2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（填空題）：相等關系與不等關系（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（填空題）：相等關系與不等關系（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?運城二模）已知集合A={x∈N|13＜3x+1＜27}，B＝{x|x2﹣3x+m＝0}，若1∈A∩B，則2．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知函數(shù)f（x）＝x3+2x，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0），則1m+2n的最小值是3．（2024?樊城區(qū)校級模擬）已知正實數(shù)x，y滿足4x+7y＝4，則2x+3y+12x+y的最小值為4．（2024?宜賓三模）已知x＞1，求x+4x-1的最小值是5．（2024?歷城區(qū)校級模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+b+c＝2，則4a+b+1c的最小值為6．（2024?河池模擬）若實數(shù)a＞1＞b＞0，且a2+2b＝b2+2a，則1a-1+1b的最小值為7．（2024?保定三模）設a，b，c＞0，則a+2ab+4aca+b+4c的最大值為8．（2024?浙江模擬）若a＞0，b＞0，則min{max(a，b，19．（2024?下陸區(qū)校級三模）設a，b∈R+，若a+4b＝4，則a+2bab的最小值為，此時a的值為10．（2024?平羅縣校級模擬）已知m，n∈（0，+∞），1m+n=4，則m+9n的最小值為

2025年高考數(shù)學復習之小題狂練600題（填空題）：相等關系與不等關系（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?運城二模）已知集合A={x∈N|13＜3x+1＜27}，B＝{x|x2﹣3x+m＝0}，若1∈A∩B，則【考點】指、對數(shù)不等式的解法；并集及其運算；交集及其運算．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學運算．【答案】8．【分析】先求出集合A，然后結合集合的交集運算及元素與集合關系先求出m，進而可求B，結合集合的并集及集合子集的個數(shù)規(guī)律即可求解．【解答】解：因為A={x∈N|13＜3x+1＜27}={0，1}，B＝{x|x若1∈A∩B，則1∈B，所以1﹣3+m＝0，即m＝2，B＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2}，子集個數(shù)為23＝8．故答案為：8．【點評】本題主要考查了集合的交集及并集運算，還考查了集合子集個數(shù)的判斷，屬于基礎題．2．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知函數(shù)f（x）＝x3+2x，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0），則1m+2n的最小值是【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】8．【分析】先判斷函數(shù)的單調性及奇偶性，結合單調性及奇偶性可得m，n的關系，然后利用乘1法，結合基本不等式即可求解．【解答】解：因為f（x）＝x3+2x，所以f（﹣x）＝﹣x3﹣2x＝﹣f（x），即f（x）為奇函數(shù)，因為y＝x3與y＝2x都為R上遞增的函數(shù)，故f（x）在R上單調遞增，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0）＝0，則f（2m）＝﹣f（n﹣1）＝f（1﹣n），所以2m＝1﹣n，即2m+n＝1，1m+2n當且僅當n＝2m，即m=14，n故答案為：8．【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調性及奇偶性的應用，還考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題．3．（2024?樊城區(qū)校級模擬）已知正實數(shù)x，y滿足4x+7y＝4，則2x+3y+12x+y的最小值為【考點】運用“1”的代換構造基本不等式．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內容【分析】由4x+7y＝2（x+3y）+（2x+y），結合基本不等式求解即可．【解答】解：因為4x+7y＝4，所以2x+3y所以2x+3y因為x，y為正實數(shù)，所以2(x+3y)2x+y所以2(x+3y)2x+y當且僅當3y+x=2x+y4x+7y=4時等號成立，即x=所以2x+3y+1所以2x+3y+1故答案為：94【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題．4．（2024?宜賓三模）已知x＞1，求x+4x-1的最小值是5【考點】基本不等式及其應用．【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內容【分析】直接利用關系式的變換和基本不等式，求出最小值．【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，所以x+4x-1=(x-1)+4x-1+1故答案為：5【點評】本題考查的知識要點：不等式的性質，基本不等式，屬于基礎題．5．（2024?歷城區(qū)校級模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+b+c＝2，則4a+b+1c的最小值為【考點】基本不等式及其應用．【專題】轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算．【答案】92【分析】根據(jù)基本不等式的性質求解即可．【解答】解：因為a+b+c＝2，所以4=12（4a+b+1c）（=12（5≥12（5+2=9當且僅當4ca+b=a+bc，即a+b故4a+b+1故答案為：92【點評】本題主要考查基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．6．（2024?河池模擬）若實數(shù)a＞1＞b＞0，且a2+2b＝b2+2a，則1a-1+1b的最小值為【考點】運用基本不等式求最值．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】4．【分析】根據(jù)題意化簡已知等式，可得a﹣1＝1﹣b，從而將1a-1+1b化簡為關于【解答】解：由a2+2b＝b2+2a，得（a﹣1）2＝（b﹣1）2，結合a＞1＞b＞0，可得a﹣1＝1﹣b，所以1a-1+當且僅當b＝1﹣b，即b=12時，1a-1故答案為：4．【點評】本題主要考查不等式的性質、利用基本不等式求最值等知識，屬于基礎題．7．（2024?保定三模）設a，b，c＞0，則a+2ab+4aca+b+4c的最大值為【考點】基本不等式及其應用．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】2．【分析】根據(jù)a、b、c均為正數(shù)，證出2ab≤a2+2b，4ac≤a【解答】解：因為a＞0，b＞0，所以2ab≤a2+2b，當且僅當a2=2又因為a＞0，c＞0，所以4ac≤a2+8c，當且僅當a2=8因此，a+2ab+4當正數(shù)a、b、c滿足a：b：c＝16：4：1時，a+2ab+4ac故答案為：2．【點評】本題主要考查不等式的性質、運用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．8．（2024?浙江模擬）若a＞0，b＞0，則min{max(a，b，1【考點】不等關系與不等式．【專題】不等式的解法及應用．【答案】見試題解答內容【分析】不妨設a≥b＞0．分以下三種情況討論：①a≥b≥32時，由1a2+1b2≤2b2≤b，可得max{a，b，1a2+1③32≥a≥b時，可得max{a，b，1a2+【解答】解：不妨設a≥b＞0．①a≥b≥32時，∵1a2+1b2≤2②a≥32≥b時，∵2a2≤1a2+1b2≤③32≥a≥b時，∵1a2+1b2≥2a綜上可知：則min{max(a，故答案為32【點評】熟練掌握不等式的性質和分類討論的思想方法是解題的關鍵．9．（2024?下陸區(qū)校級三模）設a，b∈R+，若a+4b＝4，則a+2bab的最小值為22，此時a的值為【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】22，2．【分析】先利用基本不等式求出ab的范圍，然后結合二次函數(shù)的性質即可求解．【解答】解：因為a，b∈R+，所以4＝a+4b≥24ab，當且僅當a＝4b＝2，即a＝2，b所以0＜ab≤1，所以1ab+1ab=（1則（a+2bab）2=a+4b+4abab故a+2bab的最小值為故答案為：22，2．【點評】本題主要考查了基本不等式及二次函數(shù)的性質在函數(shù)最值求解中的應用，屬于中檔題．10．（2024?平羅縣校級模擬）已知m，n∈（0，+∞），1m+n=4，則m+9n的最小值為【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算．【答案】4．【分析】由已知利用乘1法，結合基本不等式即可求解．【解答】解：因為m，n∈（0，+∞），1m則m+9n=14（m+9n）（1m+n）=14（當且僅當mn＝3時取等號．故答案為：4．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．

考點卡片1．并集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算性質：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復．【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．2．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調性、復合函數(shù)的單調性等聯(lián)合命題．3．不等關系與不等式【知識點的認識】不等關系就是不相等的關系，如2和3不相等，是相對于相等關系來說的，比如42與84就是相等關系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集為{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當ab＞0時，a＞b?1a證明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a?1ab＞b?若1a＜∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．4．基本不等式及其應用【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b實例解析例1：下列結論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當0＜x＜解：當x＝0時，y＝0，當x≠0時，y=x用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是這是基本不等式在函數(shù)中的應用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結果．【解題方法點撥】基本不等式的應用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1=(x+1)當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（當且僅當技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結合函數(shù)f（x）＝x+a技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．5．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式