2024-2025學(xué)年黑龍江省伊春市南岔縣高二上冊11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省伊春市南岔縣高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】結(jié)合向量的夾角公式，以及向量的夾角的范圍，即可求解；【詳解】因為，設(shè)向量與的夾角為所以，又因為，所以故選：B.2.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)題意由得出或，然后根據(jù)充分和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由得或，所以由可以得到，但由不一定得到，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.已知，則的最小值是A. B. C. D.【正確答案】B【分析】將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式求出代數(shù)式的最小值，然后在不等式兩邊同時除以可得出答案．【詳解】因為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取，故選B．本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在利用基本不等式求最值時，要注意配湊“定值”的條件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的應(yīng)用．4.2020年第1期深圳車牌搖號競價指標(biāo)共6668個，某機構(gòu)從參加這期車牌競拍且報價在1～8萬元的人員中，隨機抽取了若干人的報價，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)整理結(jié)果如下：報價區(qū)間（單位：萬元）3,4頻數(shù)103640則在這些競拍人員中，報價不低于5萬元的人數(shù)為（）A.30 B.42 C.54 D.80【正確答案】C【分析】先設(shè)競拍人員總數(shù)，再根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)得出總數(shù)，根據(jù)低于5萬元的人數(shù)計算求出不低于5萬元得人數(shù).【詳解】設(shè)競拍人員總數(shù)為，由解得；第三組的頻數(shù)為報價低于5萬元的人數(shù)為，

報價不低于5萬元得人數(shù)為人.故選：C.5.下列說法正確的是（）A.方程表示過點且斜率為k的直線B.直線與y軸的交點為，其中截距C.在x軸、y軸上的截距分別為a、b的直線方程為D.方程表示過任意不同兩點，的直線【正確答案】D【分析】分別由直線的點斜式方程、直線在軸上的截距、直線的截距式方程、兩點式方程的變形逐一核對，即可求解.【詳解】對于A中，由表示過點且斜率存在，且不含點Px1,y1直線，所以對于B中，直線與y軸交于一點，其中截距不是距離，截距為點的坐標(biāo)，其值可正可負(fù)可為0，所以B不正確；對于C中，當(dāng)直線經(jīng)過原點時，此時直線在坐標(biāo)軸上的截距都是，不能表示為，所以C不正確；對于D中，方程為直線的兩點式方程的變形，可以表示過任意兩點，的直線，所以D正確.故選：D.6.求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先計算出兩圓的交點所在直線，進(jìn)而求出線段的垂直平分線，與聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓的一般方程.【詳解】與相減得：，將代入得：，即，設(shè)兩圓和的交點為，則，，則，不妨設(shè)，所以線段的中點坐標(biāo)為，因為直線的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為-1，所以線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得：，故圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為，整理得：故選：D7.若過直線上一點M向圓Γ：作一條切線于切點T，則的最小值為（）A. B.4 C. D.【正確答案】D【分析】要使最小，則圓心到直線的距離最小，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理求解.【詳解】圓Γ：的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，要求的最小，則圓心到直線的距離最小，為，∴的最小值為，故選：D.本題主要考查圓的切線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8.已知點是橢圓的焦點，點在橢圓上且滿足，則的面積為A. B. C.2 D.1【正確答案】D【詳解】，所以，所以，，，解得：，所以三角形的面積為，故選D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.袋內(nèi)有個白球和個紅球，有放回的從中抽取兩次，每次從中隨機取出一個球，則（）A.次取到的都是紅球的概率為B.次取到的都是紅球的概率為C.次取到的球恰好是一紅一白的概率為D.次取到的球恰好是一紅一白的概率為【正確答案】AD【分析】利用獨立事件的概率公式可判斷AB選項；利用獨立事件和互斥事件的概率公式可判斷CD選項.【詳解】記事件第次取到白球，事件第次取到紅球，則事件與、與、與、與相互獨立，且，，對于AB選項，次取到的都是紅球為事件，其概率為，A對B錯；對于CD選項，次取到的球恰好是一紅一白為事件，其概率為，C錯D對.故選：AD.10.如圖，在棱長為1的正方體中（）A.與的夾角為B.平面與平面夾角正切值為C.與平面所成角的正切值D.點到平面的距離為【正確答案】BCD【分析】如圖，以為原點，所在有直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐個求解判斷即可.【詳解】如圖，以為原點，所在有直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，設(shè)與的夾角為，因為，，所以，因為，所以，所以A錯誤，對于B，設(shè)平面的法向量為，因為，,所以，令，則，因為平面，平面的一個法向量為，所以，設(shè)平面與平面夾角為（為銳角），則，所以，所以，所以平面與平面夾角的正切值為，所以B正確，對于C，，平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則因為為銳角，所以，所以，所以與平面所成角正切值，所以C正確，對于D，因為，平面的法向量為，所以點到平面的距離為，所以D正確，故選：BCD11.已知橢圓，、分別為它的左右焦點，、分別為它的左、右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（）A.點到右焦點的距離的最大值為3，最小值為1B.的最小值為C.若為直角三角形，則的面積為D.的范圍為【正確答案】ACD【分析】對于A,利用焦半徑的范圍求解即可；對于B，利用位于橢圓上頂點時最大求解即可；對于C，利用點坐標(biāo)求的面積即可；對于D，設(shè)利用二次函數(shù)求的范圍即可.【詳解】對A，易知，則，故A正確；對B，位于橢圓上頂點時最大，此時最小，且故此時為等邊三角形，，故B錯誤；對C，若為直角三角形，由B知，，所以或，不妨設(shè)，則此時點橫坐標(biāo)，代入，得，故的面積為：，故C正確；對D，,設(shè)則，由得：，故，故，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩圓與上的點之間的最短距離是________.【正確答案】【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，計算出圓心距，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得兩圓上的點之間的最短距離.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓心距為C1故兩圓上的點之間的最短距離為.故答案為.13.在三棱錐中，平面，設(shè)三棱錐外接球體積為，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)長方體外接球得半徑公式求出半徑，再求出外接球體積及三棱錐體積，最后求出比列即可.【詳解】由于，故.將三棱錐補形為邊長分別為的長方體，則其外接球半徑，故.故答案為.14.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，A是橢圓上一點，，若原點到直線的距離為，則該橢圓的離心率為____．【正確答案】【分析】由，求得，過作，根據(jù)題意得到，根據(jù)，得到，整理得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】因為，不妨設(shè)點，其中，代入橢圓方程，可得，解得，所以，即，過作，因為原點到直線的距離為，即，由，可得，即，又由，整理得，即，因為，解得，即橢圓的離心率為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【小問1詳解】因為，所以，解得：．【小問2詳解】由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．16.已知圓：，直線過定點．（1）若與圓相切，求直線的方程；（2）若點為圓上一點，求的最大值和最小值．【正確答案】（1），；（2）最大值，最小值.【分析】（1）根據(jù)直線和圓相切，即圓心到直線的距離等于半徑列式子求得值；（2）將式子化簡得到，轉(zhuǎn)化為點點距，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓心到的距離，加減半徑，即求得最值.【小問1詳解】①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意；②若直線斜率存在，設(shè)直線為，即．由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，即，解得．故所求直線方程為，．【小問2詳解】，可以看作圓上的點與點距離的平方．把點代入圓的方程：，所以點在圓外．所以圓上的點到的最大距離為，最小距離為（其中為圓心到的距離），又，故最大距離為，最小距離為，所以，．17.近兩年旅游業(yè)迎來強勁復(fù)蘇，外出旅游的人越來越多．A，B兩家旅游公司過去6個月的利潤率統(tǒng)計如下：A公司321B公司222利潤率，盈利為正，虧損為負(fù)，且每個月的成本不變．（1）比較A，B兩公司過去6個月平均每月利潤率的大??；（2）用頻率估計概率，且假設(shè)A，B兩公司每個月的盈利情況是相互獨立的，求未來的某個月A，B兩公司至少有一家盈利的概率．【正確答案】（1）公司過去6個月平均每月的利潤率大于B公司過去6個月平均每月的利潤率；（2）.【小問1詳解】A公司過去6個月平均每月的利潤率為，B公司過去6個月平均每月的利潤率為，因為，所以A公司過去6個月平均每月的利潤率大于B公司過去6個月平均每月的利潤率．【小問2詳解】A公司過去6個月盈利的頻率為，B公司過去6個月盈利的頻率為，用頻率代替概率，可知A，B兩公司未來某個月盈利的概率分別為．設(shè)A，B兩公司盈利分別為事件，，由題知與相互獨立，所以所求概率為．18.如圖所示，正方體的棱長為，若是的中點，（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）直線與平面是否垂直？請說明理由：（3）求到平面的距離.【正確答案】（1）（2）不垂直，理由見解析（3）【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；（2）利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算判斷可得出結(jié)論；（3）利用空間向量法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，，所以，，所以，異面直線與所成角的余弦值為.【小問2詳解】，則，所以，與不垂直，故與平面不垂直.【小問3詳解】設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，因為，則點到平面的距離為.19.已知，分別是橢圓的左，右焦點，，分是橢圓的上頂點和右頂點，且，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過的直線與