貴州省頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高中數(shù)學(xué)必修五32一元二次不等式及34基本不等式教案8

教案一胡祖鵬一一元二次不等式及基本不等式及復(fù)習(xí)一2018年春季第7周上周反思：上周數(shù)列章末總結(jié)及不等式的初步了解，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對知識記憶上到位，在運用上還需繼續(xù)加強，在接下來的教學(xué)過程中不斷探究，加深知識的靈活運用?！?.2一元二次不等式及其解法教學(xué)目標知識目標：鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系；進一步熟練解一元二次不等式的解法；能力目標：培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；情感態(tài)度價值觀：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會從不同側(cè)面觀察同一事物思想。教學(xué)重點從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。教學(xué)難點理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系。教學(xué)過程1.課題導(dǎo)入1.判斷對錯①；②；3.已知，，，求證：．熟練掌握一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系一元二次不等式及其解法1）一元二次不等式的定義像這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式1．一元二次不等式、對應(yīng)方程、函數(shù)之間的關(guān)系；2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情況中，分母要不為零；3．高次不等式要注重對重因式的處理．主要方法：1．解一元二次不等式通常先將不等式化為或的形式，然后求出對應(yīng)方程的根（若有根的話），再寫出不等式的解：大于時兩根之外，小于時兩根之間；2．分式不等式主要是轉(zhuǎn)化為等價的一元一次、一元二次或者高次不等式來處理；3．高次不等式主要利用“序軸標根法”解．2)解一元二次不等式的步驟：①將二次項系數(shù)化為“+”：A=>0(或<0)(a>0)②計算判別式，分析不等式的解的情況：ⅰ.>0時，求根<，ⅱ.=0時，求根＝＝，ⅲ.<0時，方程無解， ③寫出解集.小結(jié)：1一元一次不等式、一元二次不等的求解要正確、熟練、迅速，這是解分式不等式、無理不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的基礎(chǔ)帶等號的分式不等式求解時，要注意分母不等于0，二次函數(shù)的值恒大于0的條件是且；若恒大于或等于0，則且若二次項系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函數(shù)是二次函數(shù)時，必須考慮二次項系數(shù)為0這一特殊情形2忽略對定義域的考慮以及變形過程的不等價，是解無理不等式的常見錯誤，因此要強化對轉(zhuǎn)化的依據(jù)的思考3數(shù)形結(jié)合起來考慮，可以簡化解題過程，特別是填空、選擇題，還可利用圖形驗證，解題的結(jié)果4解指數(shù)、對數(shù)不等式的過程中常用到換元法底數(shù)是參數(shù)時，須不重不漏地分類討論化同底是解不等式的前提取對數(shù)也是解指數(shù)、對數(shù)不等式的常用方法之一，在取對數(shù)過程中，特別要注意必須考慮變量的取值范圍當所取對數(shù)的底數(shù)是字母時，隨時要把“不等號是否變向”這一問題斟酌再三5．解含參數(shù)的不等式時，必須要注意參數(shù)的取值范圍，并在此范圍內(nèi)對參數(shù)進行分類討論分類的標準要通過理解題意（例如能根據(jù)題意挖掘出題目的隱含條件），根據(jù)方法（例如利用單調(diào)性解題時，抓住使單調(diào)性發(fā)生變化的參數(shù)值），按照解答的需要（例如進行不等式變形時必須具備的變形條件）等方面來決定，要求做到不重復(fù)、不遺漏解不等式是不等式研究的主要內(nèi)容，許多數(shù)學(xué)中的問題都可以轉(zhuǎn)化為一個解不等式的問題，如函數(shù)的定義域、值域、最值和參數(shù)的取值范圍，以及二次方程根的分布等因此解不等式在數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位，是高考的必考內(nèi)容之【題型一、求解一元二次不等式】【例1】【方法技巧】任意的一元二次不等式，總可以化為以下兩種形式：（l）拋物線

（a>0）與x軸的相關(guān)位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程=0的判別式三種取值情況(Δ>0，Δ=0，Δ<0）來確定.因此，要分二種情況討論（2）a<0可以轉(zhuǎn)化為a>0分Δ>O，Δ=0，Δ<0三種情況，得到一元二次不等式>0與<0的解集一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R【題型二、二次方程的根與二次函數(shù)的零點之間的關(guān)系】【例2】探究一元二次不等式的解集【方法技巧】求一元二次不等式的解集實際要先求出一元二次方程等于0時的解集，即二次函數(shù)與X軸的交點，二次方程的有兩個實數(shù)根：二次函數(shù)有兩個零點：于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數(shù)的零點.【題型三、分式不等式的解法】【例3】【方法技巧】主要采用序軸標根法，但是注意分母不能為0【題型四、含參數(shù)的不等式】【例4】若不等式kx22x+1k<0對滿足的所有k都成立，求x的取值范圍【方法技巧】原不等式可化為設(shè)，是關(guān)于k的單調(diào)函數(shù)，根據(jù)題意有：，即用換元、分離變量的方法在不等式的求解過程中比較常出現(xiàn)，也是解決含參數(shù)問題的重要方法【題型五、解無理數(shù)不等式】【例5】解不等式：（1）【方法技巧】原不等式與不等式組，或同解，一個無理不等式轉(zhuǎn)化為兩個不等式組還是轉(zhuǎn)人為一個不等式組，這是解無理不等式的一個基本問題問題中的第一個不等式組中可省去，問題的結(jié)果可從函數(shù)和的圖象上看出，讓學(xué)生學(xué)會用圖象法解不等式【題型六、解指數(shù)、對數(shù)不等式】【例6】解不等式【方法技巧】解指數(shù)、對數(shù)不等式的過程中常用到換元法底數(shù)是參數(shù)時，須不重不漏地分類討論化同底是解不等式的前提取對數(shù)也是解指數(shù)、對數(shù)不等式的常用方法之一，在取對數(shù)過程中，特別要注意必須考慮變量的取值范圍當所取對數(shù)的底數(shù)是字母時，隨時要把“不等號是否變向”這一問題斟酌再三>1,>0,,∴①當0<<1，即0<a<時，原不等式的解為; ②當a>時，解集為{x|};③當a=時，解集為R【題型七、不等式解實際問題】【例7】.某文具店購買了一批新型臺燈，若按每盞燈15元的價格銷售，每天能賣30盞燈，若價格每提高1元，日銷售量則減少2盞，為了這批臺燈每天獲得400元以上的銷售收入，應(yīng)怎樣定制這批臺燈的價格？【方法技巧】根據(jù)題意準確寫出不等關(guān)系式1.設(shè)集合，，若，那么實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．2.若不等式的解集為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．3.設(shè)一元二次不等式的解集為，則的值是（）A． B． C．D．4.不等式的解集是（） A．B．C．D．5.不等式的解集是，則（）A．B．C．D．6.不等式的解集是（）A．B．C．D．7.不等式的解集是（）A．B．C．D．8.不等式的解集為，那么（）A．，B．， C．， D．，9.設(shè)，且，則的解集是（）A．B．C．D．10.不等式的解集是______________________________．11.的解集是，則_________．12.已知不等式的解集是，則________．13.已知不等式的解集為，求、的值．14.已知集合，，求，．15.若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍.課時小結(jié)進一步熟練掌握一元二次不等式的解法一元二次不等式與一元二次方程以及一元二次函數(shù)的關(guān)系板書設(shè)計：1.新課導(dǎo)入；2.講授新課；3.例題；4.課堂練習(xí)；5.小結(jié)；6.布置作業(yè)3.4基本不等式教學(xué)目標1、知識與技能了解基本不等式的推導(dǎo)過程，掌握基本不等式取等號的條件；能夠初步運用基本不等式及其取等條件解決一些簡單的函數(shù)的最值問題，并能解決一些實際問題。2、過程與方法通過公式推導(dǎo)過程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納的思維能力，使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，并引導(dǎo)學(xué)生從不同角度解釋基本不等式。3、情感態(tài)度與價值觀通過基本不等式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生嚴密的邏輯推理能力，通過運用基本不等式，使學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)重、難點重點：基本不等式的推導(dǎo)以及其取等的條件，運用基本不不等式解決一些簡單的函數(shù)的最值問題，并能解決一些實際問題。難點：用數(shù)形結(jié)合思想理解不等式，并從不同角度解釋基本不等式。課前準備 多媒體課件的制作教學(xué)過程設(shè)計一、課題導(dǎo)入一、復(fù)習(xí)回顧：題目分析：除運用函數(shù)的單調(diào)性求解最值外，當時，可以利用基本不等式解題，引導(dǎo)出基本不等式。并強調(diào)基本不等式時三個條件“一正、二定、三相等?！被静坏仁剑喝绻?是正數(shù)，那么變形公式：解題分析：對于且積為定值，求和的最值時利用求其最小值。并加以總結(jié)：當積為定值時和有最小值。解題分析：對于且和為定值，求積的最值時利用求其最大值。并加以總結(jié)：當和為定值時積有最大值。2.最值定理：已知都是正數(shù)，①如果積是定值，那么當時，和有最小值；②如果和是定值，那么當時，積有最大值．說明：用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”。二、例題講解、發(fā)散思維【題型1.不具備“正數(shù)”】學(xué)生板演，教師根據(jù)學(xué)生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：利用基本不等式求函數(shù)最值時要滿足各項均為正值，當不具備“正值”條件時，需將其轉(zhuǎn)化為正值；對于本題的解法是化負為正。然后再利用基本不等式解題。【題型2.不具備“定值”】學(xué)生板演，教師根據(jù)學(xué)生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：利用基本不等式求函數(shù)最值時要滿足為定值。不具備“定值”條件時，需將其構(gòu)造成定值條件；求和的最值化積為定值，求積的最值化和為定值。然后再利用基本不等式解題?！绢}型3.不具備“相等”的條件】學(xué)生板演，教師根據(jù)學(xué)生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：利用基本不等式求函數(shù)最值時要滿足等號成立。當不具備“相等”條件時，不能利用基本不等式解題?？梢韵戎v解觀察函數(shù)的圖像求解最值?？偨Y(jié)：等號成立時，利用基本不等式求最值。等號不成立時，利用函數(shù)單調(diào)性求最值。習(xí)題訓(xùn)練：求下列函數(shù)的值域:學(xué)生板演，教師根據(jù)學(xué)生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：對于分母為一次函數(shù)，分子為二次函數(shù)的分式函數(shù)求最值，可以結(jié)合以前所學(xué)過的分離常數(shù)法將分式函數(shù)變形為的形式，也可以利用換元法將分式函數(shù)變形為的形式，再利用基本不等式解題。學(xué)生板演，教師根據(jù)學(xué)生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：對于分母為二次函數(shù)，分子為常數(shù)項為0的一次函數(shù)的分式函數(shù)求最值，分子分母同除以分子；轉(zhuǎn)化為分母為基本不等式形式。對于分母先利用基本不等式求解，再求其倒數(shù)。解題時一定要注意基本不等式的使用條件?！绢}型4.含兩個變量或多個變量的最值問題】例4、已知x，y為正實數(shù)，且x+y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值時的x，y的值；學(xué)生板演，教師根據(jù)學(xué)生的做題情況進行點評總結(jié)。本題小結(jié)：對于（1）已知兩正數(shù)的和為定值求積的最值，直接利用基本不等式解題，并強調(diào)等號成立的條件。對于（2）中求的最小值，采用的是整體代換思想，將中的1用來代換，轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式解題。歸納：利用基本不等式求函數(shù)值域，要注意基本不等式的三個條件:（1）不具備“正值”條件時，需將其轉(zhuǎn)化為正值；（2）不具備“定值”條件時，需將其構(gòu)造成定值條件；（構(gòu)造：積為定值或和為定值）（3）不具備“相等”條件時，需進行適當變形或利用函數(shù)單調(diào)性求值域；同時要靈活運用“1”的代換。一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和為常數(shù)，要注意定理及變形的應(yīng)用。2、對公式的理解師：根據(jù)前面的討論，我們得出如下結(jié)論： 一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立。特別地，如果a>0，b>0，我們用，分別代替a、b，可得通常我們把上式寫作師：我們常把叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)。于是我們可以這樣理解我們的基本不等式：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)。（稍有停頓）前面所學(xué)的知識，你還能怎樣理解基本不等式？生：……師：我們發(fā)現(xiàn)恰好是正數(shù)a、b的等比中項，而恰好是正數(shù)a、b的等差中項，從而我們還可以這樣理解：兩個正數(shù)的等比中項不小于它們的等差中項。（設(shè)計意圖：總結(jié)前面討論所得的結(jié)論，并對結(jié)論進行拓展，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，注意從不同的角度解釋基本不等式，加深對公式的記憶。）三，基本不等式的運用師：通過前面的學(xué)習(xí)，相信大家對基本不等式已經(jīng)有了一定的了解，現(xiàn)在我們就一起來運用基本不等式解決一些簡單的問題。例1、x>0，當x取什么值時，的值最??？最小值是多少？（展示PPT）師：請同學(xué)們先自己思考一下第一題。（停頓一分鐘）師：有沒有同學(xué)得出答案？生：最小值為2.師：非常好，現(xiàn)在我們一起來分析一下這道題，x，則是大于0的，根據(jù)基本不等式就有，取等條件為，即x=1，符合題意，所以最小值為2。請同學(xué)們看詳細的解答過程（展示PPT）解答過程：解：x>0則>0，根據(jù)基本不等式有當且僅當，即x=1時，等號成立。所以當x=1時，最大值為2。（設(shè)計意圖：運用基本不等式解決簡單函數(shù)的最值問題，加深學(xué)生對基本不等式取等條件的記憶，同時讓學(xué)生體會基本不等式的運用價值）例2、用籬笆圍住一個面積為100m師：請同學(xué)們先自己做一下。（停頓一分鐘）師：有沒有同學(xué)做出來？生：最短籬笆為40m師：非常好，我們一起來分析一下，如果我們設(shè)矩形菜園的長為x，寬為y，那么根據(jù)題意就有xy=100，我們需要求的是2（x+y）。根據(jù)今天我們所學(xué)的基本不等式就有，也就是，從而，當時取等。請同學(xué)們看詳細的解答過程（展示PPT）。解答過程：解：設(shè)矩形菜園的長為x，寬為y，則xy=100，籬笆的長為2（x+y），由基本不等式可得，即當且僅當時，等號成立。因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短籬笆為40例3、一段長為36m的籬笆圍成宇哥矩形菜園，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積為多少？（展示PPT）師：請同學(xué)們先自己做一下。（停頓一分鐘）師：請***同學(xué)起來回答一下你的答案。生：最大面積是81m2師：非常好，請坐下。我們一起來分析一下。設(shè)矩形菜園的長為x，寬為y，那么根據(jù)題意就有2（x+y）=36，即（x+y）=18，我們需要求的是xy的最大值，根據(jù)基本不等式就有，即，當時取等，請同學(xué)們看詳細的解答過程（展示PPT）。解答過程：解：設(shè)矩形菜園的長為x，寬為y，則2（x+y）=36，矩形菜園的面積為xy，由基本不等式可得，即當且僅當時，等號成立。因此，這個矩形的長、寬都為10m時，菜園的面積最大，最大面積為81m師：做了第2、3題你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生：……師：對于第2題，xy的值是一定的，而我們求得（x+y）有最小值，對于第3題，（x+y）的值是一定的，我們求得xy有最大值。再觀察我們的基本不等式，可以發(fā)現(xiàn)，當兩個正數(shù)的積一定時，和有最小值；和一定時，積有最大值。于是我們得出這樣一個結(jié)論：任意兩個正數(shù)，積一定，和有最小值；和一定，積有最大值。（設(shè)計意圖：運用基本不等式解決實際問題，加深學(xué)生對基本不等式的理解，實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維；同時使學(xué)生體會到基本不等式在實際生活中運用價值。）三、課堂小結(jié)：本節(jié)課的主要內(nèi)容是用基本不等式求最值的必須具備的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”，當給出的函數(shù)式不具備條件時，往往通過對所給的函數(shù)式及條件進行拆分、配湊變形來創(chuàng)造利用基本不等式的條件進行求解；四、作業(yè)布置：六、板書設(shè)計主板書：1、取等條件：a=b2、取等條件：a=b3、任意兩個正數(shù)，積一定，和有最小值；和一定，積有最大值。副板書：S正=4S△=2ab例1、，即x=1時取等例2、xy=100例3、2（x+y）=36即數(shù)學(xué)必修5復(fù)習(xí)知識提綱（一）解三角形：(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：；；；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.(4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）。特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化。如（1）中，A、B的對邊分別是，且，那么滿足條件的A、有一個解B、有兩個解C、無解D、不能確定（答：C）；（2）在中，A＞B是成立的_____條件（答：充要）；（3）在中，，則＝_____（答：）；(4)在中，分別是角A、B、C所對的邊，若，則＝____（答：）；（5）在中，若其面積，則=____（答：）；（6）在中，，這個三角形的面積為，則外接圓的直徑是_______（答：）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的對邊，=，的最大值為 （答：）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是 （答：）；（9）設(shè)O是銳角三角形ABC的外心，若，且的面積滿足關(guān)系式，求（答：）．（二）數(shù)列：1.等差數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn=為通項公式的數(shù)列為等差數(shù)列。（2）等差數(shù)列的通項：或。如=1\*GB3①等差數(shù)列中，，，則通項；=2\*GB3②首項為24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______；（3）等差數(shù)列的前和：，。如=1\*GB3①數(shù)列中，，，前n項和，則＝＿，＝；=2\*GB3②已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的前項和.（4）等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2）2.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.如等差數(shù)列中，，則＝____；(4)若是等差數(shù)列，則，…也成等差數(shù)列如等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。（5）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.如設(shè){}與{}是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么___________；(6)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如=1\*GB3①等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值；=2\*GB3②若是等差數(shù)列，首項，，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n是；3.等比數(shù)列的有關(guān)概念：（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。如=1\*GB3①一個等比數(shù)列{}共有項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則為____；=2\*GB3②數(shù)列中，=4+1()且=1，若，求證：｛｝是等比數(shù)列。（2）等比數(shù)列的通項：或。如設(shè)等比數(shù)列中，，，前項和＝126，求和公比.（3）等比數(shù)列的前和：當時，；當時，。如等比數(shù)列中，＝2，S99=77，求；特別提醒：等比數(shù)列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。（4）等比中項：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項。4.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當時，則有，特別地，當時，則有.如=1\*GB3①在等比數(shù)列中，，公比q是整數(shù)，則=___；=2\*GB3②各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則。(2)若是等比數(shù)列，則數(shù)列，…也是等比數(shù)列。如在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為___；(3)若，則為遞增數(shù)列；若,則為遞減數(shù)列；若，則為遞減數(shù)列；若,則為遞增數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列的前項和為（），關(guān)于數(shù)列有下列三個命題：①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是；5.數(shù)列的通項的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。如已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：__________；⑵已知（即）求，用作差法：。如①已知的前項和滿足，求；②數(shù)列滿足，求⑶已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對所有的都有，則______；⑷若求用累加法：。如已知數(shù)列滿足，，則=________；⑸已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，，前項和，若，求⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。如已知，求；②已知，求；（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。如已知，求；②已知數(shù)列滿足=1，，求；注意：（1）用求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當時，）；（2）一般地當已知條件中含有與的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列滿足，求；6.數(shù)列求和的常用方法：公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論.；③常用公式：，，.如等比數(shù)列的前項和Sｎ＝2ｎ－１，則＝_____；（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.如求和：（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.如已知，則＝______；（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.如設(shè)為等比數(shù)列，，已知，，①求數(shù)列的首項和公比；②求數(shù)列的通項公式.；（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：①；②；如=1\*GB3①求和：；=2\*GB3②在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____；（三）不等式1、不等式的性質(zhì)：（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；（4）若，，則；若，，則。如=1\*GB3①對于實數(shù)中，給出下列命題：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；=2\*GB3②已知，，則的取值范圍是______（答：）；=3\*GB3③已知，且則的取值范圍是______（答：）2.不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（