2020年高考數(shù)學(xué)(理)之?dāng)?shù)列-專題11-數(shù)列的通項(xiàng)(-疊加法、累乘法求通項(xiàng))(解析版)

PAGE1PAGE數(shù)列11數(shù)列的通項(xiàng)（疊加法、累乘法求通項(xiàng)）【考點(diǎn)講解】【考點(diǎn)講解】具體目標(biāo)：掌握用不同的數(shù)學(xué)方法求不同形式數(shù)列的通項(xiàng)公式.通過數(shù)列通項(xiàng)公式的求解過程,利用數(shù)列的變化規(guī)律,恰當(dāng)選擇方法,是數(shù)列的研究和探索奠定基礎(chǔ).二、知識概述：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1）如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．即,不是每一個數(shù)列都有通項(xiàng)公式,也不是每一個數(shù)列都有一個個通項(xiàng)公式.（2）數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系：.2.求數(shù)列的通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng)：（1）根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式來求．對于正負(fù)符號變化，可用或來調(diào)整．（2）根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想．由不完全歸納法得出的結(jié)果是不可靠，要注意代值驗(yàn)證.（3）對于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：①已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；②根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，這是一個難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項(xiàng)，看看這幾項(xiàng)的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式.3.數(shù)列通項(xiàng)一般有三種類型：（1）已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列，求通項(xiàng)，破解方法：公式法或待定系數(shù)法；（2）已知Sn，求通項(xiàng)，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分類討論，本例的求解中檢驗(yàn)必不可少，值得重視；（3）已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)，破解方法：猜想證明法或構(gòu)造法。4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過程分為三步：(1)先利用求出；(2)用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式；(3)對時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．【注】該公式主要是用來求數(shù)列的通項(xiàng)，求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，一定要分兩步討論，結(jié)果能并則并，不并則分.5.遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式方法：（1）疊加法：疊加法（或累加法）：已知，求數(shù)列通項(xiàng)公式常用疊加法（或累加法）即.（2）累乘法：已知求數(shù)列通項(xiàng)公式用累乘法.（3）待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.（4）待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)，）.（或,其中均為常數(shù)）.解法：在原遞推公式兩邊同除以，得：，令，得：，再按第（3）種情況求解.（5）待定系數(shù)法：解法：一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列.（6）待定系數(shù)法：解法：一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列.（7）待定系數(shù)法：（其中均為常數(shù)）.解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中滿足，再按第（4）種情況求解.取倒數(shù)法：解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為，按第（3）種情況求解.（，解法：等式兩邊同時(shí)除以后換元轉(zhuǎn)化為，按第（3）種情況求解.）.（9）取對數(shù)解法：這種類型一般是等式兩邊取以為底的對數(shù)，后轉(zhuǎn)化為，按第（3）種情況求解.6.以數(shù)列為背景的新定義問題是高考中的一個熱點(diǎn)題型，考查頻率較高，一般會結(jié)合歸納推理綜合命題．常見的命題形式有新法則、新定義、新背景、新運(yùn)算等．(1)準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決數(shù)列新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，將題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式，切忌同已有概念或定義相混淆．(2)方法選取：對于數(shù)列新定義問題，搞清定義是關(guān)鍵，仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng)(特殊處、簡單處)體會題意，從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法．類型1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用疊加法求解例1.設(shè)數(shù)列中，，則通項(xiàng).【解析】法一：由題意可知：所以有，，，，，，將以上各式相加得：故應(yīng)填.法二：由題意可得：，，，，，，，.將以上各式相加得：故應(yīng)填.【答案】類型2.解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用疊乘法求解。已知數(shù)列滿足，，求。【解析】由條件知，分別令，代入上式得個等式后疊乘，即又，.【真題分析】【真題分析】1.【2019優(yōu)選題】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且，若b10?b11＝2，則b7b14＝，a21＝．【分析】根據(jù)所給的關(guān)系式，依次令n＝1、2、…、20列出20個式子，再將20個式子相乘化簡，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和條件求出a21的值．【解答】解：由得：，，，…，.以上20個式子相乘得，∵數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b10?b11＝2，數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，∴210＝∴a21＝1024，∵b10?b11＝2，∴b7b14＝2，【答案】：2，1024．2.【2019優(yōu)選題】已知數(shù)列＝。【解析】由題意可得：，，，，，，，.將以上各式相加得：=【答案】3.【2016江西】在數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．【解析】將以上各式相加得：所以有：【答案】A4.【2019優(yōu)選題】已知數(shù)列滿足，，則此數(shù)列的通項(xiàng)等于

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)A.B.C.D.【解析】法一：由得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列所以有，也可用疊加法.法二：由可得，所以有，，，。將上面的式子相加可得，所以有.【答案】D5.【2018年廣東】已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】由，得.，6.【2016山西】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】由可得，=（）.7.【2019優(yōu)選題】已知｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)（）（nN*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若列數(shù)｛bn｝滿足b1=1,bn+1=bn+，求證：bn·bn+2＜b2n+1.【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以數(shù)列｛an｝是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n從而bn+1-bn=2n.則bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1==2n-1.因?yàn)閎n·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因?yàn)閎2=1,bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1=2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，所以bn·bn+2<b2n+1.8.【2019優(yōu)選題】數(shù)列中，，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列．（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式．【解析】（I），，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，，不符合題意舍去，故．（II）當(dāng)時(shí)，由于，，…………，所以．又，，故．當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以【模擬考場】【模擬考場】1.已知一次函數(shù)圖象關(guān)于對稱的圖象為，且，若點(diǎn)在上，，對于大于或等于2的自然數(shù)均有：.（1）求的方程；（2）求的通項(xiàng)公式．【解析】（1）設(shè)的方程為，又∵在上，∴而，∴∴∴的方程為（2）∵，∴，，，，，以上個等式相乘得：又∴2.若在數(shù)列中，，，求通項(xiàng).【解析】法一：可用等差數(shù)列求通項(xiàng).法二：由得，，所以有：，，將各式相加得：所以可得通項(xiàng)為：即：（）.3.若在數(shù)列中，，，求通項(xiàng).【解析】由得，所以，…，將以上各式相加得：又所以=.即：（）.4.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】由，得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）.5.已知數(shù)列中:，,確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】∵，∴，…，以上個式子相乘得，即.6.已知數(shù)列滿