2025年高考物理一輪復(fù)習(xí)（新人教新高考）第五章萬有引力與宇宙航行復(fù)習(xí)講義（教師版）

考情分析試題情境生活實(shí)踐類地球不同緯度重力加速度的比較學(xué)習(xí)探究類開普勒第三定律的應(yīng)用，利用“重力加速度法”、“環(huán)繞法”計(jì)算天體的質(zhì)量和密度，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)參量的分析與計(jì)算，人造衛(wèi)星，宇宙速度，天體的“追及”問題，衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問題，雙星或多星模型第1課時(shí)萬有引力定律及應(yīng)用目標(biāo)要求1.理解開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，并會(huì)用來解決相關(guān)問題。2.掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法。考點(diǎn)一開普勒定律開普勒三大定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上開普勒第二定律(面積定律)對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個(gè)與行星無關(guān)的常量注意：開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體系統(tǒng)，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。此時(shí)k是一個(gè)與中心天體有關(guān)的常量。思考1.已知同一行星在軌道的兩個(gè)位置的速度：近日點(diǎn)速度大小為v1，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度大小為v2，近日點(diǎn)距太陽距離為r1，遠(yuǎn)日點(diǎn)距太陽距離為r2。(1)v1與v2大小什么關(guān)系？(2)試推導(dǎo)eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)。答案(1)v1>v2(2)證明：由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，則有eq\f(1,2)v1Δt·r1＝eq\f(1,2)v2Δt·r2，可得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)。2．把行星繞太陽運(yùn)行的軌道近似為圓軌道，試求k值。答案由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得：eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，即k＝eq\f(GM,4π2)。1．圍繞同一天體運(yùn)動(dòng)的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個(gè)共同的焦點(diǎn)。(√)2．行星在橢圓軌道上運(yùn)行速率是變化的，離太陽越遠(yuǎn)，運(yùn)行速率越大。(×)3．不同軌道上的行星與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。(×)例1(2023·廣東清遠(yuǎn)市南陽中學(xué)檢測)如圖所示，是某小行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道，M、N、P是小行星依次經(jīng)過的三個(gè)位置，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。小行星由M到N和由N到P的過程中，通過的路程相等，小行星與太陽中心的連線掃過的面積分別為S1和S2。已知由M到N過程中，太陽的引力對(duì)小行星做正功。下列判斷正確的是()A．太陽位于焦點(diǎn)F1處B．S1>S2C．在M和N處，小行星的動(dòng)能EkM>EkND．在N和P處，小行星的加速度aN>aP答案B解析已知由M到N過程中，太陽的引力對(duì)小行星做正功，說明小行星靠近太陽運(yùn)動(dòng)，所以太陽位于焦點(diǎn)F2處，A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知小行星由M到P的過程中速度逐漸增大，小行星由M到N和由N到P的過程中，通過的路程相等，所以小行星由M到N運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于由N到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由開普勒第二定律可知S1>S2，B正確；由動(dòng)能定理，由M到N過程中，萬有引力做正功，則動(dòng)能增大，即EkM<EkN，C錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，可知小行星在N處的引力小于在P處的引力，由牛頓第二定律F＝ma，得aN<aP，D錯(cuò)誤。例2(2023·江蘇無錫市期末)2021年2月，我國首次火星探測任務(wù)中探測器“天問一號(hào)”成功進(jìn)入周期為T的大橢圓環(huán)火軌道。14天后，“天問一號(hào)”成功實(shí)施近火制動(dòng)，經(jīng)過極軌轉(zhuǎn)移軌道(圖中未畫出)，進(jìn)入近火點(diǎn)高度(離火星表面的高度)為h、遠(yuǎn)火點(diǎn)高度為H、周期為eq\f(1,5)T的火星停泊軌道。已知火星半徑為R。則大橢圓環(huán)火軌道半長軸為()A.eq\r(3,\f(25,8))(H＋h) B.eq\r(3,\f(25,8))(H＋h＋2R)C.eq\f(25,2)eq\r(5)(H＋h) D.eq\f(25,2)eq\r(5)(H＋h＋2R)答案B解析根據(jù)開普勒第三定律可得eq\f(\f(H＋h＋2R,2)3,\f(T,5)2)＝eq\f(a3,T2)，解得a＝eq\r(3,\f(25,8))(H＋h＋2R)，故選B?？键c(diǎn)二萬有引力定律1．萬有引力定律(1)內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。即F＝Geq\f(m1m2,r2)，G為引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由物理學(xué)家卡文迪什測定。(2)適用條件①公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離。2．星體表面及上空的重力加速度(以地球?yàn)槔?(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：有mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空的重力加速度大小g′地球上空距離地球中心r＝R＋h處由mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)。1．地球?qū)θ说娜f有引力大于人對(duì)地球的萬有引力。(×)2．地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心。(√)3．兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬有引力趨近于無窮大。(×)例3(2020·全國卷Ⅰ·15)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5答案B解析萬有引力定律表達(dá)式為F＝Geq\f(m1m2,r2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值為eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，選項(xiàng)B正確。例4假定太陽系中一顆質(zhì)量均勻、可看作球體的小行星其自轉(zhuǎn)原來可以忽略?，F(xiàn)若該行星自轉(zhuǎn)加快，角速度為ω時(shí)，該行星表面“赤道”上的物體對(duì)行星的壓力減為原來的eq\f(2,3)。已知引力常量為G，則該行星的密度ρ為()A.eq\f(9ω2,8πG)B.eq\f(ω2,3πG)C.eq\f(3ω2,2πG)D.eq\f(9ω2,4πG)答案D解析該行星表面“赤道”上的物體相對(duì)行星中心靜止，忽略行星自轉(zhuǎn)時(shí)，有eq\f(GMm,R2)＝FN，行星自轉(zhuǎn)角速度為ω時(shí)，有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(2,3)FN＋mRω2，行星的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，解得ρ＝eq\f(9ω2,4πG)，故選D。萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和。越靠近兩極，向心力越小，g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。例5(2024·湖北省模擬)中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所主持研制的“海斗一號(hào)”在無纜自主模式下刷新了中國下潛深度紀(jì)錄，最大下潛深度超過了10000米，首次實(shí)現(xiàn)了無纜無人潛水器萬米坐底并連續(xù)拍攝高清視頻影像。若把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，且球殼對(duì)球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，忽略地球的自轉(zhuǎn)，則下列關(guān)于“海斗一號(hào)”下潛所在處的重力加速度大小g和下潛深度h的關(guān)系圖像可能正確的是()答案D解析設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R，“海斗一號(hào)”下潛h深度后，以地心為球心、以R－h(huán)為半徑的球體的質(zhì)量為M′，則根據(jù)密度相等有eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(M′,\f(4,3)πR－h(huán)3)，由于球殼對(duì)球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(M′m,R－h(huán)2)＝mg，聯(lián)立以上兩式并整理可得g＝eq\f(GM,R3)(R－h(huán))，由該表達(dá)式可知D正確，A、B、C錯(cuò)誤?？键c(diǎn)三天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．利用運(yùn)行天體已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，故只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。例6航天員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求：(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質(zhì)量M；(3)月球的密度ρ。答案(1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)解析(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，有h＝eq\f(1,2)g月t2月球表面的自由落體加速度大小g月＝eq\f(2h,t2)(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月，得月球的質(zhì)量M＝eq\f(2hR2,Gt2)(3)月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2)。例7(2023·遼寧卷·7)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對(duì)應(yīng)的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T1，地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為()A．k3(eq\f(T1,T2))2 B．k3(eq\f(T2,T1))2C.eq\f(1,k3)(eq\f(T1,T2))2 D.eq\f(1,k3)(eq\f(T2,T1))2答案D解析設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r1，地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r2，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得Geq\f(m地m月,r12)＝m月eq\f(4π2,T12)r1，Geq\f(m地m日,r22)＝m地eq\f(4π2,T22)r2，由幾何關(guān)系有eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，根據(jù)ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，可得ρ地＝eq\f(m地,\f(4,3)πR地3)，ρ日＝eq\f(m日,\f(4,3)πR日3)，則eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)(eq\f(T2,T1))2，故選D。課時(shí)精練1．火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知()A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心B.火星和木星繞太陽運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積答案C解析由開普勒第一定律(軌道定律)可知，太陽位于木星運(yùn)行的橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，故A錯(cuò)誤；火星和木星繞太陽運(yùn)行的軌道不同，運(yùn)行速度的大小不可能始終相等，故B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律(周期定律)知，太陽系中所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期的平方的比值是一個(gè)常量，故C正確；對(duì)于太陽系某一個(gè)行星來說，其與太陽連線在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，不同行星在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積不相等，故D錯(cuò)誤。2．(2024·山東青島市調(diào)研)編號(hào)為2020FD2的小行星是中國科學(xué)院紫金山天文臺(tái)發(fā)現(xiàn)的一顆近地小行星?？茖W(xué)家們觀測到它的軌道如圖所示，軌道的半長軸大于地球軌道半徑，小于木星軌道半徑，近日點(diǎn)在水星軌道內(nèi)，遠(yuǎn)日點(diǎn)在木星軌道外。已知木星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為11.86年，關(guān)于該小行星，下列說法正確的是()A．在近日點(diǎn)加速度比遠(yuǎn)日點(diǎn)小B．在近日點(diǎn)運(yùn)行速度比遠(yuǎn)日點(diǎn)小C．公轉(zhuǎn)周期一定小于11.86年D．在近日點(diǎn)的機(jī)械能比遠(yuǎn)日點(diǎn)小答案C解析根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma可知，該小行星在近日點(diǎn)加速度比遠(yuǎn)日點(diǎn)大，故A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律，該小行星在近日點(diǎn)運(yùn)行速度比遠(yuǎn)日點(diǎn)大，故B錯(cuò)誤；該小行星軌道的半長軸大于地球軌道半徑，小于木星軌道半徑，已知木星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為11.86年，根據(jù)開普勒第三定律可知，該小行星的公轉(zhuǎn)周期一定小于11.86年，故C正確；在同一軌道上，只有萬有引力做功，機(jī)械能守恒，該小行星在近日點(diǎn)的機(jī)械能等于遠(yuǎn)日點(diǎn)的機(jī)械能，故D錯(cuò)誤。3．位于貴州的“中國天眼”(FAST)可以測量地球與木星之間的距離。當(dāng)FAST接收到來自木星的光線傳播方向恰好與地球公轉(zhuǎn)線速度方向相同時(shí)，測得地球與木星的距離是地球與太陽距離的k倍。若地球和木星繞太陽的運(yùn)動(dòng)均視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)且軌道共面，則可知木星的公轉(zhuǎn)周期為()A．年 B．年C．年 D．年答案A解析設(shè)地球與太陽距離為r，根據(jù)題述可知木星與太陽的距離R＝eq\r(r2＋kr2)＝設(shè)木星的公轉(zhuǎn)周期為T，根據(jù)開普勒第三定律，則有eq\f(T2,T地2)＝，T地＝1年，解得T＝年，選項(xiàng)A正確，B、C、D錯(cuò)誤。4．(2023·陜西商洛市山陽中學(xué)一模)過去幾千年中，人類對(duì)行星的認(rèn)識(shí)與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51Pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕?！?1Pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)半徑的eq\f(1,20)，已知太陽的質(zhì)量約為2×1030kg，則該中心恒星的質(zhì)量約為()A．2×1030kg B．1×1029kgC．4×1028kg D．2×1028kg答案A解析根據(jù)萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，故該中心恒星與太陽的質(zhì)量之比為eq\f(M1,M2)＝eq\f(r13,r23)·eq\f(T22,T12)＝eq\f(1,203)·eq\f(3652,42)≈1，所以該中心恒星的質(zhì)量M1≈M2＝2×1030kg，故選A。5.(2021·山東卷·5)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業(yè)實(shí)現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由著陸平臺(tái)支撐的懸停過程。懸停時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力大小之比為()A．9∶1B．9∶2C．36∶1D．72∶1答案B解析懸停時(shí)所受平臺(tái)的作用力等于萬有引力，根據(jù)F＝Geq\f(mM,R2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝Geq\f(M火m祝融,R火2)∶Geq\f(M月m玉兔,R月2)＝eq\f(9,22)×2＝eq\f(9,2)，故選B。6．2022年8月10日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長征六號(hào)運(yùn)載火箭成功將“吉林一號(hào)”組網(wǎng)星中的16顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定的環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。這16顆衛(wèi)星的軌道平面各異，高度不同，通過測量發(fā)現(xiàn)，它們的軌道半徑的三次方與運(yùn)動(dòng)周期的二次方成正比，且比例系數(shù)為p。已知引力常量為G，由此可知地球的質(zhì)量為()A.eq\f(2πp,G)B.eq\f(4πp,G)C.eq\f(4π2p,G)D.eq\f(2π2p,G)答案C解析衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，又由題可知r3＝pT2，聯(lián)立解得M＝eq\f(4π2p,G)，C項(xiàng)正確。7．(多選)(2023·安徽滁州市期末)已知火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，自轉(zhuǎn)周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自轉(zhuǎn)影響的條件下，下列說法正確的是()A．該人以相同的初速度在火星上起跳時(shí)，可跳的最大高度是eq\f(9h,4)B．火星表面的重力加速度是eq\f(4,9)gC．火星的平均密度是地球平均密度的eq\f(8,9)D．該人在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的eq\f(2,9)答案ABC解析根據(jù)萬有引力定律得F＝Geq\f(Mm,R2)，知eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火R地2,M地R火2)＝eq\f(1,9)×22＝eq\f(4,9)，該人在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的eq\f(4,9)，故D錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得eq\f(g火,g地)＝eq\f(M火R地2,M地R火2)＝eq\f(1,9)×22＝eq\f(4,9)，則火星表面的重力加速度為eq\f(4,9)g，故B正確；根據(jù)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)∝eq\f(M,R3)，可得eq\f(ρ火,ρ地)＝eq\f(M火R地3,M地R火3)＝eq\f(1,9)×23＝eq\f(8,9)，故C正確；因?yàn)榛鹦潜砻娴闹亓铀俣仁堑厍虮砻嬷亓铀俣鹊膃q\f(4,9)，根據(jù)h＝eq\f(v02,2g)知該人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度是在地球上跳起的最大高度的eq\f(9,4)，為eq\f(9,4)h，故A正確。8．(2023·浙江溫州市模擬)一衛(wèi)星繞某一行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其高度恰好與行星半徑相等，線速度大小為v。而該行星的環(huán)繞周期(即沿行星表面附近飛行的衛(wèi)星運(yùn)行的周期)為T。已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A.eq\f(v3T,2πG)B.eq\f(\r(2)v3T,2πG)C.eq\f(v3T,πG)D.eq\f(\r(2)v3T,πG)答案D解析設(shè)該行星的半徑為R，質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)題意，由萬有引力充當(dāng)向心力有Geq\f(Mm,2R2)＝meq\f(v2,2R)，對(duì)沿該行星表面附近飛行的衛(wèi)星，則有Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(4π2,T2)R，解得M＝eq\f(\r(2)v3T,πG)，故選D。9.(2023·四川省成都七中模擬)如圖所示，A、B兩顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，O為地心，在兩衛(wèi)星運(yùn)行過程中，AB連線和OA連線的夾角最大為θ，則A、B兩衛(wèi)星()A．做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為2eq\r(\f(1,sin3θ))B．做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為eq\f(1,sin3θ)C．與地心O連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積之比為eq\r(\f(1,sinθ))D．與地心O連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積之比為eq\f(1,sinθ)答案C解析夾角最大時(shí)，OB與AB垂直，根據(jù)幾何關(guān)系有rB＝rAsinθ，由開普勒第三定律可得eq\f(TA2,TB2)＝eq\f(rA3,rB3)，則eq\f(TA,TB)＝eq\r(\f(1,sin3θ))，A、B錯(cuò)誤；t時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星與地心連線掃過的面積S＝eq\f(t,T)·πr2，則eq\f(SA,SB)＝eq\f(TB,TA)·eq\f(rA2,rB2)＝eq\r(\f(1,sinθ))，C正確，D錯(cuò)誤。10．(2023·陜西商洛市一模)用彈簧測力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重力，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧測力計(jì)的讀數(shù)是F0。(1)若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計(jì)讀數(shù)為F1，求比值eq\f(F1,F0)的表達(dá)式，并就h＝1.0%R的情形算出具體數(shù)值(計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)；(2)若在赤道地面稱量，彈簧測力計(jì)讀數(shù)為F2，求比值eq\f(F2,F0)的表達(dá)式。答案(1)eq\f(F1,F0)＝eq\f(R2,R＋h2)0.98(2)eq\f(F2,F0)＝1－eq\f(4π2R3,GMT2)解析(1)在北極地面稱量時(shí)，物體受到的重力等于地球的引力，則Geq\f(Mm,R2)＝F0，在北極上空高出地面h處稱量時(shí)，有Geq\f(Mm,R＋h2)＝F1，則eq\f(F1,F0)＝eq\f(R2,R＋h2)。當(dāng)h＝1.0%R時(shí)eq\f(F1,F0)≈0.98。(2)在赤道地面稱量時(shí)，考慮地球的自轉(zhuǎn)，地球的引力提供重力(大小等于彈簧測力計(jì)示數(shù))與物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力；在赤道上小物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到萬有引力和彈簧測力計(jì)的作用力，有Geq\f(Mm,R2)－F2＝mR(eq\f(2π,T))2得eq\f(F2,F0)＝1－eq\f(mR\f(4π2,T2),G\f(Mm,R2))＝1－eq\f(4π2R3,GMT2)。11．(2023·遼寧大連市一模)若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體?！膀札?zhí)枴毕聺撋疃葹閐，“天宮一號(hào)”軌道距離地面高度為h，“蛟龍?zhí)枴彼谔幣c“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度大小之比為(質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)內(nèi)部物體的萬有引力為零)()A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\f(R－d2,R＋h2)C.eq\f(R－dR＋h2,R3) D.eq\f(R－dR＋h,R2)答案C解析設(shè)地球的密度為ρ，則在地球表面，物體受到的重力和地球的萬有引力大小似近相等，有g(shù)＝Geq\f(M,R2)。由于地球的質(zhì)量為M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表達(dá)式可寫成g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(G·ρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR。質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴彼谔幍闹亓铀俣萭′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R)；根據(jù)Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg″，“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度為g″＝eq\f(GM,R＋h2)，所以eq\f(g″,g)＝eq\f(R2,R＋h2)，eq\f(g′,g″)＝eq\f(R－dR＋h2,R3)，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。

第2課時(shí)人造衛(wèi)星宇宙速度目標(biāo)要求1.會(huì)比較衛(wèi)星運(yùn)行的各物理量之間的關(guān)系。2.理解三種宇宙速度，并會(huì)求解第一宇宙速度的大小。3.會(huì)分析天體的“追及”問題?？键c(diǎn)一衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析1．基本公式(1)線速度大?。河蒅eq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))。(2)角速度：由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))。(3)周期：由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))。(4)向心加速度：由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)。結(jié)論：同一中心天體的不同衛(wèi)星，軌道半徑r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。2．“黃金代換式”的應(yīng)用忽略中心天體自轉(zhuǎn)影響，則有mg＝Geq\f(Mm,R2)，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天體質(zhì)量M未知時(shí)，可用gR2替換GM。3．人造衛(wèi)星衛(wèi)星運(yùn)行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛(wèi)星中的靜止衛(wèi)星的軌道是赤道軌道。(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。(2)同步衛(wèi)星①靜止衛(wèi)星的軌道平面與赤道平面共面，且與地球自轉(zhuǎn)的方向相同。②周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，T＝24h。③高度固定不變，h＝3.6×107m。④運(yùn)行速率約為v＝3.1km/s。(3)近地衛(wèi)星：軌道在地球表面附近的衛(wèi)星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度)，T＝85min(人造地球衛(wèi)星的最小周期)。注意：近地衛(wèi)星可能為極地衛(wèi)星，也可能為赤道衛(wèi)星。思考(1)在同一軌道上質(zhì)量大的衛(wèi)星受到地球引力大，是否加速度就大，運(yùn)行速度就快？(2)隨著我國航空航天科技的發(fā)展，將來可以發(fā)射定點(diǎn)到廣州上空的靜止軌道衛(wèi)星嗎？(3)赤道上停放一待發(fā)射衛(wèi)星A，天空運(yùn)行一同步衛(wèi)星B，可以由v＝eq\r(\f(GM,r))得A衛(wèi)星線速度大于B衛(wèi)星線速度嗎？答案(1)由a＝eq\f(GM,r2)及v＝eq\r(\f(GM,r))可得衛(wèi)星運(yùn)行加速度和速度與衛(wèi)星質(zhì)量無關(guān)，同一軌道上各衛(wèi)星具有相同加速度和速度大小(2)由于靜止軌道衛(wèi)星必須與地球自轉(zhuǎn)同步，且轉(zhuǎn)動(dòng)中心必須在地心，故靜止軌道衛(wèi)星只能定點(diǎn)在赤道正上方(3)赤道上停放的物體由萬有引力的一個(gè)分力提供向心力，故不滿足v＝eq\r(\f(GM,r))，又由v＝ωr，A、B兩衛(wèi)星具有相同的角速度，故B衛(wèi)星線速度大。例1(多選)(2024·廣東江門市聯(lián)考)某品牌推出了全球首款支持衛(wèi)星通信的智能手機(jī)，該手機(jī)的衛(wèi)星通信功能，可以讓我們在無信號(hào)環(huán)境下，通過天通一號(hào)衛(wèi)星與外界進(jìn)行聯(lián)系。目前我國已發(fā)射有天通一號(hào)01、02、03三顆靜止軌道衛(wèi)星，天通一號(hào)衛(wèi)星的運(yùn)行軌道距地球表面的高度約為地球半徑的5.6倍，關(guān)于該系列衛(wèi)星，下列說法正確的是()A．不同質(zhì)量的天通一號(hào)衛(wèi)星的速率不相等B．運(yùn)行速度都小于7.9km/sC．可以在北京的上空保持相對(duì)靜止D．向心加速度約為地球表面重力加速度的eq\f(1,44)答案BD解析根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得地球衛(wèi)星的速度大小v＝eq\r(\f(GM,r))，天通一號(hào)三顆衛(wèi)星的軌道半徑相等，則速率相等，與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，故A錯(cuò)誤；第一宇宙速度7.9km/s是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，也是地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度，而天通一號(hào)衛(wèi)星的軌道半徑要大于近地衛(wèi)星的軌道半徑，故天通一號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行的線速度一定小于第一宇宙速度，B正確；天通一號(hào)衛(wèi)星在地球靜止軌道上運(yùn)行，不可能在北京的正上空保持相對(duì)靜止，故C錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,5.6R＋R2)＝ma，據(jù)地球表面萬有引力等于重力可得eq\f(GMm,R2)＝mg，聯(lián)立可得a≈eq\f(1,44)g，故該系列衛(wèi)星的向心加速度約為地球表面重力加速度的eq\f(1,44)，D正確。例2(2023·廣東卷·7)如圖(a)所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于P的遮擋，探測器探測到Q的亮度隨時(shí)間做如圖(b)所示的周期性變化，該周期與P的公轉(zhuǎn)周期相同。已知Q的質(zhì)量為M，引力常量為G。關(guān)于P的公轉(zhuǎn)，下列說法正確的是()A．周期為2t1－t0B．半徑為eq\r(3,\f(GMt1－t02,4π2))C．角速度的大小為eq\f(π,t1－t0)D．加速度的大小為eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))答案B解析由題圖(b)可知探測器探測到Q的亮度隨時(shí)間變化的周期為T＝t1－t0，則P的公轉(zhuǎn)周期為t1－t0，故A錯(cuò)誤；P繞Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得半徑為r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝eq\r(3,\f(GMt1－t02,4π2))，故B正確；P的角速度為ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t1－t0)，故C錯(cuò)誤；P的加速度大小為a＝ω2r＝(eq\f(2π,t1－t0))2·eq\r(3,\f(GMt1－t02,4π2))＝eq\f(2π,t1－t0)·eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))，故D錯(cuò)誤。例3(2023·山東卷·3)牛頓認(rèn)為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)、且都滿足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))答案C解析設(shè)地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球繞地球公轉(zhuǎn)，有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，聯(lián)立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故選C。例4(多選)如圖所示，赤道面內(nèi)的同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運(yùn)行速率為v1，向心加速度大小為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小為a2，第一宇宙速度大小為v2，地球半徑為R，則下列比值正確的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R) B.eq\f(a1,a2)＝(eq\f(R,r))2C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) D.eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))答案AD解析根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v12,r)，Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v22,R)，故eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))；對(duì)于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，其共同點(diǎn)是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)，故選A、D。同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星及赤道上物體的比較如圖所示，a為近地衛(wèi)星，軌道半徑為r1；b為赤道面內(nèi)的地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，軌道半徑為r3。比較項(xiàng)目近地衛(wèi)星(r1、ω1、v1、a1)同步衛(wèi)星(r2、ω2、v2、a2)赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體(r3、ω3、v3、a3)向心力來源萬有引力萬有引力萬有引力的一個(gè)分力軌道半徑r2>r1＝r3角速度ω1>ω2＝ω3線速度v1>v2>v3向心加速度a1>a2>a3考點(diǎn)二宇宙速度三個(gè)宇宙速度第一宇宙速度(環(huán)繞速度)v1＝7.9km/s，是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，這也是地球衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度第二宇宙速度(逃逸速度)v2＝11.2km/s，是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度思考(1)試推導(dǎo)第一宇宙速度的兩個(gè)表達(dá)式。(2)近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期大約是多長時(shí)間？(已知地球質(zhì)量為m地，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，其中R＝6.4×103km，g＝9.8m/s2)答案(1)由Geq\f(m地m,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(Gm地,R))由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)(2)近地衛(wèi)星運(yùn)行周期T＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(6.4×106,9.8))s≈85min。例5(2023·湖北省聯(lián)考)中國火星探測器“天問一號(hào)”成功發(fā)射后，沿地火轉(zhuǎn)移軌道飛行七個(gè)多月，于2021年2月到達(dá)火星附近，要通過制動(dòng)減速被火星引力俘獲，才能進(jìn)入環(huán)繞火星的軌道飛行。已知地球的質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2倍，下列說法正確的是()A．若在火星上發(fā)射一顆繞火星運(yùn)動(dòng)的近地衛(wèi)星，其速度至少需要7.9km/sB．“天問一號(hào)”探測器的發(fā)射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC．火星與地球的第一宇宙速度之比為1∶eq\r(5)D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案C解析衛(wèi)星在行星表面附近繞行的速度為該行星的第一宇宙速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，故v火∶v地＝1∶eq\r(5)，所以在火星上發(fā)射一顆繞火星運(yùn)動(dòng)的近地衛(wèi)星，其速度至少需要v火＝eq\f(7.9,\r(5))km/s，故A錯(cuò)誤，C正確；“天問一號(hào)”探測器掙脫了地球引力束縛，則它的發(fā)射速度大于等于11.2km/s，故B錯(cuò)誤；g地＝Geq\f(M地,R地2)，g火＝Geq\f(M火,R火2)，聯(lián)立可得g地>g火，故D錯(cuò)誤。宇宙速度與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系1．v發(fā)＝7.9km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2．7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓。3．11.2km/s≤v發(fā)＜16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓。4．v發(fā)≥16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。例6航天員在一行星上以速度v0豎直上拋一質(zhì)量為m的物體，不計(jì)空氣阻力，經(jīng)2t后落回手中，已知該星球半徑為R。求：(1)該星球的第一宇宙速度的大?。?2)該星球的第二宇宙速度的大小。已知取無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零，物體距星球球心距離為r時(shí)的引力勢能Ep＝－Geq\f(mM,r)。(G為引力常量)答案(1)eq\r(\f(v0R,t))(2)eq\r(\f(2v0R,t))解析(1)由題意可知該星球表面重力加速度為g＝eq\f(v0,t)，由萬有引力定律知mg＝meq\f(v12,R)解得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(v0R,t))。(2)由星球表面萬有引力等于物體重力知eq\f(GMm,R2)＝mg，又星球表面Ep＝－Geq\f(mM,R)，可得Ep＝－eq\f(mv0R,t)，由機(jī)械能守恒定律有eq\f(1,2)mv22－eq\f(mv0R,t)＝0，解得v2＝eq\r(\f(2v0R,t))?？键c(diǎn)三天體的“追及”問題例7(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好運(yùn)行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出()A．火星與地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期之比約為27∶8B．當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩者的相對(duì)速度最大C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4D．下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前答案B解析火星和地球均繞太陽運(yùn)動(dòng)，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(r火3,r地3)＝eq\f(T火2,T地2)，可得eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(r火3,r地3))＝eq\f(3\r(3),2\r(2))，故A錯(cuò)誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小均不變，當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時(shí)，由于兩者的速度方向相反，故此時(shí)兩者相對(duì)速度最大，故B正確；在星球表面根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，由于不知道火星和地球的質(zhì)量比以及火星和地球的半徑比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度大小之比，故C錯(cuò)誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有ω火＝eq\f(2π,T火)，ω地＝eq\f(2π,T地)，要發(fā)生下一次“火星沖日”，則有(eq\f(2π,T地)－eq\f(2π,T火))t＝2π，得t＝eq\f(T火T地,T火－T地)>T地，可知下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之后，故D錯(cuò)誤。天體“追及”問題的處理方法1．相距最近：兩同心轉(zhuǎn)動(dòng)的衛(wèi)星(rA<rB)同向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，位于同一直徑上且在圓心的同側(cè)時(shí)，相距最近。從相距最近到再次相距最近，兩衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)關(guān)系滿足：(ωA－ωB)t＝2π或eq\f(t,TA)－eq\f(t,TB)＝1。2．相距最遠(yuǎn)：兩同心轉(zhuǎn)動(dòng)的衛(wèi)星(rA<rB)同向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，位于同一直徑上且在圓心的異側(cè)時(shí)，相距最遠(yuǎn)。從相距最近到第一次相距最遠(yuǎn)，兩衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)關(guān)系滿足：(ωA－ωB)t′＝π或eq\f(t′,TA)－eq\f(t′,TB)＝eq\f(1,2)。課時(shí)精練1．(多選)關(guān)于地球同步衛(wèi)星，下列說法正確的是()A．它的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同B．它的周期、高度、速度大小都是一定的C．它的速度大小隨高度的變化而變化，但周期都是一定的D．我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星可以定點(diǎn)在北京上空答案AB解析地球同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，A正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r可知，因地球同步衛(wèi)星的周期一定，則高度、速度大小都是一定的，B正確，C錯(cuò)誤；我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星不可以定點(diǎn)在北京上空，D錯(cuò)誤。2．設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是()A．質(zhì)量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的萬有引力大小答案C解析根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝man，可得an＝eq\f(GM,r2)，因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度大小相同；因該衛(wèi)星的質(zhì)量與月球質(zhì)量不同，則向心力大小以及受到地球的萬有引力大小均不相同。故選C。3．(多選)(2023·北京市海淀區(qū)期中)我國航天事業(yè)處于世界領(lǐng)先地位。我國自行研制的風(fēng)云二號(hào)氣象衛(wèi)星和神舟號(hào)飛船都繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。風(fēng)云二號(hào)離地面的高度是36000km，神舟號(hào)飛船離地面的高度是340km。以下說法中正確的是()A．它們的線速度都大于第一宇宙速度B．風(fēng)云二號(hào)的向心加速度小于神舟號(hào)飛船的向心加速度C．風(fēng)云二號(hào)的線速度大于神舟號(hào)飛船的線速度D．風(fēng)云二號(hào)的周期大于神舟號(hào)飛船的周期答案BD解析根據(jù)萬有引力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma＝mreq\f(4π2,T2)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。因?yàn)榈谝挥钪嫠俣仁墙匦l(wèi)星的運(yùn)行速度，由v＝eq\r(\f(GM,r))知它們的線速度都小于第一宇宙速度，且軌道半徑大的線速度小，故A、C錯(cuò)誤；由a＝eq\f(GM,r2)知軌道半徑大的向心加速度小，故B正確；由T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))知軌道半徑大的周期大，故D正確。4．(2023·浙江6月選考·9)木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為1∶2∶4。木衛(wèi)三周期為T，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T0，則()A．木衛(wèi)一軌道半徑為eq\f(n,16)rB．木衛(wèi)二軌道半徑為eq\f(n,2)rC．周期T與T0之比為D．木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為eq\f(T02,T2)n3答案D解析根據(jù)題意可得，木衛(wèi)三的軌道半徑為r3＝nr。根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(M木m三,r32)＝m三eq\f(4π2,T2)r3，可得r3＝eq\r(3,\f(GM木T2,4π2))，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運(yùn)動(dòng)的周期之比為1∶2∶4，可得木衛(wèi)一軌道半徑為r1＝eq\f(nr,\r(3,16))，木衛(wèi)二軌道半徑為r2＝eq\f(nr,\r(3,4))，故A、B錯(cuò)誤；木衛(wèi)三圍繞的中心天體是木星，月球圍繞的中心天體是地球，根據(jù)題意無法求出周期T與T0之比，故C錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力提供向心力，分別有Geq\f(M木m三,nr2)＝m三eq\f(4π2,T2)nr，Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T02)r，聯(lián)立可得eq\f(M木,M地)＝eq\f(T02,T2)n3，故D正確。5．(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我國綜合性太陽探測衛(wèi)星“夸父一號(hào)”成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了對(duì)太陽探測的跨越式突破?！翱涓敢惶?hào)”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，距地面高度約為720km，運(yùn)行一圈所用時(shí)間約為100分鐘。如圖所示，為了隨時(shí)跟蹤和觀測太陽的活動(dòng)，“夸父一號(hào)”在隨地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中，需要其軌道平面始終與太陽保持固定的取向，使太陽光能照射到“夸父一號(hào)”，下列說法正確的是()A．“夸父一號(hào)”的運(yùn)行軌道平面平均每天轉(zhuǎn)動(dòng)的角度約為1°B．“夸父一號(hào)”繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大于7.9km/sC．“夸父一號(hào)”繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．由題干信息，根據(jù)開普勒第三定律，可求出日地間平均距離答案A解析因?yàn)椤翱涓敢惶?hào)”軌道要始終保持太陽光能照射到，則在一年之內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)360°，即軌道平面平均每天約轉(zhuǎn)動(dòng)1°，故A正確；第一宇宙速度是所有繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，則“夸父一號(hào)”的速度小于7.9km/s，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一號(hào)”繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C錯(cuò)誤；“夸父一號(hào)”繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，中心天體不同，則根據(jù)題干信息不能求出日地間平均距離，故D錯(cuò)誤。6．(2023·廣東茂名市模擬)如圖，“嫦娥五號(hào)”、“天問一號(hào)”探測器分別在近月、近火星軌道運(yùn)行。已知火星的質(zhì)量為月球質(zhì)量的9倍、半徑為月球半徑的2倍。假設(shè)月球、火星均可視為質(zhì)量均勻分布的球體，忽略其自轉(zhuǎn)影響，則()A．月球表面重力加速度比火星表面重力加速度大B．月球的第一宇宙速度比火星的第一宇宙速度大C．質(zhì)量相同的物體在月球、火星表面所受萬有引力大小相等D．“嫦娥五號(hào)”繞月周期比“天問一號(hào)”繞火星周期大答案D解析由mg＝Geq\f(Mm,r2)，可得g＝eq\f(GM,r2)，結(jié)合題意可得g月＝eq\f(4,9)g火，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由mg＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(gr)，所以v月＝eq\f(\r(2),3)v火，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由F引＝Geq\f(Mm,r2)，可知F月＝eq\f(4,9)F火，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，可知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以T月＝eq\f(3\r(2),4)T火，D項(xiàng)正確。7．(2023·湖北武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)檢測)在某國產(chǎn)科幻電影中，太空電梯是其重要的科幻元素，其結(jié)構(gòu)主要由地面基座、纜繩、空間站、平衡錘、運(yùn)載艙組成，如圖所示。地面基座為纜繩的起始段，主要起到固定作用，空間站位于距離地表36000km的地球靜止同步衛(wèi)星軌道，并在距離地表90000km的尾端設(shè)置了平衡錘，空間站、平衡錘、地面基座之間由若干碳納米纜繩垂直連接，運(yùn)載艙可沿纜繩上下運(yùn)動(dòng)。已知空間站、平衡錘與地球自轉(zhuǎn)保持同步，則()A．平衡錘的加速度小于空間站的加速度B．平衡錘的線速度小于空間站的線速度C．平衡錘做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力大于地球?qū)λ娜f有引力D．若平衡錘與空間站之間的纜繩斷裂，平衡錘將墜落地面答案C解析平衡錘和空間站的角速度相等，根據(jù)a＝rω2，可知平衡錘的加速度大于空間站的加速度；根據(jù)v＝rω，可知平衡錘的線速度大于空間站的線速度，故A、B錯(cuò)誤；平衡錘受拉力和萬有引力共同作用提供向心力，所以平衡錘做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力大于地球?qū)λ娜f有引力，故C正確；若平衡錘與空間站之間的纜繩斷裂，則平衡錘所受引力不足以提供向心力，平衡錘做離心運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤。8.(2023·海南瓊海市嘉積中學(xué)模擬)如圖所示，a為放在赤道上相對(duì)地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的靜止軌道衛(wèi)星。下列關(guān)于a、b、c的說法中正確的是()A．地球同步衛(wèi)星都與c在同一個(gè)軌道上，并且它們受到的萬有引力大小相等B．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為aa>ab>acC．a(chǎn)與地球的萬有引力全部提供a隨地球自轉(zhuǎn)的向心力D．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期大小關(guān)系為Ta＝Tc>Tb答案D解析地球同步衛(wèi)星不一定與c在同一個(gè)軌道上，但軌道半徑相等，衛(wèi)星的質(zhì)量不相等，由萬有引力定律F＝eq\f(GMm,r2)可知，它們受到的萬有引力大小不相等，A錯(cuò)誤；對(duì)于b、c，由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，rc＞rb，所以ab＞ac，由于a、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，又a＝rω2，rc＞ra，可得ac＞aa，所以a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為ab＞ac＞aa，B錯(cuò)誤；a與地球的萬有引力一部分提供a隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，C錯(cuò)誤；對(duì)于a、c，其周期相等，所以Ta＝Tc，對(duì)于b、c，由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，rc＞rb，所以Tc＞Tb，即a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期大小關(guān)系為Ta＝Tc>Tb，D正確。9．(2024·遼寧省模擬)火星是近些年來發(fā)現(xiàn)的最適宜人類居住生活的星球，我國成功發(fā)射“天問一號(hào)”標(biāo)志著我國成功地邁出了探測火星的第一步。已知火星直徑約為地球直徑的一半，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的十分之一，航天器貼近地球表面飛行一周所用時(shí)間為T，地球表面的重力加速度為g，若未來在火星表面發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，最小發(fā)射速度約為()A.eq\f(gT,2π)B.eq\f(\r(5)gT,10π)C.eq\f(\r(5)gT,5π)D.eq\f(2\r(5)gT,5π)答案B解析由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得到星球的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，設(shè)地球的第一宇宙速度為v1，由g＝ωv1＝eq\f(2π,T)v1，得v1＝eq\f(gT,2π)，設(shè)火星的第一宇宙速度為v2，則eq\f(v2,v1)＝eq\r(\f(M2,M1))·eq\r(\f(R1,R2))，代入數(shù)據(jù)解得v2＝eq\f(\r(5),5)v1＝eq\f(\r(5)gT,10π)，故選B。10.(2024·廣西南寧市模擬)2023年5月17日10時(shí)49分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號(hào)乙運(yùn)載火箭，成功發(fā)射第56顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星。該衛(wèi)星屬地球靜止軌道衛(wèi)星，是唯一一顆高軌備份衛(wèi)星。圖為其繞地球運(yùn)行的示意圖，測得該衛(wèi)星在t時(shí)間內(nèi)沿順時(shí)針從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，這段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為θ。已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則該衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的()A．線速度大小為eq\f(Rθ,t)B．周期為T＝eq\f(2πt,θ)C．向心加速度大小為eq\r(3,\f(gR2θ2,t2))D．軌道半徑為eq\r(\f(gR2t,θ))答案B解析由T＝eq\f(2π,ω)和ω＝eq\f(θ,t)得T＝eq\f(2πt,θ)，故B正確；由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(θ,t))2r，又v＝ωr，Geq\f(Mm,R2)＝mg，聯(lián)立解得v＝eq\r(3,\f(gR2θ,t))，r＝eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))，故A、D錯(cuò)誤；由a＝ω2r，ω＝eq\f(θ,t)，r＝eq\r(3,\f(gR2t2,θ2))，聯(lián)立解得a＝eq\r(3,\f(gR2θ4,t4))，故C錯(cuò)誤。11.(多選)(2023·河南開封市期末)我國的北斗三號(hào)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星共30顆衛(wèi)星組成。如圖所示，A、C為地球靜止軌道衛(wèi)星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛(wèi)星，繞行方向均與地球自轉(zhuǎn)方向一致。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T1，衛(wèi)星B的運(yùn)行周期為T2，圖示時(shí)刻，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B相距最近。下列說法正確的是()A．衛(wèi)星A、B、C的向心加速度的大小關(guān)系為aA＝aC<aBB．衛(wèi)星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛(wèi)星AC．經(jīng)過時(shí)間eq\f(T1T2,T1－T2)，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B又一次相距最近D．衛(wèi)星A、C的發(fā)射速度小于第一宇宙速度答案AC解析根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq\f(M,r2)，由題圖可知rA＝rC>rB，則aA＝aC<aB，A正確；衛(wèi)星C向后噴氣加速做離心運(yùn)動(dòng)，不能追上同軌道的衛(wèi)星A，B錯(cuò)誤；根據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)－\f(2π,T1)))t＝2π，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B又一次相距最近經(jīng)過的時(shí)間為t＝eq\f(T1T2,T1－T2)，C正確；第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，則衛(wèi)星A、C的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，D錯(cuò)誤。12．(多選)(2023·山東泰安市模擬)2021年2月10日，在歷經(jīng)近7個(gè)月的太空飛行后，我國首個(gè)火星探測器“天問一號(hào)”成功“太空剎車”，順利被火星捕獲，進(jìn)入環(huán)火星軌道。物體在萬有引力場中具有的勢能叫作引力勢能，若取兩物體相距無窮遠(yuǎn)時(shí)的引力勢能為零，一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)距質(zhì)量為M的引力源中心為r時(shí)，其引力勢能Ep＝－eq\f(GMm,r)(式中G為引力常量)。已知地球半徑約為6400km，地球的第一宇宙速度為7.9km/s，火星半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9)。則以下“天問一號(hào)”相對(duì)于火星的速度大于火星第二宇宙速度的是()A．7.9km/s B．5.5km/sC．4.0km/s D．3.2km/s答案AB解析設(shè)物體在星球表面的速度為v2，當(dāng)它脫離該星球引力時(shí)r→∞，此時(shí)速度為零，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mv22－eq\f(GMm,R)＝0，解得星球的第二宇宙速度v2＝eq\r(\f(2GM,R))。第一宇宙速度是星球表面附近衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v12,R)，解得v1＝eq\r(\f(GM,R))，故火星第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比eq\f(v火1,v地1)＝eq\r(\f(M火R地,M地R火))＝eq\r(\f(2,9))，又v火2＝eq\r(2)v火1，代入數(shù)據(jù)解得火星第二宇宙速度v火2≈5.27km/s，故選A、B。

第3課時(shí)專題強(qiáng)化：衛(wèi)星變軌問題雙星模型目標(biāo)要求1.會(huì)處理人造衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問題。2.掌握雙星、多星系統(tǒng)，會(huì)解決相關(guān)問題。3.會(huì)應(yīng)用萬有引力定律解決星球“瓦解”和黑洞問題?？键c(diǎn)一衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問題1．衛(wèi)星發(fā)射模型(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向先發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有Geq\f(Mm,r12)＝meq\f(v2,r1)，如圖所示。(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大，所需向心力變大，Geq\f(Mm,r12)<meq\f(vA2,r1)，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。(3)在橢圓軌道B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))，Geq\f(Mm,r22)>meq\f(vB2,r2)，將做近心運(yùn)動(dòng)，再次點(diǎn)火加速，使Geq\f(Mm,r22)＝meq\f(vB′2,r2)，進(jìn)入圓軌道Ⅲ。思考若使在軌道Ⅲ運(yùn)行的宇宙飛船返回地面，應(yīng)如何操作？答案使飛船先減速進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)近地點(diǎn)時(shí)，使飛船再減速進(jìn)入近地圓軌道Ⅰ，之后再減速做近心運(yùn)動(dòng)著陸。2．變軌過程分析(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在橢圓軌道Ⅱ上過A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)速率分別為vA、vB，四個(gè)速度關(guān)系為vA>v1>v3>vB。(2)向心加速度在A點(diǎn)，軌道Ⅰ上和軌道Ⅱ上的向心加速度關(guān)系aⅠA＝aⅡA，在B點(diǎn)，軌道Ⅱ上和軌道Ⅲ上的向心加速度關(guān)系aⅡB＝aⅢB，A、B兩點(diǎn)向心加速度關(guān)系aA>aB。(均選填“>”“＝”或“<”)(3)周期衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運(yùn)行周期T1、T2、T3的關(guān)系為T1<T2<T3。(4)機(jī)械能在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上機(jī)械能守恒。若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機(jī)械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ和從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ都需要點(diǎn)火加速，則機(jī)械能關(guān)系為E1<E2<E3。例1(2024·黑龍江哈爾濱市第九中學(xué)月考)在發(fā)射一顆質(zhì)量為m的人造地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將其發(fā)射到貼近地球表面運(yùn)行的圓軌道Ⅰ上(離地面高度忽略不計(jì))，再通過一橢圓軌道Ⅱ變軌后到達(dá)距地面高為h的預(yù)定圓軌道Ⅲ上。已知它在圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的加速度大小為g，地球半徑為R，衛(wèi)星在變軌過程中質(zhì)量不變，則()A．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行的加速度大小為(eq\f(h,R＋h))2gB．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行的線速度大小為eq\r(\f(gR2,R＋h))C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的動(dòng)能大于在軌道Ⅰ上的動(dòng)能D．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的機(jī)械能小于在軌道Ⅰ上的機(jī)械能答案B解析衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)，根據(jù)萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma＝meq\f(v2,R＋h)，在地球表面附近由mg＝Geq\f(Mm,R2)得GM＝gR2，所以衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的加速度大小為a＝(eq\f(R,R＋h))2g，線速度大小為v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，故A錯(cuò)誤，B正確；衛(wèi)星的線速度大小為v＝eq\r(\f(GM,r))，衛(wèi)星在圓軌道上運(yùn)行的動(dòng)能為Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，可知衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的動(dòng)能小于在軌道Ⅰ上的動(dòng)能，故C錯(cuò)誤；衛(wèi)星從軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ要點(diǎn)火加速，機(jī)械能增大，從橢圓軌道Ⅱ進(jìn)入軌道Ⅲ要再次點(diǎn)火加速，機(jī)械能繼續(xù)增大，所以衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅰ上的機(jī)械能，故D錯(cuò)誤。例2北京時(shí)間2021年10月16日神舟十三號(hào)載人飛船與在軌飛行的天和核心艙順利實(shí)現(xiàn)徑向自主交會(huì)對(duì)接，整個(gè)交會(huì)對(duì)接過程歷時(shí)約6.5小時(shí)。為實(shí)現(xiàn)神舟十三號(hào)載人飛船與空間站順利對(duì)接，飛船安裝有幾十臺(tái)微動(dòng)力發(fā)動(dòng)機(jī)，負(fù)責(zé)精確地控制它的各種轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)。對(duì)接前飛船要先到達(dá)和空間站很近的相對(duì)靜止的某個(gè)停泊位置(距空間站200m)。為到達(dá)這個(gè)位置，飛船由慣性飛行狀態(tài)轉(zhuǎn)入發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)控狀態(tài)，下列說法正確的是()A．飛船先到空間站同一圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適位置減速靠近即可B．飛船先到與空間站圓周軌道垂直的同半徑軌道上運(yùn)動(dòng)，在合適位置減速靠近即可C．飛船先到空間站軌道下方圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適的位置減速即可D．飛船先到空間站軌道上方圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適的位置減速即可答案D解析根據(jù)衛(wèi)星變軌時(shí)，由低軌道進(jìn)入高軌道需要點(diǎn)火加速，反之要減速，所以飛船先到空間站下方的圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適的位置加速靠近即可，或者飛船先到空間站軌道上方圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適的位置減速即可，故選D。考點(diǎn)二雙星或多星模型1．雙星模型(1)繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點(diǎn)①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2。②兩星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩星的軌道半徑與它們之間的距離的關(guān)系為r1＋r2＝L。思考(1)若兩星運(yùn)行的線速度大小分別為v1、v2，加速度大小分別為a1、a2，質(zhì)量分別為m1、m2，則v、a與軌道半徑r、兩星質(zhì)量的關(guān)系怎樣？答案由v＝ωr，m1ω2r1＝m2ω2r2，得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)，由a＝ω2r及m1ω2r1＝m2ω2r2得eq\f(a1,a2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)。(2)兩星之間的距離L、周期T與總質(zhì)量(m1＋m2)的關(guān)系怎樣？答案由eq\f(Gm1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1＝m2eq\f(4π2,T2)r2及r1＋r2＝L，得eq\f(L3,T2)＝eq\f(Gm1＋m2,4π2)或m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)。例3(2024·河北石家莊市調(diào)研)夜空中我們觀測到的亮點(diǎn)，其實(shí)大部分并不是單一的恒星，而是多星系統(tǒng)。在多星系統(tǒng)中，雙星系統(tǒng)又是最常見的，圖甲為繞連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩顆中子星組成的雙星系統(tǒng)，其抽象示意圖如圖乙所示，若兩中子星的質(zhì)量之比mP∶mQ＝k∶1。則()A．根據(jù)圖乙可以判斷出k>1B．若P、Q的角速度和它們之間的距離一定，則P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小之和一定C．P的線速度大小與P、Q之間的距離成正比D．僅增大P、Q之間的距離，P、Q運(yùn)行的周期變小答案B解析設(shè)P、Q之間的距離為L，P做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r1，Q做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r2，角速度為ω，則有Geq\f(mPmQ,L2)＝mPω2r1，Geq\f(mPmQ,L2)＝mQω2r2，聯(lián)立可得eq\f(mP,mQ)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(k,1)，由于r1>r2，則k<1，故A錯(cuò)誤；根據(jù)線速度與角速度之間的關(guān)系有vP＝ωr1，vQ＝ωr2，r1＋r2＝L，則vP＋vQ＝ω(r1＋r2)＝ωL，可知，若P、Q的角速度和它們之間的距離一定，則P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小之和一定，故B正確；根據(jù)Geq\f(mPmQ,L2)＝mPeq\f(vP2,r1)，可得vP＝eq\r(\f(GmQr1,L2))＝eq\r(\f(GmQ2,LmP＋mQ))，故C錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(mPmQ,L2)＝mPeq\f(4π2,T2)r1，Geq\f(mPmQ,L2)＝mQeq\f(4π2,T2)r2，可得T＝2πeq\r(\f(L3,GmP＋mQ))，若僅增大P、Q之間的距離，則P、Q運(yùn)行的周期將變大，故D錯(cuò)誤。2．多星模型所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。常見的多星模型及其規(guī)律：常見的三星模型①eq\f(Gm2,2R2)＋eq\f(GMm,R2)＝ma向②eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向常見的四星模型①eq\f(Gm2,L2)×cos45°×2＋eq\f(Gm2,\r(2)L2)＝ma向②eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＋eq\f(GMm,\f(L,\r(3))2)＝ma向例4(2023·廣東珠海市調(diào)研)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的，由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對(duì)三星系統(tǒng)的影響。穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的軌道上運(yùn)行，如圖甲所示，周期為T1；另一種是三顆星位于邊長為r的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿等邊三角形的外接圓運(yùn)行，如圖乙所示，周期為T2。若每顆星的質(zhì)量都相同，則T1∶T2為()A.eq\f(R,2r)eq\r(\f(3R,5r)) B.eq\f(r,R)eq\r(\f(3r,5R))C.eq\f(r,R)eq\r(\f(3R,5r)) D.eq\f(2R,r)eq\r(\f(3R,5r))答案D解析第一種形式下，星體A受到星體B和星體C對(duì)其的萬有引力，它們的合力充當(dāng)向心力，則Geq\f(mm,R2)＋Geq\f(mm,2R2)＝meq\f(4π2,T12)R，解得T1＝4πReq\r(\f(R,5Gm))，第二種形式下，星體之間的距離為r，那么圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R′＝eq\f(\r(3)r,3)，星體A所受合力F合＝2Geq\f(mm,r2)·cos30°，根據(jù)合力提供向心力有2Geq\f(mm,r2)·cos30°＝meq\f(4π2,T22)·eq\f(\r(3)r,3)，解得T2＝2πreq\r(\f(r,3Gm))，則T1∶T2＝eq\f(2R,r)eq\r(\f(3R,5r))，故選D?？键c(diǎn)三星球“瓦解”問題黑洞問題1．星球的瓦解問題當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時(shí)，星球?qū)Α俺嗟馈鄙系奈矬w的引力不足以提供向心力時(shí)，物體將會(huì)“飄起來”，進(jìn)一步導(dǎo)致星球瓦解，瓦解的臨界條件是“赤道”上的物體所受星球的引力恰好提供向心力，即eq\f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq\r(\f(GM,R3))。當(dāng)ω>eq\r(\f(GM,R3))時(shí)，星球瓦解，當(dāng)ω<eq\r(\f(GM,R3))時(shí)，星球穩(wěn)定運(yùn)行。2．黑洞黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運(yùn)行的天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律間接研究黑洞。當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的eq\r(2)倍)超過光速時(shí)，該天體就是黑洞。例52018年2月，我國500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19ms。假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為()A．5×109kg/m3 B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3答案C解析毫秒脈沖星穩(wěn)定自轉(zhuǎn)，萬有引力提供向心力，則有Geq\f(Mm,r2)≥mreq\f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq\f(4,3)πr3，整理得密度ρ≥eq\f(3π,GT2)＝eq\f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32)kg/m3≈5.2×1015kg/m3，故選C。例6科學(xué)研究表明，當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的eq\r(2)倍)大于光速時(shí)，該天體就是黑洞。已知某天體與地球的質(zhì)量之比為k，地球的半徑為R，地球的環(huán)繞速度(第一宇宙速度)為v1，光速為c，則要使該天體成為黑洞，其半徑應(yīng)小于()A.eq\f(2v12R,kc2)B.eq\f(2kc2R,v12)C.eq\f(kv12R,2c2)D.eq\f(2kv12R,c2)答案D解析地球的第一宇宙速度為v1＝eq\r(\f(GM,R))，則黑洞的第一宇宙速度為v2＝eq\r(\f(GkM,r))，并且有eq\r(2)v2>c，聯(lián)立解得r<eq\f(2kv12R,c2)，所以D正確，A、B、C錯(cuò)誤。課時(shí)精練1.(2023·江蘇南京市期中)地球、火星的公轉(zhuǎn)軌道可近似為如圖所示的圓，“天問一號(hào)”火星探測器脫離地球引力束縛后通過霍曼轉(zhuǎn)移軌道飛往火星，霍曼轉(zhuǎn)移軌道為橢圓軌道的一部分，在其近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)處分別與地球、火星軌道相切。若僅考慮太陽引力的影響，則“天問一號(hào)”在飛往火星的過程中()A．速度變大 B．速度不變C．加速度變小 D．加速度不變答案C解析“天問一號(hào)”在飛往火星的過程中，從近日點(diǎn)到遠(yuǎn)日點(diǎn)速度變小，故A、B錯(cuò)誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma可知，“天問一號(hào)”與太陽之間的距離變大，加速度變小，故C正確，D錯(cuò)誤。2．(2023·山東濟(jì)南市模擬)2022年11月12日，天舟五號(hào)與空間站天和核心艙成功對(duì)接，此次發(fā)射任務(wù)從點(diǎn)火發(fā)射到完成交會(huì)對(duì)接，全程僅用2個(gè)小時(shí)，創(chuàng)世界最快交會(huì)對(duì)接紀(jì)錄，標(biāo)志著我國航天交會(huì)對(duì)接技術(shù)取得了新突破。在交會(huì)對(duì)接的最后階段，天舟五號(hào)與空間站處于同一軌道上同向運(yùn)動(dòng)，兩者的運(yùn)行軌道均視為圓周。要使天舟五號(hào)在同一軌道上追上空間站實(shí)現(xiàn)對(duì)接，天舟五號(hào)噴射燃?xì)獾姆较蚩赡苷_的是()答案A解析要想使天舟五號(hào)在與空間站的同一軌道上對(duì)接，則需要使天舟五號(hào)加速，與此同時(shí)要想不脫離原軌道，根據(jù)F＝meq\f(v2,r)，則必須要增加向心力，即噴氣時(shí)產(chǎn)生的推力一方面有沿軌道向前的分量，另一方面還要有指向地心的分量，而因噴氣產(chǎn)生的推力方向與噴氣方向相反，則圖A是正確的。3．(2023·河南南陽市期中)2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船與天和核心艙成功對(duì)接，對(duì)接過程如圖所示。天和核心艙處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ上；神舟十二號(hào)飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ上，運(yùn)行周期為T1，經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B處與核心艙對(duì)接，則神舟十二號(hào)飛船()A．沿軌道Ⅰ運(yùn)行的周期大于天和核心艙沿軌道Ⅲ運(yùn)行的周期B．沿軌道Ⅱ從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，機(jī)械能增大C．在軌道Ⅰ上的速度小于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)經(jīng)過B點(diǎn)的速度D．沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為T2＝T1eq\r(\f(r1＋r3,2r1)3)答案D解析對(duì)神舟十二號(hào)飛船，由萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r