41同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課件-高一下學期數(shù)學北師大版

4.1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系北師大版（2019）必修第二冊第四章

三角恒等變換

學習目標利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決sinα，cosα，tanα三者中知一求二問題，以及相關(guān)的化簡與恒等式的證明.02通過任意角的三角函數(shù)的定義，結(jié)合圖形掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系01通過本節(jié)的學習，能把方程的思想、代數(shù)變換、分類討論的邏輯方法融入到解題中.03思考：若直角三角形斜邊為1，銳角

α的對邊為

sinα、鄰邊為

cosα，在這個直角三角中，你能得出什么關(guān)系？sinαcosαα1根據(jù)勾股定理有sin2α＋cos2α＝12，即sin2α＋cos2α＝1，另外還有tanα＝

．

知識回顧我們是如何在單位圓中定義三角函數(shù)的呢？

如圖，角

α的終邊與單位圓交于點P(u,v)，xOMyP(u,v)1αxyOA(1，0)PαM思考：觀察單位圓，利用三角函數(shù)分析角

α的正弦、余弦和正切之間存在什么關(guān)系？yxOP(cosα,sinα)α1M綜上可知：sin2α＋cos2α＝1和

tanα＝

．

所以

sin2α＋cos2α＝1．總結(jié)：至此，我們得到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式問題1

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式對任意角都成立嗎？sin2α＋cos2α＝1對一切α∈R恒成立，而tanα＝

僅對α≠

＋kπ（k∈Z）成立．

問題2

“sin2α”的含義是什么？sin2α是(sinα)2的簡寫，讀作“sinα”的平方，不能將sin2α寫成sinα2．前者是的正弦的平方，后者是的正弦，兩者是不同的總結(jié)：至此，我們得到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式問題3

“同角”的含義是什么？這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”．如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是對“任意”一個角（在使函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立，即與角的表達形式無關(guān)．思考：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形有哪些？sin2α＋cos2α＝1sin2α＝1－cos2αcos2α＝1－sin2α

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．tanα＝(α≠

＋kπ(k∈Z))

sinα＝cosαtanαcosα＝

例1

已知sinα＝

，角

α的終邊在第二象限，如何求cosα與tanα的值？

又角

α的終邊在第二象限

解：例2已知cosα＝

，求sinα，tanα的值．

解：

例3已知tanα＝m（m≠0），求sinα和cosα的值．解：根據(jù)題意可得方程組

方法總結(jié)（1）已知tanθ求sinθ（或cosθ）常用以下方式求解．（2）當角

θ的范圍不確定且涉及開方時，常因三角函數(shù)值的符號問題，而對角

θ分區(qū)間（象限）討論．例4

若已知sinα－cosα＝

，π＜α＜

，如何求tanα呢？

sinα－cosα＝

＜0①

將①式兩邊平方得sinαcosα＝

，

所以sinα＜0，cosα＜0，又因為π＜α＜

，

故sinα＋cosα＜0，所以sinα＋cosα＝

②

所以tanα＝

．

由①＋②式得，

例5

已知tanα＝3，求.

解：因為tanα＝

，

所以

思考：本例的解法比較巧妙，并不需要求得sinα和cosα的值.但如果題目換成求

呢？

由tanα＝3，知

α在第一象限或第三象限.

則

則

方法總結(jié)已知tanα＝m，可以求

或

的值，將分子分母同除以cosα或cos2α，化成關(guān)于tanα的式子，從而達到求值的目的．

例6

求證：

分析等式的左右兩端，發(fā)現(xiàn)利用平方關(guān)系可以證明．因為sin2α＋cos2α＝1，由已知可知cosα≠0，且1－sinα≠0，把①式的兩端同除以cosα(1－sinα)，所以cos2α＝1－sin2α＝(1－sinα)(1＋sinα)①得

．

證明等式有哪些常用方法？（1）證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡（2）證明左、右兩邊等于同一個式子（左、右歸一）（3）差比法：證左邊－右邊＝0或

＝1(右邊≠0)