專題20 三角形存在性問題【考點(diǎn)精講】

專題20三角形存在性問題專題20三角形存在性問題知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航方法技巧方法技巧1．判定△ABD的形狀，并說明理由。運(yùn)用勾股定理或兩點(diǎn)間的距離公式，求出該三角形各邊的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形的形狀。2．在對稱軸x=1上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.設(shè)出動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,t)后，分三種情況，若P為頂點(diǎn)，則PB=PC；若B為頂點(diǎn)，則BP=BC；若C為頂點(diǎn)，則CP=CB。分別用兩點(diǎn)間的距離公式求出或表示各線段的長度，列方程求解即可。3．若平行于x軸的動直線l與直線BD交于點(diǎn)F,與拋物線交于點(diǎn)P,若△ODF為等腰三角形,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).用勾股定理求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)間的距離，再分類討論等腰三角形各邊的情況，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。4．△ABD與△BOD是否相似？說明理由.用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示兩個三角形的各邊之長，再用相似的判定方法，注意相似中沒有指明對應(yīng)邊，所以要分類討論。題型精講題型精講題型一：等腰三角形存在性問題【例1】（2021·四川南充市）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ．當(dāng)線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型二：直角三角形存在性問題【例2】（2021·四川廣安市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接、．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接，設(shè)運(yùn)動時間為秒．（1）求、的值；（2）在、運(yùn)動的過程中，當(dāng)為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型三：等邊三角形存在性問題【例3】（2020?遵義）如圖，拋物線y＝ax2+94x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）與為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時，求出⊙M的半徑．題型四：三角形相似存在性問題【例4】（2021·陜西）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（其中A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱在y軸上是否存在點(diǎn)P，使與相似且與是對應(yīng)邊？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．提分訓(xùn)練提分訓(xùn)練1．（2020?通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C．且直線y＝x﹣6過點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是線段OB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD于點(diǎn)N．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)△MDB的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．2．（2021·四川瀘州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)（1）求證：∠ACB=90°（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．①求DE+BF的最大值；②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．3．（2020?銅仁市）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過兩點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（m，n）在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動，設(shè)△PBC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式（指出自變量m的取值范圍）和S的最大值；（3）點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)M、點(diǎn)N使得∠CMN＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．4．（2021·黑龍江中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線上，若以點(diǎn)P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．（2021·湖北）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)在拋物線上且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，是直線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，是直線上一個動點(diǎn)，當(dāng)為等腰直角三角形時，直接寫出此時點(diǎn)及其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)6．（2021·湖南）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且，，，拋物線的對稱軸與直線BC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是對稱軸上的一個動點(diǎn)，是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．（3）D為CO的中點(diǎn)，一個動點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E，再走