2025屆黑龍江省哈爾濱市第24中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆黑龍江省哈爾濱市第24中學(xué)高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.2.定義兩種運算“★”與“◆”,對任意,滿足下列運算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.3.已知中,角、所對的邊分別是,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件4.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.5.在四面體中,為正三角形,邊長為6,,,,則四面體的體積為()A. B. C.24 D.6.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()A. B. C. D.7.若集合,,則=()A. B. C. D.8.已知為拋物線的焦點,點在拋物線上,且,過點的動直線與拋物線交于兩點,為坐標(biāo)原點,拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為.給出下列四個命題:①在拋物線上滿足條件的點僅有一個;②若是拋物線準(zhǔn)線上一動點,則的最小值為;③無論過點的直線在什么位置,總有;④若點在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.49.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.10.秦九韶是我國南寧時期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.11.()A. B. C. D.12.展開式中x2的系數(shù)為()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.1280二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),若在上的最大值為,則________.14.已知圓柱的上下底面的中心分別為,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形,則該圓柱的體積為____15.已知點M是曲線y=2lnx+x2﹣3x上一動點,當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時,該切線的方程為_______.16.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列,其前項和為,已知,,若對任意都有成立,則的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱臺中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點為原點,極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長度19.(12分)己知等差數(shù)列的公差,,且,,成等比數(shù)列.(1)求使不等式成立的最大自然數(shù)n;(2)記數(shù)列的前n項和為,求證:.20.(12分)已知數(shù)列滿足,,其前n項和為.(1)通過計算,,,猜想并證明數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,,,若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,求常數(shù)t的取值范圍.21.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,點P為曲線C上的動點,求點P到直線l距離的最大值.22.(10分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線與直線其中的一個交點為,且點極徑.極角(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與點的極坐標(biāo);(2)已知直線的直角坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于點(異于原點),求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點睛:由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.2、B【解析】

根據(jù)新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項.【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點睛】本題考查定義新運算,關(guān)鍵在于理解,運用新定義進行求值,屬于中檔題.3、D【解析】

由大邊對大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中,角、所對的邊分別是、,由大邊對大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷,考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查邏輯推理能力,是基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

推導(dǎo)出,分別取的中點,連結(jié),則,推導(dǎo)出,從而,進而四面體的體積為,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:在四面體中,為等邊三角形,邊長為6,,,,,,分別取的中點,連結(jié),則,且,,,,平面,平面,,四面體的體積為:.故答案為:.【點睛】本題考查四面體體積的求法,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.6、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】試題分析:化簡集合故選C.考點:集合的運算.8、C【解析】

①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標(biāo);②:做關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為,通過分析可知當(dāng)三點共線時取最小值,由兩點間的距離公式,可求此時最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達定理,可知焦點坐標(biāo)的關(guān)系,進而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解:對于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點有二個,故①不正確;對于②,不妨設(shè),則關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立,故②正確;對于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補,所以,故③正確.對于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題,結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.9、A【解析】

由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設(shè)是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設(shè)外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.10、B【解析】

列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.【點睛】本題考查根據(jù)算法框圖計算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為:化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出項,第二個括號里出項,或者第一個括號里出,第二個括號里出,具體為:化簡得到-1280x2故得到答案為:A.【點睛】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略:(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出其參數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域為,在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由軸截面是正方形,易求底面半徑和高,則圓柱的體積易求.【詳解】解:因為軸截面是正方形,且面積是36,所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為:【點睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率,利用基本不等式可得切點橫坐標(biāo),從而可得切線方程.【詳解】,,=1時有最小值1,此時M(1,﹣2),故切線方程為:,即.故答案為:.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16、【解析】

由已知條件得出關(guān)于首項和公差的方程組,解出這兩個量,計算出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對應(yīng)的值,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,解得,.所以,當(dāng)時,取得最大值,對任意都有成立,則為數(shù)列的最大值,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和最值的計算,一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進而得線面平行;(Ⅱ)過點作的垂線,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過點作的垂線,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點,;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.18、【解析】解:解:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直線方程的普通方程為,………8分圓C的圓心到直線l的距離,……………10分故直線被曲線截得的線段長度為.……………14分19、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)根據(jù),,成等比數(shù)列,有,結(jié)合公差,,求得通項,再解不等式.(2)根據(jù)(1),用裂項相消法求和,然后研究其單調(diào)性即可.【詳解】(1)由題意,可知,即,∴.又,,∴,∴.∴,∴,故滿足題意的最大自然數(shù)為.(2),∴...從而當(dāng)時,單調(diào)遞增,且,當(dāng)時,單調(diào)遞增,且,所以,由,知不等式成立.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運算和裂項相消法求和,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1),證明見解析;(2)【解析】

(1)首先利用賦值法求出的值,進一步利用定義求出數(shù)列的通項公式;(2)首先利用疊乘法求出數(shù)列的通項公式,進一步利用數(shù)列的單調(diào)性和基本不等式的應(yīng)用求出參數(shù)的范圍.【詳解】(1)數(shù)列滿足,,其前項和為.所以,,則,,,所以猜想得:.證明:由于,所以,則:(常數(shù)),所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列.所以,整理得.(2)數(shù)列滿足,,所以,則,所以.則,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【點睛】本題考查的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用,疊乘法的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,主要考察學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題型.21、(1),(2)【解析】

試題分析:利用將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程:化簡為ρcosθ+ρsinθ=1,即為x+y=1.再利用點到直線距離公式得:設(shè)點P的坐標(biāo)為(2cosα,sinα),得P到直線l的距離試題解析:解:化簡為ρcosθ+ρsinθ=1,則直線l的直角

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