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運算和添括號法則可作出判斷．

【詳解】解：5?3.2+0.2

=5?(3.2?0.2)

=5?3

=2，

第②步括號內(nèi)沒變符號導致錯誤，即開始出現(xiàn)錯誤的那一步對應的序號是②，

故答案為：②．

【點睛】本題考查有理數(shù)的加減，添括號法則，解題的關鍵是掌握添括號法則：所添括號前面是“+”號，

括到括號里的各項都不改變正負號；所添括號前面是“?”號，括到括號里的各項都改變正負號，添括號和去

括號的過程正好相反，添括號是否正確，可以用去括號檢驗一下．

10．（2023七年級·湖南衡陽·開學考試）對120種食物是否含有維生素甲、乙、丙進行調(diào)查，結果是含甲的

62種，含乙的90種，含丙的68種；含甲、乙的48種，含甲、丙的36種，含乙、丙的50種；含甲、乙、丙的

25種．僅含維生素甲的有種，不含甲、乙、丙三種維生素的有種．

【答案】39

【分析】本題主要考查有理數(shù)加減混合運算的應用，解題關鍵是讀懂題意，找出數(shù)量關系，根據(jù)容斥原理

列式計算即可．

根據(jù)題意和容斥原理，知含維生素甲的食物的種數(shù)=含維生素甲的食物種數(shù)-含維生素甲、乙的食物種數(shù)-含

維生素甲、丙的食物種數(shù)+含維生素甲、乙、丙的食物種數(shù)；再求出含維生素甲或乙或丙的食物種數(shù)，即可

求出不含維生素甲、乙、丙的食物種數(shù)．

【詳解】解：僅含維生素甲的有62?48?36+25=3(種)，

不含甲、乙、丙三種維生素的有120?(62+90+68?48?36?50+25)=9(種)．

故答案為：3，9．

5

11．（2023七年級·上海閔行·期末）計算：3?23?17

12812

5

【答案】2

8

【分析】此題考查了有理數(shù)的減法運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．原式利用減法法則變形后，

第23頁共28頁.

相加即可得到結果．

537

【詳解】原式=3?2+1

12812

573

=3+1?2

12128

3

=5?2

8

5

=2．

8

12．（2023七年級·山東棗莊·階段練習）計算（能使用簡便方法的使用簡便方法）：

(1)?20?(?15)+(?12)?(+5)；

(2)?0.5??31+3.75?+81；

42

12

(3)10?+?51+?35?；

3663

211

(4)?21+3??2?．

3434

【答案】(1)?22

(2)?2

(3)0

(4)?18

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則計算即可得到答案；

（2）先將小數(shù)化為分數(shù)，再將式子變形為?1?+81+??31+33，計算即可得到答案；

2244

（3）將式子變形為10+?51+?35?1+2，進行計算即可得到答案；

6633

（4）將式子變形為?212??2+31?1，進行計算即可得到答案．

3344

【詳解】（1）解：?20?(?15)+(?12)?(+5)

=?20+15?12?5

=?22；

（2）解：?0.5??31+3.75?+81

42

1131

=???3+3?+8

2442

1113

=??+8+??3+3

2244

第24頁共28頁.

=?9+7

=?2；

12

（3）解：10?+?51+?35?

3663

1512

=10+?5+?3?+

6633

=10?9?1

=0；

211

（4）解：?21+3??2?

3434

2211

=?21??+3?

3344

=?21+3

=?18．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．

13．（2023七年級·重慶渝北·階段練習）列式計算：

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