四川省達州市2025屆高三上學期一診試題 數(shù)學 含解析

達州市普通高中2025屆第一次診斷性測試數(shù)學試題（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的班級?姓名?準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上，非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)題框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束以后，將答題卡收回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，若，則集合可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)子集的定義即可判斷.【詳解】因為，所以.故選：C2.以雙曲線的右焦點為圓心，離心率為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線標準方程可得右焦點坐標和離心率，即可得到圓的方程.【詳解】由得，，故右焦點坐標為，離心率為，∴圓的方程為.故選：A.3.已知為直線的傾斜角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系可得，利用二倍角公式及齊次式可得結(jié)果.【詳解】∵為直線的傾斜角，∴直線斜率，∴.故選：A.4.已知三個不同的平面，且，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由不能得到，由可得，據(jù)此可確定選項.【詳解】如圖，在正方體中，記平面為平面，平面為平面，平面為平面，則，，但平面，即由不能得到由可得.故時，是的必要不充分條件.故選：B.5.已知可導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷選項.【詳解】A.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，由圖可知，，所以，故A成立；B.，故B成立；C.由圖可知，，，但不確定與的大小關(guān)系，故C不一定成立.D.由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且增長速度越來越快，所以，故D成立.故選：C6.如圖，在正方體中，點分別為所在棱的中點，則（）A. B.平面C.直線與為異面直線 D.平面【答案】D【解析】【分析】首先以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法，判斷垂直和平行關(guān)系.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)棱長為，A，，，，，，，所以與不垂直，故A錯誤；B.平面的法向量為，，所以與平面的法向量不垂直，則與平面不平行，故B錯誤；C.，，，，所以，則，故C錯誤；D.，，，，，，，，平面，所以平面，故D正確.故選：D7.如圖1，圓錐的母線長為3，底面圓直徑，點為底面的中點，則在該圓錐的側(cè)面展開圖（圖2）中（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐與展開圖的關(guān)系，求對應(yīng)的圓心角，再轉(zhuǎn)化向量，求向量的數(shù)量積.【詳解】如圖，連結(jié)，圓錐底面圓的周長為，母線為3，所以扇形展開圖的圓心角為，則，，，.故選：D8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則下列敘述錯誤的是（）A. B.既有最小值也有最大值C.有3個零點 D.有2個極值點【答案】B【解析】【分析】首先利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求，即可判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，分析當時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)的極值，以及函數(shù)值的趨向，即可判斷選項.【詳解】設(shè)，，因為函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，所以，，所以，故A正確；所以，當時，，，設(shè)，，設(shè)，得，當時，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，即恒成立，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，，，所以存在，使，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，，則，，所以存在，使，且時，，綜上可知，當時，函數(shù)有一個極小值點，一個零點，無最大值，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以時，函數(shù)有一個極大值點，一個零點，無最小值，且，所以函數(shù)有3個零點，2個極值點，無最大值也無最小值，所以B錯誤，CD正確.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是判斷A選項，通過多次對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.國家統(tǒng)計局7月15日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2024年上半年我國經(jīng)濟運行總體平穩(wěn)，其中新能源產(chǎn)業(yè)依靠持續(xù)的技術(shù)創(chuàng)新實現(xiàn)較快增長.某企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下，則下列敘述正確的是（）12345672357889A.B.由散點圖知變量和正相關(guān)C.用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸直線方程為D.收益的方差為6【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)公式以及散點圖的圖象特征判斷AB，根據(jù)回歸直線過樣本點中心，即可判斷C，代入方差公式，判斷D.【詳解】A.，，故A正確；B.散點圖的分布從左下到右上，所以是正相關(guān)，故B正確；C.經(jīng)驗回歸直線必過樣本點中心，當時，，故C錯誤；D.收益的方差為，故D錯誤.故選：AB10.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記為，依次類推，，已知，數(shù)列的前項和為，則（）A.B.C.存在，使得在上單調(diào)遞增D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的定義，列舉發(fā)現(xiàn)數(shù)列的的周期性，再結(jié)合選項即可判斷.【詳解】由題意可知，，，，，，，所以數(shù)列的周期為4，，故A正確；因為，且數(shù)列的周期為4，所以，故B錯誤；當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，為常數(shù)列，所以存在時，在上單調(diào)遞增，故C正確；由C選項可知，當時，，值域為，不滿足，故D錯誤.故選：AC11.拋物線有如下光學性質(zhì)：平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為為坐標原點，從點發(fā)出平行于軸的光線經(jīng)過拋物線上的點反射后再經(jīng)過拋物線上另一點，則（）A.存在點使得點.都在以為圓心的圓上B.存在點使得點是的垂心C.存在點使得點是的重心D.點到直線的最短距離為4【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，以及拋物線的對稱性，即可判斷A，根據(jù)光學性質(zhì)，利用點的坐標表示點的坐標，再根據(jù)垂心，重心，即可判斷BC，利用坐標表示點到直線的距離，即可判斷D.【詳解】A.由題意可知，三點共線，根據(jù)對稱性可知，若存在點使得點.都在以為圓心的圓上，則為通徑，則,，則以點為圓心的圓的半徑為2，但，所以不存在點使得點.都在以為圓心的圓上，故A錯誤；B.由，則，，則直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，則，所以，則，即，若存在點使得點是的垂心，則，，，，則，①，，則，②，且，③，聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，則，得成立，故B正確；C.若存在點使得點是重心，則，，得，，即，故C正確；D.點到直線的最短距離為，當時，即時等號成立，點到直線的最短距離為4，故D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合光學性質(zhì)，利用點的坐標表示點的坐標.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)是方程的一個根，則__________.【答案】-2【解析】【分析】將代入方程，即可求解.【詳解】由條件可知，，所以，得.故答案為：-213.二項式，若，則__________.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)絕對值和的意義，采用賦值法求，再求.【詳解】二項式的通項為，令，得，所以，中，是的系數(shù)，所以.故答案為：14.拋一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，將每次骰子正面朝上的數(shù)字依次記為，則不等式成立的概率是__________.【答案】【解析】【分析】利用列舉的方法，結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】拋一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，共有種情況，其中滿足，包含三個數(shù)字為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共23個.所以不等式成立的概率.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫文字說明?證明過程或演算步驟.15.記數(shù)列的前項和為，且.數(shù)列是等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)公式，即可求解，再根據(jù)條件，代入等比數(shù)列的基本量，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用裂項相消法求和.【小問1詳解】當時，，當時，，驗證當時，，成立，所以，設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，所以，得，，則；【小問2詳解】，所以.16.已知的內(nèi)角的對邊分別為.（1）證明：；（2）若的外接圓半徑為，且，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理邊化角，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式，化簡求解角的關(guān)系式；（2）根據(jù)正弦定理求，再根據(jù)（1）的結(jié)果和正弦定理求，，，最后代入三角形面積公式，即可求解.【小問1詳解】由正弦定理可知，，即，因為，且，所以，因為，所以，所以；小問2詳解】因為，而，則C為銳角，，則，，所以.17.如圖，已知正四棱錐的體積為，高為.（1）求平面與平面的夾角的余弦值；（2）現(xiàn)有一螞蟻從點處等可能地沿各條棱向底面勻速移動，已知該螞蟻每秒移動1個單位，求2秒后該螞蟻與點的距離的分布列及期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系平面，以及二面角的定義，構(gòu)造二面角的平面角，即可求解；（2）首先分析2秒后，螞蟻到的位置，再寫出隨機變量的數(shù)值，以及概率，代入期望公式，即可求解.【小問1詳解】設(shè)底面邊長為，則，得，連結(jié)交于點，作，垂足為點，連結(jié)，因為平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，因為，，所以，所以是等邊三角形，，所以所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.【小問2詳解】由題意可知，螞蟻從點沿的概率都是,2秒后螞蟻移動了2個單位，側(cè)棱長為2，所以若沿移動，螞蟻到達點，若沿，螞蟻到達點，若沿，螞蟻到達點，若沿螞蟻到達點，，，所以分布列為02數(shù)學期望.18.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）證明：當時，；（3）若，求的值.【答案】（1）極大值為，極小值為.（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值.（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，證明即可得到結(jié)論.（3）討論的取值范圍，分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合條件即可得到的值.【小問1詳解】由題意得，，∴，由得，或，由得，，∴在上增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴當時，有極大值，極大值為，當時，有極小值，極小值為.【小問2詳解】由（1）得，，要證，只需證，令，則，由得，由得，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴，∵，∴，∴，，∴，即.【小問3詳解】∵，∴，當時，，在上為減函數(shù)，且，不滿足.當時，，方程的，方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，，由得，，，由得，或，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上有唯一極大值點，且，∵，，∴，即，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題第（3）的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的定義域?qū)M行分類討論，其中時，根據(jù)的單調(diào)性確定，利用且可得到，解方程即可得到的值.19.已知點是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應(yīng)到點，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換.如：在變換的作用下得到.（1）已知曲線在的作用下得到曲線，求的方程；（2）已知橢圓在變換下保持位置關(guān)系不變性，即點在曲線上，在變換下也在曲線上：直線與相切，在變換下直線與也相切.已知點是上一動點，直線是在處的切線.用上述結(jié)論求的方程；（3）已知直線與曲線在第一象限的交點為在處的切線被所截得的弦長記為，求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標系中的坐標伸縮變換的定義求解即可.（2）根據(jù)平面直角坐標系中的坐標伸縮變換的定義可得的方程為，進而求出圓的切線方程，然后再根據(jù)平面直角坐標系中的坐標伸縮變換即可得出橢圓的切線；（3）根據(jù)題意求出，結(jié)合（2）求出切線方程與橢圓方程聯(lián)立，然后利用曲線的弦長公式即可求出，然后求和即可【小問1詳解】設(shè)上任意一點，上任意一點Px,y，由題意得，所以，得，所以的方程為，【小問2詳解】橢圓上任意一點Px,y在變換下的上一點，所以代入可得，所以的方程為，點在變換下的的坐標為，所以直線與圓在處相切，設(shè)直線AB在Ax1,在AB上任取不同于Ax1,所以，所以，即，所以圓在點Ax1,y所以圓在的切線為，設(shè)上