浙教版八年級上冊-全等三角形中幾種模型-

/一、手拉手模型：1手的判別：判斷左右，將等腰三角形頂角頂點朝上，左邊為左手頂點，右邊為右手頂點。2手拉手的定義兩個頂角相等且有共頂點的等腰三角形形成的圖形。（左手拉左手，右手拉右手）3手拉手基本結(jié)論①△ABC≌△AB'C'(SAS)②∠BAB'=∠BOB'③AO平分∠BOC'二、例題例1、在直線ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60。△AGB≌△DFB△EGB≌△CFBBH平分∠AHCGF∥AC1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結(jié)論：（1）△ABF≌△AEC.（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF.（四點共圓證）拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形結(jié)論：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD.（（7），（8）需構(gòu)造等邊三角形證明）變式練習(xí)1、如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60。AE與DC的交點設(shè)為H,BH平分∠AHC變式練習(xí)2：如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60。（4）AE與DC的交點設(shè)為H,BH平分∠AHC變式訓(xùn)練3：兩個等腰三角形ABD與BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a連接AE與CD.問（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否與CD相等？（3）AE與CD之間的夾角為多少度？（4）HB是否平分∠AHC？ 例2：如圖，兩個正方形ABCD和DEFG，連接AG與CE，二者相交于H問：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否與CE相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度？（4）HD是否平分∠AHE？例3：如圖兩個等腰直角三角形ADC與EDG，連接AG,CE,二者相交于H.問（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否與CE相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度？（4）HD是否平分∠AHE？ 二、半角模型條件：兩邊相等.思路：1、旋轉(zhuǎn)輔助線：①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF②將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF，注意：旋轉(zhuǎn)需證F、B、M三點共線結(jié)論：（1）MN＝BM＋DN；（2）；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND.2、翻折（對稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN于點P②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線.例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN=BM+DN，求證：①.∠MAN=②.③.AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM.例2拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分別在邊CB、DC的延長線上移動，①.試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系.②.求證：AB=AH.例3.在四邊形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分別在邊BC、CD上，且滿足EF=BE+DF.求證：變式：在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上的點，且，求證：EF＝BE＋DF.練習(xí)鞏固1：（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；（2）如圖2，若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD”，則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（3）在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明..練習(xí)鞏固2：已知：正方形中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．（1）如圖1，當繞點旋轉(zhuǎn)到時，有．當繞點旋轉(zhuǎn)到時，如圖2，請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；（2）當繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明．練習(xí)鞏固3：如圖，已知在正方形ABCD中，=45°，連接BD與AM，AN分別交于E、F兩點。求證：（1）MN=MB+DN；（2）點A到MN的距離等于正方形的邊長；（3）的周長等于正方形ABCD邊長的2倍；（4）；（5）若=20°，求；（6）若，求；（7）；（8）與是等腰三角形；（9）。三、三垂直模型（一線三等角）（K型）1、常見的一線三垂直的模型。例1：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且AE⊥BF，垂足為點G．求證：AE=BF．變式訓(xùn)練：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，點D是AC的中點，AF⊥BD于點E，交BC于點F，連接DF，求證：∠1=∠2。例2：.如圖，點P是正方形ABCD邊AB上一點(不與點A．B重合)，連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，

PE交邊BC于點F．連接BE、DF。求證：∠ADP=∠EPB；求∠CBE的度數(shù)；例3：等腰直角△ABC，其中AB=AC，∠BAC=90°，過B、C作經(jīng)過A點直線L的垂線，垂足分別為M、N．

（1）你能找到一對三角形的全等嗎？并說明．

（2）BM，CN，MN之間有何關(guān)系？若將直線l旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其他條件不變，那么上題的結(jié)論是否依舊成立？

A、例題已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD于點E，交BC于F，連接DF.求證：∠ADB＝∠CDF.變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF.求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN.變式2、在變式1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交于點P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF.四、角平分線模型1、角平分線的性質(zhì)模型如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B。結(jié)論：PB=PA例1：（1）如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么點D到直線AB的距離是；（2）如圖②，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AP平分∠BAC。例2：如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP=。例3：．如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。2、翻折全等（對稱）如圖，P是∠MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA，連接PB。結(jié)論：△OPB≌△OPA。兩個圖形輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC.A、例題1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ.2、如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB＋PC與AB＋AC的大小，并說明理由. B、模型鞏固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC.2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線交AC于D，求證：AD＋BD＝BC.3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分線交BC于D，求證：AC＋CD＝AB.3、角平分線+垂線→等腰（三線合一）如圖，P是∠MO的平分線上一點，AP⊥OP于P點，延長AP于點B。結(jié)論：△AOB是等腰三角形。例1：如圖，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E。求證：BD=2CE。例2：如圖，在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D。求證：∠2=∠1+∠C。例3：（1）如圖①，BD、CE分別是△ABC的外角平分，過點A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分別為D、E，連接DE。求證：(1)AB+AC+BC=MN（2）如圖②，BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分，其它條件不變。上述結(jié)論是否成立？成立請說明理由，若不成立，那MN與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并進行證明。（3）如圖③，BD是△ABC的內(nèi)角平分，CE是△ABC的外角平分，其它條件不變。MN與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并進行證明。4、角平分線+平行線→等腰（底角相等）如圖，P是∠MO的平分線上一點，過點P作PQ∥ON，交OM于點Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形。例1：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點E，過點E作EF∥BC，交AB于點M，交AC于點N。若BM+CN=9，則線段MN的長為。例2：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求證：AD=AB-BC。二、等腰直角三角形模型（一）旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點，在斜邊上任取一點的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ACM≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結(jié)AM.（二）旋轉(zhuǎn)中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連結(jié)AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導(dǎo)出△BDF≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導(dǎo)出△BDF≌△ADE.A、例題1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系.2、兩個全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并證明你的結(jié)論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.（1）試判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當