廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三下學(xué)期綜合測(cè)試（二） 數(shù)學(xué) 含解析

2024屆天河區(qū)普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校?姓名?班級(jí)?座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號(hào)的對(duì)應(yīng)數(shù)字涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案：不能答在試卷上.3.非選擇題必須用，黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則（）A.6 B.4 C.2 D.14.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.5.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）A.變量與獨(dú)立B.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)C.變量與不獨(dú)立D.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)6.若直線與圓相切，則圓與圓（）A.外切 B.相交 C.內(nèi)切 D.沒(méi)有公共點(diǎn)7.已知，則（）A. B.C. D.8.設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（）A.B.CD.與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.函數(shù)的最小值為11.雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，右支上一動(dòng)點(diǎn)處的切線記為，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C.當(dāng)軸時(shí)，D.過(guò)點(diǎn)作，垂足為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù)__________.13.已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則__________.14.如圖，一塊面積為定值的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來(lái)，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，當(dāng)容器的容積最大時(shí)，其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動(dòng)物數(shù)量關(guān)系，將其分成面積相近的若干個(gè)地塊，從這些地塊中隨機(jī)抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：只），并計(jì)算得.（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動(dòng)物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；（2）已知20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個(gè)樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽到這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.附：相關(guān)系數(shù)16.如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且與平面垂直，，.（1）證明：平面；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17.已知數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.18.已知直線，動(dòng)點(diǎn)分別在直線上，，是線段的中點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，求的最小值.19.已知函數(shù).（1）證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)，且；（2）我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)；一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)是不同精確度的零點(diǎn)近似值.（i）設(shè)，求的解析式；（ii）證明：當(dāng)，總有2024屆天河區(qū)普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校?姓名?班級(jí)?座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號(hào)的對(duì)應(yīng)數(shù)字涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案：不能答在試卷上.3.非選擇題必須用，黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的包含關(guān)系逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，為非負(fù)的偶數(shù)，所以，，則，B對(duì)，ACD都錯(cuò).故選：B.2.設(shè)，為非零向量，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由化簡(jiǎn)得出，從而得出與共線，當(dāng)與共線時(shí)，，，不一定相等，最后由充分條件和必要條件的定義作出判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，即，，即與共線當(dāng)與共線時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，，與不一定相等，即不一定相等故“”是“與共線”的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量的數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算以及向量共線定理.3.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則（）A.6 B.4 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可求解.【詳解】由焦半徑公式可得，故，故選：C4.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】注意到，后利用函數(shù)單調(diào)性可解不等式.【詳解】，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則.故選：D5.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）A.變量與獨(dú)立B.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)C.變量與不獨(dú)立D.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為變量與獨(dú)立，故選：A.6.若直線與圓相切，則圓與圓（）A.外切 B.相交 C.內(nèi)切 D.沒(méi)有公共點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】由直線與圓相切，得，則圓的圓心在圓上，兩圓相交.【詳解】直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，即，得.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，其圓心在圓上，所以兩圓相交.故選：B7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式求得，結(jié)合角的范圍可得，繼而利用兩角差的余弦公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，故，則，而，故，故，故選：B8.設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（）A.B.C.D.與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)期望的公式推出，再根據(jù)方差的計(jì)算公式可得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可判斷的大小，即得答案.【詳解】由題意得，，故，記則同理因?yàn)?，則，，，故，即得，與的大小關(guān)系與的取值無(wú)關(guān)，故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于AD，舉反例排除即可；對(duì)于B，利用方向向量與法向量判斷空間線面的位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于C，利用面面平行的性質(zhì)即可判斷.詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋詫?duì)應(yīng)的方向向量分別是的法向量，又，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，由面面平行的性質(zhì)易知，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，有可能異面，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.函數(shù)的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)周期可得，代入最值點(diǎn)可得，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的不等式即可根據(jù)周期，單調(diào)性以及平移求解ABC，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由圖可得：，又，，又，，將代入得，即，，即，，，對(duì)于A，最小正周期，故正確；對(duì)于B，令，，解得，，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)解析式為：，故C不正確；對(duì)于D，，令，所以，故最小值為，D正確，故選：ABD11.雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點(diǎn)處的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，右支上一動(dòng)點(diǎn)處的切線記為，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C當(dāng)軸時(shí)，D.過(guò)點(diǎn)作，垂足為【答案】ACD【解析】【分析】由題意求出b的值，即可求得雙曲線漸近線方程，判斷A；根據(jù)離心率定義，求出離心率，判斷B；利用雙曲線定義可判斷C；由題意結(jié)合角平分線性質(zhì)推出，K為的中點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合三角形中位線以及雙曲線定義求得，判斷D.【詳解】對(duì)于A，由雙曲線可知，右頂點(diǎn)，其漸近線方程為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為2，不妨取漸近線，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為，A正確；對(duì)于B，由于，故雙曲線的離心率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)軸時(shí)，將代入中，得，即得，由于P在雙曲線右支上，故，C正確；對(duì)于D，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于E，由題意知，為的角平分線，結(jié)合，可知，K為的中點(diǎn)，而O為的中點(diǎn)，故，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線知識(shí)的綜合應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要結(jié)合題中所給性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)推出K為的中點(diǎn)，即可結(jié)合雙曲線定義求得答案.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù)__________.【答案】-2【解析】【分析】利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.【詳解】（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，（i為虛數(shù)單位）也是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，，解得.故答案為：-2.13.已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，并結(jié)合指數(shù)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，代入求值，即可求得答案.【詳解】由題意知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，故，則，故答案為：314.如圖，一塊面積為定值的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來(lái)，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，當(dāng)容器的容積最大時(shí)，其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先畫出正四棱錐，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則即為所求角的平面角，不妨設(shè)題中所給正方形的邊長(zhǎng)為，，利用勾股定理求出，再根據(jù)棱錐的體積公式求出體積，再結(jié)合基本不等式求出體積最大時(shí)的值，進(jìn)而可得出答案.【詳解】如圖，正四棱錐為四棱錐，為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，則平面，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則即為所求角的平面角，不妨設(shè)題中所給正方形的邊長(zhǎng)為，，則，故四棱錐的高，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，，在中，，所以當(dāng)容器的容積最大時(shí)，其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動(dòng)物數(shù)量的關(guān)系，將其分成面積相近的若干個(gè)地塊，從這些地塊中隨機(jī)抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：只），并計(jì)算得.（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動(dòng)物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；（2）已知20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個(gè)樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽到這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.附：相關(guān)系數(shù)【答案】（1）0.94，相關(guān)性較強(qiáng)．（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可代入求解，（2）根據(jù)超幾何概率的概率公式求解概率，即可得分布列.小問(wèn)1詳解】樣本，，2，，的相關(guān)系數(shù)為．由于相關(guān)系數(shù),，則相關(guān)性很強(qiáng)，的值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．故，故相關(guān)性越強(qiáng)．【小問(wèn)2詳解】由題意得：的可能取值為0，1，2，20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，有12個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量不低于樣本平均數(shù)，所以，，，所以的分布列為：01216.如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且與平面垂直，，.（1）證明：平面；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在，且在的中點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而根據(jù)線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.【小問(wèn)1詳解】連接與，由于四邊形為菱形，故由于側(cè)面與平面垂直，且兩平面的交線是，側(cè)面，故平面,平面,故,又，平面，故平面【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面，平面,所以平面平面，且交線為,由于故三角形為等邊三角形，取中點(diǎn)為，則,平面，所以平面，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中軸與平行，,,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)，其中，,故，故，化簡(jiǎn)得，解得，故故存在，且在的中點(diǎn).17.已知數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系，把換成，得到兩式相減，得到，再累乘后可得到通項(xiàng)；（2）用錯(cuò)位相減法求出，再將證明不等式作差，之后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，作差可得，變形為，即，即，化?jiǎn)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，，作差可得，所以，，設(shè)，則在給定區(qū)間上遞減，又故在是減函數(shù)，，所以當(dāng)時(shí)，.18.已知直線，動(dòng)點(diǎn)分別在直線上，，是線段的中點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知設(shè)，可得，設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得，代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.（2）設(shè)，則,,設(shè),,利用向量的坐標(biāo)計(jì)算化簡(jiǎn)可得①.設(shè)，由可得②，結(jié)合在曲線上，可得的軌跡方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)條件可設(shè)，∵，∴（*），設(shè)，由題意知，∴，代入（*）式得，故曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則,,設(shè),,由，可知，∴，∴①.∵，設(shè)∴②.①②可得（**），∵在曲線上，∴，∴，化簡(jiǎn)得：，（**）式代入可得，即.∴的軌跡方程為：.∴的最小值為到直線的距