新北師大版八年級下冊數學教案

第一章三角形的證明

1.等腰三角形(一)

一、教學目標如：

1.知識目標：理解作為證明基礎的幾條公理的內容，應用這些公理證明等

腰三角形的性質定理；熟悉證明的基本步驟和書寫格式。

2.能力目標：經歷“探索一發(fā)現一猜想一證明”的過程，讓學生進一步體

會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能

力;

3.情感與價值目標：啟發(fā)引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理

與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關系；

二.教學重、難點

重點：探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和

方法；

難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表

達等。

三、教學過程分析

笫一環(huán)節(jié)：回顧舊知導出公理

請學生回憶并整理已經學過的8條基本事實。其中證明三角形全等的有以下

三條：

兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS);

兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA);

三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS);

在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：1.(推論)兩角及其中一角的

本邊對應相等的兩個三角形全等(AAS),并要求學生利用前面所提到的公理進行

證明；

2.回憶全等三角形的性質。A

己知：如圖，NA=ND,NB=NE,BC=EF./\/\

求證：△ABCgZ\DEF.BCE---------

證明：:NA=ND,NB=NE(已知)，

又NA+NB+NC=180o,ND-NE+NF=180。(三角形內角和等于180°),

/.ZC=180o-(ZA+ZB),

ZF=18O°-(ZD+ZE),

/.ZC=ZF(等量代換)。

又BC=EF(已知)，I.AABC^ADEF(ASA)。

第二環(huán)節(jié)：折紙活動探索新知

提問：“等腰三角形有哪些性質？如何探索這些性質的，你能再次通過折紙活動

驗證這些性偵嗎？并根據折紙過程，得到這些性質的證明嗎？”

第三環(huán)節(jié)：明晰結論和證明過程

讓學生明晰證明過程。

(1)等腰三角形的兩個底角相等；

(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合

第四環(huán)節(jié)：隨堂練習鞏固新知

第五環(huán)節(jié)：課堂小結

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

四、教學反思

1.等腰三角形（二）

一、教學目標：

1.知識目標：探索一一發(fā)現一一猜想一一證明等腰三角形中相等的線段，

進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性；

2.能力目標：①經歷“探索一發(fā)現一猜想一證明”的過程，讓學生進一步

體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的

能力；

②在命題的變式中，發(fā)展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高

學生的學習能力和思維能力，提高學生學習的主體性；

③在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質：對稱性，發(fā)展學生的幾何直覺；

3.情感與價值觀要求①鼓勵學生積極參與數學活動，激發(fā)學生的好奇心和

求知欲.

②體驗數學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數學的嚴謹性.

二.教學重、難點

重點：經歷“探索一一發(fā)現一一猜想一一證明”的過程，能夠用綜合法證明

有關三角形和等腰三角形的一些結論.

三、教學過程分析

第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課

在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現其中一

些相等的線段嗎?你能證明你的結論嗎?

例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等

已知：如圖，在AABC中，AB=AC,BD、CE是AABC的角平分線.

求證：BD=CE

證明：VAB=AC

???NABC=NACB（等邊對等角）.

；Z1=|NABc,Z2=1ZABC

AZ1=Z2.

在△BDC和△CEB中，

ZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2.

△BDCdCEB(ASA).

???BD=CE(全等三角形的對應邊相等)

第三環(huán)節(jié)：經典例題變式練習

活動內容：提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可

以有哪些線段相等？并在學生思考的基礎上，研究課本“議一議”：

在課本圖1—4的等腰三角形ABC中，

(1)如果/ABA：ZABCZACE=|NACB呢？由此，你能得到一個什么結論?

⑵如果AD4AC,AE二;AB,那么BD=CE嗎?如果心端AB呢?由此你

得到什么結論？

第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質

活動內容：提請學生在上面等要三角形性質定理的基礎上，思考等邊三角形

的特殊性質：等邊三角形三個內角都相等并且每個內角都等于60°.

已知：AABC中，AB=BC=AC.

求證：ZA=ZB=ZC=60°.

證明：在AABC中，TAB=AC,???NB=NC（等邊對等角）.

同理：ZC=ZA,AZA=ZB=ZC（等量代換）.

又???NA+NB+NC=180°（三角形內角和定理），,NA=NB=NC=

60°?

第五環(huán)節(jié)：隨堂練習及時鞏固

第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時小結

課外作業(yè)

四、教學反思

1.等腰三角形（三）

一.教學目標：

1.探索等腰三角形判定定理.

2.理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明.

3.了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用，培養(yǎng)學生的逆向思維能力。

二.教學過程分析

第一環(huán)節(jié)：復習引入

活動過程：通過問題串回顧等腰三角形的性質定理以及證明的思路，要求

學生獨立思考后再進交流。

問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是

什么？

問題2.我們是如何證明上述定理的？

問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立么？如果一個三角形有

兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等？

第二環(huán)節(jié)：逆向思考，定理證明

A

教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結論，這A

是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”/\

思考問題，這也是獲得數學結論的一條途徑.例如“等邊對等BLt

角”，反過來成立嗎？在AABC中，ZB=ZC,要想證明AB=AC,只要構造兩個全

等的三角形，使AB與AC成為對應邊就可以了.你是怎樣構造的？

第三環(huán)節(jié)：鞏固練習

例2已知：如圖，ZCAE是ZXABC的外角，AD//BC且N1=N2.44

求證：AB=AC./\

證明：

第四環(huán)節(jié)：適時提問導出反證法

我們類比歸納獲得一個數學結論，“反過來”思考問題

也獲得了一個數學結論.如果否定命題的條件，是否也可獲1

得一個數學結論嗎？我們一起來“想一想”：/\

小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這/-----------1

兩個角所對的邊也不相等.你認為這個結論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？

我們來看一位同學的想法：

如圖，在AABC中，已知NBrNC,此時AB與Ac要么相等，要么不相等.

假設AB=AC,那么根據“等邊對等角”定理可得NC=/B,但已知條件是N

B于NC."NC=NB”與已知條件“NBrNC”相矛盾，因此ABrAC

你能理解他的推理過程嗎？

再例如，我們要證明aABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證

法，假設有兩個角是直角，不妨設NA=9（r,NB=90。，可得/A+NB=180。，

但△ABNA+NB+NC=180。，“NA+NB=180?！迸c“NA+/B+NC=180?！毕嗝?/p>

盾，因此AABC中不可能有兩個直角.

引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢？引出反證法。

都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或己證明過

的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我

僅把它叫做反證法.

第五環(huán)節(jié)：拓展延伸

現有等腰三角形紙片，如果能從一個角的頂點出發(fā)，將原紙片一次剪開成兩塊

等腰三角形紙片，問此時的等腰三角形的頂角的度數？

第六環(huán)節(jié)：課堂小結

課外作業(yè)

教學反思：

1.等腰二角形（四）

一、教學目標：

1.知識目標：理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30。角的直

角三角形性質及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。

2.能力目標：①經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程

②經歷實際操作，探索含有30。角的直角三角形性質及其推理證明過程，發(fā)

展合情推理能力和初步的演繹推理的能力;

3.情感與價值觀要求：①積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知

欲.

②在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

二.教學重難點

重點：①等邊三角形判定定理的發(fā)現與證明.②含30°角的直角三角形的

性質定理的發(fā)現與證明.

難點：含30°角的直角三角形性質定理的探索與證明.

三、教學過程

第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課

回顧等腰三角形的性質和判定定理的基礎上，直接提出問題：等邊三角形作

為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質呢？又如何判別一個三角形是等腰三角

形呢？從而引入新課。

第二環(huán)節(jié)：自主探索

活動內容：學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流各自的

結論，教師適時要求學生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，

并引導學生總結出下表：

性質判定的條件

等腰三等邊對等角等角對等邊

角形“三線合一”即等腰三角形頂角平有一角是60°

（含等分線，底邊上的中線、高互相重合

邊三角等邊三角形三個角都相等，且每個角三個角都相等的三角形是等邊

形）都是60°三角形

第三環(huán)節(jié)：實際操作提出問題

提出問題：用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？能拼出

一個等邊三角形嗎？在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關系，有

哪些線段存在倍數關系，你能得到什么結論？說說你的理由.

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于

斛邊的一半.

已知：如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.

A

求證：BC=；AB./I

證明：在aABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=60°./

延長BC至D,使CD=BC,連接AD（如圖所示）.nL---------J.-------

ZACB=90°AZACB=9O°

AC=AC,AABC^AADC（SAS）

/.AB=AD（全等三角形的對應邊相等）.

???Z\ABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.

ABC=1BD=1AB.

第四環(huán)節(jié)：變式訓練鞏固新知D

［例題］等腰三角形的底角為15°,

腰長為2a,求腰上的高CD的長.B

解：VZABC=ZACB=15°

:.ZDAC=ZABC+ZACB=150+15°=30°

：CI＞；AC=1X2a=a（在直角三角形中,如果一個銳角等于30。，那么它所

對的直角邊等于斜邊的一半).

第五環(huán)節(jié)：暢談收獲課時小結

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

四、教學反思

2.直角三角形(一)

一、教學目標

1.知識目標：

(1)掌握直角三角形的性質定理及判定定理的證明方法。

(2)會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.

2.能力目標：

(1)進一步經歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步

的符號感，發(fā)展抽象思維.(2)進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能

力.

3.教學重點、難點

重點①了解勾股定理及其逆定理的證明方法.②了解逆命題的概念，識別兩

個互逆命題.

難點：勾股定理及其逆定理的證明方法.

二、教學過程

1：創(chuàng)設情境，引入新課

請同學們打開課本P18,閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理

和推導出的定理，證明勾股定理的方法.

2:講述新課

閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第

二種方法請有興趣的同學課后閱讀.

(1).勾股定理及其逆定理的證明.

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們

曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結論.你能證明此結論嗎？

己知：如圖：在△ABC中，AB+AC2=BC2

求證：AABC是直角三角形.

證明：作RtZXA'B，C,,使NA'=90°,A'B'=AB,A'C'、AC(如圖),

貝I」A'B'z+A'C'z.(勾股定理).

A1

VAB2+AC2=BC2,A'B'=AB,A'C'

.?.BC2=B'C'2/

w-----------------c

ABC=B,C,

.-.△ABC^AA,B'C(SSS)

???ZA=ZA*=90°(全等三角形的對應角相等).

因此，AABC是直角三角形.

勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直

隹三角形.

(2).互逆命題和互逆定理.

觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系？通過觀察，學生會

發(fā)現:

上面兩個定理的條件和結論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的

結論，結論是第二個定理的條件.

3:議一議：觀察下面三組命題：：

如果兩個角是對頂角，那么它們相等.如果兩個角相等，那么它們是對頂角.

如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒.如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.

三角形中相等的邊所對的角相等.三角形中相等的角所對的邊相等.

不難發(fā)現，每組第二個命題的條件是第一個命題的結論，第二個命題的結論

是第一個命題的條件.

在兩個命題中，如果一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，

那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于

逆命題來說，另一個就為原命題.

請同學們判斷每組原命題的真假.逆命題呢？

在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題.在第二組中，原命題是

真命題，而逆命題是假命題.在第三組中，原命題和逆命題都是真命題.

由此我們可以發(fā)現：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題.

4:想一想

請學生寫出“如果兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎？它們都

是真命題嗎？

5:隨堂練習

說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假；

(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內旁內角互補；

6:課時小結

7:課后作業(yè)

四、教學反思

2,直角三角形（二）

一、教學目標：

1.知識目標：①能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進一步理解

證明的必要性

②利用"HU'定理解決實際問題

2.能力目標：①進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力

二、教學過程

1：復習提問

1.判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同學們相互

交流。

3、有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個

角是直角呢？請證明你的結論。

2:引入新課

（1）.“HL”定理.由師生共析完成

已知：在RtAABC和RtAAB'C'中，ZC=Z

C'=90°,AB=AB,BC=B'C'.

求證：RtAABC^RtAA'BV

證明：在RtZXABC中，AC=AB2—BC2（勾股定理）.

又???在RtAA'B'C'中，A'C'=AC=ABz—

Be%（勾股定理）.

AB=A'B;BC=B'C;AC=A'C'

???RtAABC^RtAA'B'CXSSS).

定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示.

3:例題學習

如圖，在aABC絲△ABC'中，CD,C°D'

分別分別是高，并且AC二A，C,CD=CD.N\\

ACB=ZA,C,B,.ADBAi)fB

求證：△ABCgZ\A'B'C"

證明：VCD>CD'分別是△ABCZXABC'的高(已知)，

.*.ZADC=ZA*D,C=90°-

在RtZ\ADC和RtAA'D'C'中，

AC=A'C°（已知），

CD=C'D'（已知），

RtAADC^RtAA,D,C,（HL）.

ZA=ZA;（全等三角形的對應角相等）.

在aABC和△ABC'中，

NA=NA'（已證），

AOA'C'（已知），

ZACB=ZA'C'B'（已知），

???Z\ABC義△ABC'（ASA）.

6:課時小結

7:課后作業(yè)

四、教學反思

3.線段的垂直平分線（一）

一、教學目標：

1.證明線段垂直平分線的性質定里和判定定理.

2.經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明能力,豐富對

幾何圖形的認識。

3.通過小組活動，學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果

二.教學重點、難點

重點是運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質定理及其逆命題。難點是垂

直平分線的性質定理在實際問題中的運用。

三、教學過程

第一環(huán)節(jié)：性質探索與證明

定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

己知：如圖，直線MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的點.

求證：PA=PB,

證明：,ZMN1AB,M

:.ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,Aq力

???△PCA經△PCB（SAS）.

??.PA=PB（全等三角形的對應邊相等）.

第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

己知：線段AB,點P是平面內一點且PA二PB.?

求證：P點在AB的垂直平分線上.為\

證明：過點P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB,PC=PC,A/?、B

RtAPAC^RtAPBC（HLjgS）.

/.AC=BQ

即P點在AB的垂直平分線上.

第四環(huán)節(jié)：鞏固應用

例1已知：如圖1-18,在4ABC中，AB=AC,0是ZXABC內一點，且0B

=oc.

求證：直線A0垂直平分線段BCo.\

證明：VAB=AC,/\

???點A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個B4二

端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.I

同理，點0在線段BC的垂直平分線上.

??,直線A0是線段BC的垂直平分線（兩點確定一條直線）.

第五環(huán)節(jié)：隨堂練習課本P23;習題：第1、2題

第六環(huán)節(jié)：課堂小結：通過這節(jié)課的學習你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？

第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)

四、教學反思

3.線段的垂直平分線（二）

、教學目標:

1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點

2.經歷猜想、探索，能夠作出符合條件的三角形.

3.經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.體

驗解決問題的方法，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新意識.

4.學會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.

二.教學重點、難點

重點：①能夠證明與線段垂直平分線相關的結論.

②已知底邊和底邊上的高，能利用尺規(guī)作出等腰三角形.

難點：證明三線共點。

三、教學過程分析

1：求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點

的距離相等。

已知：在AABC中，設AB、BC的垂直平分線交于點

P,連接AP,BP,CP.

求證：P點在AC的垂直平分線上.

證明：???點P在線段AB的垂直平分線上,

???PA=PB（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的

距離相等）.

同理PB=PC,

APA=PC.

???P點在AC的垂直平分線上（到線段兩個端點距離相等的點.在這條線段的垂直

平分線上).

???AB、BC、AC的垂直平分線相交于點P.

2.引申拓展

(1)己知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形

嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎？

(2)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等

腰三角形嗎？能作幾個？

3例題學習

已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形.

己知：線段a、h

求作：△ABC,使AB=AC,BC=a，高AD=h

作法：1.作BC二a;

2.作線段Be的垂直平分線MN交BC于D點;

3.以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點;

4.連接AB、AC

???AABC就是所求作的三角形(如圖所示).

3.動手操作

(1):已知直線1和1上一點P,用尺規(guī)作1的垂線，使它經過點P.

學生先獨立思考完成，然后交流：說出做法并解釋作圖的理由。

(2)拓展：如果點P是直線1外一點，那么怎樣用尺規(guī)作1的垂線，使

它經過點P呢？說說你的作法，并與同伴交流.

5.隨堂練習：：習題第1、2題。

6.課時小結

本節(jié)課通過推理證明了“到三角形三個頂點距離的點是三角形三條邊的垂直

平分線的交點，及三角形三條邊的垂直平分線交于一點”的結論，并能根據此結

論“已知等腰三角形的底和底邊的高，求作等腰三角形”.

7.課后作業(yè)

四、教學反思

4.角平分線(一)

一、教學目標：

1.會證明角平分線的性質定理及其逆定理.

2.進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力，培養(yǎng)學生將文字語言.轉化為

符號語言、圖形語言的能力.

3.經歷探索，猜想，證明使學生掌握研究解決問題的方法。

二.教學難點：

正確地表述角平分線性質定理的逆命題及其證明。

三、教學過程

1：情境引入

提問：還記得角平分線上的點的性質嗎？你是怎樣得到的？

即角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

你能證明它嗎？

2:探究新知

(1)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

己知：如圖，0C是NAOB的平分線，點P在0C

上，PD±OA,PE±OB,垂足分別為D、E.

求證：PD=PE.

證明：???N1=N2,0P=0P,

ZPDO=ZPEO=90°,

.,.△PDO^APEO(AAS).

.?.PD=PE（全等三角形的對應邊相等）.

⑵你能寫出這個定理的逆命題嗎？

在一個角的內部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上.

它是真命題嗎？你能證明它嗎？

已知：在么AOB內部有一點P,且PD上OA,PEJLOB,D、E為垂足且PD二PE,

求證：點P在么AOB的角平分線上.

證明：PD±OA,PE±OB,

JZPDO=ZPEO=90°.

在RtZ\ODP和RtAOEP^

OP=OP,PD=PE,/.RlAODPgRlZ\OEP（HL定理）.

???N1=N2（全等三角形對應角相等）.

逆命題利用公理和我們已證過的定理證明了，那么我們就可以把這個逆命題

叫做原定理的逆定理.我們就把它叫做角平分線的判定定理。

（3）用直尺和圓規(guī)畫已知角的平方線及作圖的依據討論。

3.鞏固練習

例題：在4ABC中，ZBAC=60°,點D在BC上，AD=10,DE±AB,

DF±AC,垂足分別為E,F,且DE=DF,求DE的長.

4:隨堂練習課本第29頁1、2題。

5:課堂小結

這節(jié)課證明了角平分線的性質定理和判定定理，在有角的平分線（或證明是

角的平分線）時，過角平分線上的點向兩邊作垂線段，利用弟平分線的判定或性

質則使問題迅速得到解決。

6:課后作業(yè)

四、教學反思

4.角平分線（二）

一、教學目標：

1.知識目標：（1）證明與角的平分線的性質定理和判定定理相關的結論.

（2）角平分線的性質定理和判定定理的靈活運用.

2.能力目標：（1）進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.

（2）培養(yǎng)學生將文字語言轉化為符號語言、圖形語言的能力.

（3）提高綜合運用數學知識和方法解決問題的能力.

3.情感與價值觀要求：①能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求

知欲.

②在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

二.教學重點、難點

重點：①三角形三個內角的平分線的性質.

②綜合運用角平分線的判定和性質定理，解決幾何中的問題.

難點：角平分線的性質定理和判定定理的綜合應用.

三、教學過程

第一環(huán)節(jié)：設置情境問題，搭建探究平臺

問題1習題1.8的第1題作三角形的三個內角的角平分線，你發(fā)現了什么？

能證明自己發(fā)現的結論一定正確嗎？

于是，首先證明“三角形的三個內角的角平分線交于一點”

當然學生可能會提到折紙證明、軟件演示等方式證明，但最終，教師要引導

學生進行邏輯上的證明。

第二環(huán)節(jié)：展示思維過程，構建探究平臺4

定理：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這

一點到三條邊的距離相等.

己知：如圖，設AABC的角平分線.BM、CN相交于B2

點P,

求證：P點在NBAC的角平分線上.

證明：過P點作PD_LAB,PF_LAC,PE_LBC,其中D、E、F是垂足.

???BM是aABC的角平分線，點P在BM上，

???PD=PE（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.

同理：PE=PF.

.??PD=PF.

???點P在NBAC的平分線上（在一個角的內部，且到角兩邊距離相等的點，在

這個角的平分線上）.

???△ABC的三條角平分線相交于點P.

下面我通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條帶平分線的性質定理

三邊垂直平分線三條角平分線

銳角三角形交于三角形內一點

三角

鈍角三角形交于三角形外一點交于三角形內一點

形

直角三角形交于斜邊的中點

到三角形三個頂點的距到三角形三邊的距離

交點性質

離相等相等

笫三環(huán)節(jié)：例題講解

［例1］如圖，在AABC中.AC=BC,ZC=90°,AD是aABC的角平分線，DE

1AB,垂足為E.

（1）已知CD=4cm,求AC的長；

⑵求證：AB=AC-KD.

證明：（1）解：???AD是AABC的角平分線，

ZC=90°,DE±AB.

???DE=CTMcm（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相

等）.

???ZAC=ZBC.??NB=NBAC（等邊對等角）.

ZC=90°,

AZB=1X90°=45°

乙

???ZBDE=90°^5°=45°.

???BE=DE（等角對等邊）.

在等腰直角三角形BDE中

BD=2DE2=42cm（勾股定理），

???AC=BC=CD+BD=（4+42）cm.

（2）證明：由（1）的求解過程可知，

RtAACD^RtAAED（HL定理）

AAC=AE.

VBE=DE=CD,

AAB=AE+BE=AC+CD.

第四環(huán)節(jié)：課時小結

本節(jié)課我們利用角平分線的性質和判定定理證明了三角形三條角平分線交于

一點，且這一點到三角形各邊的距離相等.并綜合運用我們前面學過的性質定理

等解決了幾何中的計算和證明問題.

第五環(huán)節(jié)：課后作業(yè)

四、教學反思

第二章一元一次不等式與一元一次不等式組

1.不等關系

教學目標：

1、知識與技能目標

①理解不等式的意義。②能根據條件列出不等式。③能用實際生活背景和數

學背景解釋簡單不等式的意義。

2、過程與方法目標經歷由具體實例建立不等式模型的過程，進一步發(fā)展

學生的符號感與數學化的能力。

3、情感與態(tài)度目標感受生活中存在著的大量不等關系，通過用不等式解

決實際問題，使學生進一步認識數學與人類生活的密切聯系，激發(fā)學生學習數學

的信心和興趣。

教學重點：①通過探尋實際問題中的不等式關系，認識不等式。

②根據實際問題建立合理的不等關系。

教學難點：對不等式意義的理解及根據實際問題建立合理的不等關系。

教學過程

1、創(chuàng)設情景，引入新課

尋找相等的量和不等的量

師：我們學過等式，等式的定義是什么？

生：表示相等關系的式子叫等式。

師：我們知道相等關系的量可以利用等式來描述。同時，我們也知道現實生

活中還存在許多反映不等關系的量。

師：比如，研究表明同學們每天睡覺的時間耍不少于9小時；體育考試中合

格的分數要不低于60分。請同學們也舉一些不等關系的例子。

生1:每天我都比他早起5分鐘。

生2:我的年齡不小于13歲。

生3:我的體重不低于30公斤

2、講述新課

師：如何用式子來表示不等關系呢？

師：展示投影片A

(1)某廠今年的產值是a元，預計明年年產值增長率高于20%,如果明年

的產值是b元，那么b和a滿足的關系式是

（2）如果某等腰三角形的底邊用acm表示，這邊上的高為4cm,如果這

個三角形的面積不大于8cm2,那么a應該滿足的關系式為。（注

意：不大于的含義）

（3）鐵路部門對旅客隨身攜帶的行李有如下規(guī)定：每件行李的長、寬、高

三邊之和不得超過160cm。設行李的長、寬、高分別為acm^bcm、ccm,請

你列出行李的長、寬、高滿足的關系式。

3、議一議

某中學準備在學校飯廳新添一個通風口，四周用長為xm（x<5）的裝潢條鑲

嵌（不計接縫），現有兩種設計方案。如下圖：（一、

方案一方案二（J

師：下面請大家討論，按題意進行解答。（學生討論、解答后，教師根據情

況進行點評）

（1）問題:

d2）探究:通風口規(guī)格X滿足的關系式

過測量棵樹里古樹于的冊：）可建通實出它的村齡垂常規(guī)定以樹干

料正陽

離地面.5米的他方?.為.測最部位某樹裁種時的樹圍為5cm,以后樹圍每';增

cml2這棵樹至少生長多少年其樹圍才能超過2.4h?（只列關系式）

加約為B

師!請?zhí)一ハ嘤懻摵罅谐鲫P系式

生：設這棵樹至少生長X年其樹圍才能超過2.4m,得3x+5>240

4、歸納定義觀察由上述問題得到的關系式，比如：—^\1L>!1

16毓4n16；

3x+5>240,它們的共同特點：都是用連接的式子。

生：不等號

等式與等式的異同。

②掌握不等式的基本性質，并能初步運用不等式的基本性質將比較簡單的不

等式轉化為“x>a”或“x〈a”的形式。

(2)過程與方法目標：①能說出不等式為什么可以從一種形式變形為另一種形

式，發(fā)展其代數變形能力，養(yǎng)成步步有據、準確表達的良好學習習慣。

②通過研究等式的基本性質過程類比研究不等式的基本性質過程，體會類比

的數學方法。

③進一步發(fā)展學生的符號表達能力，以及提出問題、分析問題、解決問題的

能力。

(3)情感與態(tài)度目標：①通過學生自我探索，發(fā)現不等式的基本性質，提

高學生學習數學的興趣和學好數學的自信心。

②尊重學生的個體差異，關注學生對問題的實質性認識與理解。

教學重點：不等式的基本性質。

教學難點：不等式的基本性質的實際運用。

教學過程：

1、創(chuàng)設情景，引入新課

利用班上同學站在不同的位置上比高矮。請最高的同學和最矮的同學“同時

站在地面上”，“矮的同學站在桌子上”，“高的同學站到樓下一樓“三種不同

的情況下比較高矮。問題1：怎樣比才公平？

2、講述新課

參照教材與多媒體課件提出問題：還記得等式的基本性質嗎?請用字母表示

它。不等式有類似的性質嗎？先猜一猜。

(1)用等號或不等號完成下面的填空。如果2<3;那么

2><5---------3X5；2翼13X2;2X(-1)3

2X(-5)3X(-5);

(2)驗證你的結論，用字母表示你所發(fā)現的結論。

(3)與同伴交流你的結論，并展示。

生1：等式的基本性質1用字母可以表示為：。a=b/.a±c=b±c,

類似地得到，如果在不等式的兩邊都加上或都減去同一個整式，結果不等號

方向不變。

字母表示為：Va>b,.*.a±c>b±c;或Va>b,.*.a±c<b±Co

生2:對于等式的基本性質2,用字母可以表示為：

Oa=b,axc=bxc,a+c=b—c,其中c#)。經過前面的探索，可類似地

得到：如果不等式兩邊同時乘以(或除以)同一個正數，不等號方向不變；如果

不等式兩邊同時乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向要發(fā)生改變。字母表

示如卜.：

3、練習鞏固：

1、在上一節(jié)課中，我們猜想，無論繩長1取何值，圓的面積總大于正方形的

面積，即你相信這個結論嗎？你能利用不等式的基本性質解釋這一結

4n16

論嗎？

2、將下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：

(l)x-5>-l(2)-2x>3

3、將下列不等式化成“x>a”或“xva”的形式：

(Dx-1>2⑵(3)皋軟

4、已知x>y,下列不等式一定成立嗎？

(l)x-6<y-6(2)3x<3y(3)-2x<-2y(4)2x+l>2y+l

5、小明做這樣一題：己知2x>3x,求x的范圍。結果小明兩邊同時除以x,

得到2>3。你知道他錯在哪？

4、課堂小結活動內容：學生自己總結今天這節(jié)課有什么收獲，思考后對全班

說出，與全班同學討論交流。

5、布置作業(yè)

教學反思

3.不等式的解集

教學目標：

(1)知識與技能目標：

①能根據具體情境理解不等式的解與解集的意義。②能在數軸上表示不等式

的解集。

(2)過程與方法目標：

①培養(yǎng)學生從現實情況中探索、發(fā)現并提出簡單的數學問題的能力。

②經歷求不等式的解集的過程，通過嘗試把不等式的解集在數軸上表示出

來，引導學生體驗用數軸表示不等式解集具有直觀的優(yōu)越性，增強學生數形結合

的意識。

(3)情感態(tài)度與價值觀目標：

通過從實際問題中抽象出數學模型、探索求不等式的解集的過程，讓學生認

識數學與人類生活的密切聯系，體驗數學活動充滿了探究性和創(chuàng)造性。

教學重點：（1）理解不等式的解與解集的概念。（2）探索不等式的解集并能在數

軸上表示出來。

教學難點：不等式解集的數軸表示。

教學過程

1、創(chuàng)設情景，引入新課

師：我們已學習了不等式的基本性質，不等式的基本性質有哪些？它與等式

的性質有何異同點？

生：答（略）。（多媒體呈現）

師：我們已學習了不等式的基本概念和性質。這節(jié)課我們來研究不等式的解

的相關知識。

師：方程的解的定義是什么？

生：使得方程左右兩邊的值相等的未知數的值，叫做方程的解。

師：換句話說，方程的解是使得方程成立的未知數的值。

師：類似地，你認為什么是不等式的解？

生：能夠使不等式成立的未知數的值就是不等式的解。

師：確實，“能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解?！?/p>

2、講述新課

燃放某種禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導火線后要在燃放前轉移到

10m以外的安全區(qū)域，已知導火線的燃燒速度為0.02m/s,燃放者離開的速度為

4m/s,那么導火線的長度應為多少厘米？

引導分析?：設導火線長度為xcm,燃放者轉移到安全區(qū)域需要的時間最少為，螞

(s),導火線燃燒的時間為——S，要使燃放者轉移到安全地帶，必須有：

0.02x100

x、10

0.02x100

解：設導火線的長度為xcm,則_,根據不等式的基本性

0.02xHX)4

質，可得x>5

3、想一想：

(l)x=?2、1、5、6、8是不等式x>5的解么？

(2)你還能說出幾個不等式x>5的解嗎？你認為不等式x>5的解有幾個？

它們有什么特點？

(3)不等式xzWO的解有哪些？不等式xzW-2呢？

生1:x=6、8是不等式x>5的解。x=-2、1、5不是不等式x>5的解。

生2:x=12、、20是不等式x>5的解。不等式x>5的解有無數個。它們都

比5大。

生3:不等式xWO的解是x=0;不等式X2W—2無解。

通過對以上問題情境的探究，引導學生認識到：不等式的解一般有無數個，

但有時只有有限個，有時無解。在此基礎上，給出不等式的解集和解不等式的定

義：

一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集，求不等式的解

集的過程叫做解不等式。

4、做一做：

(1)不等式x+l>5的解集是;(2)不等式xz>0的

解集是__________________

5、議一議:

既然不等式的解集在通常情形下有很多個符合條件的解，那么我們能否用一

種直觀的方法把不等式的解集表示出來呢？請同學們相互交流，發(fā)表自己的見

解。

請同學們用自己的方式將不等式x>5的解集和不等式x-5^-1的解集

x<4分別表示在數軸上，并與同伴進行交流。

在小組展示、交流質疑的基礎上，引導學生掌握在數軸上表示不等式的解集

的正確方法，并提醒學生注意：

1)指示線的方向，“>”向右，“<”向左.2)有“二”用實心點，沒有“二”

用空心圈.

以上兩個解集正確的表示方法為：

-2-1a12

62例題講解1234—567-

根據不等式的基本性質求不等式的解集，附皤嬴在輔

(l)x-2>-4(2)2x<8(3)—2x-2>-10

解：(1)定-2

(2)x<4

(3)x<4

隨堂練習

1、判斷正誤：

(1)不等式x-l>0有無數個解

②不等*3a拗葆為-I

2、將下列不等式的解集分別表示在數軸上:

(l)x>4(2)x<-l(3)x>-2(4)x<6

3、填空：

1）方程2x=4的解有（）個，不等式2x<4的解有（）個

2）不等式5xN-10的解集是（）

3）不等式史.3的負整數解是（）

4）不等式x-l<2的正整數解是（）

7、課時小結

師：本課你主要學會了________________________________________

生：1、學會了什么是不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念

2、會探索簡單不等式的解集，并把解集表示在數軸上。

3、用數軸表示解集時的注意事項。

8、作業(yè)

教學反思

4.一元一次不等式（一）

教學目標：

（一）知識與技能：會解簡單的一元一次不等式，并能在數軸上表示其

解集。

（二）過程與方法：讓學生經歷一元一次不等式的形成過程，通過類比

理解一元一次不等式的解法。

（三）情感與態(tài)度：通過一元一次不等式的學習，提高學生的自主學習

能力，激發(fā)學生的探究興趣。

教學重點：掌握簡單的一元一次不等式的解法，并能將解集在數軸上表示出來。

教學難點：一元一次不等式的解法。

教學過程

1、創(chuàng)設情境，引入新課

(1)不等式的三條基本性質是什么？

(2)運用不等式基本性質把下列不等式化成x>a或的形式。

①x—4<6②2x>x-5③L-4<6④L

3535

(3)什么叫一元一次方程？解一元一次方程的步驟是什么？

觀察下列不等式：

(l)6+3x>30(2)x+l7<5x(3)x>5(4),>12

0.02x1004

這些不等式有哪些共同點？

注意事項：學生自行歸納總結，發(fā)言討論，教師在總結學生發(fā)言的基礎上板

書一元一次不等式的定義：“左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未

知數的最高次數是1的不等式，叫做一元一次不等式(linearinequality

withunknown)”。并向學生強調一元一次不等式的主要特征。

鞏固概念想一想：在前面兒節(jié)課中，你列出了哪些一元一次不等式？試舉

兩例，并與同伴交流。

2、講述新課

例1.解不等式3-x〈2x+6,并把它的解集表示在數軸上。

提出問題：

1、你能利用不等式的基本性質解決嗎？試一試。

2、在解不等式的過程中是否有與解一元一次方程類似的步驟？

能否歸納解一元一次不等式的基本步驟？

3、在解一元一次不等式的步驟中，應注意什么？

例2.解不等式?2個，并把它的解集表示在數軸上。

解：去分母，得3(x-2)>2(7-x)

去括號，得3x-6>14-2x

移項、合并同類項，得

5x>20

--0123456

兩邊都除以5,得

x>4

這個不等式的解集在數軸上表示如下

3、練習提高

1.解下列不等式，并把它們的解集分別表示在

數軸上；

⑴5x<200(2)

2

(3)x-4>2(x+2)(4)曰<竺二2

23

2.求不等式4(4x+l)W24的正整數解。

4、課堂小結

11)通過本節(jié)課的學習，你學到了那些知識？(什么是一元一次不等式以及一

元一次不等式的解法。)

屹)你學會了哪些數學方法？(類比的數學方法。)

(3)你覺得在一元一次不等式的解題步驟中，應該注意些什么問題？(如果乘

數或除數是負數，不等號的方向要改變。)

5、作業(yè)

教學反思

4.一元一次不等式（二）

教學目標：

：1）知識與技能目標：

①進一步熟練掌握解一元一次不等式的解法；②利用一元一次不等式解

決簡單的實際問題。

：2）過程與方法目標：

通過分析實際問題中的不等關系，建立不等式模型，通過對不等式的求解

市實際問題的解決，訓練學生的分析和建立數學模型的能力。

13）情感與態(tài)度目標：

通過利用一元一次不等式解決實際問題，使學生認識數學與人類生活的密

切聯系，以激發(fā)學生學習數學的興趣與信心。

教學重點：一元一次不等式的應用。

教學難點：將實際問題抽象成數學問題的思維過程。

教學過程1、創(chuàng)設情境，引入新課

解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數軸上。

⑴烹砥1（2）I>3+121

2、講述新課

利用一元一次不等式解決簡單的實際問題

某種商品進價為200元，標價300元出售，商場規(guī)定可以打折銷售，但其

利潤不能少于5%.請你幫助售貨員計算一下，此種商品可以按幾折銷售？

先獨立思考，再小組交流解