專題07 與相似有關的壓軸題九年級數(shù)學上學期期末解答題必刷專題訓練（華師大版）

與相似有關的壓軸題1．如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E為邊BC的中點，請僅用無刻度的直尺作圖：（1）作BD的中點F；（2）作BE的中點G；（3）如圖2，△BDE的中線EF、DG交于點H，若△EGH的面積為1，則四邊形BGHF的面積為．2．如圖1，矩形ABCD中，點E是CD邊上的動點（點E不與點C、D重合），連接AE，過點A作AF⊥AE交CB延長線于點F，連接EF，點G為EF的中點，連接BG．（1）如圖2，若四邊形ABCD為正方形，其面積為S，四邊形BCEG的面積為S1，當S1＝S時，求的值．（2）如圖1，若AB＝20，AD＝10，設DE＝x，點G到直線BC的距離為y，求出y與x的關系式；當＝時，求x的值．3．在菱形ABCD中，CD＝CA＝6，對角線AC、BD交于點O，E為邊BC上一點，直線EO分別交邊AD、射線BA于點G、F．（1）求菱形ABCD的面積；（2）請判斷是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）設△BEF的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2，試確定點E的位置，使得．4．如圖，銳角ADC，AO垂直平分BC交CD于O點，B是AD上一點，若記AOC面積為S1，BOD的面積S2，AOD的面積為S3；（1）求證：；（2）若=．①求證：BD=AC·AD；②若OA=1，求的值．5．把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖，當射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證．此時，＝．（2）將三角板DEF由圖所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°＜α＜90°，問的值是否改變？說明你的理由．（3）在（2）的條件下，設2＜x＜4，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關系式．6．如圖，在矩形ABCD中，，，點P從點A出發(fā)在邊AB上向點B勻速運動，同時點Q從點A出發(fā)在邊AD上向點D勻速運動，速度都是1cm/s，運動時間是ts（），，交BD于點E，點Q關于PE的對稱點是F，射線PF分別與BD，CD交于點M，N．（1）求度數(shù)，并用含t的代數(shù)式表示PE的長；（2）在點P，Q運動過程中，過點M作于點H，①求證：，②t為何值時，以點P，Q，E為頂點的三角形與相似？7．在菱形ABCD中，對線AC，BD交于點O，且AC=16cm，BD=12cm；點P從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為2cm/s；點Q從點D出發(fā)，沿DO方向勻速運動，速度為1cm/s；若P，Q兩點同時出發(fā)，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．過點Q作EF⊥BD，交AD于點E，交CD于點F，設運動時間為t（s）．解答下列問題：（1）求菱形的邊長，并用含t的代數(shù)式表示DE的長度；（2）當t為何值時，線段PE∥AB?（3）設四邊形CFEP的面積為S（cm2），求S關于t的函數(shù)關系式；（4）是否存在某一時刻t，使得以B，P，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．8．如圖（1），在四邊形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，動點P從點D開始沿DA邊勻速運動，動點Q從點A開始沿AB邊勻速運動，它們的運動速度均為2cm/s．點P和點Q同時出發(fā)，設運動的時間為t（s），0＜t＜5（1）用含t的代數(shù)式表示AP；（2）當以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似時，求t的值；（3）如圖（2），延長QP、BD，兩延長線相交于點M，當△QMB為直角三角形時，求t的值．9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）求證：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的長．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，連接EF，交邊AB于點G．設DE＝x，BF＝y(tǒng)．（1）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如果AD＝BF，求證：AEF∽DEA；（3）當點E在邊CD上移動時，AEG能否成為等腰三角形？如果能，請求出線段DE的長；如果不能，請說明理由．11．（問題）如圖①，在△ABC中，D是BC的中點，E是AB上一點，延長DE，CA交于點F，若DEEF，AB4，求AE的長．（提示：如圖②，過點E作EH∥BC交AC于H，再通過相似三角形的性質得到AE和AB的比，從而得到AE的長．請你按照這個思路完成解答．）（探究）在原問題的條件下，可以得到AF和AC的數(shù)量關系是．（拓展）如圖③，在△ABC中，AD是中線，點E在線段AD上，且AE∶AD1∶3，連結BE并延長，交AC于點F，若，則．12．如圖，矩形中，，，動點在邊上，與點、不重合，過點作的垂線，交直線于點．設，．（1）求關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍．（2）若點在線段上，當時，求的長．（3）若直線與線段延長線交于點，當與相似時，求的長．13．已知，如圖，在矩形ABCD中，，，對角線AC，BD交于點O．點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度也為1cm/s：當一個點停止運動時，另一個點也停止運動：聯(lián)結PO并延長，交BC于點E，過點Q作，交BD與點F，設運動時間為．（1）當t為何值時，是等腰三角形；（2）設五邊形OECQF的面積為，求S關于t的函數(shù)關系式；（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，請說明理由．14．（探究）如圖①，在中，點、、分別在邊、、上，，．（1）求證：．（2）若、的面積分別為和，則的值為______．（拓展）如圖②，在中，點、分別在邊、上，點、在邊上，且，．若、、的面積分別為，，，則的面積為______．15．如圖，中，，，．動點從點出發(fā)，在邊上以的速度向定點運動，同時動點從點出發(fā)，在邊上以的速度向點運動，運動時間為，連接．（1）當為何值時，與相似？（2）連接，，如圖1所示，若，求的值．（3）當為何值時，是等腰三角形？16．如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一點（不與C，D兩點重合），連接BE，過點C作CH⊥BE于點F，交對角線BD于點G，交AD邊于點H，連接GE．（1）求證：DH＝CE；（2）如圖2，若點E是CD的中點，當BE＝8時，求線段GH的長；（3）設正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，當時，值為．（直接寫答案）17．如圖，在直角中，，，，點是的中點，點是邊上的動點，交射線于點．（1）求的長；（2）連接，當時，求的長；（3）連接，當和相似時，請直接寫出的長．18．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點P由B點出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s，點Q由A點出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問題：（1）如圖①，連接PQ，直接寫出t＝時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ACB相似．（2）如圖②，當點P，Q運動時，是否存在某一時刻t，使得PQ＝PC，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；（3）如圖③，當點P，Q運動時，線段BC上是否存在一點G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在，請說明理由．19．如圖，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為2cm/s；與點P同時，點Q從D點出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s；過點Q作QE∥AC，交DC于點E．設運動時間為t（s），（0＜t＜4），解答下列問題：（1）當t＝時，BP長為cm，AQ長為cm；（2）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）當0＜t＜時，是否存在某一時刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．20．如圖，已知矩形中，，．（1）如圖①，若動點Q從點C出發(fā)，在CA邊上以每秒的速度向點A勻速運動，同時動點P從點B出發(fā)，在BC邊上以每秒的速度向點C勻速運動，運動時間為t秒（），連接BQ、AP，若，求t的值；（2）若點Q在對角線AC上，，動點P從B點出發(fā)，以每秒的速度沿BC運動至點C止．設點P運動了t秒，請你探索：從運動開始，經(jīng)過多少時間，以點Q、P、C為頂點的三角形是等腰三角形？請求出所有可能的t的值．21．如圖，在△ABC中，BA=BC，AB=kAC．點F在AC上，點E在BF上，BE=2EF．點D在BC延長線上，連接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180°．（1）證明：；（2）求的值（用含k的式子表示）；（3）如圖2，若，求的值（用含k的式子表示）．22．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，同時點F由點D出發(fā)沿DA方向向點A勻速運動，它們的速度分別為每秒2cm和1cm，F(xiàn)Q⊥BC，分別交AC、BC于點P和Q，設運動時間為t秒（0＜t＜4）．（1）連接EF，若運動時間t＝秒時，求證：EQF是等腰直角三角形．（2）連接EP，當EPC的面積為3cm2，求t值．（3）當EF⊥AC時，求運動時間t．23．如圖，在平行四邊形中，，，，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為.當一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點作交于點，連接，交于點.設運動時間為.解答下列問題：（1）當為___________時，？（2）連接，設四邊形的面積為，求與的函數(shù)關系式.（3）當為何值時，點在線段的垂直平分線上？（4）若點關于的對稱點為，是否存在某一時刻，使得點，，三點共線？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.24．如圖，平面直角坐標系中有一個邊長為2的正方形，為的中點，將沿直線對折，使點落在處，連接，過點作于．（1）寫出點、、的坐標；（2）判斷與是否相似，若是，請給出證明；（3）求點的坐標．25．如圖（1），在四邊形中，，，，，，動點從點開始沿邊勻速運動，動點從點開始沿邊勻速運動，它們的運動速度均為．點和點同時出發(fā)，設運動的時間為，．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當以點，，為頂點的三角形與相似時，求的值；（3）如圖（2），延長，，兩延長線相交于點．當為直角三角形時，求的值．26．如圖，在中，，P，D分別是BC，AC邊上的點，且．若，，當為直角三角形時，求BP的長．27．已知：如圖，在中，，，，點P從A點出發(fā)，沿方向勻速運動速度為；同時，點Q從點C出發(fā)，沿方向勻速運動速度為．設運動時間為．解答下列問題：（1）當t為何值時，？（2）是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）是否存在某一時刻t，使為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．28．在中，，E為AC上一點，連接BE．（1）如圖1，當時，將繞點C逆時針旋轉90°得到，點E的對應點F落在BC延長線上，求證：；（2）過點C作，垂足為P，連接AP并延長交BC于點Q．①如圖2，若，求證：；②如圖3，若，，，求AP的長（用含a、k的式子表示）．29．如圖1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC為邊作正方形BCDE，點P從點A出發(fā)，沿ABE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CA方向勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ．設運動時間為t（s）（0＜t＜6.5），解答下列問題：（1）當t為何值時，PQ∥BC？（2）如圖2，連接PQ，交BC于點F，是否存在某一時刻t，使△BFP與△QFC相似？（3）用含t的代數(shù)式表示出五邊形PEDCQ的面積．30．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對角線，動點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s；動點Q從點C出發(fā)沿CD方向向點D勻速運動，速度為2cm/s．過點P作BC的垂線段PH，運動過程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點O．若點P和點Q同時出發(fā)，設運動的時間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問題：（1）求當t為何值時，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個時刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在請求出t值；如果不存在請說明理由；（3）是否存在一個時刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的，如果存在請求出t值；如果不存在請說明理由．31．如圖1，點E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線AC上，∠EBF=45°．（1）當BE=BF時，求證：AE=CF；（2）求證：△ABF∽△CEB；（3）如圖2延長BF交CD于點G，連接EG．判斷線段BE與EG的關系，并說明理由．32．（感知）小明同學復習“相似三角形”的時候遇到了這樣的一道題目：如圖，在中，，D為BC上一點，過點D作，交AC于點E．求證：∽．小明同學分析后發(fā)現(xiàn)，是的外角，可得，再結合已知條件可以得到∽．請根據(jù)小明的分析，結合圖①，寫出完整的證明過程．（探究）在中，，，D為BC上一點．（1）如圖②，過點D作，交AC于點E．當時，AD的長為______．（2）如圖③，過點D作，分別交AB、AC于點F、E．當時，BF的長的取值范圍為______．33．已知，在ABC中，D是BC上一點，AB＝AD．（1）如圖1，當BD＝CD，F(xiàn)是AD中點時，連BF并延長交AC于E．①判斷ABC與BFD是否相似，并說明理由．②連接DE，求證：DE⊥BC．（2）在（1）的條件下，當時，求∠BAC的度數(shù)．（3）如圖2，當BD＝2CD時，作DE⊥BC交AC于E，連BE交AD于F，求AF：FD的值．34．△ABC中，點D是BC邊上的一點，點F在AD上，連接BF并延長交AC于點E；（1）如圖1，若D為BC的中點，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請利用圓規(guī)和無刻度的直尺在AC上找一點E，使得；（3）若F為AD的中點，設，請求出m、n之間的等量關系．35．（1）（問題背景）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC邊上一點，連接AM，以AM為邊作等邊△AMN（A，M，N按逆時針方向排列），連接CN，求證：AC=CM+CN（2）（變式探究）如圖2，已知△ABC∽△ADE，請指出圖中的另外一對相似三角形并進行證明；（3）（拓展應用）如圖3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，點D在BC邊上，求的值和∠DCE的度數(shù)．36．在平行四邊形中，，，的頂點在上，交直線于點．（1）如圖1，若，，則_______．圖1（2）如圖2，在上取點，使，連接，若，求證：．圖2（3）如圖3，若，點關于的對稱點為點，交于點，對角線、交于點，連接交于點，求的長．圖337．已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC方向以速度為1cm/s勻速平移得到△PMN；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，速度為1cm/s．當△PMN停止平移時，點Q也停止運動，如圖②設運動時間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問題：（1）當t為何值時△ABC與△PQC相似？（2）當t為何值時∠QPC＝45°？（3）是否存在某一時刻t，S△QMC：S四邊形ABQP＝1：35．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．38．（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中），連接CE，AG交于點H，請直接寫出線段AG與CE的數(shù)量關系________，位置關系________；（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，，，，連接AG，CE交于點H，（1）中線段關系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG，CE的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFC，，，直線AG，CE交于點H，當點E與點H重合時，請直接寫出線段AE的長．39．（模型呈現(xiàn)：材料閱讀）如圖，點B，C，E在同一直線上，點A，D在直線CE的同側，△ABC和△CDE均為等邊三角形，AE，BD交于點F．對于上述問題，存在結論（不用證明）：（1）△BCD≌△ACE．（2）△ACE可以看作是由△BCD繞點C旋轉而成；…（模型改編：問題解決）點A，D在直線CE的同側，AB＝AC，ED＝EC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直線AE，BD交于F．如圖1：點B在直線CE上．①求證：△BCD∽△ACE；②求∠AFB的度數(shù)．如圖2：將△ABC繞點C順時針旋轉一定角度．③補全圖形，則∠AFB的度數(shù)為；④若將“∠BAC＝∠DEC＝50°”改為“∠BAC＝∠DEC＝m°”，則∠AFB的度數(shù)為．（直接寫結論）（模型拓廣：問題延伸）如圖3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝