第15講 整式的規(guī)律探究（人教版）（解析版）

第15講整式的規(guī)律探究

【人教版】

·模塊一數(shù)列型的規(guī)律探究

·模塊二數(shù)表中的規(guī)律探究

·模塊三圖形中的規(guī)律探究

·模塊四恒等式中的規(guī)律探究

·模塊五課后作業(yè)

模塊一數(shù)列型的規(guī)律探究

【例1.1】（2023·云南昆明·七年級期末）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：?3?2，5?2?2，?7?4?2，9?6?2，

?11?8?2，…，第8個(gè)單項(xiàng)式是（）

A．?17?8?14B．17?14?2C．?15?7?14D．152?14?2

【答案】B

【分析】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探索，由題意得出第?個(gè)單項(xiàng)式是(?1)?×(2?+1)?2(??1)?2，再求出當(dāng)?=8

時(shí)的式子即可，得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由題意可得：

?3?2=(?1)1×(2×1+1)?2×(1?1)?2，

5?2?2=(?1)2×(2×2+1)?2×(2?1)?2，

?7?4?2=(?1)3×(2×3+1)?2×(3?1)?2，

9?6?2=(?1)4×(2×4+1)?2×(4?1)?2，

?11?8?2=(?1)5×(2×5+1)?2×(5?1)?2，

……，

∴第?個(gè)單項(xiàng)式是(?1)?×(2?+1)?2(??1)?2，

當(dāng)?=8時(shí)，(?1)8×(2×8+1)?2×(8?1)?2=17?14?2，

故選：B．

579

【例1.2】（2023六年級上·山東泰安·期末）觀察下列關(guān)于?的單項(xiàng)式，探究其規(guī)律，?2，?3，?4

3??23?4

11

，?5，按照上述規(guī)律，第個(gè)單項(xiàng)式是（）

5??2024

第1頁共28頁.

4047404940494045

A．?2025B．??2024C．?2024D．??2024

2023202420242024

【答案】B

2?+1

【分析】本題主要考查了探究單項(xiàng)式規(guī)律問題，能找出第?個(gè)單項(xiàng)式為(?1)?+1??是解題的關(guān)鍵．

?

2?+1

通過分析單項(xiàng)式系數(shù)與次數(shù)，總結(jié)出規(guī)律：第?個(gè)單項(xiàng)式為(?1)?+1??，把?=2024代入即可求解．

?

3

【詳解】解：第1個(gè)單項(xiàng)式：3?=(?1)1+1×?，

1

52×2+1

第2個(gè)單項(xiàng)式：??2=(?1)2+1×?2，

22

72×3+1

第個(gè)單項(xiàng)式：?3=(?1)3+1×?3，

333

92×4+1

第4個(gè)單項(xiàng)式：??4=(?1)4+1×?4，

44

112×5+1

第5個(gè)單項(xiàng)式：?5=(?1)5+1×?5，

55

132×6+1

第個(gè)單項(xiàng)式：??6=(?1)6+1×?6，

666

?，

2?+1

第?個(gè)單項(xiàng)式：(?1)?+1??；

?

2×2024+14049

∴第個(gè)單項(xiàng)式為：(?1)2024+1?2024=??2024，

202420242024

故選：B．

【例1.3】（2023七年級·湖北隨州·期末）連續(xù)正整數(shù)包含著無窮的規(guī)律，引導(dǎo)人們不斷探索．將連續(xù)正整

數(shù)1，2，3，4，5，6，…，按如圖數(shù)陣排列．觀察發(fā)現(xiàn)，每行的最大的數(shù)與行數(shù)有一定的規(guī)律，那么這個(gè)

數(shù)陣從上到下第6行的最大數(shù)是．若用數(shù)(?,?)表示該數(shù)陣中從上到下、從左到右第m行第n個(gè)

數(shù)字，如（4，6）表示15，則數(shù)1000用數(shù)對表示為．

【答案】36，（32，39）

【分析】根據(jù)所給圖形分析找規(guī)律即可；

第2頁共28頁.

【詳解】由圖可知，第一行1個(gè)數(shù)字，第二行3個(gè)數(shù)字，第三行5個(gè)數(shù)字，可知第n行最大的數(shù)為?2，

∴第6行最大的數(shù)為62=36；

1000=312+39，

31行的時(shí)候最大值為961，

第32行時(shí)從左往右依次增加，

即數(shù)1000用數(shù)對表示為（32，39）；

故答案是：36；（32，39）；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律題，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

4816

【變式】（七年級北京期中）一組按規(guī)律排列的式子：?2，，?，，，按照上述規(guī)律，它

1.12023··357…

的第n個(gè)式子（n為正整數(shù)）是．

?

【答案】(?2)

2??1

【分析】根據(jù)題目中的式子，可以發(fā)現(xiàn)分母的數(shù)字是一些連續(xù)的整數(shù)，從1開始，分子a的指數(shù)是一些連

續(xù)的整數(shù)，奇數(shù)個(gè)單項(xiàng)式的符號為負(fù)，偶數(shù)個(gè)單項(xiàng)式的符號為正，從而可以寫出第n個(gè)單項(xiàng)式．

4816

【詳解】解：一列式子為：?2，，?，，，

∵357…

(?2)?

∴第n個(gè)式子為：，

2??1

?

故答案為：(?2)．

2??1

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類、單項(xiàng)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式的變化特點(diǎn)，寫出

第n個(gè)單項(xiàng)式．

23

【變式1.2】（2023七年級·湖北十堰·期末）對于不為零的實(shí)數(shù)a，b，現(xiàn)有一組式子：?，–?，0，

2?4?2

45

?，–?，0……，則第2019個(gè)式子是（）

8?316?4

202120211347

A．0B．?C．–?D．–?

22020?202022020?202021346?1346

【答案】A

【分析】觀察該組式子可以發(fā)現(xiàn)每三個(gè)一循環(huán)，且最后一個(gè)都為0，再根據(jù)2019是3的倍數(shù)可得結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意得：每三個(gè)式子中最后一個(gè)式子為0，

而2019÷3=673，

即第2019個(gè)式子是：0.

第3頁共28頁.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵仔細(xì)觀察所給式子的特點(diǎn)，總結(jié)出規(guī)律，從而推出第n

個(gè)式子．

【變式1.3】（2023七年級·全國·專題練習(xí)）觀察下面有規(guī)律的三行單項(xiàng)式：

x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①

﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②

2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③

（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第一行第8個(gè)單項(xiàng)式為_______；

（2）第二行第n個(gè)單項(xiàng)式為________；

（3）第三行第8個(gè)單項(xiàng)式為________；第n個(gè)單項(xiàng)式為___________．

【答案】（1）128x8；（2）（﹣2）nxn；（3）﹣129x9；（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1．

【分析】（1）通過觀察很容易得到第一行數(shù)據(jù)數(shù)字因數(shù)、字母次數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)規(guī)律寫出相應(yīng)的式子

即可；

（2）通過觀察很容易得到第二行數(shù)據(jù)數(shù)字因數(shù)、字母次數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)規(guī)律寫出相應(yīng)的式子即可；

（3）通過觀察很容易得到第三行數(shù)據(jù)數(shù)字因數(shù)、字母次數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)規(guī)律寫出相應(yīng)的式子即可．

【詳解】解：（1）因?yàn)榈谝恍械拿總€(gè)單項(xiàng)式，數(shù)字因數(shù)后面都是前面的2倍，字母次數(shù)與這個(gè)單項(xiàng)式是第

幾個(gè)有關(guān)，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可得第一行第8個(gè)單項(xiàng)式為128x8

故答案為：128x8；

（2）因?yàn)榈诙械拿總€(gè)單項(xiàng)式，數(shù)字因數(shù)后面都是前面的（﹣2）倍，字母次數(shù)與這個(gè)單項(xiàng)式是第幾個(gè)有

關(guān)，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可得第n個(gè)單項(xiàng)式為（﹣2）nxn

故答案為：（﹣2x）n；

（3）通過觀察第三行的這組單項(xiàng)式，這組單項(xiàng)式符合（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1，第8個(gè)單項(xiàng)式是﹣129x9；

第n個(gè)單項(xiàng)式為（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1．

故答案為：﹣129x9；（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1．

【點(diǎn)睛】本題考查對單項(xiàng)式系數(shù)和次數(shù)的掌握，解題關(guān)鍵是找出規(guī)律并歸納公式．

模塊二數(shù)表中的規(guī)律探究

【例1.1】（2023七年級·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖1是2023年12月份的月歷，小軍同學(xué)用“”

形框在月歷上框出四個(gè)數(shù)字，將該“”形框上下左右移動，且一定要框住月歷中的四個(gè)日期，若

第4頁共28頁.

其中兩個(gè)日期如圖2所示，則m，n的值可能為（）

A．?=2，?=2B．?=8，?=0C．?=4，?=4D．?=6，?=1

【答案】D

5

【分析】本題考查了日歷中的數(shù)字規(guī)律，代數(shù)式求值，根據(jù)題意找到規(guī)律2?+?+1+7=2?+?+5?1

2

是解題關(guān)鍵．

【詳解】解：∵月歷橫排相鄰的兩個(gè)數(shù)字相差1，豎排兩個(gè)數(shù)字相差7，

5

∴2?+?+1+7=2?+?+5?1，

2

整理得：2?+?=8，

當(dāng)?=2，?=2時(shí)，2?+?=2×2+2=6≠8，故A不符合題意；

當(dāng)?=8，?=0時(shí)，2?+?=2×8+0=16≠8，故B不符合題意；

當(dāng)?=4，?=4時(shí)，2?+?=2×4+4=12≠8，故C不符合題意；

當(dāng)?=6，?=1時(shí)，2?+?=2×1+6=8，故D符合題意；

故選：D．

【例1.2】（2023·湖北十堰·中考真題）將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行

第3列的數(shù)為27，則位于第32行第13列的數(shù)是（）

A．2025B．2023C．2021D．2019

第5頁共28頁.

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)字的變化關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律第n行，第n列的數(shù)據(jù)為：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的

數(shù)據(jù)為：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的數(shù)據(jù)，即可．

【詳解】解：觀察數(shù)字的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n行，第n列的數(shù)據(jù)為：2n(n-1)+1，

∴第32行，第32列的數(shù)據(jù)為：2×32×(32-1)+1=1985，

根據(jù)數(shù)據(jù)的排列規(guī)律，第偶數(shù)行從右往左的數(shù)據(jù)一次增加2，

∴第32行，第13列的數(shù)據(jù)為：1985+2×(32-13)=2023，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．

【例1.3】（2023七年級·貴州貴陽·期末）下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，?

的值為（）

A．12B．16C．64D．76

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律、代數(shù)式、有理數(shù)混合運(yùn)算、一元

一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．

結(jié)合題意，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，分別計(jì)算正方形中四個(gè)數(shù)字的規(guī)律，即可得到答案．

【詳解】第一個(gè)正方形左上角數(shù)字為：1，

第二個(gè)正方形左上角數(shù)字為：2，

第三個(gè)正方形左上角數(shù)字為：3，

…

第n個(gè)正方形左上角數(shù)字為：n；

最后一個(gè)正方形左上角數(shù)字為：6，

∴?=6；

第一個(gè)正方形右上角數(shù)字為：2=2×1，

第二個(gè)正方形右上角數(shù)字為：4=2×2，

第三個(gè)正方形右上角數(shù)字為：6=2×3，

第6頁共28頁.

…

第n個(gè)正方形右上角數(shù)字為：2?；

第一個(gè)正方形左下角數(shù)字為：2=21，

第二個(gè)正方形左下角數(shù)字為：4=22，

第三個(gè)正方形左下角數(shù)字為：8=23，

…

第n個(gè)正方形左下角數(shù)字為：2?，

∴最后一個(gè)正方形左下角數(shù)字為：?=26=64，

第一個(gè)正方形右下角數(shù)字為：4=2+2，

第二個(gè)正方形右下角數(shù)字為：8=4+4，

第三個(gè)正方形右下角數(shù)字為：14=6+8，

…

第n個(gè)正方形右下角數(shù)字為：2?+2?，

∵?=6，

∴?=12+64=76，

故選：D．

【變式1.1】（2023七年級·廣東梅州·期末）將連續(xù)正整數(shù)按如圖所示的位置順序排列，根據(jù)排列規(guī)律，則

2023應(yīng)在（）

A．A處B．B處C．C處D．D處

【答案】B

【分析】此題考查探究規(guī)律類型，解題的關(guān)鍵是明確數(shù)的位置的變化規(guī)律，觀察題目信息與圖形信息，根

據(jù)圖象規(guī)律可知，5、6、7、8所占的位置正好分別是1、2、3、4的位置，也就是以4個(gè)數(shù)為一組循環(huán)；接

下來再用2023除以4，最后再根據(jù)余數(shù)來確定2023的位置即可．

【詳解】解：由題意得：在?位置的數(shù)被4除余2，在?位置的數(shù)被4除余3，在?位置的數(shù)被4整除，在?

位置的數(shù)被4除余1；

2023÷4=505?3，

第7頁共28頁.

∴2023應(yīng)在3的位置，也就是在?處．

故選：B．

【變式1.2】（2023七年級·浙江紹興·期末）如圖，一組數(shù)據(jù)按圖中規(guī)律從左向右依次排列，則第12個(gè)圖中

?=．

【答案】804

【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，根據(jù)已知圖形找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意圖形歸納總結(jié)每

個(gè)圖形中四個(gè)數(shù)字的規(guī)律，據(jù)此即可得出答案．

【詳解】解：由圖形可知，左上方數(shù)字按0、2、4……排列，則第?個(gè)圖中，左上數(shù)字為2??2，

右上方的數(shù)字按1、2、3……排列，則第?個(gè)圖中，右上數(shù)字為?，

左下方的數(shù)字按3、6、9……排列，則第?個(gè)圖中，左下數(shù)字為3?，

右下方的數(shù)字為每個(gè)圖形中左下數(shù)字和左上數(shù)字的乘積，再加上右上數(shù)字，

∴第12個(gè)圖中，左上方的數(shù)字為2×12?2=22，右上方的數(shù)字為12，左下方的數(shù)字為3×12=36，

∴?=22×36+12=804，

故答案為：804．

【變式1.3】（2023七年級·江蘇·假期作業(yè)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出

現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“1”，所有的偶數(shù)記為“0”，則前4行如圖

②，前8行如圖③，求前32行“1”的個(gè)數(shù)為．

【答案】35/243

【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律探究計(jì)算，根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“1”規(guī)律是解題關(guān)鍵．先根據(jù)給出

的圖②和圖③找出出現(xiàn)“1”規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得解．

【詳解】解：觀察圖②和圖③可知，前8行中包含3個(gè)前4行的圖形，中間三角形中的數(shù)字均為0，

第8頁共28頁.

∴前8行中“1”的個(gè)數(shù)是前4行中“1”的個(gè)數(shù)的3倍，

即前8行中“1”的個(gè)數(shù)為9×3=27（個(gè)），

同理可知前16行中“1”的個(gè)數(shù)是前8行中“1”的個(gè)數(shù)的3倍，即前16行中“1”的個(gè)數(shù)為27×3=81（個(gè)），

前32行中“1”的個(gè)數(shù)是前16行中“1”的個(gè)數(shù)的3倍，即前32行中“1”的個(gè)數(shù)為81×3=243（個(gè)），

故答案為：243．

模塊三圖形中的規(guī)律探究

【例1.1】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）將圖①正方形做如下操作：分別連接對邊中點(diǎn)如圖②，得到5個(gè)

正方形（1個(gè)大正方形加上4個(gè)中等正方形）；第2次，將圖②左上角的正方形按上述方法再分割如圖③，

得到9個(gè)正方形…像這樣操作8次，可以得到（）個(gè)正方形．

A．29B．30C．32D．33

【答案】D

【分析】本題主要考查圖形規(guī)律，根據(jù)圖形得到代數(shù)表達(dá)式即可，根據(jù)題意可知，將圖①操作1次得到

1+4=5個(gè)正方形，操作2次得到1+4×2=9個(gè)正方形，每操作1次增加4個(gè)正方形，由此得到規(guī)律，操

作n次得到(1+4?)個(gè)正方形，據(jù)此解答．

【詳解】解：圖①操作1次得到1+4=5個(gè)正方形；

操作2次得到1+4×2=9個(gè)正方形；

即每操作1次增加4個(gè)正方形，

由此得到規(guī)律，操作n次得到(1+4?)個(gè)正方形，

那么，像這樣操作8次，可以得到(1+4×8)個(gè)正方形，

1+4×8

=1+32

=33（個(gè)）

即像這樣操作8次，可以得到33個(gè)正方形；

故答案為：D

【例1.2】（2023七年級·山東濟(jì)寧·期末）找出以下圖形變化的規(guī)律，則第2024個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量

是（）個(gè)

第9頁共28頁.

A．2024B．3035C．3036D．2023

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律歸納出第?個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量即可．本題考查了圖形的變化規(guī)律，解

題的關(guān)鍵是仔細(xì)的觀察圖形并正確的找到規(guī)律，解決問題．

?

【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)第個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為個(gè)；

??(?+2)

?+1

當(dāng)?為奇數(shù)時(shí)第?個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為(?+)個(gè)，.．

2

當(dāng)?=2024時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為2024+1012=3036（個(gè)）,

故選：C．

【例1.3】（2023七年級·江蘇常州·期中）“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”在如圖的三角形中，一條中

線將一個(gè)三角形分為面積相等的兩部分，在此基礎(chǔ)上再作一條中線，可得到原三角形一半面積的一半，即1，

4

111711111

已知++=，根據(jù)這個(gè)幾何圖形的規(guī)律求得++++…+的值為（）

248824816299

111

A．1B．1?C．1+D．1?

299299298

【答案】B

11111111111

【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律，結(jié)合圖形可知：=1?，+=1?，++=1?，……++?+

22222222222323222

11

=1?，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．

2?2?

【詳解】結(jié)合圖形可知：

11

=1?，

22

111

+=1?，

22222

1111

++=1?，

2222323

……

第10頁共28頁.

1111

++?+=1?，

2222?2?

1111

則：++?+=1?

222299299

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)乘方的應(yīng)用，根據(jù)題意得到規(guī)律，掌握有理數(shù)乘方的的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．

【變式1.1】（2023·湖南婁底·七年級期末）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第2024個(gè)圖案中的

“”的個(gè)數(shù)是（）

A．6073B．6072C．6071D．6070

【答案】A

【分析】本題考查了圖形的規(guī)律探究．根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第?個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)是4+3(??1)=3?+1，然后計(jì)算求解即可．

【詳解】

解：由題意知，第1個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)是4，

第2個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)是7=4+3，

第3個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)是10=4+3×2，

第4個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)是13=4+3×3，

……

∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第?個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)是4+3(??1)=3?+1，

當(dāng)?=2024時(shí)，3?+1=6073，

故選：A．

第11頁共28頁.

【變式1.2】（2023七年級·四川成都·期末）用火柴棒按下圖中的方式搭圖形，搭第n個(gè)圖形需要火柴棒的

數(shù)量為（）

A．5?B．5?+1C．4?+1D．4?+5

【答案】C

【分析】此題主要考查圖形規(guī)律探究，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，數(shù)值等條件，認(rèn)真

分析，找到規(guī)律．

分別數(shù)出三個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)，發(fā)現(xiàn)第幾個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為4與幾的乘積加1．如第二個(gè)圖形中

火柴棒的根數(shù)為4×2+1=9．即可求得搭第?個(gè)圖形需火柴棒的根數(shù)為4?+1．

【詳解】解：第一個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為4×1+1=5；

第二個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為4×2+1=9；

第三個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為4×3+1=13；

…，

可以發(fā)現(xiàn)第幾個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為4與幾的乘機(jī)加1．

所以，搭第?個(gè)圖形需火柴棒的根數(shù)為4?+1．

故選：C．

【變式1.3】（2023·江西·七年級期末）三角形三邊上的點(diǎn)數(shù)分布如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)圖①中有4個(gè)點(diǎn)，圖②

中有10個(gè)點(diǎn)，圖③中有19個(gè)點(diǎn)，……按此規(guī)律可知，圖?中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

【答案】3?(?+1)+2

2

【分析】本題考查找規(guī)律，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．觀察圖象可得圖①中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，圖②中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

圖③中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，??，依此類推圖?中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+1×3+2×3+3×3+?+?×3，據(jù)此計(jì)算即可解

題．

【詳解】解：由題知，

第12頁共28頁.

圖①中有1+1×3=4個(gè)點(diǎn)，

圖②中有1+1×3+2×3=10個(gè)點(diǎn)，

圖③中有1+1×3+2×3+3×3=19個(gè)點(diǎn)，

??，依此類推，

圖?中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+1×3+2×3+3×3+?+?×3=1+3(1+2+3+?+?)，

?(?+1)

=1+3×，

2

3?(?+1)+2

=．

2

故答案為：3?(?+1)+2．

2

模塊四恒等式中的規(guī)律探究

【例1.1】（2023七年級·河北石家莊·階段練習(xí)）觀察下列各組等式：

（1）4×12?12=4×1?1；

（2）4×22?32=4×2?1；

（3）4×32?52=4×3?1；…

根據(jù)上述規(guī)律，第2021個(gè)式子的值是（）

A．8080B．8081C．8082D．8083

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律以及字母的值求代數(shù)式的值，根據(jù)現(xiàn)有的式子結(jié)構(gòu)，得出第?個(gè)式子為4?2

?(2??1)2=4??1，把?=2021代入4?2?(2??1)2=4??1，計(jì)算化簡即可作答．

【詳解】解：∵（1）4×12?12=4×1?1；

（2）4×22?32=4×2?1；

（3）4×32?52=4×3?1；

…

以此類推

∴第?個(gè)式子為4?2?(2??1)2=4??1

把?=2021代入4?2?(2??1)2=4??1

即4×20212?(2×2021?1)2=4×2021?1=8084?1=8083

故選：D

【例1.2】（2023七年級·貴州黔東南·期中）觀察下列等式：31+1=4,32+1=10,33+1=28,34+1=82,35

第13頁共28頁.

+1=244，探究計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，猜測32015+1的個(gè)位數(shù)字是（）

A．4B．0C．8D．2

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究；根據(jù)3?的前幾個(gè)數(shù)的尾數(shù)規(guī)律，4次一循環(huán)，進(jìn)而即可求解．

【詳解】31的尾數(shù)為3，32的尾數(shù)為9，33的尾數(shù)為7，34的尾數(shù)為1，35的尾數(shù)為3，36的尾數(shù)為9，…，

而2015=4×503+3，

所以32015的尾數(shù)為7，則32015+1的個(gè)位數(shù)字是8．

故選：C．

【例1.3】（2023七年級·廣東珠海·期末）觀察下列兩個(gè)等式：

11+21+2+31+2+3+4

===；

22+42+4+62+4+6+8

44+84+8+124+8+12+16

===；

77+147+14+217+14+21+28

利用上面的規(guī)律，式子5+10+15+20+???+5?可化簡得．

3+6+9+12+???+3?

52

【答案】/1

33

【分析】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字和算式之間的聯(lián)系，得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知的式

子得出規(guī)律即可求解．

11+21+2+31+2+3+41+2+3+4+?+?

【詳解】解：∵====，

22+42+4+62+4+6+82+4+6+8+?+2?

44+84+8+124+8+12+164+8+12+16+?+4?

====，

77+147+14+217+14+21+287+14+21+28+?+7?

5+10+15+20+???+5?5

∴=，

3+6+9+12+???+3?3

故答案為：5．

3

23242

【變式1.1】（2023七年級·浙江嘉興·期末）觀察下面的等式：?=1+=，?=1+=，?=1+=

11122233

526

，?=1+=，…，根據(jù)其中的規(guī)律，解決下列問題：

3444

(1)【嘗試】寫出關(guān)于?6的等式．

(2)【歸納】寫出關(guān)于??的等式．

(3)【運(yùn)用】計(jì)算?1??2??3????????18??19??20的值．

28

【答案】?=1+=

(1)666

第14頁共28頁.

2?+2

?=1+=

(2)???

(3)231

【分析】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，從簡單情形入手，找出一般規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．

（1）類比給出的4個(gè)等式，寫出第6個(gè)等式即可

（2）按照（1）的規(guī)律進(jìn)而得出第n個(gè)等式；

（3）利用得到的規(guī)律化簡求值即可．

23242526

【詳解】（1）解：?=1+=，?=1+=，?=1+=，?=1+=

∵111222333444

2728

?=1+=,?=1+=

∴555666

23242526

（2）解：?=1+=，?=1+=，?=1+=，?=1+=，…，

∵111222333444

2?+2

?=1+=

∴???

3456?+1?+2(?+1)(?+2)

（3）解：????????…??=××××???××=，把?=20代入，得????…??

1234?1234??1?21220

(20+1)×(20+2)

==231．

2

【變式1.2】（2023七年級·安徽·專題練習(xí)）觀察以下等式：

1

第個(gè)等式：12=×1×2×3，

16

1

第個(gè)等式：12+22=×2×3×5，

26

1

第個(gè)等式：12+22+32=×3×4×7，

36

1

第個(gè)等式：12+22+32+42=×4×5×9，

46

…

按照以上規(guī)律．解決下列問題：

(1)寫出第5個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第?個(gè)等式（用含?的式子表示）；

2222

(3)計(jì)算：1+2+3+…+2023=．

1+2+3+…+2023

1

【答案】12+22+32+42+52=×5×6×11

(1)6

第15頁共28頁.

1

12+22+32+…+?2=?(?+1)(2?+1)

(2)6

(3)1349

【分析】本題考查數(shù)式的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律，

并能靈活運(yùn)用規(guī)律解題．

（1）觀察所給算式，可以發(fā)現(xiàn)左邊為從1開始，序號個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和，等式右邊是4個(gè)數(shù)的積，這四

個(gè)數(shù)分別為：1、與序號相同的數(shù)、比序號大的數(shù)、序號的倍加，據(jù)此可以寫出第個(gè)等式；

61215

（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用代數(shù)式表示出這些數(shù)，并寫出等式即可；

（3）利用（2）中的等式，將12+22+32+…+20232寫成乘積形式，同樣將分母也寫成乘積形式，約分即

可得到答案．

1

【詳解】（）解：第個(gè)等式：12=×1×2×3，

1∵16

1

第個(gè)等式：12+22=×2×3×5，

26

1

第個(gè)等式：12+22+32=×3×4×7，

36

1

第個(gè)等式：12+22+32+42=×4×5×9，

46

1

第個(gè)等式為：12+22+32+42+52=×5×6×11，

∴56

1

故答案為：12+22+32+42+52=×5×6×11；

6

（2）解：由（1）總結(jié)出規(guī)律，可知第?個(gè)等式為：

1

12+22+32+…+?2=?(?+1)(2?+1)；

6

2222

（3）解：1+2+3+…+2023

1+2+3+…+2023

1

×2023×2024×4047

=6

1

2×2023×2024

1

×4047

=6

1

2

=1349．

故答案為：1349．

【變式1.3】（2023七年級·安徽安慶·期末）如圖是節(jié)選課本110頁上的閱讀材料，請根據(jù)材料提供的方法

第16頁共28頁.

1111

求和：+++???+，它的值是（）

1×22×33×42020×2021

上題是利用一系列等式相加消去項(xiàng)達(dá)到求和，這種方法不僅限于整數(shù)求和，如

11

1?=

21×2①

111

?=

232×3②

111

?=

343×4③

111

?=

454×5④

……

（1）繼續(xù)寫出上述第n個(gè)算式，并把這些算式兩邊分別相加，會得到什么結(jié)果？你能寫出下面的求和公式

嗎？

1111

+++???+．

1×22×33×4?×(?+1)

．．2020．2019．1

A1B2021C2020D2021

【答案】B

【分析】規(guī)律為分母為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，分子是1，其結(jié)果為連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)的差，根據(jù)規(guī)

律求解即可．

1111

【詳解】解：1?=，即=1?，

∵21×21×22

111111

?=，即=?，

232×32×323

111111

?=，即=?，

343×43×434

111111

?=，即=?，

454×54×545

……

111

=?，

2020×202120202021

1111

+++???+

∴1×22×33×42020×2021

1111111

=1?+?+?+?+?

2233420202021

1

=1?

2021

第17頁共28頁.

2020

=，

2021

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律探索問題，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

模塊五課后作業(yè)

1．（2023·江西九江·七年級期末）以下是按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：2?,3?2,4?3,5?4,6?5,???，依此規(guī)律，第

?個(gè)單項(xiàng)式是（）

A．???B．????1C．(?+1)??D．(?+1)???1

【答案】C

【分析】本題考查單項(xiàng)式的規(guī)律探究，根據(jù)系數(shù)與次數(shù)兩個(gè)方面總結(jié)可得第n個(gè)單項(xiàng)式．

【詳解】解：按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：2?,3?2,4?3,5?4,6?5,???，

依此規(guī)律，第?個(gè)單項(xiàng)式是(?+1)??，

故選：C．

2．（2023七年級·全國·假期作業(yè)）根據(jù)下面圖形的規(guī)律，第11個(gè)圖中有（）個(gè)．

A．33B．36C．39

【答案】B

【分析】

本題考查圖形和數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)前幾個(gè)圖形中的個(gè)數(shù)，得到變化規(guī)律：圖形n中有(3?+3)個(gè)

，進(jìn)而可求解．

【詳解】

解：根據(jù)題意，圖形1中有6個(gè)，可以寫成：3×1+3；

圖形2中有9個(gè)，可以寫成：3×2+3；

圖形3中有12個(gè)，可以寫成：3×3+3；

…

第18頁共28頁.

依次類推，圖形n中有(3?+3)個(gè)，

∴第11個(gè)圖中有3×11+3=33+3=36個(gè)．

故答案為：B．

3．（2023七年級·全國·假期作業(yè)）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形

數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．

從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：

任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如4=1+3．把“正方形數(shù)”36寫

成兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和，正確的是（）．

A．36=10+26B．36=12+24C．36=15+21D．36=16+20

【答案】C

【分析】本題主要考查了數(shù)字（圖形）變化的規(guī)律，觀察圖形和等式，發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)是1、4、9、16、25、

36、49…；都是平方數(shù)；三角形數(shù)是1、3、6、10、15、21、28…；相鄰兩個(gè)數(shù)的差依次增加1；從“三角

形數(shù)”中找出哪兩個(gè)相鄰的數(shù)相加，和是“正方形數(shù)”36即可.

【詳解】圖1：正方形數(shù)是4，4＝1＋3；

圖2：正方形數(shù)是9，9＝3＋6；

圖3：正方形數(shù)是16，16＝6＋10；

圖4：正方形數(shù)是25，25＝10＋15；

圖5：正方形數(shù)是36，36＝15＋21.

故選：C.

4．（2023·重慶·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物

的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②

有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子

的個(gè)數(shù)是（）

第19頁共28頁.

A．20B．22C．24D．26

【答案】B

【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)圖形，可歸納出規(guī)律表達(dá)式的特點(diǎn)，再解答即可．

【詳解】解：由圖可得，

第1種如圖①有4個(gè)氫原子，即2+2×1=4

第2種如圖②有6個(gè)氫原子，即2+2×2=6

第3種如圖③有8個(gè)氫原子，即2+2×3=8

…，

∴第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：2+2×10=22；

故選：B．

5．（2023·湖北武漢·七年級期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖所示的三

角形數(shù)陣解釋二項(xiàng)式(?+?)?展開式的各項(xiàng)系數(shù)，這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)比歐洲早近600年，此三角形被后人稱為“楊

輝三角”．在“楊輝三角”中，兩邊上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)是它上方的（左右）兩數(shù)之和．如2=1+1，

10=4+6，．．．，若從第三行的“2”開始，按箭頭所指依次構(gòu)成一列數(shù)：2，3，3，4，6，4，5，10，

10，5，…，則這列數(shù)中第24個(gè)數(shù)是（）

A．56B．42C．28D．8

【答案】A

【分析】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，由題意得出第24個(gè)數(shù)在從2開始的第7行的第3個(gè)數(shù)，觀察可得由從2

開始的第7行的數(shù)依次為8，28，56，70，56，28，8，由此即可得出答案．

【詳解】解：∵1+2+3+4+5+6=21<24，1+2+3+4+5+6+7=28>24，

第20頁共28頁.

∴第24個(gè)數(shù)在從2開始的第7行的第3個(gè)數(shù)，

觀察可得：由從2開始的第5行的數(shù)依次為：6，15，20，15，6，

由從2開始的第6行的數(shù)依次為：7，21，35，35，21，7，

由從2開始的第7行的數(shù)依次為8，28，56，70，56，28，8，

∴第24個(gè)數(shù)為56，

故選：A．

233

6．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級期末）已知：?5=5×4=20，?5=5×4×3=60，?6

44

=6×5×4=120，?6=6×5×4×3=360，……觀察并找出規(guī)律，計(jì)算?7的結(jié)果

【答案】840

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、規(guī)律性-數(shù)字的變化，找出規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．

2334

【詳解】解：?5=5×4=20，?5=5×4×3=60，?6=6×5×4=120，?6=6×5×4×3=360，

觀察發(fā)現(xiàn)，每個(gè)式子都是從下面的數(shù)字開始遞減的連續(xù)整數(shù)的積的形式，而因數(shù)的個(gè)數(shù)就是上面的數(shù)字，

4

∴?7=7×6×5×4=840，

故答案為：840．

1573

7．（2023七年級·黑龍江綏化·期中）觀察下列單項(xiàng)式：、?2、?3、?4、?5??????，按此規(guī)律寫出第?

2??4?52

個(gè)單項(xiàng)式是．

2??1

【答案】（?1）?+1??

?+1

【分析】本題考查了單項(xiàng)式的知識及數(shù)字變化的規(guī)律，熟練掌握單項(xiàng)式的知識并準(zhǔn)確找出規(guī)律是解題的關(guān)

鍵．

1573

【詳解】首先只看系數(shù)，各項(xiàng)系數(shù)依次為、、、、…

2?14?52

2??1

所以第?項(xiàng)系數(shù)為（?1）?+1

?+1

各項(xiàng)單項(xiàng)式的字母依次為?、?2、?3、?4、?5…所以第?項(xiàng)單項(xiàng)式的字母為??；

2??1

所以該單項(xiàng)式第?項(xiàng)為（?1）?+1??

?+1

2??1

故答案為：（?1）?+1??．

?+1

8．（2023七年級·河南周口·期中）如圖，每個(gè)三角形中的三個(gè)數(shù)之間有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，最后一

個(gè)三角形中?與?之間的關(guān)系式為．

第21頁共28頁.

【答案】?=2??

【分析】此題主要考查了數(shù)字規(guī)律性問題．注意根據(jù)題意找到規(guī)律?=2??是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：解：∵觀察可知：各三角形中左邊第一個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：1，2，…，n，

右邊第二個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，22，…，2?，

下邊第三個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：1×2，2×22，…，3×23，

∴最后一個(gè)三角形中y與n之間的關(guān)系式是?=2??．

故答案為：?=2??．

9．（2023七年級·全國·假期作業(yè)）如圖所示的點(diǎn)陣圖中，圖①中有3個(gè)點(diǎn)，圖②中有7個(gè)點(diǎn)，圖③中有13

個(gè)點(diǎn)，圖④中有21個(gè)點(diǎn)，按此規(guī)律，圖⑩中有個(gè)點(diǎn)．

【答案】111

【分析】本題考查了數(shù)與形的規(guī)律，能總結(jié)出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．列出給出的幾幅圖的點(diǎn)數(shù)依次為3，7，

13，21，?，分析這些數(shù)我們可以得到3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1，?據(jù)此總結(jié)規(guī)律求解

即可．

【詳解】觀察題圖可知：

圖①中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3=1+2=1×2+1；

圖②中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7=1+2+4=2×3+1；

圖③中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為13=1+2+4+6=3×4+1；

圖④中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為21=1+2+4+6+8=4×5+1；

圖n中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+2+4+6+8+?+2?=?(?+1)+1；

當(dāng)?=10時(shí)，圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)有1+2+4+6+?+20=10×11+1=111（個(gè)）點(diǎn)，

故答案為：111．

10．（2023七年級·全國·假期作業(yè)）為慶祝亞運(yùn)會的成功召開，學(xué)校舉行了“展少年英姿為亞運(yùn)喝彩”的隊(duì)列

隊(duì)形展示活動，淘氣發(fā)現(xiàn)隊(duì)列中也藏著數(shù)學(xué)秘密．

隊(duì)形1234…

第22頁共28頁.

圖示……

（1）觀察點(diǎn)子圖，補(bǔ)充下面等式．

2=1×2

2+4=2×3

2+4+6=3×4

2+4+6+8=×

（2）照這樣，第8個(gè)隊(duì)形需要人；第n個(gè)隊(duì)形需要人；第個(gè)隊(duì)形有56人．

【答案】4572?(?+1)7

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給的式子，找出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解答即

可．通過觀察發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)點(diǎn)子圖是用1×(1+1)，第2