廣東省佛山市順德區(qū)2024屆高三下學(xué)期2月教學(xué)質(zhì)量檢測（二）（二模）數(shù)學(xué) 含解析

2023學(xué)年順德區(qū)普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題2024.2本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘，注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅰ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在數(shù)學(xué)答題卡，并用2B鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂考生號．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B.C. D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.拋物線在點處的切線的斜率為（）A. B. C. D.14.在中，，若，線段與交于點，則（）A. B.C. D.5.二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（）A.14 B.15 C.16 D.176.小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機(jī)的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8.已知橢圓的上、下焦點分別為，點在橢圓上且位于第三象限，滿足的角平分線與相交于點，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.一個平面截正方體所得的截面圖形可以是（）A.等腰三角形 B.菱形 C.梯形 D.正五邊形10.若，則（）ABC.D.11.已知圓，橢圓，直線，點為圓上任意一點，點為橢圓上任意一點，以下的判斷正確的是（）A.直線與橢圓相交B.當(dāng)變化時，點到直線的距離的最大值為C.D.12.函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且它的最小正周期是，已知，．下列四個判斷中，正確的有（）A.當(dāng)時，的值只有0或B.當(dāng)時，函數(shù)既有對稱軸又有對稱中心C.對于給定的正整數(shù)，存在，使得成立D.當(dāng)時，對于給定的正整數(shù)，不存在且，使得成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13.已知，則______．14.已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則______．15.一次考試后，學(xué)校將全體考生的成績分?jǐn)?shù)繪制成頻率分布直方圖（如下圖），并按照等級劃分表（如下表）對考生作出評價，若甲考生的等級為“A”，則估計甲的分?jǐn)?shù)為______．（寫出滿足條件的一個整數(shù)值即可）等級劃分范圍（分?jǐn)?shù)由高到低）A+前20%（包括20%）A前20%~35%（包括35%）B+前35%~65%（包括65%）B前65%~85%（包括85%）C+前85%~95%（包括95%）C最后5%16.在如圖所示的長方形臺球桌面示意圖中，，桌面的六個網(wǎng)分別位于長方形的四個頂點及長邊中點上．現(xiàn)有三個臺球分別在三點所在的位置上，且三點共線．用球貼著桌面移動去擊球（不能碰到球），使得球沿球運動的方向徑直落入三個網(wǎng)中之一．若球和網(wǎng)近似地看成點，且臺球在桌面上為直線運動，球碰到桌邊緣后反彈符合入射角等于反射角．則球擊中球前，球移動的最短路徑的路程為______．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．18.某市隨機(jī)抽取名市民進(jìn)行智能手機(jī)使用情況調(diào)查，使用5G手機(jī)（A類）和使用4G及以下或不使用手機(jī)（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計如下表：A類B類大于或等于60歲小于60歲（1）若用樣本的頻率作為概率的估計值，在全體市民中任選3人，記為3人中小于60歲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若以60歲為年齡分界，討論當(dāng)取不同值時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷使用手機(jī)類型與年齡有關(guān)？附：．0.050.010.0013.841663510.82819.在四棱雉中，四邊形為矩形，，，點為線段的中點．已知點在平面上的射影在四邊形外，且直線與平面所成的角為．（1）設(shè)點為線段的中點，求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．20.在中，角所對的邊分別為，其中，．（1）求角的大?。唬?）如圖，為外一點，，，求的最大值．21.已知雙曲線中，焦距為，且雙曲線過點．斜率不為零的直線與雙曲線交于兩點，且以為直徑的圓過點．（1）求雙曲線的方程；（2）是否存在直線，使得點到直線距離最大？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．22已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，且滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)，）．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．2023學(xué)年順德區(qū)普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題2024.2本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試時間120分鐘，注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅰ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在數(shù)學(xué)答題卡，并用2B鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂考生號．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)化簡集合，再根據(jù)集合交集的概念求解即可.【詳解】由解得，所以，又，所以，故選：A2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方以及除法運算可得，即可判斷出結(jié)論.【詳解】由可知，因此復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A3.拋物線在點處的切線的斜率為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令求出即為切線的斜率.【詳解】令，得，得故選：D4.在中，，若，線段與交于點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中線性質(zhì)得出，再由平面向量線性運算即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：由可得分別為的中點，由中線性質(zhì)可得，又，所以，因此.故選：B5.二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同款新車裸車價格，第一年汽車貶值30%，從第二年開始每年貶值10%，剛參加工作的小明打算用7萬元入手一輛3～5年的二手車，根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是萬，則（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】依據(jù)貶值規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)列不等式即可解得.【詳解】根據(jù)題意可知，列不等式，即，又，可得.故選：B6.小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機(jī)的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)事件A為“小明爬到第4級臺階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級臺階”，求出，，進(jìn)而計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)事件A為“小明爬到第4級臺階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級臺階”，事件A包含3中情況，①走了4次1級臺階，其概率②走了2次1級臺階，1次2級臺階，其概率，即,③走了2次2級臺階，其概率，故小明爬到第4級臺階概率在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率,故選：D7.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】在上，，在上，，由題意，函數(shù)在兩個區(qū)間上最值相同，且最小值為，即兩區(qū)間左端點函數(shù)值均為最小值，所以兩區(qū)間右端點函數(shù)值不能小于，但兩區(qū)間內(nèi)最大值相同，如圖的部分圖象，數(shù)形結(jié)合得且，即.故選：A8.已知橢圓的上、下焦點分別為，點在橢圓上且位于第三象限，滿足的角平分線與相交于點，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的關(guān)系，可得，再由角平分線的性質(zhì)可得，由，由橢圓的定義可得，的表達(dá)式，再由余弦定理可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的值．【詳解】因為，則，由角平分線的性質(zhì)可得，因為，所以，由橢圓的定義可知：，在△，，由余弦定理可得，即，整理可得：,即，可得，因為，所以．故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.一個平面截正方體所得的截面圖形可以是（）A.等腰三角形 B.菱形 C.梯形 D.正五邊形【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進(jìn)行比照，即可判斷選項．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)截面為三角形時，可能出現(xiàn)等腰三角形；如圖：故A正確；當(dāng)B，D分別為正方體棱中點時，截面可以為菱形，如圖：故B正確;當(dāng)C，D分別為正方體棱的中點，截面圖可以為等腰梯形，如圖：故C正確；當(dāng)截面為五邊形，如圖，不可能是正五邊形：若截面為五邊形，則該面恰與五個面相交，而其中一定有兩組對面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，故有兩組平行邊，但正五邊形沒有平行的邊，故截面不可能是正五邊形.故D錯誤.故選：ABC.10.若，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】將，，代入判斷ACD，利用二項式展開式的通項公式判斷B即可.【詳解】將代入得，解得，A正確；由二項式定理可知展開式的通項為，令得，所以，B錯誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD11.已知圓，橢圓，直線，點為圓上任意一點，點為橢圓上任意一點，以下的判斷正確的是（）A.直線與橢圓相交B.當(dāng)變化時，點到直線的距離的最大值為C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點，可得點在橢圓內(nèi)可判斷A，根據(jù)圓心，可得出點到直線的距離的最大值判斷B，設(shè)出，利用兩點間距離公式并由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，進(jìn)而可得C錯誤，D正確.【詳解】根據(jù)題意可知圓的圓心為，半徑為，橢圓的長軸為4，短軸為2，直線恒過定點，顯然點在橢圓的內(nèi)部，如下圖所示：顯然，直線與橢圓相交，即A正確；當(dāng)變化時，易知圓心到直線的距離的最大值為，所以點到直線距離的最大值為，即B正確；設(shè)點滿足且，可得又易知，顯然，顯然當(dāng)時，，可得，即可得C錯誤，D正確；故選：ABD12.函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且它的最小正周期是，已知，．下列四個判斷中，正確的有（）A.當(dāng)時，的值只有0或B.當(dāng)時，函數(shù)既有對稱軸又有對稱中心C.對于給定的正整數(shù)，存在，使得成立D.當(dāng)時，對于給定的正整數(shù)，不存在且，使得成立【答案】BC【解析】【分析】A選項，，當(dāng)時，，，求出的值域為，進(jìn)而得到，A錯誤；B選項，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當(dāng)時，，，推出關(guān)于軸對稱，結(jié)合為奇函數(shù)，得到關(guān)于對稱，同理可得也滿足要求，B正確；C選項，推出的圖象關(guān)于點對稱，的圖象關(guān)于直線對稱，故，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，得到C正確；D選項，先得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，在C選項基礎(chǔ)上，得到時，，此時，D錯誤.【詳解】選項A，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，的值域為，又為奇函數(shù)，故當(dāng)時，的值域為，故，為平移得到，故的最小正周期也為，故函數(shù)的最小正周期為，故函數(shù)值域為，故A錯誤；B選項，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，故，由于為連續(xù)函數(shù)，故，故的圖象在上關(guān)于直線對稱，又為奇函數(shù)，最小正周期為，結(jié)合圖象可知，在圖象在R上關(guān)于直線對稱，所以，令，則，將用替換，有，故，所以關(guān)于軸對稱，又為奇函數(shù)，故，所以，又，故，故，故關(guān)于對稱，所以既有對稱軸，又有對稱中心，當(dāng)時，同理可得既有對稱軸，又有對稱中心，B正確；C選項，取，則，由于為奇函數(shù)，故，又的最小正周期為，故，即，即，故的圖象關(guān)于點對稱，由B選項知，的圖象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，C正確；D選項，由于，所以成立，，故，即，故在上，又的圖象關(guān)于直線對稱，且最小正周期為，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，而成立，所以，故存在成立，D錯誤.故選：BC【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱，若，則函數(shù)關(guān)于對稱，三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得到，求出.【詳解】，因為，所以，故，解得.故答案為：14.已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則______．【答案】【解析】【分析】由幾何關(guān)系求出外接球和棱切球半徑，再由球的表面積公式求出表面積，最后求出比值.【詳解】設(shè)正三棱柱的棱長為，因為正三棱柱上下底面中心連線的中點為外接球的球心，則外接球的半徑，，所以，因為，所以為棱切球的球心，則棱切球半徑，所以.故答案為：15.一次考試后，學(xué)校將全體考生的成績分?jǐn)?shù)繪制成頻率分布直方圖（如下圖），并按照等級劃分表（如下表）對考生作出評價，若甲考生的等級為“A”，則估計甲的分?jǐn)?shù)為______．（寫出滿足條件的一個整數(shù)值即可）等級劃分范圍（分?jǐn)?shù)由高到低）A+前20%（包括20%）A前20%~35%（包括35%）B+前35%~65%（包括65%）B前65%~85%（包括85%）C+前85%~95%（包括95%）C最后5%【答案】100（答案不唯一，任選其一）【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可求得，再利用成績劃分等級標(biāo)準(zhǔn)分別求出等級為“A”的分?jǐn)?shù)區(qū)間，即可得出答案.【詳解】利用頻率分布直方圖可得，解得，成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占，在內(nèi)的人數(shù)占，設(shè)成績排在前位的分?jǐn)?shù)線為，則，解得；設(shè)成績排在前位的分?jǐn)?shù)線為，則，解得；因此考生的等級為“A”的分?jǐn)?shù)區(qū)間為，又因為分?jǐn)?shù)取整數(shù)，所以可得甲的分?jǐn)?shù)所有可能取值為.故答案為：100（答案不唯一）16.在如圖所示的長方形臺球桌面示意圖中，，桌面的六個網(wǎng)分別位于長方形的四個頂點及長邊中點上．現(xiàn)有三個臺球分別在三點所在的位置上，且三點共線．用球貼著桌面移動去擊球（不能碰到球），使得球沿球運動的方向徑直落入三個網(wǎng)中之一．若球和網(wǎng)近似地看成點，且臺球在桌面上為直線運動，球碰到桌邊緣后反彈符合入射角等于反射角．則球擊中球前，球移動的最短路徑的路程為______．【答案】##【解析】【分析】分三種情況，結(jié)合題意，連接點與網(wǎng)中其中之一，得到直線，根據(jù)反射得到點的運動路徑，得到最小值.【詳解】因為用球貼著桌面移動去擊球（不能碰到球），連接并延長交于點，直線，即，令得，，故，則為的中點，故的反射直線為，則，將代入中，得，故，令得，故，為的中點，直線經(jīng)過反射得到直線，將代入中，得，故，其中滿足上，故球的軌跡為，其中，，，故軌跡長度為，連接并延長，交于點，直線的方程為，即，令得，故，根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，，解得，故直線，令得，解得，故，根據(jù)反射得到直線，將代入得，，解得，故直線，令得，解得，故，根據(jù)反射得到直線，將代入得，，解得，故直線，令得，故，由于，故令中的得，故點A不在直線上，故要想點A在直線上，也要經(jīng)過多次反射，故路徑會大于，不合要求，舍去；連接并延長，交于點，則直線的方程為，令得，故，根據(jù)反射得到直線反射直線，將代入上式得，，解得，故直線，令得，解得，故，根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，，解得，故，令得，故，根據(jù)反射得到反射直線，將代入得，故，由于，故令中的得，故不在反射直線上，故要想點A在直線上，也要經(jīng)過多次反射，故路徑會大于，不合要求，舍去；綜上，球移動的最短路徑的路程為.故答案為：【點睛】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）得到為常數(shù)列，結(jié)合得到，求出通項公式；（2），設(shè)的前項和為，錯位相減法求和得到.【小問1詳解】，故為常數(shù)列，其中，故，故，即；【小問2詳解】，設(shè)的前項和為，則①，②，兩式①-②得，，故.18.某市隨機(jī)抽取名市民進(jìn)行智能手機(jī)使用情況調(diào)查，使用5G手機(jī)（A類）和使用4G及以下或不使用手機(jī)（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計如下表：A類B類大于或等于60歲小于60歲（1）若用樣本的頻率作為概率的估計值，在全體市民中任選3人，記為3人中小于60歲的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若以60歲為年齡分界，討論當(dāng)取不同值時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷使用手機(jī)類型與年齡有關(guān)？附：．0.050.0100013.8416.63510.828【答案】（1）分布列見解析，（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件判斷出，然后計算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根據(jù)分布列可求；（2）由已知表格得到列聯(lián)表，將表中數(shù)據(jù)代入的計算公式并將計算結(jié)果，分類討論與比較大小，由此可知結(jié)果【小問1詳解】由表格可知，任取一人小于60歲的概率，由題意可知：，的可能取值為0，1，2，3所以，，，所以的分布列為：所以（或者）.【小問2詳解】因為使用5G手機(jī)（A類）和使用4G及以下或不使用手機(jī)（B類）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例統(tǒng)計如下表：A類B類大于或等于60歲小于60歲所以可得列聯(lián)表A類B類總計大于或等于60歲小于60歲總計因為，，，都是正整數(shù)，且：：：=2:3:6:9所以是20的正整數(shù)倍，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān)；當(dāng)且是20的正整數(shù)倍時，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認(rèn)為喜歡旅游與性別有無關(guān).19.在四棱雉中，四邊形為矩形，，，點為線段的中點．已知點在平面上的射影在四邊形外，且直線與平面所成的角為．（1）設(shè)點為線段的中點，求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）詳解見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出，即得證（2）利用空間向量法可求得平面PAC的法向量和平面ABCD的一個法向量，利用向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】作平面ABCD，連接OA，OD，OE所以直線與平面所成的角即為，又因為在等腰三角形APD中，，所以，因為，所以，故，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以垂直于OF所在直線，OF，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以所以，，所以【小問2詳解】點，設(shè)平面PAC的法向量為，則有，又，所以，不妨令，則，所以，取平面ABCD的一個法向量，則20.在中，角所對的邊分別為，其中，．（1）求角的大?。唬?）如圖，為外一點，，，求最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理將邊化為角，可得角的方程，化簡計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由余弦定理分別得到，再由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因，化簡可得，而，則，又，則【小問2詳解】在中，由可得，在中，由可得，所以，設(shè)，由余弦定理，，可得，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立，所以的最大值為，此時.21.已知雙曲線中，焦距為，且雙曲線過點．斜率不為零的直線與雙曲線交于兩點，且以為直徑的圓過點．（1）求雙曲線的方程；（2）是否存在直線，使得點到直線的距離最大？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求解雙曲線方程；（2）方法一：設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)得到，即或，分兩種情況討論，得到直線過定點，要想到直線的距離最大，則⊥，從而求出直線的方程；方法二：齊次化求解，平移雙曲線得，設(shè)平移后的直線方程為，變形得到，根據(jù)斜率之積為-1得到則直線過定點，從而原直線過定點，要想到直線的距離最大，則⊥，從而求出直線的方程；【小問1詳解】由題意得，且，又，解得，故雙曲線方程為；【小問2詳解】設(shè)直線，聯(lián)立得，設(shè)，則，由題意得，即，將代入上式，，即，化簡得，變形為，故或，當(dāng)時，直線，經(jīng)過定點，與重合，不合要求，當(dāng)時，直線，經(jīng)過定點，要想到直線的距離最大，則⊥，其中故直線的斜率，故直線的方程為，即.經(jīng)檢驗，滿足要求.方法二：平移雙曲線得，即，設(shè)平移后的直線方程為，則有，