2023-2024學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)九年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳高級中學(xué)2023－2024學(xué)年第一學(xué)期九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶．下列四幅標(biāo)識圖，其中文字上面圖案是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.若分式值為0，則x的值為（）A.1 B. C.1或 D.03.下列四個命題中，假命題是（）A.順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形B.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等C.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合D.一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形4.若函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集是（）A B. C. D.5.已知多項式因式分解后得到一個因式為，則m的值為（）A. B.5 C. D.66.某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到81萬只設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，可列方程為（）A. B.C. D.7.關(guān)于x的一元二次方程k-4x+1=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k>4 B.k≤4 C.k<4且k≠0 D.k≤4且k≠08.如圖，長方形花圃面積為，它的一邊利用已有的圍墻（圍墻足夠長），另外三邊所圍的柵欄的總長度是．處開一門，寬度為．設(shè)的長度是，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A. B. C. D.9.如圖，在四邊形紙片中，，，，，點是線段中點，點在線段上，將沿所在的直線翻折得到，連接，則長度的最小值是（）A. B. C. D.10.如圖，在正方形中，，E，F(xiàn)分別為邊的中點，連接，點G，H分別為的中點，連接，則的長為（）A. B.1 C. D.2二．填空題（每題3分，共18分）11.分解因式：__________．12.關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，那么a的取值范圍為________．13.若關(guān)于x的方程=0有增根，則m的值是______．14.若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則___________．15.如圖，在平行四邊形中，，，對角線交于點O，經(jīng)過點O的直線交于點E，且平分的周長，則___________．16.如圖，在中，，過點B作延長到點D，使得，連接，若，則的長為____________．三．解答題（共52分）17.先化簡，再求值：，其中．18.解方程：．19.（1）用配方法解方程：；（2）公式法解方程：．20.如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交于點，連接和．（1）求證：四邊形菱形；（2）若，求菱形的周長．21.某超市用1200元購進一批甲玩具，用500元購進一批乙玩具，所購甲玩具件數(shù)是乙玩具件數(shù)的2倍，已知甲玩具的進貨單價比乙玩具的進貨單價多1元．（1）求甲、乙玩具的進貨單價格是多少元？（2）玩具售完后，超市決定再次購進甲、乙玩具（甲、乙玩具進貨單價不變），購進乙玩具的件數(shù)比甲玩具件數(shù)的2倍多40件，求該超市用不超過1400元最多可以采購甲玩具多少件？22.如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C點的坐標(biāo)；（2）如圖1，在平面內(nèi)是否存在一點H，使得以A、C、B、H為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出H點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖1點M（1，﹣1）是第四象限內(nèi)的一點，在y軸上是否存在一點F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，請求出F點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由23.【課本重現(xiàn)】已知：如圖1，分別是等邊的兩邊上的點，且．若交于點，則；【遷移拓展】如圖2，已知點是等邊的邊上一點，點是延長線上一點，若，連接．求證：；【拓展延伸】如圖3，若點分別是延長線上一點，且連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，求的面積．深圳高級中學(xué)2023－2024學(xué)年第一學(xué)期九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶．下列四幅標(biāo)識圖，其中文字上面圖案是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】A、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．2.若分式的值為0，則x的值為（）A.1 B. C.1或 D.0【答案】A【解析】【分析】分式的值為零的條件是：分子為零，分母不為零，由此列方程與不等式，從而可得答案．【詳解】解：∵分式值為0，∴，且，由可得：，由可得：，∴．故選：A．【點睛】本題考查的是分式的值為零的條件，掌握分式的值為零的條件是解題的關(guān)鍵．3.下列四個命題中，假命題是（）A.順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形B.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等C.等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合D.一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】A、根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理（一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）可判斷該命題為真命題，該選項不符合題意；B、根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定定理（三條邊分別相等的兩個三角形全等）可判斷該命題為真命題，該選項不符合題意；C、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，該命題為假命題，該選項符合題意；D、根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）和平行四邊形的判定定理（兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形）可判斷該命題為真命題，該選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)，牢記平行四邊形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.若函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：認真體會一次函數(shù)與一元一次不等式組之間的內(nèi)在聯(lián)系及數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：觀察函數(shù)圖象得兩條直線交點為，關(guān)于的不等式可轉(zhuǎn)化為，而的解集用函數(shù)圖象表示是指函數(shù)圖像在函數(shù)圖象上方的部分對應(yīng)的的范圍，當(dāng)時，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象上方，關(guān)于的不等式的解集為，故選：D．【點睛】利用函數(shù)圖象，寫出直線在直線上方的部分圖象所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．5.已知多項式因式分解后得到一個因式為，則m的值為（）A. B.5 C. D.6【答案】C【解析】【分析】令，求出x的值，代入多項式計算求出m的值即可．詳解】解：令，即把代入多項式得：解得故選C．【點睛】此題考查了因式分解的概念，特殊值法是本題的關(guān)鍵．6.某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到81萬只設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分別表示七、八月份的產(chǎn)量，然后列式即可．【詳解】設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，七月份的產(chǎn)量為：，八月份的產(chǎn)量為：，∴列式為：，故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，熟記增長率和減少率的基本模型是解題關(guān)鍵．7.關(guān)于x的一元二次方程k-4x+1=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k>4 B.k≤4 C.k<4且k≠0 D.k≤4且k≠0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到k≠0，根據(jù)一元二次方程有兩個實數(shù)根得到，求出k的取值范圍．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個數(shù)根，∴，解得，又∵k≠0，∴k≤4且k≠0，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．掌握根的判別式與方程的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．8.如圖，長方形花圃面積為，它的一邊利用已有的圍墻（圍墻足夠長），另外三邊所圍的柵欄的總長度是．處開一門，寬度為．設(shè)的長度是，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，柵欄總長度是，門寬度為，則三邊的總長度是，根據(jù)長方形的面積公式，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)的長度是，則的長度是，列出方程為：，故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)長方形的面積公式列出方程．9.如圖，在四邊形紙片中，，，，，點是線段的中點，點在線段上，將沿所在的直線翻折得到，連接，則長度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由折疊可知，所以當(dāng)A，，E三點共線時，的長度最小，作交CD的延長線于點G，根據(jù)勾股定理分別求出的長度，即可求長度的最小值．【詳解】解：連接AE，過點A作交CD的延長線于點G，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，為CD的中點，，，，；由折疊可知，，∴，當(dāng)A，，E共線時，的長度最小，此時，，故選：C【點睛】本題考查折疊問題，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求AE的長度．10.如圖，在正方形中，，E，F(xiàn)分別為邊的中點，連接，點G，H分別為的中點，連接，則的長為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】連接AG，延長AG交CD于M，連接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，證明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根據(jù)三角形中位線定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH．【詳解】解：連接AG，延長AG交CD于M，連接FM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G為DE的中點，∴GE＝GD，∴△AEG≌△MDG（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵點H為AF的中點，∴GH＝FM，∵F為BC的中點，∴CF＝BC＝2，∴FM＝，∴GH＝FM＝，故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理等知識，正確作出輔助線，證出AG＝MG是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（每題3分，共18分）11.分解因式：__________．【答案】【解析】【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．12.關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，那么a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】可先用表示出不等式組的解集，再根據(jù)有三個整數(shù)解可得到關(guān)于的不等組，可求得的取值范圍【詳解】解：解不等式①可得解不等式②可得，由題意可知原不等式組有解，∴原不等式組的解集為∵該不等式組恰好有三個整數(shù)解，∴整數(shù)解為，，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式組的基本步驟，并根據(jù)不等式組整數(shù)解的情況確定字母的取值范圍．13.若關(guān)于x的方程=0有增根，則m的值是______．【答案】2【解析】【詳解】去分母得，m-1-x=0，∵方程有增根，∴x=1，∴m-1-1=0，∴m=2．故答案為：214.若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，進而即可求解．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握兩根之和=，兩根之積=是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在平行四邊形中，，，對角線交于點O，經(jīng)過點O的直線交于點E，且平分的周長，則___________．【答案】【解析】【分析】由三角形的中位線定理可得，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求，即可求解．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，過點作于，四邊形是平行四邊形，，平分的周長，，，即，又，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，，過點B作延長到點D，使得，連接，若，則的長為____________．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點D作于H，過點D作交延長線于G，證明得到，，利用勾股定理求出，從而得到，再證明四邊形是矩形，得到，則，即可利用勾股定理得到．【詳解】解：如圖所示，過點D作于H，過點D作交延長線于G，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共52分）17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式混合運算法則計算，將原式化簡，然后將代入化簡式計算即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則是解題的關(guān)鍵．18.解方程：．【答案】無解【解析】【分析】根據(jù)解分式方程的步驟進行求解即可．【詳解】解：兩邊同乘以得：,解得：,經(jīng)檢驗，是原分式方程的增根,∴原分式方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是要檢驗整式方程的解是否是原分式方程的增根．19.（1）用配方法解方程：；（2）公式法解方程：．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）先將二次項的系數(shù)化為，然后根據(jù)配方法的步驟求解即可；（2）先確定一元二次方程中、、的值，然后代入求根公式求解即可．【詳解】解：（1）兩邊都除以2，得：，移項，得，配方，得，，∴或，∴，；（2）∵，∴，，，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運用配方法和公式法解方程．20.如圖，在矩形中，對角線垂直平分線分別交于點，連接和．（1）求證：四邊形為菱形；（2）若，求菱形的周長．【答案】（1）見解析（2）40【解析】【分析】（1）根據(jù)推出，根據(jù)全等得出，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可推出四邊形是菱形；（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出，設(shè)，推出，在中，由勾股定理得，求出即可．【小問1詳解】證明：是的垂直平分線，，四邊形是矩形，，，在和中，，，，又，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形；【小問2詳解】解：設(shè)，是的垂直平分線，，，在中，由勾股定理得：，，解得，，菱形的周長為40．【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點的綜合運用．21.某超市用1200元購進一批甲玩具，用500元購進一批乙玩具，所購甲玩具件數(shù)是乙玩具件數(shù)的2倍，已知甲玩具的進貨單價比乙玩具的進貨單價多1元．（1）求甲、乙玩具的進貨單價格是多少元？（2）玩具售完后，超市決定再次購進甲、乙玩具（甲、乙玩具的進貨單價不變），購進乙玩具的件數(shù)比甲玩具件數(shù)的2倍多40件，求該超市用不超過1400元最多可以采購甲玩具多少件？【答案】（1）甲玩具的進貨單價是6元，乙玩具的進貨單價是5元；（2）該超市最多采購甲玩具75件．【解析】【分析】（1）設(shè)乙玩具進貨單價是x元，則甲玩具的進貨單價是元，根據(jù)“所購甲玩具件數(shù)是乙玩具件數(shù)的2倍”列出分式方程，解之即可；（2）設(shè)該超市采購甲玩具a件，根據(jù)“購進乙玩具的件數(shù)比甲玩具件數(shù)的2倍多40件”列出不等式，解之取其中的整數(shù)，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：設(shè)乙玩具的進貨單價是x元，則甲玩具的進貨單價是元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是分式方程的根，（元），答：甲玩具的進貨單價是6元，乙玩具的進貨單價是5元；【小問2詳解】解：設(shè)該超市采購甲玩具a件，根據(jù)題意得：，解得：，答：該超市最多采購甲玩具75件．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．22.如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C點的坐標(biāo)；（2）如圖1，在平面內(nèi)是否存在一點H，使得以A、C、B、H為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出H點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖1點M（1，﹣1）是第四象限內(nèi)的一點，在y軸上是否存在一點F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，請求出F點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）（﹣6，﹣2）;（2）見解析;（3）見解析.【解析】【分析】（1）證明△MAC≌△OBA（AAS），根據(jù)三角形全等時對應(yīng)邊相等可得C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)平移規(guī)律可得三個H點的坐標(biāo)；（3）如圖3，作點M（1，-1）關(guān)于y軸的對點M'（-1，-1），連接CF1、MF1，由于|FM-FC|≤CM，當(dāng)C、M'、F三點共線時取等號，連接CM'，與y軸交于點F即為所求，根據(jù)直線解析式，令x=0可得與y軸的交點F的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）如圖1，過C作CM⊥x軸于M點，∵∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，則∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝OA+AM＝2+4＝6，∴點C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）（2）答：如圖2，存在三個H點，∵A（﹣2，0）