2024-2025學(xué)年北京十九中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京十九中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(2,?1,3)，b=(4,x,y)，且a/?/b，則A.?4 B.?2 C.4 D.22.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，若AB=aA.a+b?c

B.a+b3.已知向量OA=(1,2,3)，OB=(1,?2,1)，點(diǎn)C為線段AB中點(diǎn)，則|OCA.1 B.2 C.3 4.已知直線m，直線n和平面α，則下列四個(gè)命題中正確的是(

)A.若m//α，n?α，則m//n B.若m//α，n//α，則m//n

C.若m⊥α，n//α，則m⊥n D.若m⊥n，n//α，則m⊥α5.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則該正四棱錐的側(cè)面積和體積分別為(

)A.16，43 B.16，23 C.8，43 6.已知直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則“m?n=0”是“l(fā)/?/α”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知不重合的平面α與平面ABC，若平面α的法向量n=(?3,?1,2)，AB=(1,0,?2)，AC=(1,1,1)，則A.平面α/?/平面ABC B.平面α⊥平面ABC

C.平面α、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能8.金剛石也被稱(chēng)作鉆石，是天然存在的最硬的物質(zhì)，可以用來(lái)切割玻璃，也用作鉆探機(jī)的鉆頭.金剛石經(jīng)常呈現(xiàn)如圖所示的“正八面體”外形.正八面體由八個(gè)全等的等邊三角形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.下面給出四個(gè)結(jié)論：

①AE//平面CDF；

②AC⊥EB；

③二面角E?BC?A的平面角余弦值為33；

④過(guò)點(diǎn)E至少存在一條直線與正八面體的各個(gè)面所成角均相等．

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.49.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著．其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈．問(wèn)積幾何？”問(wèn)題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚wPQ?ABCD，下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒(méi)有歪斜，即PQ中點(diǎn)R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(長(zhǎng)度單位：丈).則楔體PQ?ABCD的體積為(????)(體積單位：立方丈)A.10 B.8 C.6 D.510.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)，A.三棱錐F?AD1E體積為定值

B.存在唯一點(diǎn)F使EF⊥D1F

C.若AF≤22，則點(diǎn)F二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.若直線a的方向向量是n=(1,?1,2)，平面α的法向量是m=(?2,0,3)，則這條直線a和這個(gè)平面α的位置關(guān)系是______.(填寫(xiě)“面內(nèi)、相交、平行”中的一種)12.如果一個(gè)圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為18π，那么圓錐的母線與底面所成的夾角等于______.(填寫(xiě)具體的角度大小)13.如圖，在正四面體O?ABC中，所有棱長(zhǎng)均為2，若AM=MB，ON=2NC，OA=a，OB=b，OC=14.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2.15.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，CC1=C16.如圖，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E為邊BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折成△AB1E(點(diǎn)B1位于平面ABCD上方)，連接B1C和B1D，F(xiàn)為B1D的中點(diǎn)，F(xiàn)在平面AECD的射影為F′，則在翻折過(guò)程中，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①CF//平面AB1E；

②AB1與CF的夾角為定值π3；

③三、解答題：本題共3小題，共36分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5．

(1)求直線AB1與直線CA1所成角的余弦值；

(2)18.(本小題12分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB1⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱A1A=2．

(Ⅰ)求證：C1D//平面ABB119.(本小題12分)

如圖，在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直，AF//DE，DE⊥AD，AD⊥BE，AF=AD=12DE=1，AB=2．

(1)求證：BF//平面CDE；

(2)判斷線段BE上是否存在點(diǎn)Q，使得平面CDQ⊥平面BEF

參考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.D

10.B

11.相交

12.π313.12a+1214.33

15.1

16.①②④

17.解：(1)在△ABC中，由AB=3，AC=4，BC=5，可知AB⊥AC；

再由直三棱柱性質(zhì)可知AB，AC，AA1兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

可知A(0,0,0)，B1(0,3,4)，C(4,0,0)，A1(0,0,4)，

所以AB1=(0,3,4),CA1=(?4,0,4)，

因此cos<AB1,CA1>=AB1?CA1|AB1||CA1|=165×42=225，

可得直線AB1與直線CA1所成角的余弦值為225．

(2)又易知B(0,3,0)，可得BC=(4,?3,0)，

結(jié)合(1)中結(jié)論可設(shè)平面A18.解：(Ⅰ)證明：因?yàn)锽1C1/?/BC、B1C1=BC，AD//BC、AD=BC，

所以B1C1//AD、B1C1=AD，所以四邊形B1C1DA為平行四邊形，

所以C1D/?/AB1，AB1?平面ABB1A1，C1D?平面ABB1A1，

所以C1D/?/平面ABB1A1；

(Ⅱ)證明：連接BD，因?yàn)锳B1⊥平面ABCD，

由(Ⅰ)知C1D/?/AB1，所以C1D⊥平面ABCD，

又因?yàn)锳C?平面ABCD，所以AC⊥C1D，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD，

又因?yàn)镃1D∩BD=D，所以AC⊥平面C1BD，

因?yàn)镃1B?平面C1BD，所以AC⊥BC1；

(Ⅲ)因?yàn)锳B119.解：(1)證明：∵底面ABCD為平行四邊形，∴AB/?/CD，

又AB?平面CDE，CD?平面CDE，

∴AB/?/平面CDE，同理AF//平面CDE，又AB∩AF=A，

∴平面ABF/?/平面CDE，又BF?平面ABF，

∴BF/?/平面CDE；

(2)如圖，連接BD，

∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，

∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DB，又DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，

∴AD⊥平面BDE，∴AD⊥BD，

∴DA，DB，DE兩兩垂直，

∴以DA，DB，DE所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，建系如圖，則根據(jù)題意可得：

D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，

C(?1,1,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,1)，

∴BE=(0,?1,2)，EF=(1,0,?1)，

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，

則m?BE=?y+2z=0m?EF=x