專題04 相似三角形九年級數(shù)學上學期期末解答題必刷專題訓練（華師大版） 帶解析

相似三角形1．如圖，點D、E分別為AB、AC邊上兩點，且AD=4，BD=2，AE=2，CE=10．試說明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定方法求解即可；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：（1）∵∴，∴又∵∴（2）由（1）得∴又∵∴【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法與性質(zhì)．2．如圖，在中，，分別是邊，的中點，連接，．若平分，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)D，E分別是邊AC，AB的中點，得出DE是△ABC的中位線，所以DE∥BC且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，再利用三線合一證明即可．【詳解】解：證明：∵D，E分別是邊AC，AB的中點，∴DE∥BC且BC=2DE，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=AE，∴AB=2DE，BC=2DE，∴AB=BC，∵點D是AC的中點，∴BD⊥AC．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理、三線合一和平行線的性質(zhì)，得到AB=BC是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，動點P、Q分別從點C、點A同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度沿CB向點B移動，點Q以1cm/s的速度沿AC向點C移動．經(jīng)過多少秒，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？【答案】秒或1.2秒【分析】存在2種情況，一種情況是QPC∽△ABC，還有一種是△PQC∽△ABC，用線段比相等可求得．【詳解】解：∵AC：AB=3：5，∴，∵BC=8cm，∠C=90°，∴，即∴AB=10cm，∴AC=6cm，設(shè)經(jīng)過t秒，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，此時，CP=3t，CQ=6-t①若△QPC∽△ABC，則：，即：∴t=；（2）若△PQC∽△ABC，則：，即：∴t=1.2所以，經(jīng)過秒或1.2秒時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．4．如圖，ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于點E，BC=48，AD=16．（1）若PN=18，求DE的長；（2）若矩形PQMN的周長為80，求矩形PQMN的面積．【答案】（1）10；（2）144【分析】（1）矩形PQMN中,由PN∥BC可得出△APN∽△ABC,從而得到，設(shè)DE=，則AE=16-，代入比例式即可求解；

（2）由矩形PQMN，又AD是高，則四邊形PQDE為矩形，則DE=PQ，設(shè)DE=PQ=，則PN=，利用求得=4,即可算出矩形PQMN的面積．【詳解】解：依題意得：PN∥BC，則△APN∽△ABC，又AD是高，則，（1）設(shè)DE=，則AE=16-，由得，，解之得，=10（2）由矩形PQMN，又AD是高，則四邊形PQDE為矩形，則DE=PQ.設(shè)DE=PQ=，則PN=，同理得，，解之得，=4則矩形PQMN的面積=【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，CF=CD．請從下列兩個信息：①BE=CE，②AE⊥EF中選擇一個作為條件，另一個作為結(jié)論，組成一個正確命題，并給予證明．你選擇的條件是，結(jié)論是(填寫序號)．【答案】①，②，見解析【分析】證明，得出，由得出，，推出，即可得證．【詳解】條件是①，結(jié)論是②證明：四邊形正方形，，，設(shè)，由知：，則，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形相似的判定以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測量水平地面上樹AB的高度，已知兩直角邊EF：DE=3：4，他調(diào)整自己的姿勢和三角形紙板的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，DM垂直于地面，測得AM=16m，邊DF離地面的距離為1.5m，求樹高AB．【答案】樹高AB長為13.5m【分析】設(shè)，，證明，由相似的性質(zhì)得出，算出，即可得出答案．【詳解】設(shè)，，，，，，，，，答：樹高AB長為13.5m．【點睛】本題考查利用相似三角形測高，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，DE∥BC，EF∥AB，．求長及四邊形的周長．【答案】AD=8，四邊形BDEF的周長為28【分析】根據(jù)，得到△ADE∽△ABC，則，再由AE=2CE，即可得到，則，，，再由，，得到四邊形BDEF是平行四邊形，EF=BD=4，BF=DE=10，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AE=2CE，∴AC=AE+CE=3CE，∴，∴，，∴，∵，，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴EF=BD=4，BF=DE=10，∴四邊形BDEF的周長=BD+DE+EF+BF=28．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定方法．8．在ABC中，點D從A出發(fā)，在AB邊上以每秒一個單位的速度向B運動，同時點F從B出發(fā)，過點D作DEBC交AC于點E，在BC邊上以相同的速度向C運動，運動時間為t秒．（1）若AB=5，BC=6，當t為何值時，四邊形DFCE為平行四邊形；（2）連接AF、CD，若BD=DE，求證：∠BAF=∠BCD．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形DFCE是平行四邊形，則有，當，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程，解方程求解即可；（2）由，可以證得，繼而證明，即可得到∠BAF=∠BCD．【詳解】（1）∵，當時，四邊形是平行四邊形．∴∵，∴，∴，∴．（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法．9．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，ABC和EDF的點都在網(wǎng)格的格點上．求證：ABC～EDF．【答案】見解析【分析】利用勾股定理可分別求出兩個三角形的各個邊長，再驗證對應(yīng)邊的比值相等即可證明．【詳解】解：∵，，，，，，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定以及勾股定理的運用，驗證兩個三角形的對應(yīng)邊的比值相等是解題的關(guān)鍵．10．已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【答案】（1）見解析；（2）10【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定定理證明，進而解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的相似比得出，再利用勾股定理求解．【詳解】證明：（1）由折疊的性質(zhì)可知，，，又，，又，，；（2）OP與PA的比為1：2，，設(shè)，則，，，在中，，即，解得，，即．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等．11．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，D為AC邊的中點，DE⊥BD于點D，交BC邊于點E，DE＝BD，求△CDE的面積．【答案】【分析】作EH⊥AC于H，推出△ABD∽△HDE，推出AD:EH=BD:DE，利用DE＝BD得出EH，即可解決問題【詳解】解：作EH⊥AC于H．

∵BD⊥DE，EH⊥AC，

∴∠A＝∠BDE＝∠EHD＝90°，

∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB+∠EDH＝90°，

∴∠ABD＝∠EDH，

∴△ABD∽△HDE，

∴AD:EH=BD:DE，

∵AB＝AC＝2，點D為AC邊中點，

∴AD＝DC＝1，

∵DE＝BD∴AD:EH=BD:DE=3:1∴EH=∴S△CDE=?CD?EH=×1×=．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．12．如圖已知：梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD的中點，直線BE、CD交于點F．（1）若FD＝4，，求線段DC的長；（2）如果AB2＝AG?AC，求證：BG?BE＝BC?DE．【答案】（1）DC＝8；（2）見解析【分析】（1）由AD∥BC，AE＝ED，利用相似三角形的性質(zhì)可得，進而可推出DC長；（2）由AB2＝AG?AC得，再由∠BAC＝∠BAC，得△BAG∽△CAB，再結(jié)合AD∥BC即可推出△BAE∽△CGB，得出BG?BE＝AE?BC，從而可推出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AD∥BC，AE＝ED，∴，∴,∴，∵FD＝4，∴FC＝12，∴DC＝8；（2）∵AB2＝AG?AC，∴，∵∠BAC＝∠BAC，∴△BAG∽△CAB，∴∠ABG＝∠BCA，∵AD∥BC，∴∠AEG＝∠EBC，∴△BAE∽△CGB，∴，∴BG?BE＝AE?BC，∵AE＝ED，∴BG?BE＝ED?BC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．13．已知：如圖，有一塊銳角三角形余料ABC，它的邊BC＝12cm，高AH＝8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一邊DE在BC邊上，其余兩個頂點G、F分別在邊AB和AC上．（1）當加工的矩形零件的兩邊EF：GF＝2：3時，求這個矩形零件的面積；（2）當矩形零件DEFG與△ABC的面積之比為4：9時，求此時矩形零件DEFG的兩邊EF：GF的值．【答案】（1）這個矩形零件的面積為：24cm2；（2）EF：GF＝1：3或EF：GF＝4：3【分析】（1）利用相似三角形的判定方法得出△AGF∽△ABC，再用相似三角形的性質(zhì)即可求出矩形零件的面積；（2）利用已知求出S△ABC，進而表示出EF，F(xiàn)G的長，再利用相似三角形的性質(zhì)得出各邊長，進而得出答案．【詳解】解：（1）∵矩形零件的兩邊EF：GF＝2：3，∴設(shè)EF＝2x，GF＝3x，∵FG∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，則，解得：x＝2，則EF＝4cm，F(xiàn)G＝6cm，故這個矩形零件的面積為：24cm2；（2）∵BC＝12cm，高AH＝8cm，∴S△ABC＝×12×8＝48（cm2），∵矩形零件DEFG與△ABC的面積之比為4：9，∴矩形零件DEFG的面積為：（cm2），設(shè)EF＝acm，則cm，∵由（1）得：，∴，解得：，，當，則FG＝8，此時；當，則FG＝4，此時．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．14．如圖，在等腰中，，點在的延長線上，，點在邊上，．（1）求證：；（2）求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）1．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、等量代換可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；（2）過點作，交于點，先根據(jù)三角形全等的判定定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差可得，最后根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】證明：（1），，，，；（2）如圖，過點作，交于點，，在和中，，，，，，設(shè)，則，，，即點是的中點，又，是的中位線，，即．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．15．如圖，四邊形是平行四邊形，于點，交的延長線于點．（1）求證：；（2）若點恰為中點，且，，求的長．【答案】（1）證明見詳解；（2）AD=．【分析】（1）四邊形是平行四邊形，可得∠FBC=∠DCE，由，，可得∠BFC=∠CED，可證△CBF∽△DCE；（2）由四邊形是平行四邊形，可得CD=AB=6，由點恰為中點，可得BC=2CE，由△CBF∽△DCE；即，求出CE=即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴CD∥AF，∴∠FBC=∠DCE，∵，，∴∠BFC=∠CED，∴△CBF∽△DCE；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴CD=AB=6，∵點恰為中點，∴BC=2CE，∵△CBF∽△DCE；∴即，∴CE=，∴AD=BC=2EC=．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，線段中點定義，掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，線段中點定義是解題關(guān)鍵．16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC邊上的一點，DE⊥AB于點E．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）如果AC=4，BC=3，DE=2，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）AD＝【分析】（1）由∠AED＝∠C＝90°及∠A＝∠A從而求證△ABC∽△ADE；（2）由△ABC∽△ADE，可知，代入條件求解即可．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∵△ABC∽△ADE，∴，∴AD＝．【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，即可求解．17．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分線，BD交AC與點E，求AE的長．【答案】AE的長為2【分析】利用△ABE∽△CDE即可解答．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠D，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBD，∴∠D＝∠CBD，∴CD＝BC＝8，∵∠ABE＝∠D，∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，即，∴，解得：AE＝2，答：AE的長為2．【點睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)及判定，以及平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟記相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，對角線AC、BD交于O點，E為AD廷長線上一點，DE＝2，直線OE分別交AB、CD于G、F．（1）求證：DF＝BG；（2）求DF的長【答案】（1）見解析（2）1【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OD＝OB，再由平行線的性質(zhì)得出∠OBG＝∠ODF，故可得出△BGO≌△DFO，進而可得出結(jié)論；（2）過點O作OK∥AD，由三角形中位線定理得出OK的長，再判定出△DEF∽△KOF，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，ABCD，∴∠OBG＝∠ODF．在△BGO與△DFO中，∵，∴△BGO≌△DFO（ASA），∴DF＝BG；（2）解：過點O作OK∥AD，∵點O是對角線AC、BD交點，∴點O是線段AC的中點，∴OK是△ACD的中位線，∴OK＝AD＝2，DK＝CD＝2．∵AD∥OK，∴△DEF∽△KOF，∴，即，解得DF＝1．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義等知識，涉及面較廣，難度較大．19．如圖：點D在△ABC的邊AB上，連接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求AB的長．【答案】9【分析】由條件可證明△ACD∽△ABC，于是可得，再代入已知數(shù)據(jù)即可求出AB的長．【詳解】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴∴∴AB＝9故AB的長為9．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)對應(yīng)邊成比例由已知線段求未知線段是基本思路．20．如圖1，點E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線AC上，∠EBF=45°．（1）當BE=BF時，求證：AE=CF；（2）求證：△ABF∽△CEB；（3）如圖2延長BF交CD于點G，連接EG．判斷線段BE與EG的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由見解析．【分析】（1）根據(jù)BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，進而得出∠AEB=∠BFC，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS證明兩個三角形全等；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA證明兩個三角形相似；（3）根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)得出△BEF∽△CGF，得出邊的比例關(guān)系，根據(jù)邊的比例關(guān)系轉(zhuǎn)換和對頂角的性質(zhì)得出△EFG∽△BFC，進而得出∠BGE=45°，得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．∴∠AEB=∠CFB．∴△ABE≌△CBF．∴AE=CF．（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE=+∠ABE，∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，∴∠BEC=∠ABF．∵∠BAF=∠BCE=，∴△ABF∽△CEB．（3）答：EB=EG，BE⊥EG理由如下：如圖.

∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC，∴△BEF∽△CGF∴.即.∵∠EFG=∠BFC，∴△EFG∽△BFC.∴∠EGF=∠BCF=45°.∴∠EBF=∠EGF=45°.∴EB=EG，∠BEG=90°∴EB=EG，BE⊥EG．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似得出的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系和題中的圖中的條件，判定另一組三角形相似，靈活運用相關(guān)知識進行解答．21．如圖，把矩形ABCD沿AC折疊，使點D與點E重合，AE交BC于點F，過點E作EG//CD交AC于點G，交CF于點H，連接DG．（1）求證：四邊形ECDG是菱形；（2）若cm，cm，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）cm．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，鄰邊相等的平行四邊形為菱形證得結(jié)論；（2）如圖，連接ED交AC于點O，構(gòu)造相似三角形△DCO∽△ACD，由該相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得DC2=OC?AC，可求AC的長．【詳解】解：（1）證明：由折疊可知DC=EC，∠DCG=∠ECG．∵EG//CD，∴∠DCG=∠EGC∴∠EGC=∠ECG．∴EG=EC．∴EG=DC．∴四邊形ECDG是平行四邊形．∵EG=EC，∴平行四邊形ECDG是菱形．（2)連接ED交AC于點O，∵四邊形ECDG是菱形，∴ED⊥AC，．∴∠DOC=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．∴∠ADC=∠DOC∵∠ACD=∠DCO∴△DCO∽△ACD．∴．∴．設(shè)OC=x，則CG=2x，AC=，∴．解得（不合題意，舍去）∴．∴．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運用知識是解題的關(guān)鍵．22．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，點E，F(xiàn)分別是AC，AB邊上的點，連結(jié)EF，且EF⊥AB．（1）求證：△ABC∽△AEF；（2）若AE=4，求△AEF的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由∠ACB=90°，EF⊥AB，可得∠AFE=∠ACB=90°，即可證明；（2）根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)先求EF，再根據(jù)勾股定理求出AF，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，EF⊥AB，∴∠AFE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AEF；（2）∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，在△AEF中，∠AFE=90°，∠A=30°，AE=4，∴，∴，∴S△AEF．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與30°直角三角形選項，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理與30°直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用．23．如圖，∠1=∠2，AB=3，AE=2，AC=12，AD=8．求證：∠C=∠D．【答案】見解析【分析】由∠1=∠2推出∠BAC=∠EAD，根據(jù)題目給出四邊的長度即可得出，由相似三角形的判定：兩對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出△ABC∽△AED，由相似的性質(zhì)得∠C=∠D．【詳解】證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵AB=3，AE=2，AC=12，AD=8，∴，，∴，∴△ABC∽△AED，∴∠C=∠D．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握兩對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，連接AC，EC，EF，F(xiàn)C，且EC⊥EF．（1）求證：△AEF∽△BCE；（2）若AC=，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用同角的余角判斷出∠AFE=∠BEC，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AE=x，AF=y，則BE=x，AB=2x，BC=AD=2y，進而利用△AEF∽BCE，得出，即x2=2y2，再用勾股定理得出（2x）2+（2y）2=（2）2，即x2+y2=3，進一步求解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠EAF=∠CBE=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∵EC⊥EF，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠BEC=90°，∴∠AFE=∠BEC，∵∠EAF=∠CBE=90°，∴△AEF∽△BCE；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∵E、F分別是AB、AD的中點∴AE=BE=AD，設(shè)AE=x，AF=y，則BE=x，AB=2x，BC=AD=2y，∵△AEF∽BCE，∴，∴，∴x2=2y2，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，∴（2x）2+（2y）2=（2）2，∴x2+y2=3，∴2y2+y2=3，解得y=1，，∴AE=，AF=1，∵點E是AB的中點，∴AB=2AE=2．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．25．如圖，在ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一點，BD＝2，E是BC上一動點，連接DE，作∠DEF＝∠B，射線EF交線段AC于F．（1）求證：DBE∽ECF；（2）當F是線段AC中點時，求線段BE的長．【答案】（1）見解析；（2）2或3【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，可以證出∠BED＝∠CFE，從而證出三角形相似即可；（2）利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，設(shè)未知數(shù)列方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠DEF，∴∠DEF＝∠C，又∵∠BEF＝∠BED+∠DEF＝∠C+∠CFE，∴∠BED＝∠CFE，∴DBE∽ECF；（2）解：∵F是線段AC中點，AC＝6，∴AF＝FC＝3，∵DBE∽ECF，∴，設(shè)BE＝x，則EC＝5﹣x，∴，解得：x＝3或x＝2，經(jīng)檢驗x＝3和x＝2都是原方程的根，∴BE的長為2或3．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．26．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）求證：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可判斷；（2）解直角三角形求出，，利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可．【詳解】（1）證明：，，為邊上的高，，，，是的平分線，，．（2）解：如圖，作于．∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，∴∠BFD=∠CEB，∵∠BFD=∠CFE，，為等腰三角形，，，∴點為的中點，，，，，，，，，，，根據(jù)，即，，，，，．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．27．如圖，在中，，，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且，求證：．【答案】見解析【分析】利用三角形的外角性質(zhì)證明∠EDC=∠DAB，即可證明△ABD∽△DCE．【詳解】證明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【點睛】本題考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，利用三角形的外角性質(zhì)證明∠EDC=∠DAB是解題的關(guān)鍵．28．如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點，AF⊥DE于點F．（1）求證：EDC∽DAF；（2）若AB＝3，AD＝2，CE＝1，求線段DF的長度．【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得出DC的長及∠ADC＝∠C＝90°，利用勾股定理可求出DE的長，由垂直的定義可得出∠AFD＝∠C，利用同角的余角相等可得出∠EDC＝∠DAF，進而可得出△EDC∽△DAF；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，列出比利時，進而可求出DF的長度．【詳解】（1）證明：∵AF⊥DE，四邊形ABCD是矩形，∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF＋∠DAF＝90°．又∵∠ADF＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF，∴△EDC∽△DAF；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．∵CE＝1，∴DE＝＝．∵△EDC∽△DAF，∴，即，∴FD＝．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”證出△EDC∽△DAF是解題的關(guān)鍵．29．如圖，在ABC中，點D在BC上，．（1）求證：；（2）當∠B＝40°時，求∠ACE的大?。敬鸢浮浚?）見解析；（2）40°【分析】（1）先證得∠BAC=∠DAE，再根據(jù)相似三角形的判定即可證的結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明△ABD∽△ACE，再利用相似三角形的性質(zhì)得出∠ACE=∠B即可求解．【詳解】解：（1）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，又，∴；（2）∵，∴，又，∴△ABD∽△ACE，∴∠ACE=∠B=40°．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．30．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE＝ED，DF＝DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的邊長為8，求FG的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB=AD=CD，∠A=∠D=90°，再由AE＝ED，DF＝DC，可得，即可求證；（2）可先證得△DEF∽△CGF，從而得到，再由勾股定理，求出，即可求解．【詳解】證明：（1）在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠A=∠D=90°，∵AE＝ED，DF＝DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）在正方形ABCD中，，∴△DEF∽△CGF，∴，∵正方形的邊長為8，∴CD=AD=8，∵AE＝ED，DF＝DC，∴DE=4，DF=2，CF=6，∴，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，得到相似三角形是解題的關(guān)鍵．31．如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°．證明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，當AE＝ED時，求BD的長．【答案】（1）見解析，（2）3【分析】（1）根據(jù)∠B＝∠ADE＝∠C，∠BAD＝∠CDE，即可判定兩三角形相似；（2）由AE＝ED，得出AD垂直平分BC，求出BD的長度即可．【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠ADE＝45°，∵∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝135°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝135°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BDA∽△CED；（2）當AE＝DE時，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3；【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．如圖，在平行四邊形中，對角線交于點O，M為中點，連接交于點N．（1）求的值；（2）若的面積為2且，求四邊形的面積．【答案】（1）1：2；（2）4【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可證，由相似的性質(zhì)即可得出答案；（2）設(shè)面積為S，則,，，從而得出，由得，面積之比等于相似比的平方得出，找出等量關(guān)系即可得出答案．【詳解】（1）四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，，，M為AD中點，；（2）設(shè)面積為S，則,，，的面積為2，，，，，在中，，在中，，，解得：，．【點睛】本題考查相似三角形，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上．（1）求證：△APQ∽△ABC；（2）若這個矩形的邊PN：PQ＝2：1，則這個矩形的長、寬各是多少？【答案】（1）見解析，（2）矩形的長為60mm，寬是30mm．【分析】（1）根據(jù)PQ∥BC證明即可．（2）設(shè)PQ為xmm，則PN為2xmm，同（1）列出比例關(guān)系求解即可．【詳解】（1）證明：∵PQMN是矩形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，（2）設(shè)邊PQ為xmm，則PN為2xmm，∵PQMN是矩形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵AD是高，∴PN∥AD，∴△PBN∽△ABD，∴、，即，，∵AP+BP＝AB，∴＝1，解得x＝30，2x＝60．即長為60mm，寬為30mm．答：矩形的長為60mm，寬是30mm．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的判定，證明三角形相似，列出比例式求解．34．如圖，在△ABC中，點P在AB邊上，∠ABC＝∠ACP．若AP＝4，AB＝9，求AC的長．【答案】6【分析】由∠ABC＝∠ACP及∠A＝∠A，可證出△ABC∽△ACP，利用相似三角形的性質(zhì)，可求出AC的長．【詳解】解：∵∠ABC＝∠ACP，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACP，∴，即，∴AC＝6（負值舍去）．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△ABC∽△ACP．35．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB延長線上的一點，DE交BC于點F．（1）求證：△DFC∽△EFB；（2）若DC＝6，BE＝4，DE＝8，求DF的長度．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AECD，即可得出∠E＝∠CDF，進而利用兩角對應(yīng)相等的三角形相似得出即可；（2）由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，∴AECD，∴∠E＝∠CDF，∵∠DFC＝∠EFB，∴△DFC∽△EFB．（2）解：由（1）得：△DFC∽△EFB，∴，即，解得：DF＝．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)等知識；證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．36．如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的長．【答案】（1）見解析；（2）9【分析】（1）由兩角相等的兩個三角形相似可判斷；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，，即可求解．【詳解】（1），，，。；（2），，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．如圖，已知，是上一點，，交于，交于，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）設(shè)與的交點為點，如果，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得，，進而可得，，由AM=AN，將比例式變形可得，由公共角進而可得，進而可得，即可判斷；（2）根據(jù)可得，進而可得，根據(jù)AM=AN，可得，進而由得，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求得的值．【詳解】解：（1）∵，∴，，∴，，∵AM=AN，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示：由（1）得，，∴，∴，AM=AN，∵，∴，∴【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．38．如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，點D在邊BC的反向延長線上，且DB＝3，點E在邊BC的延長線上，且∠EAC＝∠D．（1）求證：△EAC∽△ADB．（2）若AD＝4，求BE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先證明再證明結(jié)合可得答案；（2）如圖，過作于而設(shè)利用勾股定理求解則由△EAC∽△ADB，可求解從而可得答案.【詳解】證明：（1）△EAC∽△ADB．（2）如圖，過作于而，設(shè)解得：則△EAC∽△ADB，【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用以上知識解題是關(guān)鍵.39．已知：如圖，在中，BD平分，點E為BD延長線上一點，且．（1）求證：；（2）若點F為線段BD上一點，，，，的面積為3，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）9【分析】（1）先證明，再證明，從而可得答案；（2）先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解，可得，從而可得答案.【詳解】解：（1）∵BD平分，∴，即．又∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，又∵（BD是平分線），∴，∴，∵，∴，則，即，∴，∴．∴．即的面積是9．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法與性質(zhì)的運用是解題的關(guān)鍵.40．如圖，中有內(nèi)接正方形DEFG，DE在BC邊上，頂點G、F分別在AB、AC邊上，，垂足為H，交GF于I．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，由得到，由三角形相似得到，再由，得到，根據(jù)，最后得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形DEFG是正方形∴，∴∴∴∴∵∴【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于證明出三角形相似，利用性質(zhì)等量代換最后得出結(jié)果．41．如圖，在中，，于D．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩個角相等的兩個三角形相似進行證明即可．【詳解】證明：∵于D．∴，∵，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準確運用進行推理證明．42．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．M為AD中點，連接CM交BD于點N．（1）求DN：BN的值：（2）若ΔOCN的面積為2，求四邊形AONM的面積．【答案】（1）；（2）4【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形可證明，，由相似的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，題目已知M為AD中點，即可算出；（2）設(shè)面積為S，則,，，題目已知ΔOCN的面積為2，推出，根據(jù)，即可知道面積之比等于相似比的平方，找出關(guān)系式即可求解．【詳解】（1）四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，，，M為AD中點，；（2）設(shè)面積為S，則,，，的面積為2，，，，，在中，，在中，，，解得：，．【點睛】本題考查相似三角形，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．43．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BC上，∠C＝∠DEA．（1）求證：△ADE∽△DEC；（2）若CE＝2，DE＝4，求EB的長．【答案】（1）見解析（2）6．【分析】（1）根據(jù)ADBC，可以證得∠ADE＝∠DEC，又有∠DEA＝∠C即可證得△ADE∽△DEC；（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等，即可求得AD，故可得到EB的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，∴∠ADE＝∠DEC，又∵∠DEA＝∠C，∴△ADE∽△DEC；（2）解：∵△ADE∽△DEC，∴，∵CE＝2，DE＝4，∴，∴AD＝8=BC．∴EB=BC-CE=8-2=6．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明兩個三角形相似最常用的方法是證明兩組角對應(yīng)相等，熟練掌握平行四邊形的各種性質(zhì)是解題關(guān)鍵．44．已知：如圖，△ABC中，D是邊BC的中點，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于點E，EC交AD于點F．（1）求證：△ABC∽△FCD；（2）求的值．【答案】（1）見解析（2）3【分析】（1）由AD＝AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再求出∠B＝∠ECB，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似即可得證；（2）由相似三角形的性質(zhì)得到，由D是BC邊的中點，得到BC＝2CD，于是得到AD＝AC＝2FD，由于∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD，推出∠EAD＝∠ACE，得到△EAF∽△ECA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACB，∵D是邊BC的中點，DE⊥BC∴DE是BC的中垂線∴BE=CE∴∠B＝∠ECB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：∵△ABC∽△FCD，∴，∵D是BC邊的中點，∴BC＝2CD，∴AD＝AC＝2FD，∵∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD，∴∠EAD＝∠ACE，∴△EAF∽△ECA，∴，∴EC＝2EA＝4EF，∴＝3．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．45．如圖，AC、BD交于點E，，且BD平分．（1）求證：∽．（2）若，，，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）AB＝8【分析】（1）證得∠D＝∠DBA，則結(jié)論得證；（2）由（1）可得，則AB的長可求出．【詳解】解：（1）證明：∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠D，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBA，∴∠D＝∠DBA，又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED；（2）∵△AEB∽△CED，∴，又∵BC＝CD＝12，EC＝6，AE＝4，∴，∴AB＝8．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．46．如圖，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求證：△ABC∽△EAD．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知得出∠C＝∠ADE，進而利用相似三角形的判定方法得出答案．【詳解】證明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD．∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【點睛】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．47．如圖△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD為∠ABC的平分線，（1）求證：AD2＝AC?DC；（2）若AC＝a，求AD．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明△BCD∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和已知條件可以得到關(guān)于x的方程，從而求解．【詳解】（1）證明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC＝∠C，BD為∠ABC的平分線，∠BDC∴△BCD∽△ABC．∴，又BC＝BD＝AD，∴AD2＝AC?DC．（2）解：∵AD2＝AC?DC，設(shè)AD＝x，AC＝AD+CD，∴AD2＝（AC-AD）?AC，x2＝（a-x）a，x（a+x）＝a2，x2+ax﹣a2＝0，x＝（負值舍去）．即x＝．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，掌握相似三角形的性質(zhì)與解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．48．小強在地面E處放一面鏡子，當他垂直于地面AC站立于點C處時，剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B，法線FE⊥AC，根據(jù)光的反射定律有∠FEB=∠FED，此時EA=20米，CE=2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米，請計算出教學樓的高度．【答案】教學樓AB的高度為12.8米．【分析】根據(jù)反射角等于入射角可得∠AEB=∠CED，則可判斷Rt△AEB∽Rt△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出AB．【詳解】解：根據(jù)題意得∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴Rt△AEB∽Rt△CED，∴，即，解得：AB=12.8（米）．答：教學樓AB的高度為12.8米．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，利用入射與反射構(gòu)造相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．49．已知：如圖，D、E分別是ΔABC的邊AB、AC上的點，∠AED=∠B，AD=3，AB=8，AE=4．求AC的長度．【答案】AC的長度為6．【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴，∵AD=3，AB=8，AE=4．∴，∴AC=6．故AC的長度為6．【點睛】本題考查了相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．50．如圖，D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點，AE＝6，AC＝10，BC＝15，且，求DE的長．【答案】9【分析】根據(jù)題意可以求得△ADE∽△ABC，即可解題．【詳解】解：∵AE：AC＝6：10＝3：5，AD：AB＝3：5，∴又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∵∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)．51．如圖，已知，，．（1）求B大??；（2）求DE的長度．【答案】（1）60°；（2）．【分析】（1）先求出∠ADE=60°，再根據(jù)即可求解；（2）先求出，再根據(jù)得到，代入數(shù)值即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴∠ADE=180°－∠A－∠B=60°，∵，∴∠B=∠ADE=60°；（2）∵，∴，∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)“相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例”是解題關(guān)鍵．52．為了估計河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個目標記為點A，再在河的這一邊選點B和點C，使得AB⊥BC，然后在河岸附近選點E，使得EC⊥BC，設(shè)BC與AE交于點D，如圖所示，測得BD=120m，CD=40m，EC=30m，求這條河的大致寬度．【答案】這條河的大致寬度是90m．【詳解】∵AB⊥BC,EC⊥BC,∴ABCE,∴△ABD∽△ECD,∴AB∶EC=BD∶CD,即AB∶30=120∶40,∴AB=90(m),即這條河的大致寬度是90m．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：利用影長測量物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．53．如圖，P是的邊上的一點．（1）如果，與是否相似？為什么？（2）如果，與是否相似？為什么？如果呢？【答案】（1）相似．因為，；（2）相似，因為，；不相似．因為雖然兩邊成比例，但它們的夾角不相等．【分析】（1）直接根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可求證；（2）直接根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可求解．【詳解】解：（1）相似，理由如下：∵，，∴；（2）相似，理由如下：∵，，∴；不相似，理由如下：因為雖然，但它們的夾角與不相等，所以與不相似．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．54．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE平分∠BAD交BC于點E，過點E作EF∥AB，交AD于點F，連結(jié)BF．（1）求證：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四邊形ABCD與CEFD相似，求BC長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明四邊形ABEF是菱形即可；（2）根據(jù)相似列出比例式求解即可．【詳解】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD.∴∠FAE＝∠AEB.∵EF∥AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝EB.∴四邊形ABEF是菱形．∴BF平分∠ABC；(2)∵四邊形ABEF為菱形，∴BE＝EF＝AB＝6.∵四邊形ABCD與CEFD相似，∴＝，即＝.解得,BC＝3±3．∵BC＞0，∴BC＝【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)定理和性質(zhì)進行推理證明與計算．55．如圖，在中，過點作，垂足為點，連接，為線段上一點，且．（1）求證：．（2）若，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得對邊平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進而可得，，即可判斷，即可得證；（2）由（1）的結(jié)論以及已知條件可得的長，在中，根據(jù)勾股定理即可求得的長．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，．，，，，；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，．在中，由勾股定理得：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．56．在中，，于點，、分別是，邊上一點．（1）求證：．（2）若，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證，從而證明；（2）由（1）得，則，，可證，從而解決問題．【詳解】證明：（1），，，∵，∴，，又，；（2），，，又，，又∵，，．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用兩邊成比例且夾角相等證明是解題的關(guān)鍵．57．如圖，為估算某河的寬度，在河對岸的邊上選定一個目標點，在近岸取點，，，使得，，點在上，并且點，，在同一條直線上，若測得，，，求河的寬度．【答案】60m【分析】根據(jù)題意，證明進而代入已知數(shù)據(jù)，即可求得的長．【詳解】解：，，，又（對頂角相等），，，即，解得．答：河的寬度為．【點睛】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．58．正方形ABCD中，E是AC上一點，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四邊形AFEG的面積．【答案】16【分析】先證明四邊形是正方形，再由相似的定義得出正方形正方形，然后根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：∵四邊形為中正方形，∴，，又EF⊥AB，EG⊥AD，∴，四邊形是矩形，，，，矩形是正方形，四邊形是正方形，正方形正方形，∵AE：EC=2：1，∴AE：AC=2：3，，，∴正方形AFEG的面積為16．【點睛】本題考查了相似多邊形的判定與性質(zhì)，難度適中，證明四邊形是正方形是解題的關(guān)鍵．59．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，G，F(xiàn)分別在AD，CD及對角線BD上，且EF//AB，F(xiàn)G//BC，若DE：DA＝2：5，EF＝4，求線段CG的長．【答案】6【分析】根據(jù)平行得出△DEF∽△DAB，求出AB長，再根據(jù)四邊形DEFG是平行四邊形得出DG長，進而求出CG的長．【詳解】解：∵EF//AB，∴△DEF∽△DAB，∴，∵EF＝4，∴AB＝10，∵EF//AB，F(xiàn)G//BC，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∴EF=DG＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝10，∴CG＝CD-DG＝6．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)求出平行四邊形的邊長．60．如圖，D、E分別是AB、AC上的點，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的長．【答案】【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出，進而得出答案．【詳解】解：∵△ADE∽△ACB，∴，∴，解得：AD=．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出比例式是解題的關(guān)鍵．61．如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，DF⊥AE，垂足為F．（1）求證：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，由DF⊥AE，可得，，從而得到；（2）E是BC的中點，得到，根據(jù)勾股定理求得的長度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：，，∵DF⊥AE，∴，∴，∴（2）E是BC的中點，∴由勾股定理得由（1）得，∴，即故【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形判定的方法以及性質(zhì)．62．如圖，一條小河的兩岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6m有一棵樹，在河的對岸每隔60m有一根電線桿，在有樹的一岸離岸邊30m處可看到對岸相鄰的兩根電線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，求河的寬度．【答案】45m【分析】過點A作AF⊥DE，垂足為F，并延長交BC于點G，根據(jù)題意可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的高之比等于相似比，求得,進而根據(jù)即可求得河的寬度．【詳解】解：如圖，過點A作AF⊥DE，垂足為F，并延長交BC于點G，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴＝，∴＝.解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的寬度為45m.【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．63．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，DF交AC于點E，交BC的延長線于點F，求證：AE·CF＝BF·EC【答案】證明見解析【分析】過點C作CMAB交DF于點M，根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，通過證明△CMF∽△BDF，得；再通過證明△ADE∽△CEM，得，再結(jié)合題意，即可得，從而完成證明．【詳解】如圖，過點C作CMAB交DF于點M∵CMAB∴∴△CMF∽△BDF∴又∵CMAB∴∵∴△ADE∽△CEM∴∵D為AB的中點，即∴∴∴AE·CF＝BF·EC．【點睛】本題考查了平行線和相似三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．64．如圖，四邊形，，均是正方形，且，，，在同一直線上，連接，，則的度數(shù)為多少？【答案】45°【分析】連接，證明，可得，進而可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求得的度數(shù)．【詳解】如圖，連接，設(shè)正方形，，的邊長為1，，，，又，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．65．如圖，在中，，是的高，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定定理先得到△ABD∽△ACE進而可得到結(jié)論；（2）直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE．，，∵，；（2）∵，，則，，又，，．【點睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握兩對應(yīng)邊成比例且夾角相等是解決此題關(guān)鍵．66．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．67．如圖所示，點P是?ABCD的邊DC的延長線上一點，連結(jié)AP分別交BD、BC于點M、N．求證：AM2＝MN?MP．【答案】證明見解析．【分析】通過證明，，可得，即可得結(jié)論；【詳解】證明：∵在?ABCD中，，，，，，∵在?ABCD中，，，，，，，；【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練證明三角形相似，并用相似三角形的性質(zhì)對線段的比進行轉(zhuǎn)換是本題的關(guān)鍵．68．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分線，點E在AC上，AB＝9，AD＝6，AE＝4，∠BAC＝50°．求∠CDE的度數(shù)．【答案】25°【分析】由題意易證△AED∽△ADB，由此可得∠B=∠ADE=40°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CED=65°，進而問題可求解．【詳解】解：∵AD是角平分線，∠BAC＝50°，∠C＝90°，∴∠BAD=∠DAE＝25°，∠ABC＝40°，∵AB＝9，AD＝6，AE＝4，∴，即，∴△AED∽△ADB，∴∠B=∠ADE=40°，∴∠CED=∠CAD+∠ADE=65°，∴∠CDE=90°-∠CED=25°．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．69．已知在△ABC中，D是邊AC上一點，∠CBD的角平分線交AC于點E，且AE=AB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=6，CD=4，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）DE=【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和外角等于不相鄰兩內(nèi)角和即可求得∠ABD＝∠C，可證明△ABD∽△ABC，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，列出比例式代值求解即可．【詳解】（1）證明：是∠CBD的角平分線∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠C+∠CBE，∴∠ABD=∠C，∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；，（2）△ABD∽△ACB；，，AD=6，CD=4，解得（負值舍去）【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．70．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P，D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD＝∠B．求證：AC?CD＝CP?BP．【答案】見解析．【分析】證明即可．【詳解】∵在中，，∴，∵，，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形判定相似的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．71．已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，點E在邊AD上，CE與BD相交于點F，AD＝4，AB＝5，BC＝BD＝6，DE＝3．（1）求證：DFE∽DAB．（2）求線段CF的長．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）AD∥BC，DE=3，BC=6，．又∠EDF=∠BDA，即可證明△DFE∽△DAB．（2）由△DFE∽△DAB，利用對應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可求得答案．【詳解】證明：（1）∵AD∥BC，DE=3，BC=6，∴，∴，∵BD=6，∴DF=2．∵DA=4，∴．∴．又∵∠EDF=∠BDA，∴△DFE∽△DAB．（2）∵△DFE∽△DAB，∴．∵AB=5，∴，∴EF==2.5．∵DE∥BC，∴．∴，∴CF=5．【點睛】此題考查學生對梯形和相似三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，第（2）問也可利用△CFB≌△BAD求得線段CF的長。72．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）證明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．【答案】（）見解析；（2）或．【分析】（1）根據(jù)題目已知條件可知，，所以得到，即可得證．（2）由題意易得是等腰直角三角形，所以，當是等腰三角形時，根據(jù)分類討論有三種情況：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因為點D不與重合，所以第一種情況不符合，其他兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”及，求出問題即可．【詳解】（1）在中，又；（2），是等腰直角三角形BC=6，AB=AC=BC=3①當AD=AE時，則，點D在上運動時（點D不與重合）,點E在AC上此情況不符合題意．②當AD=DE時，如圖，由（1）可知又：AB=DC=．③當AE=DE時，如圖，平分,．綜上所述：或．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性問題，解題的關(guān)鍵是利用“K”型相似模型及根據(jù)“等邊對等角”、等腰直角三角形的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系，進而求解問題．73．已知：如圖，在菱形中，點，分別在邊，上，，的延長線交的延長線于點，的延長線交的延長線于點．求證：；如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）證明，即可解決問題；（2）由變形得，由，可證△AGE∽△BCE，可得，由，，可得即可．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；∵，∴.∵，∴∠B=∠EAG，∠BCE=∠G，∴△AGE∽△BCE，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．74．如圖，中，是邊上的高，，．作矩形，使它的一邊在上，頂點，分別在，上，與的交點為，且矩形長是寬的倍．（1）求證：；（2）試求矩形的周長．【答案】（1）見解析；（2）矩形的周長為．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，則可判斷，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，，由（1）的結(jié)論得到，然后根據(jù)比例性質(zhì)可計算出，再計算這個矩形的周長；【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，，而，，，；（2）解：設(shè)，，則，解得，這個矩形的周長；【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用平行構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求線段的長。75．如圖，在中，，求證：；若，，，求和長．【答案】（1）見解析（2），．【分析】（1）利用平行線性質(zhì)得到對應(yīng)邊成比例，再通過等量代換即可；（2）設(shè)，則，根據(jù)（1）中，等到等式，即可求解．【詳解】解：（1），.，，．（2）設(shè)，則．由（1）得：，，，，．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵掌握平行線截得的對應(yīng)線段成比例，再通過等量代換進行求解．76．如圖，在中，，是高，平分分別與，相交于點，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)同角的余角相等可得，進而可證明；（2）過點作于點，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，代入已知數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：因為，所以，因為是的高，所以，所以，因為平分，所以，所以.（2）解：過點作于點，.，，.，.又，，，即，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．77．如圖，、分別是的邊、上的點，，，，且，求的長．【答案】9【分析】由已知條件可以推出，從而可得，從而求得的值．【詳解】解：已知，，∴，∵，∴又∵，∴，∴,且，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確找到判定條件是解題的關(guān)鍵．78．如圖，在中，為對角線的中點，平分且交于點，交的延長線于點；作交于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接、，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義以及平行可推出等腰三角形，確定，從而求得的長，和相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理計算即可．【詳解】（1）證明：連接、，∵四邊形是平行四邊形，∴，又，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴；（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，，∴,，∴，又，∴，又，∴．【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，平行四邊形的對邊平行且相等，平行四邊形與角平分線可以構(gòu)成等腰三角形是解題的關(guān)鍵．79．如圖，△ADE∽△ABC，AD＝3cm，AE＝2cm，CE＝4cm，BC＝9cm(1)求BD、DE的長；(2)求△ADE與△ABC的周長比．【答案】（1）BD=6，DE=3；（2）．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，然后代入求解即可；（2）根據(jù)相似三角形周長比等于相似比求解即可．【詳解】解：（1）∵AE＝2cm，CE＝4cm，∴AC=AE+CE=2+4=6cm，∵△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AB=9，DE=3，∴BD=AB-AD=9-3=6；（2）∵△ADE∽△ABC，相似比=，∴△ADE與△ABC的周長比為．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．相似三角形對應(yīng)邊成比例，相似三角形的周長比等于相似比．80．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝12，CD＝8，BD＝28，點P在BD上移動，當以P，C，D為頂點的三角形與△ABP相似時，求PB的長．【答案】BP的長為16.8或4或24．【分析】設(shè)DP=x，則BP=BD-x=28-x，根據(jù)垂直的定義得到∠B=∠D=90°，再根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，當時，△ABP∽△CDP，則；當時，△ABP∽△PDC，即；然后分別解方程求出x即可．【詳解】解：設(shè)DP=x，則BP=BD-x=28-x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B=∠D=90°，∴當時，△ABP∽△CDP，即，解得x=，BP=14-=16.8；當時，△ABP∽△PDC，即，整理得x2-28x+96=0，解得x1=4，x2=24，BP=28-4=24，BP=28-24=4，∴當BP為16.8或4或24時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．81．如圖，，點P在上移動，當以P，C，D為頂點的三角形與相似時，求的長．【答案】當BP為8.4或2或12時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似．【分析】設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，根據(jù)垂直的定義得到∠B=∠D=90°，再根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，當時，△ABP∽△CDP，即；當時，△ABP∽△PDC，即；然后分別解方程求出x即可．【詳解】解：設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B=∠D=90°，∴當時，△ABP∽△CDP，即，解得；當時，△ABP∽△PDC，即，整理得x2-14x+24=0，解得x1=2，x2=12，BP=14-2=12，BP=14-12=2，∴當BP為8.4或2或12時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．82．如圖，中，CD是斜邊AB上的高．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進行證明即可．

（2）根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進行證明即可．【詳解】證明：（1）∵CD是斜邊AB上的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC．

（2）∵CD是斜邊AB上的高，

∴∠BDC＝90°，

∴∠BDC＝∠ACB＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△CBD∽△ABC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理；熟記有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．83．如圖，．（1）求，，的值；（2）證明與相似．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）由圖可知、的長度，分別代入，，計算即可得本題答案；（2）由（1）知和對應(yīng)邊成比例，由可知，，；再根據(jù)相似三角形的判定定理，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角分別相等的兩個三角形相似，即可判定與相似．【詳解】（1）∵，∴，，，即．（2）由（1）知，，又∵∴，，，∴∽（對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角分別相等的兩個三角形相似）．【點睛】本題主要考查了比例線段及相似三角形的判定定理的知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．84．如圖，，垂足為D，，垂足為E，AD與BE相交于點F，連接ED．你能在圖中找出一對相似三角形，并說明相似的理由嗎？【答案】，見解析【分析】根據(jù)相似三角形的判定即可在圖中找出一對相似三角形【詳解】解：，理由是：∵，，

∴，∵，∴．（或，等）（答案不唯一）．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．85．如圖，與相似，AD，BE是的高，，是的高，求證．【答案】見解析【分析】由△ABC與△A′B′C′相似可得∠ABD=∠A′B′D′，可證明△ABD∽△A′B′D，可得，同理可證明，可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵△ABC與∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴，同理可得，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．86．如圖，已知零件的外徑為a，現(xiàn)用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果，且量得，求AB以及零件厚度x．【答案】，【分析】根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例夾角相等，兩三角形相似判斷出△