2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.2.已知直線過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，則直線的方程為（）A B. C. D.3.已知雙曲線過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.4.已知直線與直線平行，則與之間的距離為（）A2 B.3 C.4 D.55.已知三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，若和相交于點(diǎn)．則（）A. B.2 C. D.6.已知橢圓右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.7.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（

）A. B. C. D.8.已知圓：關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為 B.C.向量在向量上的投影向量為 D.向量與向量，共面10.已知直線：，圓：，以下正確的是（）A.與圓不一定存公共點(diǎn)B.圓心到的最大距離為C.當(dāng)與圓相交時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，圓上有三個(gè)點(diǎn)到的距離為11.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，上、下焦點(diǎn)分別為，下列判斷正確的是（）A.的方程為B.的離心率為C.若點(diǎn)為的上支上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為D.若點(diǎn)為的上支上的一點(diǎn)，則△的內(nèi)切圓的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．13.過雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別作實(shí)軸的垂線，交于四個(gè)點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，則的離心率為__________.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是—個(gè)圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為___________.四、解答題：本題共5小題，77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M圓心在直線上，且圓M與直線相切于點(diǎn).（1）求圓M的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線被圓M截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.16.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.17.已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C（1）求C的方程；（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.18.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)，設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與相鄰的頂點(diǎn)，且平面，，…平面和平面為多面體的所有以為頂點(diǎn)的面．現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐．（1）求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；（2）若平面，，三棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率為．①求直線與直線所成角的余弦值；②點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長(zhǎng)度．19.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程；（2）過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍.2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)空間直角系對(duì)稱的特征，直接求出答案即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B2.已知直線過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)直線的方向向量定義求解即可．【詳解】設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，所以，化簡(jiǎn)得.故選：C．3.已知雙曲線過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由題設(shè)雙曲線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：A．4.已知直線與直線平行，則與之間的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】A【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出值，再應(yīng)用平行線間的距離公式求值即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解之得.于是直線，即，所以與之間距離為.故選：A5.已知三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，若和相交于點(diǎn)．則（）A. B.2 C. D.【正確答案】D【分析】利用空間向量的基本運(yùn)算可得，再由夾角以及模長(zhǎng)運(yùn)算即可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可知令，且，；可得；所以.故選：D6.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】點(diǎn)差法得到，從而得到，結(jié)合，求出，得到橢圓方程.【詳解】由題意，設(shè)，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C7.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（

）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，求得方程為，以及，代入直線方程求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，由橢圓，得到左頂點(diǎn)，又由過點(diǎn)且斜率為的直線，可得方程為，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，可得，代入直線，可得，整理得，所以橢圓的離心率為.故選：A.8.已知圓：關(guān)于直線對(duì)稱，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先由圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心在直線上，從而得到，即確定在直線上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】由圓：，即可得圓心，半徑，由圓：關(guān)于直線對(duì)稱，可得圓心在直線上，所以，即，所以在直線，又過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則，又在直線，則可表示到直線上點(diǎn)的距離的平方，所以的最小值為，所以的最小值為，故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將求的最小值轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到圓：的最小值問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為 B.C.向量在向量上的投影向量為 D.向量與向量，共面【正確答案】BD【分析】對(duì)于A，利用空間向量夾角公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，利用向量垂直的充要條件計(jì)算判斷即得；對(duì)于C，利用投影向量計(jì)算公式即可判斷；對(duì)于D，利用共面向量基本定理即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因，則，因，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，則，故，即B正確；對(duì)于C，根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為:，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由向量，，，可知，故向量與向量，共面，所以D正確．故選：BD.10.已知直線：，圓：，以下正確的是（）A.與圓不一定存在公共點(diǎn)B.圓心到的最大距離為C.當(dāng)與圓相交時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，圓上有三個(gè)點(diǎn)到的距離為【正確答案】ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求圓心到直線的距離判斷；對(duì)于B，由于直線恒過定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，從而可求出其最大值；對(duì)C，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解判斷；對(duì)D，求出圓心到直線的距離，進(jìn)而判斷.【詳解】對(duì)于A，圓心到直線的距離為，當(dāng)，即，解得或，此時(shí)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€，即，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，最大值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.11.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，上、下焦點(diǎn)分別為，下列判斷正確的是（）A.的方程為B.的離心率為C.若點(diǎn)為的上支上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為D.若點(diǎn)為的上支上的一點(diǎn)，則△的內(nèi)切圓的半徑為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)漸近線方程求，根據(jù)雙曲線方程求離心率，即可判斷AB，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合判斷C，根據(jù)雙曲線方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積和周長(zhǎng)，即可求內(nèi)切圓的半徑，判斷D.【詳解】A.由雙曲線方程C:y2a又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以的方程為，故A正確；B.由雙曲線的方程，可知，，，則，所以離心率，故B錯(cuò)誤；C.，，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線且依序排列時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C正確；D.D.的方程為，當(dāng)時(shí)，，，，計(jì)算可得，，，所以的面積為，的周長(zhǎng)為，設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，則，得，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心和半徑即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故13.過雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別作實(shí)軸的垂線，交于四個(gè)點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，則的離心率為__________.【正確答案】.【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)確定之間的等式關(guān)系，即可求解.【詳解】解法一：不妨設(shè)雙曲線，令，可得，所以AB=2b依題意可得，，所以，又，所以，解得：，又因?yàn)?，所?解法二：如圖，連結(jié)，在中，所以離心率解法三：，依題意知在曲線上，故，整理得（取正），所以，故答案為.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是—個(gè)圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為___________.【正確答案】①.②.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可得對(duì)應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點(diǎn)到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡(jiǎn)得對(duì)應(yīng)的軌跡方程為.所以點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個(gè)邊即是邊長(zhǎng)為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，可取平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)點(diǎn)的軌跡，可設(shè)，，所以點(diǎn)到平面的距離，所以故；四、解答題：本題共5小題，77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點(diǎn).（1）求圓M的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線被圓M截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)直線與圓的相切的關(guān)系得出圓心與切點(diǎn)連線方程，聯(lián)立方程組計(jì)算可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式計(jì)算半徑即可得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得圓心M到直線的距離，分類討論直線斜率是否存在，并點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算斜率即可.【小問1詳解】易知過點(diǎn)且與直線垂直的直線斜率為，故圓心M與切點(diǎn)連線方程為，聯(lián)立解得，所以；所以圓M的半徑為，所以圓M的方程為.【小問2詳解】如圖，由（1）可知圓M的方程為，因?yàn)橹本€被圓M截得的弦長(zhǎng)為，所以M到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為1，不符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)方程為，則，即，解得或，所以直線的方程為或.16.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點(diǎn)是棱上靠近端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）.【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可；（3）利用空間向量計(jì)算面面夾角即可.【小問1詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則.又，可得，因?yàn)槠矫妫云矫?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離.易知，則點(diǎn)A到平面的距離為.【小問3詳解】易知，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則故平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C（1）求C的方程；（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.【正確答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出方程；（2）先確定當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為，再對(duì)直線l進(jìn)行分類討論求弦長(zhǎng).【詳解】（1）依題意，圓M的圓心，圓N的圓心，故，由橢圓定理可知，曲線C是以M、N為左右焦點(diǎn)的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為；（2）對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)，由于（R為圓P的半徑），所以R=2，所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為；若直線l垂直于x軸，易得；若直線l不垂直于x軸，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為Q，則，解得，故直線l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程解得；同理，當(dāng)時(shí)，.18.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)，設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與相鄰的頂點(diǎn)，且平面，，…平面和平面為多面體的所有以為頂點(diǎn)的面．現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐．（1）求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；（2）若平面，，三棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率為．①求直線與直線所成角的余弦值；②點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長(zhǎng)度．【正確答案】（1）2（2）①；②【分析】（1）根據(jù)所給的定義，表示，再相加，即可求解；（2）①將三棱錐補(bǔ)成正方體，即可求解異面直線所成的角；②首先根據(jù)垂直關(guān)系，構(gòu)造線面角，再設(shè)，，，再利用余弦定理求，再由余弦值，轉(zhuǎn)化為正切值，即可求解.