第六章平面圖形的初步認(rèn)識第62節(jié)角2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期《七年級數(shù)學(xué)上冊培優(yōu)全》（2024蘇科新版）

蘇科2024新版第六章 平面圖形的初步認(rèn)識6.2角瞄準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：讓你知己知彼，百戰(zhàn)不殆1.1.認(rèn)識角是基本圖形之一，了解角的概念；2.知道角的分類及平角、周角、銳角、鈍角、直角的概念；3.知道角的度量單位，會對角的度量單位進(jìn)行簡單換算，會計算角的和差；4.理解補(bǔ)角和余角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)；5.能借助量角器，圓規(guī)等比較角的大小，會用尺規(guī)作圖作一個角等于已知角；6.理解角平分線的定義，能解決有關(guān)角平分線的簡單問題。理清思維導(dǎo)圖：讓你運(yùn)籌帷幄，決勝千里挖掘數(shù)學(xué)文化：讓你了解數(shù)學(xué)背后的故事聽數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)——角度值的由來？最早明確使用角度值的文字記載于希臘學(xué)者托勒密的《天文學(xué)大成》。在美索不達(dá)米亞平原上，公元前的古巴比倫人把圓周的稱為1度（記作1°），度下面又設(shè)有“分”和“秒”二個單位，60分為1度，60秒為1分。最早明確使用角度值的文字記載于希臘學(xué)者托勒密的《天文學(xué)大成》。在美索不達(dá)米亞平原上，公元前的古巴比倫人把圓周的稱為1度（記作1°），度下面又設(shè)有“分”和“秒”二個單位，60分為1度，60秒為1分?？键c(diǎn)詳解：讓您快速掌握每個考點(diǎn)知識點(diǎn)1：角的概念1.角的定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB． 2.角的定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．名師指點(diǎn)（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角． 知識點(diǎn)2：角的表示方法1.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：角的表示方法圖示記法適用條件①三個大寫字母任何情況都適用②一個大寫字母該角的頂點(diǎn)處只有一個角③數(shù)字任何情況都適用，但需要提前在圖中標(biāo)注④希臘字母任何情況都適用，但需要提前在圖中標(biāo)注名師指點(diǎn)用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．2.角的畫法：（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．知識點(diǎn)3：角的度量1.角的度量單位是度（）、分（）、秒（），把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．2.角的單位換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．名師指點(diǎn)在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時要向高一位進(jìn)位．知識點(diǎn)4：角的大小比較角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝；由圖(3)可得∠AOB＞．知識點(diǎn)5：角的分類角按照大小可分為知識點(diǎn)6：角的和差計算角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．名師指點(diǎn)(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點(diǎn)7：角平分線角平分線的概念：文字語言：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．圖形語言：幾何語言：如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．知識點(diǎn)8：余角和補(bǔ)角1、余角：（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．（2）性質(zhì)：同角（等角）的余角相等．2、補(bǔ)角：（1）定義：如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補(bǔ)角，即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角．（2）性質(zhì)：同角（等角）的補(bǔ)角相等．名師指點(diǎn)(1)互余互補(bǔ)指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°α)，一個角α的補(bǔ)角可以表示為(180°α)．顯然一個銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°。經(jīng)典例題：為你快速找到，航行燈塔 題型1 角的概念的說法判斷例題1．下列說法中，正確的個數(shù)有（

）①兩條射線組成的圖形是角；②角的大小與邊的長短有關(guān)；③角的兩邊可以畫的一樣長，也可以一長一短；④角的兩邊是兩條射線；⑤因?yàn)槠浇堑膬蛇呉渤梢粭l直線，所以一條直線可以看作一個平角．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】此題考查了角的定義，有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，注意不要忽略“公共端點(diǎn)”．還應(yīng)注意角的大小與邊的長短無關(guān)，與度數(shù)的大小一致．根據(jù)角的概念，對選項進(jìn)行一一分析，排除錯誤答案．【詳解】解：①有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故原說法錯誤；②角的大小與邊的長短無關(guān)，故原說法錯誤；③角的兩邊是兩條射線，射線不能度量，所以不能說長或短，故原說法錯誤；④有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故角的兩邊是兩條射線，此說法正確；⑤平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點(diǎn)，而直線沒有，故選項錯誤；以上5種說法正確的有1個，故選：A．【變式訓(xùn)練】1．有下列關(guān)于角的說法：①兩條射線組成的圖形叫作角； ②角的邊越長，角越大；③在角一邊的延長線上取一點(diǎn)D； ④角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．其中正確的有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題主要考查了角的定義，根據(jù)角的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解，熟練掌握有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，故①錯誤，不符合題意；角的大小與開口大小有關(guān)，角的邊是射線，沒有長短之分，故②錯誤，不符合題意；角的邊是射線，不能延長，故③錯誤，不符合題意；角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，④正確，符合題意，∴只有④一個選項正確，故選：A．2．下列說法不正確的是（

）A．兩個銳角的和不一定大于直角B．兩個鈍角的和不一定大于平角C．直角都等于D．1周角=2平角=4直角【答案】B【分析】本題考查的是角的概念．根據(jù)角的概念判斷即可．【詳解】解：A、兩個銳角的和不一定大于直角，本選項不符合題意；B、兩個鈍角的和一定大于平角，本選項符合題意；C、直角都等于，本選項不符合題意；D、1周角=2平角=4直角，本選項不符合題意；故選：B．3．下列語句正確的是（

）A．一條直線可以看成一個平角B．周角是一條射線C．角可以看成是由一條射線旋轉(zhuǎn)而成的D．角是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形【答案】D【分析】本題考查角的概念，根據(jù)角的概念即可求出答案．【詳解】A選項，平角有一個頂點(diǎn)和兩條邊，所以一條直線不可以看成一個平角，故A選項錯誤；B選項，周角是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的角，故B選項錯誤；C選項，角可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形，故C選項錯誤；D選項，角是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形，故D選項正確．故選：D．4．下列關(guān)于角的說法中，正確的個數(shù)為（

）①兩條有公共點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個端點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點(diǎn)重合時，可以形成角；④角的大小與邊的長短有關(guān)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題主要考查角的知識，首先正確理解角的概念：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，注意不要忽略“公共端點(diǎn)”，還應(yīng)注意角的大小與邊的長短無關(guān)，與度數(shù)的大小一致；然后結(jié)合角的定義的理解，對選項進(jìn)行一一分析，排除錯誤答案即可．【詳解】解：角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線所構(gòu)成的圖形，故①②③正確；角的大小與邊的長短無關(guān)，只與兩條邊張開的角度有關(guān)，故④錯誤．故選D．題型2 角的表示問題例題2.如圖，下列表示角的方法，錯誤的是（

）A．與表示同一個角B．也可用來表示C．圖中共有三個角：D．表示的是【答案】B【分析】本題主要考查了角的概念，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．直接利用角的概念以及角的表示方法，進(jìn)而分別分析得出即可；【詳解】和表示同一個角，正確，故A不符合題意；不可以用表示，故B錯誤；圖是共有三個角：，，，正確，故A不符合題意；表示的是，正確，故D不符合題意．故選B．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在內(nèi)部作了一條射線，下列說法正確的是.（

）A．可以用表示 B．這條射線記作射線C．與是同一個角 D．【答案】C【分析】本題考查了射線和角的表示方法，角的和差等知識．根據(jù)射線和角的表示方法、角的和差即可判斷求解，掌握射線和角的表示方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不可以用表示，該選項錯誤，不合題意；B、這條射線記作射線，該選項錯誤，不符合題意；C、與是同一個角，該選項正確，符合題意；D、，該選項錯誤，不合題意；故選：C．2．如圖，給出下列說法：①和是同一個角；②和是同一個角；③和是同一個角；④和不是同一個角．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了本題主要考查角的表示，熟練掌握角的表示方法是解題的關(guān)鍵；根據(jù)角的表示方法逐項判斷即可；【詳解】解：①和滿足頂點(diǎn)相同，兩邊所在的射線相同．是同一個角，故原說法正確；②和滿足頂點(diǎn)相同，兩邊所在的射線相同．是同一個角，故原說法正確；③和的頂點(diǎn)相同，兩邊所在的射線不相同．不是同一個角，故原說法錯誤；④和的頂點(diǎn)不相同，兩邊所在的射線也不相同．不是同一個角，故原說法正確．綜上所述：說法正確的有三個．故選：C．3．如圖所示，還可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查角的表示方法，根據(jù)一個角可以用三個大寫字母表示，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，還可以表示為；故選B．4．下列選項中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查角的表示方法，解決這類問題的關(guān)鍵是要熟練掌握角的幾種表示方法．根據(jù)角的表示方法對各選項逐一分析即可作出判斷．【詳解】A．頂點(diǎn)O處有四個角，這四個角均不能用表示，故本選項錯誤；B．頂點(diǎn)O處只有一個角，這個角能用，，表示，故本選項正確；C．頂點(diǎn)O處有三個角，這三個角均不能用表示，故本選項錯誤；D．頂點(diǎn)O處有3個角，這3個角均不能用表示，故本選項錯誤；故選：B．題型3 角的度量、換算、大小比較問題例題3.比較大?。海ㄓ谩?gt;”“<”“=”填空）．【答案】【分析】本題考查的是角度的單位互化，角度的大小比較，由，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，故答案為：【變式訓(xùn)練】1．【答案】/30度3分【分析】此題考查了度數(shù)的乘法和減法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．首先計算為，然后相減即可求解．【詳解】．故答案為：．2．比較大?。海ㄌ睢⒒颍敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，注意以60為進(jìn)制，比較簡單．先進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，再對比即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．3．【答案】【分析】本題主要考查度、分、秒之間的換算，小單位變大單位用除法，由一度等于分，一分等于秒，進(jìn)行換算即可．【詳解】解：故答案為：4．如果，，則，．【答案】【分析】本題考查了度分秒的換算，角的和差計算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角度的加減運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：∵，，∴，；∴，，．故答案為：90°，．題型4 角度的四則運(yùn)算問題例題4.計算：； ．【答案】；．【分析】先計算乘法，再計算減法即可；先計算除法和括號內(nèi)的減法，再計算減法即可；此題主要考查了度分秒的計算，解題的關(guān)鍵是掌握計算順序和運(yùn)算法則．【詳解】解：；．【變式訓(xùn)練】1．計算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角的計算，熟練掌握度分秒的換算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)度分秒的換算計算即可；（2）根據(jù)度分秒的換算計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．計算：(1)（結(jié)果用度、分、秒表示）．(2)（結(jié)果用度表示）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角度的計算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計算，即可解答；（2）根據(jù)度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．3．計算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角度的運(yùn)算，按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序“先算乘除，后算加減”進(jìn)行運(yùn)算，注意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角的四則運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)角的四則運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．4．計算：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了度分秒之間的換算的應(yīng)用，注意．（1）先度分秒分別相加，再根據(jù)滿進(jìn)的原則求出即可；（2）先進(jìn)行單位的換算，再度分秒分別相減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．題型5 余角的概念與計算例題5.若兩個角和為90度，則這兩個角互余．已知，，則與的關(guān)系是（

）A．互補(bǔ) B．互余 C．和為鈍角 D．和為周角【答案】B【分析】本題考查了互余，解題關(guān)鍵是掌握若兩個角的和等于，即這兩個角互余．根據(jù)已知條件，得出，即可得到答案．【詳解】解：∵，，，與互余，故選：B．【變式訓(xùn)練】1．如圖，，則下列說法錯誤的是（

）A．與不互為余角 B．與互為余角C．與互為余角 D．與互為余角【答案】A【分析】本題考查了互余的概念及計算，掌握互余的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)互余的概念及計算可得，由此進(jìn)行判定即可求解．【詳解】解：∵，∴，即與互為余角，故B選項正確，不符合題意；∵，∴，即與互為余角，故A選項錯誤，符合題意；∴，即與互為余角，故D選項正確，不符合題意；∴，即與互為余角，故C選項正確，不符合題意；故選：A．2．一副三角板按如圖所示的方式擺放，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角，能根據(jù)題意得出算式是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出和，兩等式相減，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：D．3．若，則的余角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角，度分秒的換算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)余角的定義進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：∵，∴的余角，故選：A．4．已知，則的余角度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求一個角的余角，如果兩個角的和是，那么這兩個互為余角，由此計算即可．【詳解】解：若，則的余角為，故選：B．題型6 補(bǔ)角的概念與計算例題6.如果，那么的補(bǔ)角的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了余角的定義，度分秒的換算．根據(jù)“和為180度的兩個角互為補(bǔ)角，”進(jìn)行計算即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以的補(bǔ)角的度數(shù)是：．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．一定能使等式“”成立的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)平角的定義判斷即可．【詳解】根據(jù)平角的定義判定

中，符合題意，

中，不符合題意；

中，不符合題意；

中無法確定兩個角的關(guān)系，不符合題意；故選Ａ．2．如圖，直線、相交于點(diǎn)O，，圖中與互補(bǔ)的角有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)同角的余角相等，得到，根據(jù)平角的定義，得到，，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴圖中與互補(bǔ)的角有，共3個；故選C．3．如圖，，直線經(jīng)過點(diǎn)．在下面的五個式子中：①；②；③；④；⑤，等于的補(bǔ)角的式子的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得到∠1+∠2=90°，∠2+∠3=180°，利用補(bǔ)角定義依次判斷即可．【詳解】解：∵，∴∠1+∠2=90°，∵直線經(jīng)過點(diǎn)，∴∠2+∠3=180°，①；②是等于的補(bǔ)角的式子，∵2（∠1+∠2）=180°，∴∠2=180°（），故③符合題意；∵∠3=180°∠2，∠1=90°∠2，∴=2（180°∠2）2（90°∠2）∠2=，故④符合題意；∵，∴⑤不符合題意，故選：C．4．如果一個角的補(bǔ)角是，那么這個角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得到答案．【詳解】解：設(shè)這個角為，由補(bǔ)角的定義可得，∴，故選：D．題型7 角的性質(zhì)（同或等角的余角（或補(bǔ)角）相等）運(yùn)用例題7.如圖，點(diǎn)在直線上，，那么下列說法錯誤的是（）A．與相等 B．與互余C．與互補(bǔ) D．與互余【答案】D【分析】根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義逐一判斷即可得解．本題主要考查余角和補(bǔ)角，互為余角（補(bǔ)角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．【詳解】∵，∴，∴，故A選項正確；∵，∴，即與互余，故B選項正確；∵，，∴，即與互補(bǔ)，故C選項正確；無法判斷與是否互余，例如當(dāng)時，，，不互余，故D選項錯誤；故選：D．【變式訓(xùn)練】1．如圖，平面內(nèi)，，平分，則以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．0個【答案】B【分析】先根據(jù)余角的性質(zhì)證明，再根據(jù)，即可判斷①正確；根據(jù)，即可判斷②正確；根據(jù)，且，可判斷③錯誤；根據(jù)平分線的定義得出，根據(jù)得出，根據(jù)，即可判斷④正確．【詳解】解：，，∵，，故①正確；，故②正確；，而，故③不正確；平分，，∵，，即點(diǎn)、、共線，，，故④正確；綜上分析可知，正確結(jié)論的個數(shù)有3個，故B正確．故選：B．2．如圖，在同一平面內(nèi)，，，點(diǎn)為反向延長線上一點(diǎn)（圖中所有角均指小于的角）．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，結(jié)合即可判斷①正確；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，結(jié)合即可判斷②正確；由∠BOC∠AOD=∠AOC+90°∠AOD，而不能判斷∠AOD=∠AOC，即可判斷③不正確；由E、O、F三點(diǎn)共線得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，從而可判斷④正確．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，∴180°∠AOC∠AOF=180°∠BOD∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正確；∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB=180°，所以②正確；∠COB∠AOD=∠AOC+90°∠AOD，而，所以③不正確；∵E、O、F三點(diǎn)共線，∴∠BOE+∠BOF=180°，∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正確．所以，正確的結(jié)論有3個．故選：C．3．如圖①、圖②、圖③和圖④，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形為（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】本題考查了直角三角板中的角度的關(guān)系，同角的余角相等，根據(jù)直角三角板中的角度分別求出和逐項求解即可．【詳解】圖①，，∴，符合題意；圖②，，∴，不符合題意；圖③，根據(jù)同角的余角相等可得，符合題意；圖④，，∴，符合題意；綜上所述，擺放位置中的圖形為①③④．故選：D．4．如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中，的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了余角和補(bǔ)角，需結(jié)合余角和補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解；如果兩個角的和是，那么稱這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個角是另一個角的余角．如果兩個角的和是，那么稱這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，也可以說其中一個角是另一個角的補(bǔ)角；根據(jù)圖象求解即可．【詳解】解：A．由圖可知，所以與互余，故本選項錯誤；B．同角的余角相等，所以，故本選項正確；C．由圖可知，但推不出，故本選項錯誤；D．由圖可知，所以和互補(bǔ)，故本選項錯誤．故選：B．題型8 角平分線問題例題8已知在的內(nèi)部，，是補(bǔ)角的（本題出現(xiàn)的角均指不大于平角的角）．(1)如圖1，求的值；(2)在（1）的條件下，平分，射線滿足，求的大??；(3)如圖2，若，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線以每秒的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與重合后，再以每秒的速度繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線，運(yùn)動的時間為t秒（），當(dāng)時，請直接寫出t的值．【答案】(1)的值為；(2)的大小為或，過程見解析；(3)或【分析】（1）根據(jù)角度的比例關(guān)系和補(bǔ)角的性質(zhì)列式，即可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)角平分線的定義及（1）問結(jié)果，可求的大小，分射線在內(nèi)部；射線在外部，兩種情況進(jìn)行討論；（3）根據(jù)題意列出和關(guān)于時間的關(guān)系式，再應(yīng)用絕對值的化簡規(guī)則進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：；又是補(bǔ)角的，，即，，，故的值為；（2）解：平分，，，，當(dāng)射線在內(nèi)部時，

，，，，當(dāng)射線在外部時，

，，，，故的大小為或；（3）解：當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn)時，，，代入，，即，去絕對值符號：或，（舍）或，當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)時，，，代入，，即，去絕對值符號：或，（舍）或，故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知：平分，平分．(1)若，①求出及其補(bǔ)角的度數(shù)；②求出和的度數(shù)，并判斷與是否互補(bǔ)；(2)若，則與是否互補(bǔ)？請說明理由．【答案】(1)①，的補(bǔ)角的度數(shù)為；②，；與互補(bǔ)；(2)與不一定互補(bǔ)，理由見解析【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，求一個角的補(bǔ)角度數(shù)，補(bǔ)角的定義，角平分線的定義等等：（1）①根據(jù)角的和差關(guān)系可求出的度數(shù)，進(jìn)而可求出的補(bǔ)角的度數(shù)；②先求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義分別求出的度數(shù)，再求出的度數(shù)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義分別表示出的度數(shù)，再表示出的度數(shù)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵，∴，∴的補(bǔ)角的度數(shù)為；②∵平分，平分，，∴，，∴，∴，∴與互補(bǔ)；（2）解：與不一定互補(bǔ)，理由如下：∵，∴，∵平分，平分，，∴，，∴，∴，∵不一定為，∴不一定為∴與不一定互補(bǔ)．2．如圖，直線、相交于O，，．(1)求的度數(shù)；(2)試說明平分．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查角的運(yùn)算，涉及角平分線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．（1）先根據(jù)條件和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后即可求出的度數(shù)．（2）只要證明即可得證．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，∴平分．3．如圖，已知過的內(nèi)部任意一點(diǎn)C畫射線，使，，若，分別平分和．求：(1)的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了幾何圖中的角度計算角平分線的有關(guān)計算．（1）直接根據(jù)計算即可；（2）根據(jù)題意，由角平分線定義得出，，由計算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵平分，平分，，，∴，∴．4．如圖，O為直線上一點(diǎn)，平分．(1)求出的度數(shù)；(2)請通過計算說明是否平分．【答案】(1)(2)平分，理由見解析【分析】本題主要考查了角的度數(shù)的計算，正確理解角平分線的定義，以及鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，首先利用角平分線的定義和鄰補(bǔ)角的定義求得和即可；（2）根據(jù)與互余即可得出的度數(shù)，由（1）可知，那么，進(jìn)而可得出結(jié)論，從而求解．【詳解】（1）解：，平分，，；（2）平分．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分．題型9 有關(guān)角的作圖問題例題9.如圖，已知和，．用直尺和圓規(guī)作兩個角，使其大小分別為．【答案】見解析【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，熟練掌握作一個角等于已知角的方法是解答本題的關(guān)鍵．先作，再在的內(nèi)部作，則的大小即為；先作，再在的外部作，則的大小即為．【詳解】如圖，先作，再在的內(nèi)部作，則．先作，再在的外部作，則．【變式訓(xùn)練】1．如圖（甲），和都是直角．(1)如果，那么的度數(shù)是多少?(2)找出圖（甲）中相等的角．如果，它們還會相等嗎？說明理由．(3)在圖（乙）中利用能夠畫直角的工具再畫一個與相等的角．【答案】(1)(2)相等的角有：，，還會相等(3)見解析【分析】本題考查了余角，以及角的和差計算，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，求出的度數(shù)，然后即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)已知條件可得，由等式的性質(zhì)可得；當(dāng)，由等式得性質(zhì)即可求解，故它們還會相等；（3）首先以為邊，在外畫，再以為邊在外畫，即可得到．【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所以，所以，；?）解：因?yàn)楹投际侵苯?，所以，所以，所以，所以相等的角有：，如果，它們還會相等，理由如下：因?yàn)楹投际侵苯?，所以，所以，所以所以．?）解：如圖，畫，則即，為所畫的角．2．如圖，已知．(1)畫出的平分線；(2)若，利用（1）的結(jié)果．①求的度數(shù)；②試求的補(bǔ)角．【答案】(1)圖見解析(2)①②【分析】本題考查尺規(guī)作角平分線，與角平分線有關(guān)的計算：（1）尺規(guī)畫出角平分線即可；（2）①根據(jù)角平分線平分角即可得出結(jié)果；②根據(jù)互補(bǔ)的兩角和為180度，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）①∵，平分，∴；②由（1）知：，∴的補(bǔ)角為．3．如圖，已知，點(diǎn)在射線上．(1)請按照下列步驟畫圖(保留作圖痕跡)：①用圓規(guī)在射線上取一點(diǎn)，使；②在內(nèi)部作射線，使；③在射線上取一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連接，；(2)由圖可知，(填“”“”或“”)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查基本的幾何圖形：（1）按要求作圖即可；（2）根據(jù)線段比較的方法，借助圓規(guī)，即可求得答案．【詳解】（1）如圖所示：（2）借助圓規(guī)可知，．故答案為：4．如圖，已知．(1)試用量角器或三角尺在的下方畫的余角；(2)畫射線的反向延長線，若，求的度數(shù)．（友情提醒：請用黑色水筆將答題卡上所畫的線加黑加粗）【答案】(1)圖見解析(2)見解析，【分析】本題考查作角，畫射線，幾何圖形中求角的度數(shù)．找準(zhǔn)角度之間的和差關(guān)系，（1）畫，即可；（2）畫出，根據(jù)角度之間的和差關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）如圖，即為所求；∵，∴，∵，∴．題型10 三角板的綜合問題例題10.如圖①是某網(wǎng)頁套尺4件套的截圖，圖②是其中一副三角板的簡化示意圖，是的平分線，請用尺規(guī)按下列要求作圖并解答問題．(1)延長線段到F，使；(2)延長，交的延長線于點(diǎn)M；(3)在（1）（2）的條件下，如果，那么__________，__________，____________________″．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，，，【分析】本題考查了尺規(guī)作圖、度分秒的換算、角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）延長，以點(diǎn)C為圓心，線段的長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)F，則即為所求；（2）按照題意延長即可；（3）由，可得，由三角板可知，，，，則可得，，再根據(jù)角平分線的定義以及度分秒的換算可得答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）如圖，點(diǎn)M即為所求；（3），，，，由三角板可知，，，，，，，，是的平分線，，故答案為：，，，．【變式訓(xùn)練】1．小明閱讀了教材中“借助三角尺畫角”的探究活動（如圖1、圖2的實(shí)物圖所示），他在老師指導(dǎo)下畫出了圖1所對應(yīng)的幾何圖形，并標(biāo)注了所使用三角尺的相應(yīng)角度（如圖3），他發(fā)現(xiàn)用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺畫出圖2對應(yīng)的幾何圖形，并標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；(2)結(jié)合畫圖再思考：用一副三角尺畫出的角的大小有什么規(guī)律；(3)圖3中，若平分平分，請在圖3中補(bǔ)全圖形求出的度數(shù)，并猜想與的數(shù)量關(guān)系；(4)如圖4，若是任意角，在的外部，平分平分的條件不變，第（3）題中與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，如果結(jié)論不變請說明理由；如果變化，請寫出新結(jié)論并給出證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)補(bǔ)全圖形見解析，，(4)不發(fā)生變化，理由見解析【分析】本題考查三角板中的角度計算，作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖，角平分線的定義，角的和與差．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）結(jié)合題干中的圖2即可畫出其對應(yīng)的幾何圖形；（2）由三角板的特點(diǎn)可知用一副三角尺畫出的角的大小是的倍數(shù)；（3）由角平分線的定義即可補(bǔ)全圖形，由角平分線的定義可求出，，即得出．又可求出，即得出；（4）由角平分線的定義可得出，，再根據(jù)角的和與差，結(jié)合圖形求解證明即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所畫圖形；（2）解：因?yàn)橐桓比前逯写嬖诘慕?，所以用一副三角尺畫出的角的大小是的倍?shù)；（3）解：補(bǔ)全圖形如下，∵平分平分，∴，，∴．∵，∴；（4）解：不發(fā)生變化，理由：∵平分平分，∴，．∵，，∴，，∴，∴，∴，即，∴．2．“三角板拼角”的問題．將一副三角板如圖這樣放置，就可畫出，在實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用一副三角板還能畫出其他特殊角．請你借助三角板完成以下操作，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角板的相應(yīng)角度：(1)設(shè)計用一副：三角板畫出角的畫圖方案，并畫出相應(yīng)的幾何圖形；(2)用一副三角板能畫出的角嗎？______(選填“能”或“不能”)．【答案】(1)見解析(2)不能【分析】本題考查的是角的和差運(yùn)算，理解角的和差關(guān)系是解本題的關(guān)鍵；（1）由，從而可畫出的角；（2）由不能化為，，，的和差關(guān)系，從而可得答案．【詳解】（1）解：用一副三角板畫出135°角，如圖所示，

（2）∵三角板中的已知角為：，，，，而不能化為這幾個角的和差關(guān)系，∴不能畫出的角．3．用一副三角尺進(jìn)行操作探究：把銳角為的三角尺記作三角尺①，把銳角為的三角尺記作三角尺②，用三角尺①，②完成以下作圖．①

②(1)作出大小為的角；（要求：畫出三角尺①，②的一種擺放示意圖）(2)已知，在圖中作出的平分線．（要求：畫出三角尺①，②的一種擺放示意圖）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了三角板中角度的計算，角平分線的定義；（1）用含的直角三角板和含的直角三角板組合即可得到答案；（2）根據(jù)題中構(gòu)造出15度角即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求：

（2）解：如圖所示，即為所求：

4．七年級上冊《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊》中有“三角尺拼角”的問題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫出，在實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們發(fā)現(xiàn)用一副三角尺還能畫出其他特殊角．(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度；①設(shè)計用一副三角尺畫出角的畫圖方案，并畫出相應(yīng)的幾何圖形；②用一副三角尺能畫出的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫出的角平分線，并在所畫圖形上標(biāo)注所使用三角尺的相應(yīng)角度．(3)如圖，現(xiàn)有角的三種模板，，，請設(shè)計一種方案，只用給出的一種模板畫出的角．小冬想出了一個方案，利用角模板畫出角，動手操作：如圖，M、O、N三點(diǎn)在一條直線上，將的頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，……，如此連續(xù)操作18次，再利用兩個平角等于一個周角，可得的角，即：．請從或角模板中選一個你認(rèn)為能畫出角的模板，設(shè)計一個方案，并說明理由．(4)對于任意一個（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板是否一定能畫出的角？請作出判斷，并說明理由．【答案】(1)①見解析；②不能(2)見解析(3)選用，理由見解析(4)不一定能，理由見解析【分析】（1）①用一副三角尺畫出角的畫圖方案，用含的兩個角拼接即可求解;②根據(jù)用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)可解答；（2）根據(jù)題意設(shè)計一個，一邊與射線重合，另一邊即為角平分線，（3）根據(jù)題目所給的方案，進(jìn)行設(shè)計即可求解；（4）根據(jù)角度的四則運(yùn)算進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】（1）解：①用一副三角尺畫出角，如圖所示，②用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)，∴用一副三角尺能不能畫出的角，故答案為：不能．（2）解：如圖所示，（3）選用，用的角旋轉(zhuǎn)15次，則，與差，再旋轉(zhuǎn)16次，得到，與周角差，再旋轉(zhuǎn)16次，得到，超過始邊∴繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，再將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得，……，如此連續(xù)操作47次，可得的角，即：．（4）對于任意一個（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板不一定能畫出的角例如，，此時無論如何旋轉(zhuǎn)，都不能得到的角培優(yōu)訓(xùn)練：讓你一飛沖天，一鳴驚人一、選擇題（本大題共10小題）1．下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【答案】C【分析】根據(jù)角的動態(tài)定義和角的靜態(tài)定義解答．【詳解】解：A、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；B、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；C、角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，故此選項符合題意；；D、角度的大小與邊的長短無關(guān)，故此選項不符合題意．故選：C．2．如圖，能用、、三種方法表示同一個角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角的表示方法，根據(jù)角的表示方法，結(jié)合圖形判斷即可．【詳解】解：．、、表示的不一定是同一個角，錯誤，∵以為頂點(diǎn)的有多個角，故本選項不符合題意；．、、表示的不一定是同一個角，錯誤，∵以為頂點(diǎn)的有多個角，故本選項不符合題意；．、、表示的是同一個角，正確，故本選項符合題意；．、、表示的不一定是同一個角，錯誤，∵以為頂點(diǎn)的有多個角，故本選項不符合題意；故選：C．3．若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了度分秒的換算，掌握度、分的單位換算方法是解題的關(guān)鍵．先將進(jìn)行單位換算，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴．故選：A．4．如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形個數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了三角板中角度的計算，根據(jù)直角三角板可得第一個圖形，進(jìn)而可得；根據(jù)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)可得第二個圖形、第四個圖形中，第三個圖形和互補(bǔ)．【詳解】解：根據(jù)角的和差關(guān)系可得第一個圖形，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得第二個圖形，第三個圖形，不相等，根據(jù)同角的余角相等可得第四個圖形，因此的圖形個數(shù)共有3個，故選：C．5．根據(jù)如圖所示，下列式子錯誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查的知識點(diǎn)是角的計算，根據(jù)各角之間的和差關(guān)系進(jìn)行判斷得出正確選項．【詳解】解：A.，正確，不符合題意；B.，正確，不符合題意；C.由于不確定，所以，故此選項符合題意；D.，正確，不符合題意．故選：C．6．如圖所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點(diǎn)重合放置，則的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，根據(jù)題意可求出，，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，由題意得，，∴，，∴，∴，故選：C．7．如圖，是的平分線，是內(nèi)部一條射線，過點(diǎn)O作射線，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動，使得，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．無法計算【答案】C【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，明確題意，理清圖中各角度之間的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．由是的平分線得，進(jìn)而求得，結(jié)合得，再分兩種情況：當(dāng)在下方時，，當(dāng)在上方時，分別討論即可求解．【詳解】解：∵，是的平分線，∴，又∵，∴，而，∴，如圖，當(dāng)在下方時，此時，；如圖，當(dāng)在上方時，此時，；即：或，故選：C．8．如圖，，則圖中與互余的角有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了求一個角的余角，根據(jù)互為余角的兩個角的和為，即可得出答案．【詳解】解：，，與互余，，與互余，與互余的角是和，共個，故選B．9．如圖，在三角形中，．D是邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），過點(diǎn)D，C作射線，與邊，形成夾角分別為，，則與滿足數(shù)量關(guān)系（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角，根據(jù)與互補(bǔ)，與互余可得，，列式相減即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖可知與互補(bǔ)，與互余，∴①，②，得．故選：D．10．如圖，，則圖中，，三個角的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查互余的概念，關(guān)鍵是掌握余角的性質(zhì)．由，得出，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選：A．二、填空題（本大題共10小題）11．如圖所示的圖形中有個小于平角的角，寫出以為一邊的所有角：．【答案】7，，，【分析】本題考查了角的表示及分類熟練掌握角的表示及分類是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)角的表示方法及角的分類，即可得到答案．【詳解】題圖中小于平角的角有，，，，，，，共7個；其中以為一邊的角有，，，．故答案為：7；，，，．12．比較大小：（用，或連結(jié)）．【答案】【分析】本題考查角度的換算，先把兩個都統(tǒng)一用度和分表示，再比較大小即可．【詳解】解：∵，而，∴故答案為：．13．如圖，將一副直角三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，那么度．【答案】180【分析】本題考查了三角板中的角度計算，根據(jù)題意可得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：180．14．已知與互余，若，則的度數(shù)為【答案】/70度【分析】本題考查了求一個角的余角，根據(jù)兩個角互余，則兩個角相加之和為，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵與互余，∴，∵，∴，故答案為：．15．若的余角為，則的補(bǔ)角的大小是．【答案】【分析】本題考查了角的補(bǔ)角和余角，熟練掌握角的補(bǔ)角和余角是解題的關(guān)鍵；先計算出的度數(shù)，從平角為互補(bǔ)角的和，從而解得．【詳解】解：的余角為，，的補(bǔ)角為，故答案為：．16．如圖，將書面斜折過去，使頂點(diǎn)A落處，為折痕，如果為的平分線，則度．【答案】90【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)和角平分線的定義．根據(jù)折疊的性質(zhì)和角平分線的定義得到，，利用角的和差關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：∵把書面斜折過去，使頂點(diǎn)A落處，為折痕，∴，∵為的平分線，∴，∴，即，故答案為：．17．如圖，點(diǎn)O在直線上，平分，平分．給出下面四個結(jié)論：①與互余：②與互補(bǔ)；③；④．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有．【答案】①②③④【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、余角、補(bǔ)角和角度的和差關(guān)系，根據(jù)角平分線得和，利用平角即可判定①，結(jié)合余角和補(bǔ)角得定義即可判斷②，利用角平分線的性質(zhì)和平角即可判斷③，利用角度和差關(guān)系即可判斷④．【詳解】解：∵平分，平分∴，，∵A，O，B三點(diǎn)在同一直線上，，∴，即與互余，故①正確；∵A，O，B三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵平分，∴，∴，即與互補(bǔ)，故②正確；∵，∴，則，故③正確；∵，，∴，故④正確；故答案為：①②③④．18．如圖，平面內(nèi)，，點(diǎn)E，O，F(xiàn)在一條直線上，下列結(jié)論：①；②與互補(bǔ)；③平分；④；⑤因?yàn)?，所以與，互余．其中正確的有．（填序號）【答案】①②③【分析】本題考查了角度的計算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分線的定義．根據(jù)余角的定義、角的計算和角平分線性質(zhì)，對五個結(jié)論逐一計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，①的說法正確；∵，即與互補(bǔ)，②的說法正確；∵，