高等代數(shù)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)

演講人:日期：高等代數(shù)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)目錄CONTENCT線(xiàn)性方程組與矩陣行列式與克拉默法則線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換多項(xiàng)式與多項(xiàng)式矩陣二次型與正定矩陣歐幾里得空間與內(nèi)積空間01線(xiàn)性方程組與矩陣線(xiàn)性方程組的定義線(xiàn)性方程組的解齊次線(xiàn)性方程組由一組線(xiàn)性方程構(gòu)成的方程組稱(chēng)為線(xiàn)性方程組。滿(mǎn)足線(xiàn)性方程組所有方程的未知數(shù)組合稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的解。常數(shù)項(xiàng)全為零的線(xiàn)性方程組稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組。線(xiàn)性方程組基本概念由數(shù)組成的矩形陣列稱(chēng)為矩陣，矩陣中的數(shù)稱(chēng)為矩陣的元素。矩陣的定義矩陣的運(yùn)算矩陣的性質(zhì)包括矩陣的加法、減法、數(shù)乘和乘法等基本運(yùn)算。如矩陣的轉(zhuǎn)置、矩陣的逆等。030201矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)03矩陣的初等變換與線(xiàn)性方程組同解變換通過(guò)矩陣的初等變換可以實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性方程組的同解變換，從而簡(jiǎn)化方程組的求解過(guò)程。01矩陣表示線(xiàn)性方程組線(xiàn)性方程組可以用矩陣形式表示，方便求解和分析。02矩陣的秩與線(xiàn)性方程組解的關(guān)系矩陣的秩與線(xiàn)性方程組的解有密切關(guān)系，秩的大小決定了方程組的解的情況。矩陣與線(xiàn)性方程組關(guān)系矩陣秩的定義矩陣中非零子式的最高階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩。解空間的定義線(xiàn)性方程組的所有解構(gòu)成的集合稱(chēng)為解空間。矩陣秩與解空間的關(guān)系矩陣的秩決定了線(xiàn)性方程組的解空間的維數(shù)，即解空間的自由度或基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)。當(dāng)矩陣的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，線(xiàn)性方程組有唯一解；當(dāng)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解。矩陣秩與解空間02行列式與克拉默法則行列式定義行列式性質(zhì)行列式定義及性質(zhì)行列式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它是一個(gè)數(shù)值，由矩陣中的元素按照特定的規(guī)則計(jì)算得出。行列式具有多種性質(zhì)，如行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等、互換兩行（列）行列式變號(hào)、行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式等。展開(kāi)定理代數(shù)余子式拉普拉斯定理行列式計(jì)算方法在展開(kāi)定理中，每個(gè)小行列式都稱(chēng)為代數(shù)余子式，它是由原矩陣中去掉某一行和某一列后得到的子矩陣的行列式乘以特定的符號(hào)得到的。拉普拉斯定理是行列式展開(kāi)的一種推廣，它允許我們按照任意多行或多列展開(kāi)行列式。行列式可以按照某一行或某一列展開(kāi)，得到一系列小行列式的和，這種方法稱(chēng)為展開(kāi)定理。要點(diǎn)三克拉默法則克拉默法則是一種利用行列式求解線(xiàn)性方程組的方法，它適用于方程組的系數(shù)矩陣的行列式不為零的情況。要點(diǎn)一要點(diǎn)二應(yīng)用步驟首先計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式，然后對(duì)于每個(gè)未知數(shù)，構(gòu)造一個(gè)以該未知數(shù)的系數(shù)替換系數(shù)矩陣中對(duì)應(yīng)列后的新矩陣，并計(jì)算其行列式；最后將未知數(shù)的系數(shù)行列式與原行列式的比值作為該未知數(shù)的解。注意事項(xiàng)在應(yīng)用克拉默法則時(shí)，需要注意系數(shù)矩陣的行列式是否為零，以及構(gòu)造新矩陣時(shí)替換的列是否正確。要點(diǎn)三克拉默法則應(yīng)用80%80%100%逆矩陣與行列式關(guān)系逆矩陣是一個(gè)與原矩陣相乘得到單位矩陣的矩陣，它表示原矩陣的逆運(yùn)算。一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為零；此外，逆矩陣的行列式等于原矩陣行列式的倒數(shù)。逆矩陣與行列式的關(guān)系在矩陣運(yùn)算和線(xiàn)性方程組求解中具有重要意義，它可以幫助我們判斷矩陣是否可逆以及求解逆矩陣。逆矩陣定義行列式與逆矩陣關(guān)系應(yīng)用意義03線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換線(xiàn)性空間是一個(gè)集合，其元素滿(mǎn)足加法和數(shù)量乘法的封閉性、結(jié)合律、交換律等性質(zhì)。線(xiàn)性空間的定義線(xiàn)性空間的一個(gè)非空子集，對(duì)于加法和數(shù)量乘法也構(gòu)成線(xiàn)性空間。線(xiàn)性子空間線(xiàn)性空間的基是一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，能夠張成整個(gè)空間；空間的維數(shù)就是基中向量的個(gè)數(shù)；坐標(biāo)是向量在基下的分解系數(shù)?；⒕S數(shù)與坐標(biāo)線(xiàn)性空間基本概念線(xiàn)性變換的定義線(xiàn)性變換是保持向量加法和數(shù)量乘法不變的變換。線(xiàn)性變換的矩陣表示給定線(xiàn)性空間的一組基，線(xiàn)性變換可以表示為一個(gè)矩陣，該矩陣的列是變換后基向量的坐標(biāo)。線(xiàn)性變換的性質(zhì)線(xiàn)性變換具有保持線(xiàn)性組合、線(xiàn)性相關(guān)性和線(xiàn)性無(wú)關(guān)性等性質(zhì)。線(xiàn)性變換及其矩陣表示特征值與特征向量的求法通過(guò)求解線(xiàn)性方程組(A-λI)x=0來(lái)得到特征值和特征向量。特征值與特征向量的性質(zhì)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；同一特征值對(duì)應(yīng)的特征向量可以構(gòu)成子空間等。特征值與特征向量的定義對(duì)于線(xiàn)性變換A，如果存在非零向量x和數(shù)λ，使得Ax=λx，則稱(chēng)λ為A的特征值，x為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征值與特征向量01020304相似矩陣的定義矩陣對(duì)角化的條件矩陣對(duì)角化的方法對(duì)角矩陣的性質(zhì)相似矩陣及對(duì)角化通過(guò)求出矩陣A的特征值和特征向量，構(gòu)造可逆矩陣P，使得P^(-1)AP為對(duì)角矩陣。矩陣A可以對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。如果存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱(chēng)矩陣A與B相似。對(duì)角矩陣的乘法、冪運(yùn)算和求逆等運(yùn)算較為簡(jiǎn)單，方便計(jì)算和分析。04多項(xiàng)式與多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式基本概念及運(yùn)算多項(xiàng)式是由常數(shù)、變量以及代數(shù)運(yùn)算（加、減、乘、乘方）構(gòu)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式。包括多項(xiàng)式加法、減法、乘法以及乘方等運(yùn)算。多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的最高次數(shù)稱(chēng)為多項(xiàng)式的次數(shù)。使多項(xiàng)式等于零的變量值稱(chēng)為多項(xiàng)式的根。多項(xiàng)式定義多項(xiàng)式運(yùn)算多項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式根多項(xiàng)式矩陣定義多項(xiàng)式矩陣運(yùn)算多項(xiàng)式矩陣的秩多項(xiàng)式矩陣的逆多項(xiàng)式矩陣及其性質(zhì)01020304元素為多項(xiàng)式的矩陣稱(chēng)為多項(xiàng)式矩陣。多項(xiàng)式矩陣可以進(jìn)行加法、減法、數(shù)乘以及乘法運(yùn)算。多項(xiàng)式矩陣的秩定義為其行（或列）向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。若一個(gè)多項(xiàng)式矩陣的行列式不等于零，則它可逆，且其逆矩陣仍為多項(xiàng)式矩陣。結(jié)式定義判別式定義結(jié)式與判別式計(jì)算結(jié)式與判別式的應(yīng)用結(jié)式與判別式計(jì)算設(shè)$f(x)$和$g(x)$是兩個(gè)多項(xiàng)式，則$f(x)$和$g(x)$的結(jié)式是一個(gè)以$f(x)$和$g(x)$的系數(shù)為元素的行列式。設(shè)$f(x)$是一個(gè)n次多項(xiàng)式，則$f(x)$的判別式是一個(gè)以$f(x)$的系數(shù)為元素的n-1階行列式與n階行列式的比值。結(jié)式與判別式可以通過(guò)相應(yīng)的行列式進(jìn)行計(jì)算。結(jié)式與判別式在多項(xiàng)式方程組的求解、多項(xiàng)式重根的判斷等方面有重要應(yīng)用。提公因式法公式法分組分解法十字相乘法多項(xiàng)式因式分解方法將多項(xiàng)式中的公因式提取出來(lái)，從而將多項(xiàng)式分解為幾個(gè)因式的乘積。通過(guò)分組并提取各組公因式的方法將多項(xiàng)式分解為幾個(gè)因式的乘積。利用平方差公式、完全平方公式等將多項(xiàng)式分解為幾個(gè)因式的乘積。針對(duì)二次多項(xiàng)式，通過(guò)十字相乘的方式將其分解為兩個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積。05二次型與正定矩陣二次型定義01一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式稱(chēng)為一個(gè)二次型，一般形式為$f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$。標(biāo)準(zhǔn)型02只含有平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，形如$f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+...+d_ny_n^2$。二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系03給定一個(gè)二次型，可以通過(guò)其系數(shù)構(gòu)造出一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣；反之，給定一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，也可以唯一確定一個(gè)二次型。二次型基本概念及標(biāo)準(zhǔn)型正定矩陣定義矩陣A的所有順序主子式均大于0；矩陣A的所有特征值均大于0；存在可逆矩陣C，使得$A=C^TC$等。判定方法性質(zhì)正定矩陣的行列式大于0；正定矩陣可逆，且其逆矩陣也是正定的；兩個(gè)正定矩陣的和仍然是正定的等。對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，若對(duì)于任意非零向量x，都有$x^TAx>0$，則稱(chēng)A為正定矩陣。正定矩陣判定與性質(zhì)對(duì)于實(shí)二次型，總可以通過(guò)可逆線(xiàn)性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，且標(biāo)準(zhǔn)型中正系數(shù)的個(gè)數(shù)、負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)和零系數(shù)的個(gè)數(shù)是唯一確定的，它們分別稱(chēng)為二次型的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)和零慣性指數(shù)。慣性定理設(shè)A和B是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若有可逆矩陣C，使得$B=C^TAC$，則稱(chēng)矩陣A與B合同。合同變換不改變二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)。合同變換慣性定理和合同變換二次型優(yōu)化問(wèn)題一般形式$minf(x)=frac{1}{2}x^TAx-b^Tx$，其中A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，b是n維列向量，x是n維決策變量。求解方法當(dāng)A是正定矩陣時(shí)，該問(wèn)題存在唯一全局最優(yōu)解；當(dāng)A是半正定矩陣時(shí)，該問(wèn)題可能存在多個(gè)全局最優(yōu)解或無(wú)解；當(dāng)A是不定矩陣時(shí)，該問(wèn)題可能是無(wú)界的。求解方法包括梯度下降法、牛頓法、內(nèi)點(diǎn)法等。應(yīng)用領(lǐng)域二次型優(yōu)化問(wèn)題在機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、圖像處理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如支持向量機(jī)、線(xiàn)性回歸、主成分分析等算法中均涉及到二次型優(yōu)化問(wèn)題的求解。010203二次型優(yōu)化問(wèn)題06歐幾里得空間與內(nèi)積空間歐幾里得空間基本概念歐幾里得空間的定義實(shí)數(shù)域上的線(xiàn)性空間，定義了內(nèi)積運(yùn)算并滿(mǎn)足一定性質(zhì)。歐幾里得空間的性質(zhì)由內(nèi)積導(dǎo)出的長(zhǎng)度、角度等概念，滿(mǎn)足勾股定理、平行四邊形法則等。標(biāo)準(zhǔn)正交基由兩兩正交的單位向量組成的基，便于進(jìn)行坐標(biāo)表示和計(jì)算。兩向量在歐幾里得空間中的點(diǎn)積，滿(mǎn)足交換律、分配律等性質(zhì)。向量?jī)?nèi)積的定義由內(nèi)積導(dǎo)出的向量模長(zhǎng)，表示向量的“大小”。向量長(zhǎng)度的計(jì)算通過(guò)內(nèi)積和長(zhǎng)度計(jì)算兩向量間的夾角，判斷向量的相似性和方向。向量間的角度向量?jī)?nèi)積和長(zhǎng)度計(jì)算保持向量?jī)?nèi)積不變的線(xiàn)性變換，具有保長(zhǎng)、保角等性質(zhì)。正交變換的定義正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示，滿(mǎn)足逆矩陣等于轉(zhuǎn)置矩陣等性質(zhì)。正交矩陣的性質(zhì)在幾何變換、圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)