《機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)》課件第三章 機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的求解1

第3章

機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的求解3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-2機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程求解方法-數(shù)值法3-3機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程求解方法-半解析數(shù)值法3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.問(wèn)題的提法工程中大量的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題都可以歸結(jié)于圖3-1-1單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型,其動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型表示為常微分方程的初值問(wèn)題圖3-1-1單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型控制方程:滿足初始條件:3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.單自由度振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的響應(yīng)圖3-1-1單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型運(yùn)動(dòng)微分方程:滿足初始條件:根據(jù)微分方程理論,該方程解的形式為奇次通解與某個(gè)特解之和,即

為齊次通解,

為特解.3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1）齊次通解

將奇次運(yùn)動(dòng)微分方程變成標(biāo)準(zhǔn)型:其中固有頻率：設(shè)方程的解為特征方程：阻尼比臨界阻尼特征根：3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)討論（1）過(guò)阻尼:根據(jù)初始條件可以得到系數(shù)A1,A2的表達(dá)式過(guò)阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（2）欠阻尼利用欠阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)特征根：方程的通解

令,

，可得3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（3）臨界阻尼利用臨界阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)特征方程有兩個(gè)重根即方程的通解

,

，可得3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)工程應(yīng)用：固有頻率a)無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程的解

,

，b)阻尼對(duì)振幅的影響

阻尼比越大，振幅衰減越大3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)工程應(yīng)用：

,

，b)阻尼對(duì)振幅的影響

阻尼比越大，振幅衰減越大兩邊取自然對(duì)數(shù)，注意到為了提高測(cè)量精度，常取n次振幅波動(dòng)后對(duì)數(shù)衰減率作為阻尼比的計(jì)算公式自由振動(dòng)法測(cè)量單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)工程應(yīng)用：

,

，c）從圖3-1-5可知，時(shí)系統(tǒng)的位移響應(yīng)回到平衡狀態(tài)的時(shí)間最短。因此對(duì)于指針式儀表讀數(shù)系統(tǒng)，常將系統(tǒng)的阻尼比調(diào)整為臨界阻尼，以達(dá)到穩(wěn)定讀數(shù)的目的3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2）特解

特解的求法很多，有比較系數(shù)法、旋轉(zhuǎn)矢量法、拉氏變換法等，較簡(jiǎn)單快捷的方法是旋轉(zhuǎn)矢量法設(shè)特解：代入方程作旋轉(zhuǎn)矢量圖3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2）特解

作旋轉(zhuǎn)矢量圖可得將

代入上式得3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2）特解

位移動(dòng)力放大系數(shù)

相位角3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)在初始條件為

欠阻尼條件下，方程的定解

上中的第一項(xiàng)為單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)，當(dāng)

時(shí)，該項(xiàng)趨近于0。第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)解，表現(xiàn)為周期性運(yùn)動(dòng)其工程意義在于：a)當(dāng)頻率比

時(shí)，振幅最大，當(dāng)阻尼比

，位移動(dòng)力放大系數(shù)

，即發(fā)生共振現(xiàn)象。3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)振動(dòng)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

所有對(duì)于降低振動(dòng)的工程應(yīng)用場(chǎng)合，應(yīng)使頻率比在

范圍內(nèi)

b)發(fā)生共振時(shí)，振幅最大，且位移響應(yīng)與激勵(lì)力之間的相位角相差

位移動(dòng)力放大系數(shù)

。

共振法測(cè)量阻尼比的理論依據(jù)。c)對(duì)于振動(dòng)機(jī)械，應(yīng)將頻率比

調(diào)整到1附近工作，以利于獲得較大的振動(dòng)振幅。

d)動(dòng)載系數(shù)的物理意義3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.單自由度振動(dòng)任意激勵(lì)力作用下的響應(yīng)

1）求解基本思路（疊加原理）

這里

為任意函數(shù)

1）t時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)只取決于t時(shí)刻以前的作用力。在[0,t]時(shí)間段的任意激勵(lì)力

可視為一系列元沖量

組成，如圖(a)所示。b)元沖量

引起的系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)為

c)根據(jù)疊加原理，t時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)

等于t時(shí)刻以前的元沖量

引起的系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)

的和3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)

振動(dòng)系統(tǒng)受元沖量

作用的過(guò)程是一個(gè)碰撞過(guò)程，碰撞過(guò)程的研究要點(diǎn)是抓住碰撞前、后兩個(gè)狀態(tài)和碰撞過(guò)程即時(shí)間段

。設(shè)碰撞前系統(tǒng)靜止，碰撞后系統(tǒng)獲得一定的速度后作自由振動(dòng)，而碰撞過(guò)程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用沖量定理描述。3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)

首先研究作用于坐標(biāo)原點(diǎn)的元沖量

引起的系統(tǒng)

時(shí)刻的響應(yīng)碰撞前：

系統(tǒng)靜止即初位移和初速度均為0碰撞后：系統(tǒng)的位移為

，速度為

碰撞過(guò)程:元沖量

作用后質(zhì)點(diǎn)的速度3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)

元沖量

作用后到

時(shí)刻的時(shí)間段[，t]，系統(tǒng)作自由振動(dòng),由元沖量

作用后質(zhì)點(diǎn)的速度元沖量

引起的

時(shí)刻的位移響應(yīng)可得3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3）任意激勵(lì)力

作用下系統(tǒng)的響應(yīng)

即根據(jù)疊加原理，任意激勵(lì)力

作用下系統(tǒng)的響應(yīng)等于

時(shí)刻以前的元沖量

引起的系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)應(yīng)用Duhamel積分可以很方便的求出在任意激勵(lì)力作用下單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)該式即為Duhamel積分。一個(gè)令人滿意的完美結(jié)果3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法例：求初始靜止的單自由度系統(tǒng)在階躍力

作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。

根據(jù)Duhamel積分解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及初始條件可寫為若阻尼比，則系統(tǒng)的響應(yīng)

3-1機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解方法-解析法例：求初始靜止的單自由度系統(tǒng)在階躍力

作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。

根據(jù)Duhamel積分解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及初始條件可寫為若阻尼比，則系統(tǒng)的響應(yīng)

對(duì)于激勵(lì)力為比較復(fù)雜的函數(shù)，其Duhamel積分的解析表達(dá)式無(wú)法得到，但可以用數(shù)值積分的方法計(jì)算Duhamel積分的數(shù)值近似解。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

若采用剛度法得到的多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為設(shè)方程的解為代入3-1-18式可得3-1-18振幅方程振幅向量

有非零解，必須頻率方程，數(shù)學(xué)上稱特征方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

關(guān)于

的

n

次多項(xiàng)式，有

n

個(gè)根，由小到大依次記為

稱系統(tǒng)的固有頻率可以解出

個(gè)特征向量將求得的特征根代入振幅方程稱第k階振型向量，簡(jiǎn)稱第k階振型?？梢?jiàn)n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，有n個(gè)固有頻率和振型向量，每個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)振型向量.振型向量的第一行規(guī)定為1，這樣得到的振型向量稱主振型向量，簡(jiǎn)稱主振型。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

n個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)可表達(dá)為:對(duì)于兩個(gè)自由度自由振動(dòng)系統(tǒng)，其振幅方程式中:為任意常數(shù),由初始條件確定頻率方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

展開(kāi)得代入振幅方程，可得2個(gè)主振型向量有2個(gè)根3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

若采用柔度法得到的多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為有n個(gè)根，有小到大依次記為

稱系統(tǒng)的固有頻率同樣地假設(shè)振幅方程頻率方程可以解出

個(gè)特征向量3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

例:求圖示簡(jiǎn)支梁的固有頻率和主振型。梁的抗彎剛度為EI，在三分點(diǎn)1和2處有相等的集中質(zhì)量m解：1.建立圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程兩個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)，采用柔度法柔度矩陣中的系數(shù)可以用圖乘法質(zhì)量矩陣柔度矩陣3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

解：2．求固有頻率和主振型將固有頻率代入振幅方程解得：固有頻率，

，

3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1.多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

解：2．求固有頻率和主振型第一主振型，

，

第二主振型3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.兩個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的諧迫振動(dòng)

動(dòng)力吸振器

圖3-12所示的2個(gè)自由度系統(tǒng)，在質(zhì)量m1上作用簡(jiǎn)諧激勵(lì)力

，它也是動(dòng)力吸振器的力學(xué)模型，

為主系統(tǒng)，

為子系統(tǒng)或吸振器。代入上式

其運(yùn)動(dòng)微分方程為令3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.兩個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的諧迫振動(dòng)

動(dòng)力吸振器

該方程一般有唯一解，其解答為：即質(zhì)點(diǎn)m1的振動(dòng)位移振幅為0

式中：當(dāng)

時(shí)

彈簧k2作用于質(zhì)點(diǎn)m1的力為

，在任何瞬時(shí)恰好與激勵(lì)力

大小相等，方向相反，使得原來(lái)的

主系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)位移響應(yīng)完全消失，達(dá)到很好的減振效果。動(dòng)力吸振器的工作原理3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

1）多自由度振動(dòng)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)數(shù)學(xué)模型激勵(lì)荷載

式中：阻尼矩陣

剛度矩陣質(zhì)量矩陣位移列向量3-1-303-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

2）主振型的加權(quán)正交性求出主振型向量

，將n個(gè)主振型向量用一個(gè)矩陣表示即稱為主振型矩陣

對(duì)于多自由度系統(tǒng)，可以按照下式求其n個(gè)固有頻率再由

3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權(quán)正交性即有特征方程

證明：為系統(tǒng)的第k階固有頻率和主振型，

對(duì)于任意兩個(gè)不同的主振型向量?jī)蛇叿謩e左乘

和

得3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

證明：對(duì)(d)式兩邊轉(zhuǎn)置。注意到剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M的對(duì)稱性，有

由于(c)-(e)式得：因此有即主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的加權(quán)正交性。將(f)代入(c)式得即主振型關(guān)于剛度矩陣的加權(quán)正交性3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

由于主振型關(guān)于剛度矩陣

和質(zhì)量矩陣

的加權(quán)正交性，若主振型矩陣為

主剛度矩陣主質(zhì)量矩陣則有3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

3）方程的解耦

得：考慮方程3-1-30中無(wú)阻尼時(shí)的情形，即C=0，有阻尼的情形，若阻尼可表示為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合即

也可采用振型疊加法求解。作變量代換兩邊左乘根據(jù)主振型關(guān)于剛度矩陣

和質(zhì)量矩陣

的加權(quán)正交性，3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

由于主質(zhì)量矩陣

和主剛度矩陣

為對(duì)角矩陣，上式展開(kāi)就可得并令稱廣義載荷3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

由式3-1-32兩邊同除

，并令4）求解主坐標(biāo)下的振動(dòng)方程

3-1-32根據(jù)Duhamel積分將上式回代到

可得到系統(tǒng)的位移動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

例：圖示無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)，若

時(shí)，，

為單位階躍函數(shù)，用振型疊加法求時(shí)域響應(yīng)。解：1.建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

解：1.建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程代入數(shù)據(jù)2.求系統(tǒng)的特征值和特征向量3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

特征方程：代入數(shù)據(jù)2.求系統(tǒng)的特征值和特征向量解得固有頻率：分別代入[B]中任一列的振型矩陣得：3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

4.求相應(yīng)于主坐標(biāo)的激勵(lì)

由3.求相應(yīng)主坐標(biāo)的初始條件5.求主系數(shù)及主坐標(biāo)響應(yīng)3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

振型疊加法

兩個(gè)激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)為于是解耦后方程：6.求原系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)響應(yīng)：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)1.波動(dòng)方程的解答

對(duì)于園軸的自由扭轉(zhuǎn)振動(dòng)式中對(duì)于園軸的自由扭轉(zhuǎn)和桿件的軸向運(yùn)動(dòng)，作為連續(xù)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程代入方程3-1-34：3-1-34可以用分離變量法求解設(shè)方程的解的形式：即3-1-3連續(xù)系統(tǒng)1.波動(dòng)方程的解答

其解為從而有式中A,B,C,D為待定系數(shù)，由邊界條件和初始條件決定。可見(jiàn)，

為振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率

，

為振動(dòng)系統(tǒng)的振型函數(shù),其中系數(shù)C，D一般可由邊界條件確定。最后方程的通解為：

式中

3-1-3連續(xù)系統(tǒng)例：圖3-15為一端固定的園軸，使其作扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)，求其固有頻率、振型函數(shù)和響應(yīng)。

解：該問(wèn)題的邊界條件為

代入通解得：方程的解可寫成求導(dǎo)得：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)園軸的自由端無(wú)外力偶作用

對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)為可見(jiàn)，對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，有無(wú)窮多個(gè)固有頻率，對(duì)應(yīng)的有無(wú)窮多個(gè)振型函數(shù)。固有頻率3-1-3連續(xù)系統(tǒng)若初始條件為

由方程的解答由得得3-1-3連續(xù)系統(tǒng)2.梁的橫向自由振動(dòng)

用分離變量法求解。令整理：梁的橫向自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：代入方程3-1-36得：

3-1-363-1-3連續(xù)系統(tǒng)2.梁的橫向自由振動(dòng)

令由上式的第1式代入上式的第2式得的通解：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為待定系數(shù)，可由邊界條件和初始條件確定。例：圖示簡(jiǎn)支梁作自由振動(dòng)，求固有頻率和振型函數(shù)因3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

解：該問(wèn)題的邊界條件可寫成將的表達(dá)式代入

得

3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

即又因?yàn)?/p>

故只能有若

，對(duì)應(yīng)的解答為零解，無(wú)工程意義。只能有頻率方程各階固有頻率：振型函數(shù)為：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

前3階振型函數(shù)圖形見(jiàn)圖3-16(b)。與多自由度振動(dòng)系統(tǒng)類似，連續(xù)系統(tǒng)的振型函數(shù)也具有正交性。

3-1-4非線性系統(tǒng)

與線性系統(tǒng)不同，非線性系統(tǒng)疊加原理不能成立，一般很難得到精確解，用解析法也只能得到問(wèn)題的近似解，目前還缺乏一種適用面廣泛的通用方法。這就導(dǎo)致求解非線性振動(dòng)問(wèn)題的方法很多，但每一種方法都有其適用性和局限性，這里介紹2種求解非線性振動(dòng)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，攝動(dòng)法和平均法。

1.攝動(dòng)法改寫Duffing方程：式中

為小參數(shù)，故攝動(dòng)法又叫小參數(shù)法。3-1-4非線性系統(tǒng)

攝動(dòng)法的基本思想：認(rèn)為方程的解

依賴于小參數(shù)

，從而形如

將其展開(kāi)：認(rèn)為

是計(jì)入非線性后對(duì)派生解

的一種修正代入方程并進(jìn)行比較3-1-4非線性系統(tǒng)

初值問(wèn)題成為：

根據(jù)

的任意性，式中

同次冪系數(shù)必然自行相等，從而有：得到一組可依次求解的序列線性常微分方程的初值問(wèn)題，求解這個(gè)序列問(wèn)題