一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（2）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（2）最小二乘法：我們將

稱為Y關(guān)于x的

，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做

，求得的

，叫做

b，a

的

，經(jīng)驗(yàn)回歸方程最小二乘法最小二乘估計(jì)復(fù)習(xí)引入其中思考1：已知兒子身高關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

如果一位父親的身高為176cm，他兒子長(zhǎng)大成人后的身高一定是177cm嗎?為什么?顯然不一定，因?yàn)檫€有其他影響兒子身高的因素，父親身高不能完全決定兒子身高.

不過(guò)，我們可以作出推測(cè)，當(dāng)父親身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右.實(shí)際上，如果把這所學(xué)校父親身高為176cm的所有兒子身高作為一個(gè)子總體，那么177cm是這個(gè)子總體的均值的估計(jì)值.追問(wèn)：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程

中斜率的具體含義,高個(gè)子的父親一定生高個(gè)子的兒子嗎?同樣,矮個(gè)子的父親一定生矮個(gè)子的兒子嗎?這里的經(jīng)驗(yàn)回歸方程

，其斜率0.839可以解釋為父親身高每增加1cm，其兒子的身高平均增加0.839cm.分析模型可以發(fā)現(xiàn)，高個(gè)子父親有生高個(gè)子兒子的趨勢(shì)，但一群高個(gè)子父親的兒子們的平均身高要低于父親們的平均身高，例如x=185(cm)，則矮個(gè)子父親有生矮個(gè)子兒子的趨勢(shì)，但一群矮個(gè)子父親的兒子們的平均身高要高于父親們的平均身高，例如x=170(cm),則英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢(shì)稱為“回歸現(xiàn)象”.后來(lái)，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱為回歸分析.x(s)5101520304050607090120y(μm)610101316171923252946在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y(μm)與腐蝕時(shí)間x(s)之間的一組觀察值如表.(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度為多少．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示，例題x(s)5101520304050607090120y(μm)610101316171923252946∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為解：(3)根據(jù)(2)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)腐蝕時(shí)間為100s時(shí)，即腐蝕時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度為約35.76μm.課本113頁(yè)∴估計(jì)女兒的身高為168cm左右.1.假如女兒身高y(單位:cm)關(guān)于父親身高x(單位:cm)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

已知父親身高為175cm，請(qǐng)估計(jì)女兒的身高.解：練習(xí)2.某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得如表數(shù)據(jù)：(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；解：散點(diǎn)圖如圖所示.x681012y2356x681012y2356x681012y2356故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

＝0.7x－2.3.(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.即預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力為4.對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差，即

例如，對(duì)于下表中的第6個(gè)觀測(cè)，父親身高為172cm，其兒子身高的觀測(cè)值為y6=176(cm)，預(yù)測(cè)值為殘差為176-173.265=2.735(cm).編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182探究：殘差分析殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.編號(hào)父親身高/cm兒子身高觀測(cè)值/cm兒子身高預(yù)測(cè)值/cm殘差/cm1174176174.9431.0572170176171.5874.4133173170174.104－4.1044169170170.748－0.7485182185181.6553.3456172176173.2652.7357180178179.977－1.9778172174173.2650.7359168170169.9090.09110166168168.231－0.23111182178181.655－3.65512173172174.104－2.1041316416566.553－1.55314180182179.9772.023殘差表：類似地，我們還可以得到其他的殘差，如下表所示.為了使數(shù)據(jù)更加直觀，用父親身高作為橫坐標(biāo)，殘差作為縱坐標(biāo)，可以畫(huà)出殘差圖，如圖下所示.殘差圖：012345-1-2-3-4-5160165170175180185殘差/cm父親身高/cm??????????????觀察殘差圖可以直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型的假設(shè).觀察殘差的散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊.說(shuō)明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定，是均值為0、方差為σ2的隨機(jī)變量的觀測(cè)值.可見(jiàn)，通過(guò)一般地，建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，通常需要對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析.借助殘差分析還可以對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)與決策.思考2：

觀察下列四幅殘差圖，你認(rèn)為哪一個(gè)殘差滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定?圖(1)顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系,應(yīng)將時(shí)間變量納入模型；圖(2)顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系,應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分;圖(3)說(shuō)明殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測(cè)時(shí)間變大而變大圖(4)的殘差比較均勻地集中在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi).所以在四幅殘差圖中，只有圖(4)滿足一元線性回歸模型對(duì)隨機(jī)誤差的假設(shè).一般地,建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后,通常需要對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析.借助殘差分析還可以對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn),使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)與決策.2.原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對(duì)值過(guò)大的數(shù)據(jù)；3.對(duì)數(shù)據(jù)刻畫(huà)效果比較好的殘差圖特征:殘差點(diǎn)比較均勻的集中在水平帶狀區(qū)域內(nèi)．1.殘差等于觀測(cè)值減預(yù)測(cè)值殘差的性質(zhì)：歸納總結(jié)課本113頁(yè)

計(jì)算表8.2-2中的所有殘差之和，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?解：經(jīng)計(jì)算可知?dú)埐畹目偤蜑?.027.但是即理論上殘差的總和應(yīng)等于0，這個(gè)誤差是由于計(jì)算過(guò)程中四舍五入的原因?qū)е?1.工人工資y(元)與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

＝50＋80x，下列判斷正確的是（

）A.勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工人工資為130元B.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元C.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高130元D.當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元解析：因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工人工資平均提高80元.隨堂檢測(cè)2.對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫(huà)出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是(

)解析：用殘差A(yù)圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適.帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高.3.某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用x(單位：萬(wàn)元)與銷售額y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表：x24568y3040605070104.某工廠對(duì)某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量x(千件)2356成本y(萬(wàn)元)7891214.5年份x20162017201820192020儲(chǔ)蓄存款額y/千億元5678105.某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，該地一銀行連續(xù)五年年底的儲(chǔ)蓄存款情況如下表所示.為了計(jì)算方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－2015，z＝y(tǒng)－5，得到下表.t12345z01235(1)求z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)通過(guò)(1)中的方程，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)用所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)到2022年年底，該地此銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)到多少？t12345z01235解：∴z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為∴預(yù)測(cè)到2022年年底，該地此銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)到12千億元.課堂小結(jié)1.殘差：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為

值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的

稱為

，

減去

稱為殘差.2.殘差分析：

是隨機(jī)