江蘇專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算練習(xí)

PAGE1-5.1平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算1．(2024·湖北省黃岡、華師附中等八校聯(lián)考)已知線段上A，B，C三點(diǎn)滿意eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則這三點(diǎn)在線段上的位置關(guān)系是()答案A解析依據(jù)題意得到eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))是共線同向的，且BC＝2AB，故選A.2．(2024·山東省師大附中模擬)設(shè)a，b是非零向量，則a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件答案B解析由a＝2b可知，a，b方向相同，eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)表示a，b方向上的單位向量，所以eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立；反之不成立．故選B.3．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線答案B解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線，由于eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，因此A，B，D三點(diǎn)共線，故選B.4.(2024·沈陽東北育才學(xué)校模擬)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若向量λa＋b與c共線，則實(shí)數(shù)λ等于()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析由題中所給圖象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以λ＝2.故選D.5．(2024·南京模擬)在△ABC中，點(diǎn)G滿意eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在點(diǎn)O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，則m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1，故選D.6.如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A.eq\f(9,11)B.eq\f(5,11)C.eq\f(3,11)D.eq\f(2,11)答案B解析留意到N，P，B三點(diǎn)共線，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，從而m＋eq\f(6,11)＝1，所以m＝eq\f(5,11).7．(多選)在△ABC中，下列命題正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為等腰三角形D．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，則△ABC為銳角三角形答案BC解析由向量的運(yùn)算法則知eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故A錯(cuò)，B對(duì)；∵(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，即AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，故C對(duì)；∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，∴角A為銳角，但三角形不肯定是銳角三角形．故選BC.8．(多選)設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)答案ACD解析若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊CB的延長(zhǎng)線上，故B錯(cuò)誤；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C正確；如圖，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，則M為AN的中點(diǎn)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)，故D正確．故選ACD.9．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.答案2eq\r(3)解析因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).10．(2024·欽州質(zhì)檢)已知e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點(diǎn)共線，則λ＝________.答案－4解析因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.11．如圖所示，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，求△ABC與△AOC的面積之比．解如圖，取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)OD，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，∴O是AC邊上的中線BD的中點(diǎn)，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC與△AOC面積之比為2∶1.12.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示向量eq\o(AO,\s\up6(→)).解方法一由D，O，C三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(DO,\s\up6(→))＝k1eq\o(DC,\s\up6(→))＝k1(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,2)k1a＋k1b(k1為實(shí)數(shù))，同理，可設(shè)eq\o(BO,\s\up6(→))＝k2eq\o(BF,\s\up6(→))＝k2(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a))＝－k2a＋eq\f(1,2)k2b(k2為實(shí)數(shù))，①又eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)k1a＋k1b))＝－eq\f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，②所以由①②，得－k2a＋eq\f(1,2)k2b＝－eq\f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，即eq\f(1,2)(1＋k1－2k2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k2－k1))b＝0.又a，b不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)1＋k1－2k2＝0，,\f(1,2)k2－k1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,3)，,k2＝\f(2,3).))所以eq\o(BO,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))＝eq\f(1,3)(a＋b)．方法二因?yàn)镈，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為△ABC的重心，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)E(圖略)，則E為BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．13．A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(－1,0)答案B解析設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OD,\s\up6(→))，則m>1，因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以meq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up6(→))，又知A，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故選B.14．已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))))，則點(diǎn)P肯定為△ABC的()A．BC邊中線的中點(diǎn)B．BC邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C．重心D．BC邊的中點(diǎn)答案B解析設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，即3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OA,\s\up6(→))，也就是eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，∴P，M，A三點(diǎn)共線，且P是AM上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．15．設(shè)a是已知的平面對(duì)量，向量a，b，c在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，有如下四個(gè)命題：①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc；④若|a|＝2，存在單位向量b，c和正實(shí)數(shù)λ，μ，使a＝λb＋μc，則3λ＋3μ>6.其中真命題是__________．答案①②④解析給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c，即a－b＝c.明顯存在c.所以①正確．由平面對(duì)量的基本定理可得②正確．給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc，當(dāng)a分解到c方向的向量長(zhǎng)度大于μ時(shí)，向量a沒方法按b，c分解，所以③不正確．存在單位向量b，c和正實(shí)數(shù)λ，μ，由于a＝λb＋μc，向量b，c的模為1，由三角形的三邊關(guān)系可得λ＋μ>2.由3λ＋3μ≥2eq\r(3λ＋μ)>6.所以④成