第16講 從算式到方程（人教版）（原卷版）

第16講從算式到方程

【人教版】

·模塊一一元一次方程

·模塊二等式的性質(zhì)

·模塊三課后作業(yè)

模塊一一元一次方程

1.方程及方程的解：

（1）方程：含未知數(shù)的等式，叫方程（方程是含有未知數(shù)的等式，但等式不一定是方程）；

（2）方程的解：使等式左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”.

2.一元一次方程：

（1）一元一次方程概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，并且含未知數(shù)項(xiàng)的系數(shù)不是零

的整式方程是一元一次方程.

（2）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0）.

【考點(diǎn)1方程的概念】

【例1.1】（2023七年級(jí)·吉林長春·期中）下列各式中，是方程的是（）

A．??3=0B．??5C．3+(?2)=1D．7?>5

【例1.2】（2023七年級(jí)·全國·課堂例題）已知式子：①3?4=?1；②2??5?；③1+2?=0；

④6?+4?=2；⑤3?2?2?+1=0．其中的等式是，其中含有未知數(shù)的等式是，

所以其中的方程是．（填序號(hào)）

?

【例】（六年級(jí)下全國假期作業(yè)）已知下列式子：

1.32023··3+8=3；12??；???=3；?+1=2?+1；3

1

?2=；+5=；≠；=1．其中方程的個(gè)數(shù)為（）

1027??10?

A．3B．4C．5D．6

【變式1.1】（2023七年級(jí)·安徽蚌埠·期中）下列各式中，不是方程的是（）

A．?=0B．2?+3C．2?+1=5D．2(?+1)=2?+2

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【變式1.2】（2023七年級(jí)·全國·課堂例題）判斷下列各式是不是方程，不是方程的說明理由．

(1)4×5=3×7?1；

(2)2?+5?=3；

(3)9?4?>0；

(4)?+5；

(5)??10=3；

(6)5+6=11．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·山東德州·期末）在①2?5；②1+7?=?8?+3；③?=6；④3?=2??9；

⑤2?>7中，方程共有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【考點(diǎn)2一元一次方程的概念】

【例2.1】（2023六年級(jí)下·上海·期中）式子①2?2+?=0，②2?+?=0，③2?+1，④4??(3?+2)

=?2，⑤2?+1=0中，是一元一次方程有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【例2.2】（2023六年級(jí)下·上?！て谥校┤绻P(guān)于x的方程??+5=2??1是一元一次方程，那么k的值

為．

【例2.3】（2023七年級(jí)·湖南衡陽·期中）已知關(guān)于?的方程(2??1)?2?(2?+1)?+3=0是一元一次方程，

則?的值為（）

1

A．B．1C．0D．2

2

【變式2.1】（2023七年級(jí)·吉林長春·期中）下列方程是一元一次方程的是（）

1

．??4?=8．?1=8．?2?3=?．?=0

AB?CD

【變式2.2】（2023七年級(jí)·湖南衡陽·期中）若關(guān)于?的方程2??+1+3=0是一元一次方程，則?的值

是．

【變式2.3】（2023七年級(jí)·四川南充·期末）關(guān)于x的方程?|?|?3=0是一元一次方程，則?=．

【考點(diǎn)3方程的解】

【例3.1】（2023七年級(jí)·湖北孝感·期末）若關(guān)于?的方程?+3?=3?2?的解為?=2，則?=

【例3.2】（2023七年級(jí)·湖南衡陽·期中）若關(guān)于?的方程2?+?+?=0的解是?=?1，則代數(shù)式2024????

的值為．

第2頁共9頁.

【例3.3】（2023七年級(jí)·四川宜賓·期中）整式??+?的值隨著?的取值的變化而變化，下表是當(dāng)?取不同的

值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值：

??10123

??+??8?4048

則關(guān)于?的方程??+?=8的解是．

【變式3.1】（2023七年級(jí)·福建泉州·期中）寫出一個(gè)解為3的一元一次方程．

【變式3.2】（2023·廣西河池·七年級(jí)期末）關(guān)于x的方程2?+?=4的解是?=1，則a的值為（）

A．?8B．0C．2D．8

【變式3.3】（2023七年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）如果?=1是關(guān)于?的方程3?2??2?=5的解，則代數(shù)式6?2

?4??9=．

【考點(diǎn)4根據(jù)問題中的相等關(guān)系列方程】

【例4.1】（2023七年級(jí)·廣東河源·開學(xué)考試）一個(gè)長方形場地的周長為160米，長比寬的2倍少1米．如果

設(shè)這個(gè)場地的寬為?米，那么可以列出方程為．

【例4.2】（2023七年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）把一些圖書分給某班學(xué)生，如果每人分3本，則余20本；如

果每人分4本，則缺25本．設(shè)有?名學(xué)生，則可列方程為（）

A．3?+20=4??25B．3?+20=4?+25

?+20??25??20?+25

C．=D．=

3434

【例4.3】（2023七年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）據(jù)市公園管理中心統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，10月1日至3日，市屬12個(gè)

景點(diǎn)接待市民游客105.23萬人，比去年同期增長了5.7%，求去年同期這12個(gè)景點(diǎn)接待市民游客人數(shù)．設(shè)去

年同期這12個(gè)景點(diǎn)接待市民游客?萬人，則可列方程為．

【變式】（七年級(jí)河南新鄉(xiāng)階段練習(xí)）根據(jù)與的和的倍比的1少列出的方程是（）

4.12023··“x53x32”

??

．．

A3?+5=3?2B3?+5=3+2

??

．．

C3(?+5)=3?2D3(?+5)=3+2

【變式4.2】（2023七年級(jí)·安徽安慶·期末）臨近春節(jié)，商場開展打折促銷活動(dòng)，某商品如果按原售價(jià)的八

折出售，將盈利10元；如果按原售價(jià)的六折出售，將虧損50元．問該商品的原售價(jià)為多少元？設(shè)該商品

的原售價(jià)為x元，則列方程為．

【變式4.3】（2023七年級(jí)·江蘇泰州·期末）某班學(xué)生分組參加活動(dòng)，原來每組8人，后來重新編組，每組6

第3頁共9頁.

人，這樣比原來增加了兩組，這個(gè)班共有多少名學(xué)生？若設(shè)共有x名學(xué)生，可列方程為．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級(jí)·陜西渭南·期末）若?=?1是關(guān)于?的一元一次方程2(?2???1)=3(?+2)的解，求

?，?的值．

【題型2】（2023七年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖，在編寫數(shù)學(xué)謎題時(shí)，“口”內(nèi)要求填寫同一個(gè)數(shù)字，若設(shè)

“口”內(nèi)的數(shù)字為?，則可列出方程．

【題型3】（2017七年級(jí)·全國·專題練習(xí)）先列方程，再估算出方程解．

甲型鋼筆每支3元，乙型鋼筆每支5元，用40元錢買了兩種鋼筆共10支，還多2元，問兩種鋼筆各買了

多少支？

解：設(shè)買了甲型鋼筆x支，則乙型鋼筆_________支，依題意得方程：_____________________．

這里x＞0，列表計(jì)算：

從表中看出

x(支)12345678

3x＋5(10－x)(元)4846444240383634

x＝____是原方程的解．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級(jí)·全國·課堂例題）在一次植樹活動(dòng)中，甲班植樹的棵數(shù)比乙班多20%，乙班植樹的

棵數(shù)比甲班的一半多10棵．設(shè)乙班植樹?棵．

(1)列兩個(gè)不同的含?的式子來表示甲班植樹的棵數(shù)；

(2)根據(jù)題意列出含未知數(shù)?的方程；

(3)檢驗(yàn)乙班、甲班植樹的棵數(shù)是不是分別為25棵和35棵．

【題型2】（2023七年級(jí)·全國·單元測試）根據(jù)實(shí)際問題的意義列出方程：

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（1）好馬走15天的路程，劣馬要走30天，已知劣馬每天走150千米，則好馬每天走多少千米？

（2）有宿舍若干間，如果每間住4人還空一間，如果每間住3人就有5人沒有床位，問有多少間宿舍？

【題型3】（2012·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（）

82628262

A．?×()?=?×()×(?+5)B．?×()?=?×()×(??5)

2222

C．?×82?=?×62×(?+5)D．?×82?=?×62×5

模塊二等式的性質(zhì)

等式及其性質(zhì)

（1）等式：用“=”號(hào)連接而成的式子叫等式；

（2）等式的性質(zhì)：

等式性質(zhì)1：等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；

等式性質(zhì)2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍相等.

【考點(diǎn)1等式的性質(zhì)】

【例1.1】（2023七年級(jí)·全國·課堂例題）已知?+?=?+?，若根據(jù)等式的性質(zhì)可變形為?=?，則?,?滿

足的條件是（）

A．?=2?B．??=?C．?=?D．?,?可以是任意數(shù)或式子

【例1.2】（2023·云南·七年級(jí)期末）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

??

A．若?=?，則=B．若?=?，則??=??

??

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1

．若?2=?2，則?=?．若??=9，則?=?3

CD3

【例1.3】（2023六年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）若等式??=??成立，則下列等式不一定成立的是（）

A．?=?B．???=?2?C．??+?=??+?D．????=????

【變式1.1】（2023七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知等式3?+4=2??2，依據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，可以得到

的是（）

3?2

A．2?=3??6B．3?=2?+6C．?=+3D．?=??3

23

【變式1.2】（2023七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）如果?=?，根據(jù)等式的性質(zhì)填空．

?+5=?+??=???

1

?×=?×?÷=?÷0.5

5

31

【變式1.3】（2023七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）若3?+2?=24，則??5+?的值是．

42

【考點(diǎn)2利用等式的性質(zhì)解方程】

1

【例2.1】（2023七年級(jí)·吉林·期中）利用等式的性質(zhì)解方程：??+6=9．

4

2

【例】（七年級(jí)全國課后作業(yè)）將方程??=1的系數(shù)化為時(shí)，下列做法正確的是（）

2.22023··31

．方程兩邊同時(shí)加上1．方程兩邊同時(shí)減去2

A3B3

22

．方程兩邊同時(shí)除以?．方程兩邊同時(shí)乘以?

C3D3

【例2.3】（2023七年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）小紅做了四道方程變形題，出現(xiàn)錯(cuò)誤的有（）

71

下列方程變形為：（1）??2=3，?=3+2；（2）7?=4，?=；（3）3+?=5，?=5+3；（4）?=

44

11

，?=．

28

A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）

（4）

4

【變式】（六年級(jí)下上海階段練習(xí)）把方程??=8變形為?=?6，是在方程兩邊都（）

2.12023··3

4343

A．乘以?B．乘以?C．除以?D．除以?

3434

【變式2.2】（2023七年級(jí)·全國·專題練習(xí)）利用等式的性質(zhì)解方程．

(1)4??6=?10；

(2)?5?=?15；

第6頁共9頁.

(3)10?=5??3；

(4)7??6=8?．

5?+4??15??5

【變式2.3】（2023七年級(jí)·北京延慶·期末）下面的框圖是解方程+=2?的流程：

3412

在上述五個(gè)步驟中，依據(jù)是“等式的基本性質(zhì)2”的步驟有．（只填序號(hào)）

【規(guī)律方法綜合練】

△□

【題型】（七年級(jí)四川南充期末）已知=，其中，分別表示兩個(gè)不同的數(shù)，則下列式子

12023··34“△”“□”

一定成立的是（）

A．△×□=12B．4+△=3+□C．3×△=4×□D．4×△=3×□

【題型2】（2023七年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）若4??3?=7，3?+2?=19，則14??2?是（）

A．48B．52C．58D．60

【題型3】（2023七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）如果△+△+△+△+□=270，□+△+△+△+□=290，那么，

□+△=．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023·安徽·七年級(jí)期末）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，滿足?+?+?≠0，?2+?2=?2，?2=?2+

?2，則下列結(jié)論正確的是（）

第7頁共9頁.

A．?=0B．?=0C．?=??D．?=?

【題型2】（2023七年級(jí)·廣西欽州·階段練習(xí)）假設(shè)“▲、●、■”分別表示三種不同的物體．如圖，前兩架天

平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應(yīng)放“■”的個(gè)數(shù)是個(gè)．

31

【題型】（安徽亳州七年級(jí)期末）設(shè)?,?,?為互不相等的實(shí)數(shù)，且?=?+?，則下列結(jié)論正確的是

32023··77

（）

A．?>?>?B．?>?>?C．???=6(???)D．???=3(??2?)

模塊三課后作業(yè)

1．（2023七年級(jí)·河南周口·期中）下列式子中，是一元一次方程的有（）

A．?+6=3?B．?2?9=?2+8

C．5??3D．???=7

2．（2023七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）?=6是下列（）方程的解．

A．12??=0B．?+3=9C．0.2?=6D．?÷10=1.5

3．（2023七年級(jí)·全國·專題練習(xí)）已知方程3??4?=6，用含y的式子表示x為（）

6?4?6+4?6?3?6+3?

A．?=B．?=C．?=D．?=

3344

4．（2023七年級(jí)·河北·階段練習(xí)）“?的4倍與3的差比?的2倍多5”可列等式表示為（）

A．4??3=2(?+5)B．4??3=2?+5C．4(??3)=2(?+5)D．4(??3)

=2?+5

5．（2023七年級(jí)·湖南湘潭·期末）若(??3)?|?|?2=5是一元一次方程，則?的值是（）

A．3B．?3C．3或?3D．1

6．（2023六年級(jí)下·上海浦東新·期中）若?=?1是方程??+2=9的解，則?=．

7．（2023七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期中）寫出一個(gè)解為?=?2，且未知數(shù)的系數(shù)為2的一元一次方程．

8．（15-16七年級(jí)·河南·階段練習(xí)）下列各式中，①-2+5=5；②③；④；

⑤；⑥⑦⑧哪些是方程，哪些是一元一次方

程．（將序號(hào)寫到橫線上）

9．（2023七年級(jí)·河北保定·期末