《電磁場與電磁波》課件106

第六章平面電磁波6.1無耗媒質中的平面電磁波6.2導電媒質中的平面電磁波6.3電磁波的極化6.4色散、相速和群速6.5均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射6.6均勻平面電磁波向多層媒質分界面的垂直入射6.7均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射6.8均勻平面電磁波的全透射和全反射小結

6.1無耗媒質中的平面電磁波

無耗媒質意味著描述媒質電磁特性的電磁參數(shù)滿足條件：σ=0，ε、μ為實常數(shù)。無源意味著無外加場源，即ρ=0，J=0。

6.1.1無耗媒質中齊次波動方程的均勻平面波解

設無源、無界空間充滿無耗的簡單媒質，那么電場強度E和磁場強度H滿足式(5-61)和式(5-62)的波動方程，它們常被寫為(6-1)(6-2)式中。

在直角坐標系中，假設均勻平面電磁波沿z軸方向傳播，如圖6-1所示，則因場矢量在xy平面(等相位面)內各點無變化，故有因此，電場強度E和磁場強度H只是直角坐標z和時間t的函數(shù)。由于空間無外加場源，所以·E=0。考慮到式(6-3)，可得即從而Ez(z，t)=c(t)。如果t=0時，Ex(z，t)|t=0=0，那么c(t)=0，從而Ez(z，t)=0。綜上可見，

E=exEx(z，t)+eyEy(z，t)

類似的分析可得

H=exHx(z，t)+eyHy(z，t)圖6-1均勻平面電磁波的傳播由于矢量波動方程式(6-1)在直角坐標系中對應于三個形式相同的標量波動方程，所以根據(jù)疊加原理，可以分別討論Ex(z，t)和Ey(z，t)。若以Ex(z，t)為例(假設電場強度E只有Ex(z，t)分量)，則矢量波動方程式(6-1)變?yōu)闃肆坎▌臃匠蹋?6-4)此方程的通解為Ex(z，t)=f1(z－vt)+f2(z+vt)

(6-5)式中f1(z－vt)和f2(z+vt)是(z－vt)和(z+vt)的任意函數(shù)?？梢宰C明，f1(z－vt)和f2(z+vt)是式(6-4)的兩個特解?，F(xiàn)在讓我們說明特解Ex(z，t)=f1(z－vt)的物理意義。在某特定時刻t=t1，f1(z－vt1)是z的函數(shù)，如圖6-2(a)所示。當時間t1增大到t2時，相應的f1(z－vt2)仍是z的函數(shù)，其形狀與圖6-2(a)相同，但向右移動了v(t2－t1)的距離，如圖6-2(b)所示。這說明f1(z－vt)是一個以速度v向+z方向傳播的波。同樣的分析可知，Ex=f2(z+vt)表示一個以速度v向－z方向傳播的波。

在無界媒質中，一般沒有反射波存在，只有單一行進方向的波。如果假設均勻平面電磁波沿+z方向傳播，電場強度只有Ex(z，t)分量，則波動方程式(6-4)的解為

Ex(z，t)=f(z－vt)

由麥克斯韋方程式(5-28b)可得圖6-2向+z方向傳播的波即(6-6)顯然，磁場強度H只有Hy(z，t)分量。磁場強度H的矢量波動方程式(6-2)可簡化為標量波動方程：(6-7)類似電場強度的討論，對于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，方程式(6-7)的特解應寫為Hy(z，t)=g(z－vt)于是可寫出沿+z方向傳播的均勻平面電磁波的電場強度和磁場強度的表達式：

E(z，t)=exEx(z，t)=exf(z－vt)

(6-8a)

H(z，t)=eyHy(z，t)=eyg(z－vt)

(6-8b)

式(6-8)表明，均勻平面電磁波的電場強度矢量和磁場強度矢量均與傳播方向垂直，沒有傳播方向的分量。也就是說，對傳播方向而言，電磁場只有橫向分量，沒有縱向分量。這種電磁波稱為橫電磁波(TransverseElectroMagneticWave)，或稱為TEM波。TEM波的電場強度、磁場強度和傳播方向三者構成右手正交系，如圖6-1所示。對于正弦電磁場，無源、無界、無耗簡單媒質中的波動方程是式(5-63)和(5-64)。在直角坐標系中，假設均勻平面波沿z方向傳播，電場強度只有x方向坐標分量Ex(z)，則波動方程式(5-63)可以簡化為(6-9)式(6-9)的解為Ex(z)=E+0e－jkz+E－0e+jkz

(6-10)將上式代入麥克斯韋方程×E=－jωμH，得到均勻平面波的磁場強度為式中：(6-12)(6-11)η具有阻抗的量綱，單位為歐姆(Ω)，它的值與媒質參數(shù)有關，因此它被稱為媒質的波阻抗(或本征阻抗)。真空中的介電常數(shù)和磁導率為將它們代入式(6-12)，得電磁波在真空中的本征阻抗為6.1.2均勻平面波的傳播特性

假設均勻平面波沿+z方向傳播，電場強度只有x方向的坐標分量Ex(z)。由于無界媒質中不存在反射波，所以正弦均勻平面電磁波的復場量可以表示為

E=exEx=exE0e－jkz

(6-13a)(6-13b)圖6-3表示在t=0時刻電場強度矢量和磁場強度矢量在空間沿+z軸的分布(初始相位φ0=0)。圖6-3理想介質中均勻平面電磁波的電場和磁場空間分布由式(6-14)可見，正弦均勻平面電磁波的等相位面方程為

ωt－kz=const.(常數(shù))

平面電磁波的等相位面行進的速度稱為相速，以vp表示。根據(jù)相速的定義和等相位面方程有(6-15)上式中vp實際上是沿波振面的法向等相位面移動的速度?？臻g相位kz變化2π所經(jīng)過的距離稱為波長，以λ表示。按此定義有kλ=2π，所以(6-16)此式表明波長除了和頻率有關，還和媒質參數(shù)有關。因此，同一頻率的電磁波，在不同媒質中的波長是不相同的。式

(6-16)還可以寫為(6-17)k稱為波數(shù)。因為空間相位kz變化2π相當于一個全波，k表示單位長度內所具有的全波數(shù)目的2π倍。k也被稱為電磁波的相位常數(shù),因為它表示傳播方向上波行進單位距離時相位變化的大小。時間相位ωt變化2π所經(jīng)歷的時間稱為周期,以T表示。而一秒內相位變化2π的次數(shù)稱為頻率,以f表示。由ωT=2π得(6-18)6.1.3向任意方向傳播的均勻平面波

在直角坐標系oxyz中，我們仍然假設無界媒質中，均勻平面波沿+z方向傳播，電場強度只有x方向的坐標分量Ex(z)，那么正弦均勻平面電磁波的復場量還可以表示為

E=exE0e－jkz=E0e－jkz

利用矢量恒等式,將以上兩式代入麥克斯韋方程和·E=0，可以得到和由上式得ez·E=0綜上所述，把它們寫在一起就是(6-20)

如果開始時我們選擇直角坐標系ox′y′z′，那么，正弦均勻平面電磁波的復場量可以表示為(6-21)這是向ez′方向傳播的波。將直角坐標系ox′y′z′任意旋轉后得新的直角坐標系oxyz，如圖6-4所示。圖6-4向k方向傳播的均勻平面電磁波例6-1已知無界理想媒質(ε=9ε0，μ=μ0，σ=0)中正弦均勻平面電磁波的頻率f=108Hz，電場強度

試求：

(1)均勻平面電磁波的相速度vp、波長λ、相移常數(shù)k和波阻抗η；

(2)電場強度和磁場強度的瞬時值表達式；

(3)與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率。

解：(1)(2)電場強度和磁場強度的瞬時值為

(3)復坡印廷矢量：坡印廷矢量的時間平均值：與電磁波傳播方向垂直的單位面積上通過的平均功率：

6.2導電媒質中的平面電磁波

6.2.1導電媒質中平面電磁波的傳播特性

無源、無界的導電媒質中麥克斯韋方程組為

(6-22a)(6-22b)(6-22c)(6-22d)式(6-22a)可以寫為(6-23)其中(6-24)稱為導電媒質的復介電常數(shù)，它是一個等效的復數(shù)介電常數(shù)。由此可見，引入等效復介電常數(shù)后，導電媒質(有耗媒質)中的麥克斯韋方程組和無耗媒質中的麥克斯韋方程組具有完全相同的形式。因此就電磁波在其中的傳播而言，可以把導電媒質等效地看作一種介質，其等效介電常數(shù)為復數(shù)。從麥克斯韋方程式(6-23)和式(6-22b)~(6-22d)出發(fā)，類似式(5-63)和(5-64)的推導，可以導出波動方程：(6-25)(6-26)式中，γ2=ω2μεc。

直角坐標系中，對于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，如果假定電場強度只有x分量Ex，那么式(6-25)的一個解為

E=exE0e－jγz

(6-27)

上式中,令γ=β－jα,則E=exE0e－j(β－jα)z=exE0e－αze－jβz。顯然電場強度的復振幅以因子e－αz隨z的增大而減小，表明α為每單位距離衰減程度的常數(shù)，稱為電磁波的衰減常數(shù)。β表示每單位距離落后的相位，稱為相位常數(shù)。γ=β－jα稱為傳播常數(shù)。因此電場強度的瞬時值可以表示為(6-28)其中Em、φ0分別表示電場強度的振幅值和初相角，即E0=Emejφ0。因為所以故有從而有由以上兩方程解得(6-29a)(6-29b)

將式(6-27)代入式(6-22b)可得磁場強度：(6-30)其中：(6-31)稱為導電媒質的波阻抗，它是一個復數(shù)。式(6-31)中，(6-32a)(6-32b)從式(6-32)我們看到，導電媒質的本征阻抗是一個復數(shù)，其模小于理想介質的本征阻抗，幅角在0~π/4之間變化，具有感性相角。這意味著電場強度和磁場強度在空間上雖然仍互相垂直，但在時間上有相位差，二者不再同相，電場強度相位超前磁場強度相位。這樣磁場強度可以重寫為(6-33)其對應的瞬時值為(6-34)磁場強度的相位比電場強度的相位滯后θ，電導率σ愈大則滯后愈多。其振幅也隨z的增加按指數(shù)衰減，如圖6-5所示。導電媒質中均勻平面電磁波的相速為(6-35)圖6-5導電媒質中平面電磁波的電磁場而波長磁場強度矢量與電場強度矢量互相垂直，并都垂直于傳播方向，因此導電媒質中的平面波是橫電磁波。導電媒質中的坡印廷矢量的瞬時值、時間平均值和復坡印廷矢量分別為導電媒質中平均電能密度和平均磁能密度分別如下：顯然，在導電媒質中，平均磁能密度大于平均電能密度?？偟钠骄芰棵芏葹槟芰總鞑ニ俣葹榭梢?，導電媒質中均勻平面電磁波的能速與相速相等。6.2.2集膚深度和表面電阻

通常，按σ/ωε的比值(導電媒質中傳導電流密度振幅與位移電流密度振幅之比)把媒質分為三類：電介質(低損耗媒質)中，例如聚四氟乙烯、聚苯乙烯和石英等材料，在高頻和超高頻范圍內均有。因此，電介質中均勻平面電磁波的相關參數(shù)可以近似為可見此時相移常數(shù)和波阻抗近似與理想媒質相同，衰減常數(shù)與頻率無關，正比于電導率。因此均勻平面電磁波在低損耗媒質中的傳播特性，除了由微弱的損耗引起的振幅衰減外，與理想媒質中均勻平面電磁波的傳播特性幾乎相同。

良導體中，有關表達式可以用泰勒級數(shù)簡化并近似表達為良導體中均勻平面電磁波的電磁場分量和電流密度為H0和J0是導體表面(z=0)處的磁場強度復振幅和電流密度復振幅。復坡印廷矢量(復功率流密度矢量)為在z>0處，平均功率流密度為在z=0處，平均功率流密度為(6-37)式(6-37)表示導體表面每單位面積所吸收的平均功率，也就是單位面積導體內傳導電流的熱損耗功率：(6-38)可見，傳入導體的電磁波實功率全部轉化為熱損耗功率。導體表面處切向電場強度Ex與切向磁場強度Hy之比定義為導體的表面阻抗，即

可見，導體的表面阻抗等于其波阻抗。RS和XS分別稱為表面電阻和表面電抗，并有這意味著，表面電阻相當于單位長度、單位寬度，而厚度為δ的導體塊的直流電阻。參看圖6-6，流過單位寬度平面導體的總電流(z由0至∞)為從電路的觀點看，此電流通過表面電阻所損耗的功率為(6-39)此結果與式(6-38)和式(6-37)相同。圖6-6平面導體例6-2

海水的電磁參數(shù)是εr=81，μr=1，σ=4S/m，頻率為3kHz和30MHz的電磁波在緊切海平面下側處的電場強度為1V/m，求：

(1)電場強度衰減為1μV/m處的深度，應選擇哪個頻率進行潛水艇的水下通信；

(2)計算頻率3kHz的電磁波從海平面下側向海水中傳播的平均功率流密度。

解：(1)f=3kHz時：因為，所以海水對依此頻率傳播的電磁波呈現(xiàn)為良導體，故

f=30MHz時：因為，所以海水對依此頻率傳播的電磁波呈現(xiàn)為不良導體，故由此可見，選高頻30MHz的電磁波衰減較大，應采用低頻

3kHz的電磁波。在具體的工程應用中，具體低頻電磁波頻率的選擇還要全面考慮其它因素。

(2)平均功率密度為例6-3

微波爐利用磁控管輸出的2.45GHz的微波加熱食品。在該頻率上，牛排的等效復介電常數(shù)ε′=40ε0，tanδe=0.3，求：

(1)微波傳入牛排的集膚深度δ，在牛排內8mm處的微波場強是表面處的百分之幾；

(2)微波爐中盛牛排的盤子是用發(fā)泡聚苯乙烯制成的，其等效復介電常數(shù)和損耗角正切為ε′=1.03ε0，tanδe=0.3×10－4。說明為何用微波加熱時牛排被燒熟而盤子并沒有被燒毀。

解：(1)根據(jù)牛排的損耗角正切知，牛排為不良導體，因此由式(6-29a)得

可見微波加熱與其它加熱方法相比的一個優(yōu)點是，微波能對食品內部進行加熱。此外，由于微波場分布在三維空間中，所以加熱均勻且快。

(2)發(fā)泡聚苯乙烯是低耗介質，所以其集膚深度為例6-4

證明均勻平面電磁波在良導體中傳播時，每波長內場強的衰減約為55dB。

證：良導體中衰減常數(shù)和相移常數(shù)相等。因為良導體滿足條件所以，相移常數(shù)等于衰減常數(shù)，即設均勻平面電磁波的電場強度復矢量為E=E0e－αze－jβz那么z=λ處的電場強度振幅與z=0處的電場強度振幅比為即例6-5

已知海水的電磁參量σ=51(Ω·m)－1，μr=1，εr=81，作為良導體欲使90％以上的電磁能量(僅靠海水表面下部)進入1m以下的深度，電磁波的頻率應如何選擇。解：對于所給海水，當其視為良導體時，設其中傳播的均勻平面電磁波為

式中良導體海水的波阻抗為因此沿+z方向進入海水的平均電磁功率流密度為

6.3電磁波的極化

6.3.1極化的概念

如前所述，無界媒質中的均勻平面電磁波是TEM波。TEM波的電場強度矢量和磁場強度矢量均在垂直于傳播方向的平面內。假設電磁波沿+z方向傳播，則電場強度矢量和磁場強度矢量均在z=常數(shù)的平面內。討論均勻平面電磁波的傳播特性時，我們假設在直角坐標系中，電場強度矢量只有Ex分量，因此在垂直傳播方向的等相位面上，電場強度矢量隨時間在一條直線上變化，其矢端軌跡是一條直線，這種波稱為線極化波。在一般情況下，對于沿+z方向傳播的均勻平面電磁波，電場強度矢量E有兩個頻率和傳播方向均相同的兩個分量Ex和Ey。電場強度矢量的表達式為

E=exEx+eyEy=(exE0x+eyE0y)e－jkz

=(exExmejφx+eyEymejφy)e－jkz

(6-40)電場強度矢量的兩個分量的瞬時值為(6-41)此時它們的合成場矢量E在等相位面上隨時間變化的矢端軌跡有可能不再是一條直線。為了說明合成場矢量E在空間任一固定點上隨時間的變化規(guī)律，我們引入電磁波的極化概念。6.3.2平面電磁波的極化形式

1.線極化

設Ex和Ey同相，即φx=φy=φ0。為了討論方便，在空間任取一固定點z=0，則式(6-41)變?yōu)?/p>

Ex=Exmcos(ωt+φ0)，Ey=Eymcos(ωt+φ0)

合成電磁波的電場強度矢量的模為(6-42)合成電磁波的電場強度矢量與x軸正向夾角α的正切為(6-43a)它表明矢量E與x軸正向夾角α保持不變，如圖6-7(a)所示。合成電磁波的電場強度矢量的模隨時間作正弦變化，其矢端軌跡是一條直線，故稱為線極化(LinearPolarization)。同樣的方法可以證明，φx－φy=π時，合成電磁波的電場強度矢量與x軸正向的夾角α的正切為(6-43b)這時合成平面電磁波的電場強度矢量E的矢端軌跡是位于二、四象限的一條直線，故也稱為線極化，如圖6-7(b)所示。圖6-7線極化波

2.圓極化

設Exm=Eym=Em，φx－φy=±π/2，z=0，那么式(6-41)變?yōu)橄得此方程是圓方程。電磁波的兩正交電場強度分量的合成電場強度矢量E的模和幅角為(6-44)如果α=+(ωt+φx)，則矢量E將以角頻率ω在xoy平面上沿逆時針方向作等角速旋轉；如果α=－(ωt+φx)，則矢量E將以角頻率ω在xoy平面上沿順時針方向作等角速旋轉。所以圓極化波有左旋和右旋之分，規(guī)定如下：將大姆指指向電磁波的傳播方向，其余四指指向電場強度矢量E的矢端的旋轉方向，符合右手螺旋關系的稱為右旋圓極化波；符合左手螺旋關系的稱為左旋圓極化波，如圖6-8所示。

應該指出，一般情況下，α=±(ωt+φx－kz)。所以如果在固定時刻，觀察合成電場強度矢量的矢端軌跡沿傳播方向隨空間坐標z變化，那么它的大小和方向在垂直于傳播方向的平面上的投影與固定空間坐標z的矢端軌跡隨時間t變化的方式相同，但是兩者的旋向相反。圖6-8圓極化波

3.橢圓極化

更一般的情況是Ex和Ey及φx和φy之間為任意關系。在z=0處，消去式(6-41)中的t，得(6-45)式中φ=φx－φy。上式是以Ex和Ey為變量的橢圓方程。因為方程中不含一次項，故橢圓中心在直角坐標系原點。當φ=φx－φy=±π/2時橢圓的長短軸與坐標軸一致，而φ=φxφy≠±π/2時則不一致，如圖6-9所示。圖6-9橢圓極化6.3.3電磁波極化特性的工程應用

例6-6

證明任一線極化波總可以分解為兩個振幅相

等旋向相反的圓極化波的疊加。

解：假設線極化波沿+z方向傳播。不失一般性，取x軸平行于電場強度矢量E，則

上式右邊第一項為一左旋圓極化波，第二項為一右旋圓極化波，而且兩者振幅相等，均為E0/2。例6-7

判斷下列平面電磁波的極化形式：

(1)E=E0(－ex+jey)e－jkz

(2)E=E0(jex－2jey)ejkz

(3)E=E0(ex+3jez)e－jky

(4)E=E0(3ex+4ey－5jez)e－jk(8x－6y)

解：(1)E=jE0(jex+ey)e－jkz，Ex和Ey振幅相等，且Ex相位超前Ey相位π/2，電磁波沿+z方向傳播，故為右旋圓極化波。

(2)E=jE0(ex－2ey)ejkz，Ex和Ey相位差為π，故為在二、四象限的線極化波。

(3)Ezm≠Exm，Ez相位超前Ex相位π/2，電磁波沿+y方向傳播，故為右旋橢圓極化波。

(4)

在垂直于en的平面內將E分解為exy和ez兩個方向的分量，則這兩個分量互相垂直，振幅相等，且exy相位超前ez相位π/2，exy×ez=en，故為右旋圓極化波。

例6-8

電磁波在真空中傳播，其電場強度矢量的復數(shù)表達式為

E=(ex－jey)10－4e－j20πz(V/m)

試求：

(1)工作頻率f;

(2)磁場強度矢量的復數(shù)表達式；

(3)坡印廷矢量的瞬時值和時間平均值；

(4)此電磁波是何種極化，旋向如何。解：(1)真空中傳播的均勻平面電磁波的電場強度矢量的復數(shù)表達式為

E=(ex－jey)10－4e－j20πz(V/m)

所以有電場強度矢量的瞬時值為E=10－4[excos(ωt－kz)+eysin(ωt－kz)]

(2)磁場強度復矢量為磁場強度的瞬時值為

(3)坡印廷矢量的瞬時值和時間平均值為

(4)此均勻平面電磁波的電場強度矢量在x方向和y方向的分量振幅相等，且x方向的分量比y方向的分量相位超前π/2，故為右旋圓極化波。

6.4色散、相速和群速

6.4.1介質的色散

在非極性分子中，電子的電荷和原子核的電荷不僅總量相等，而且正電荷中心與負電荷中心也重合，因而不呈現(xiàn)電偶極矩。但是，在外電場的作用下，非極性分子的電子和核都將產(chǎn)生位移，正、負電荷中心不再重合，形成一電偶極矩。而且，由于原子核的質量遠大于電子的質量，相對于電子的位移而言，原子核可視為不動。由前面的分析可知，每一個電子當對平衡位置產(chǎn)生一位移后，就貢獻一個電偶極矩p=er，其中e是電子的電荷，r是電子在外場作用下離開它平衡位置的位移。因此，我們先來求電子的位移與頻率的關系。每個電子在外場作用下所受到的作用力為

F=e(E+v×B)

(6-46a)其中v是電子運動的速度。因為在時變場中，電場強度E與磁感應強度B之間存在關系|B|∝|E|/c，其中c為光速，所以洛侖茲力公式中磁場的貢獻可以忽略。要嚴格地算出電子在電場力作用下所產(chǎn)生的位移是一個復雜的量子力學問題?，F(xiàn)在我們作如下的近似處理，即假定電子是被一個彈性恢復力

F1=－mω20r

(6-46b)

束縛在它的平衡位置上，其中m是電子的質量，ω0是繞平衡點振動的振動頻率。另外，還存在阻尼力(6-46c)其中γ為阻尼常數(shù)。因此，電子在外電場作用下的運動規(guī)律滿足方程(6-46d)設電場為時諧場，即E=Re[Emejωt]，假定方程(6-46d)的解的形式為r=Re[rmejωt](6-46e)將式(6-46e)代入式(6-46d)后，可求得(6-46f)因而極化強度(6-46g)圖6-10畫出了εr′隨ω的變化曲線。從圖中可以看出，除去在ω0附近很窄的一段區(qū)域內εr′隨頻率升高而減小外，在其它區(qū)域εr′隨頻率升高而加大，εr′隨頻率升高而增加稱為正常色散，εr′隨頻率升高而減小稱為反常色散。因為自由原子的吸收頻率ω0幾乎全部落在紫外光譜區(qū)內，所以從無線電的射頻波譜直到紫外光譜區(qū)內，一般媒質的折射率總是大于1的。從圖中給出的介電常數(shù)的虛部隨頻率的變化曲線可見，在反常色散區(qū)介電常數(shù)的虛部很大，它表示能量被帶電離子吸收很多，損耗很大，因此介電常數(shù)的虛部隨頻率的變化曲線稱為介質的吸收曲線。圖6-10相對介電常數(shù)隨頻率的變化曲線6.4.2導體的色散

導體的色散分析可基于下述的粗糙模型。在導體的晶格上有固定的正離子，而在其周圍則有運動的自由電子，它們處于平衡狀態(tài)中。當有外電場作用時，可引起自由電子向外電場方向的漂移，但這種漂移受到晶格上正離子的反復碰撞和阻擋，使漂移電子的動量轉移到晶格點上變成了正離子的熱振動，同時電子的運動也受到了阻尼。這種阻尼作用與電子的速度成正比，用－mq(dr/dt)表示(q為阻尼系數(shù))。因此電子的平均運動滿足方程(6-46l)對于時諧場E=Re[Emejωt]，上式的兩個穩(wěn)態(tài)解為(6-46m)(6-46n)設單位體積內自由電子的總數(shù)為N，則電流密度Jm為(6-46o)根據(jù)電導率的定義σ=Jm/Em得(6-46p)6.4.3相速與群速

波的相速度只取決于媒質的參數(shù)ε和μ(σ=0)，對于理想媒質β=ω

，β與ω成正比，因此相速度vp與頻率ω無關，理想媒質是非色散媒質。如果上述條件得不到滿足，則相速度vp與頻率ω有關，這種媒質稱為色散媒質。例如當頻率足夠高時，介電常數(shù)ε是頻率ω的函數(shù)，從而使β為ω的復雜函數(shù)，在這種情況下vp與頻率ω有關，媒質成為色散媒質。另外我們知道，導電媒質也是色散媒質，導電媒質的β也是ω的復雜函數(shù)，vp與頻率ω有關。良導體中的相速為圖6-11表示固定時刻此合成波隨z的分布(這里f0=

1MHz，Δf=100kHz，E0=1V/m)，可見，這是按一定周期排列的波群。隨著時間的推移，波群向正z方向運動。合成波的振幅隨時間按余弦變化，是一調幅波，調制的頻率為Δω，這個按余弦變化的調制波稱為包絡波(圖6-11中的虛線)。群速(GroupVelocity)vg的定義是包絡波上某一恒定相位點推進的速度。令調制波的相位為常數(shù)：

tΔω－zΔβ=const

由此得圖6-11相速與群速當Δω→0時，上式可寫成(6-46t)6.4.4群速與相速的關系

在一般情況下，信號是由任意形狀的波包(或脈沖)構成的，根據(jù)傅里葉分析可知，對于頻率為ω的單色正弦波，它的電場或磁場的某一分量ψ(t)可以表示成(6-47a)其中(6-47b)若每一頻率分量的相速是不同的，其相移常數(shù)β(ω)也是不同的(這種波稱為色散波)，這樣信號在傳播過程中就可能發(fā)生畸變。設信號的帶寬足夠窄，中心頻率為ω0，即(6-47c)沿z方向傳播一定距離z后，相函數(shù)ψ0(ω)變成了ψz(ω)，且

ψz(ω)=ψ0(ω)e－jβ(ω)z

(6-47d)將β(ω)在ω0附近展開成泰勒級數(shù)并只取前兩項，得(6-47e)將式(6-47e)代入式(6-47d)，并取其傅里葉逆變換，可求得z的信號為(6-47f)包絡的等相位面方程為因此，群速度(6-47g)對于非色散波，在媒質無色散的情況下，

，而ε、μ與頻率無關，因此(6-47h)即群速和相速相等。在色散媒質中從而得(6-48)

6.5均勻平面電磁波向平面分界面的垂直入射

6.5.1平面電磁波向理想導體的垂直入射

我們從較簡單的垂直入射開始研究平面電磁波的反射和透射。如圖6-12所示，Ⅰ區(qū)為無耗媒質，Ⅱ為理想導體，它們具有無限大的平面分界面(z=0的無限大平面)。設均勻平面電磁波沿ez方向垂直投射到分界面上。

設入射電磁波的電場和磁場分別依次為

Ei=exEi0e－jk1z

(6-49a)(6-49b)圖6-12垂直入射到理想導體上的平面電磁波式中，Ei0為z=0處入射波(IncidentWave)的振幅，k1和η1為媒質1的相位常數(shù)和波阻抗，且有媒質2為理想導體，其中的電場和磁場均為零，即E2=0和H2=0。因此，電磁波不能透過理想導體表面，而是被分界面全部反射后，在媒質1中形成反射波Er和Hr。為使分界面上的切向邊界條件在分界面上任意點、任何時刻均可能滿足，設反射與入射波有相同的頻率和極化，且沿－ez方向傳播。于是反射波(ReflectedWave)的電場和磁場可分別寫為Er=exEr0ejk1z

(6-50a)(6-50b)式中，Er0為z=0處反射波的振幅。媒質1中總的合成電磁場為(6-51a)(6-51b)分界面z=0兩側，電場強度E的切向分量連續(xù)，即ez×(E2－E1)=0，所以

E1(0)=ex(Ei0+Er0)=E2(0)=0于是分界面上的反射系數(shù)Γ，即分界面上反射波電場強度與入射波電場強度之比為(6-52)將式(6-52)代入式(6-51)，得到Ⅰ區(qū)的合成電場和磁場：(6-53a)(6-53b)它們對應的瞬時值為(6-54a)(6-54b)由于Ⅱ區(qū)中無電磁場，在理想導體表面兩側的磁場切向分量不連續(xù)，因此分界面上存在面電流。根據(jù)磁場切向分量的邊界條件n×(H2－H1)=JS，得面電流密度為

用圖6-13來說明。圖中電場強度振幅Ei0=5，給出了時間t等于0、T/8、T/4、5T/8、3T/4時，E1(z，t)與z的關系。從圖中我們看到，空間各點的電場都隨時間按sinωt作簡諧變化，但其波腹點處電場振幅總是最大，波節(jié)點處電場總是零，而且這種狀態(tài)并不隨時間沿z移動。這種波腹點和波節(jié)點位置都固定不動的電磁波稱為駐波。這說明兩個振幅相等、傳播方向相反的行波合成的結果是駐波。駐波電場波腹點和波節(jié)點都每隔λ1/4交替出現(xiàn)，兩個相鄰波節(jié)點之間的距離為λ1/2。圖6-13不同瞬間的駐波電場由式(6-54b)知，磁場振幅也是駐波分布，但磁場的波腹點對應于電場的波節(jié)點，而磁場的波節(jié)點對應于電場的波腹點。理想導體表面處(z=0)是電場的波節(jié)點，磁場的波腹點。

駐波不傳輸能量，其坡印廷矢量的時間平均值為(6-55a)可見沒有單向流動的實功率，而只有虛功率。由式(5-54)可得駐波的坡印廷矢量的瞬時值為(6-55b)此式表明，瞬時功率流隨時間按周期變化，但是僅在兩個波節(jié)點之間進行電場能量和磁場量的交換，并不發(fā)生電磁能量的單向傳輸。6.5.2平面電磁波向理想介質的垂直入射

設區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ中的媒質都是理想介質，則當x方向極化、沿z軸正向傳播的均勻平面電磁波由區(qū)域Ⅰ向無限大分界平面(z=0)垂直入射時，因媒質參數(shù)不同(波阻抗不連續(xù))，到達分界面上的一部分入射波被分界面反射，形成沿z軸負向傳播的反射波；另一部分入射波透過分界面進入?yún)^(qū)域Ⅱ進行傳播，形成沿z軸正向傳播的透射波(TransmittedWave)。由于分界面兩側電場強度的切向分量連續(xù)，因此反射波和透射波的電場強度矢量也只有x分量，即反射波和透射波沿x方向極化，如圖6-14所示。圖6-14垂直入射到理想介質上的平面電磁波入射波的電場和磁場表達式與式(6-49)相同，反射波的電場和磁場表達式與式(6-50)相同，區(qū)域Ⅰ中的合成電磁波的電場和磁場表達式與式(6-51)相同。區(qū)域Ⅱ中只有透射波，其電場和磁場分別為(6-56a)(6-56a)接著利用分界面上電場和磁場所滿足的邊界條件E1t=E2t和H1t=H2t(理想介質的分界面上不存在傳導面電流)，確定分界面處反射波振幅、透射波振幅與入射波振幅的關系。由式(6-51a)及式(6-56a)，考慮到z=0處分界面電場強度切向分量連續(xù)的邊界條件E1t=E2t，可得Ei0+Er0=Et0

(6-57a)由式(6-51b)及式(6-56b)，考慮到z=0處分界面磁場強度切向分量連續(xù)的邊界條件H1t=H2t，可得(6-57b)聯(lián)立求解式(6-57)得分界面上的反射系數(shù)Γ——分界面上反射波電場強度與入射波電場強度之比，即(6-58a)和界面上的透射系數(shù)T——分界面上透射波電場強度與入射波電場強度之比，即(6-58b)由式(6-58a)和式(6-58b)知，分界面上的透射系數(shù)T和反射系數(shù)Γ都是無量綱的量。反射系數(shù)Γ既可以為正數(shù)，也可以為負數(shù)，這取決于區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的波阻抗η1和η2。透射系數(shù)T始終為正數(shù)。反射系數(shù)和透射系數(shù)的關系為

1+Γ=T

(6-58c)

如果媒質2為理想導體，則其波阻抗η2=0，由式(6-58a)和式(6-58b)得反射系數(shù)Γ=－1，透射系數(shù)T=0。此時，入射波被理想導體表面全部反射，并在媒質1中形成駐波。

最后，我們討論分界面兩側區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ(非理想導體)中合成電磁波的特性。區(qū)域Ⅰ(z<0)中任意點的合成電場強度和磁場強度可表示為(6-59a)(6-59b)從式(6-59)可以看出，式中第一項是沿z方向傳播的行波，第二項是駐波。這種既有行波成分又有駐波成分的電磁波稱為行駐波。因為有行波成分存在，所以行駐波的電場強度和磁場強度在離分界面的某些固定位置處的最小值不再為零，但仍然有最大值和最小值存在。根據(jù)式(6-59)知，區(qū)域Ⅰ中電場強度和磁場強度的模為(設Ei0=Em為實數(shù))(6-60a)(6-60b)式(6-60)是z的周期函數(shù)，周期為λ/2。括號中的上、下標分別對應于Γ>0(η2>η1)和Γ<0(η2<η1)。例6-9

一右旋圓極化波由空氣向一理想介質平面(z=0)垂直入射，坐標與圖6-14相同，媒質的電磁參數(shù)為ε2=9ε0，ε1=ε0，μ1=μ2=μ0。試求反射波、透射波的電場強度及相對平均功率密度；它們各是何種極化波。

解：設入射波電場強度矢量為則反射波和透射波的電場強度矢量為式中反射系數(shù)和透射系數(shù)為入射波、反射波和透射波都可以看成是兩個振幅相等、旋向相反、互相正交的線極化波的合成，每一線極化波的平均功率密度關系與式(6-65)相同，所以相對平均功率密度為因為反射系數(shù)和透射系數(shù)都是實數(shù)，所以，根據(jù)反射波和透射波電場強度矢量的表示式可見，反射波是左旋圓極化波，透射波是右旋圓極化波。例6-10

頻率為f=300MHz的線極化均勻

平面電磁波，其電場強度振幅值為2V/m，從空氣垂直入射到εr=4、μr=1的理想介質平面上，求：

(1)反射系數(shù)、透射系數(shù)、駐波比；

(2)入射波、反射波和透射波的電場和磁場；

(3)入射功率、反射功率和透射功率。

解：設入射波為x方向的線極化波，沿z方向傳播，如圖6-14所示。

(1)據(jù)題意波阻抗為因此，反射系數(shù)、透射系數(shù)和駐波比為

(2)入射波、反射波和透射波的電磁和磁場為f=300MHz

(3)入射波、反射波、透射波的平均功率密度為顯然，6.6均勻平面電磁波向多層媒質分界面的垂直入射

6.6.1多層媒質中的電磁波及其邊界條件

為簡單起見，我們僅考慮只有三個媒質區(qū)域的情況，如圖6-15所示。

區(qū)域1中的入射波：(6-66a)(6-66b)區(qū)域1中的反射波：(6-67a)(6-67b)圖6-15垂直入射到多層媒質中的均勻平面電磁波區(qū)域1(z≤0)中的合成電磁波：(6-68a)(6-68b)區(qū)域2(0≤z≤d)中的合成電磁波：(6-69a)(6-69b)區(qū)域3(z≥d)中的合成電磁波：(6-70a)(6-70b)6.6.2等效波阻抗

為了便于討論多層媒質的反射問題，現(xiàn)引入等效波阻抗的概念：媒質中平行于分界面的任一平面上的總電場與總磁場之比，定義為該處的等效波阻抗Z(z)，即(6-71)此時我們已經(jīng)假設x方向極化的均勻平面電磁波沿z方向傳播。

1.無界媒質中的等效波阻抗假設無界媒質中，x方向極化的均勻平面電磁波沿+z方向傳播，那么媒質中任意位置處的等效波阻抗為x方向極化的均勻平面電磁波沿－z方向傳播時，等效波阻抗為可見無界媒質中，等效波阻抗在數(shù)值上等于波阻抗。

2.半無界媒質中的等效波阻抗

如圖6-14所示，根據(jù)式(6-71)的定義，且考慮到式

(6-59)，可知媒質1中離平面分界面為z處的等效波阻抗為(6-72a)由于媒質1中z為負值，因此離平面分界面(z=0)的距離為l的某一位置(z=－l)處的等效波阻抗為(6-72b)將式(6-58a)定義的反射系數(shù)代入上式得(6-72c)如果η2=η1，那么由式(6-72c)知：Z1(－l)=η1。這表明空間僅存在同一種媒質，因此沒有反射波，等效波阻抗等于媒質的波阻抗；如果區(qū)域2中的媒質是理想導體，即η2=0，Γ=－1，那么式(6-72c)簡化為

Z1(－l)=jη1tank1l

(6-73)

3.有界媒質中的等效波阻抗

若空間存在三層媒質，如圖6-15所示。利用邊界條件，在z=0的邊界上，由式(6-68)和(6-69)得(6-74a)(6-74b)在z=d的邊界上，由式(6-69)和(6-70)得(6-74c)(6-74d)聯(lián)立求解式(6-74c)和(6-74d)，得z=d分界面處的反射系數(shù)(6-75)聯(lián)立求解式(6-74a)和(6-74b)且考慮到式(6-75)，得z=0分界面處的反射系數(shù)(6-76)上式中的Z2(0)表示區(qū)域2中z=0處的等效波阻抗：(6-77)考慮到z=0和z=d分界面處反射系數(shù)的定義，由式(6-74a)及式(6-74c)知區(qū)域2和區(qū)域3中的入射波電場振幅為(6-78a)(6-78b)6.6.3媒質1中無反射的條件

如圖6-15所示，要使區(qū)域Ⅰ的媒質1中沒有反射波存在，入射波能量全部透入媒質3(媒質2為無耗媒質)，那么z=0分界面處的反射系數(shù)Γ0必須等于零。由式(6-76)和(6-77)知，此時或(6-79)使上式中實部、虛部分別相等，有(6-80a)(6-80b)和例6-11

為了保護天線，在天線的外面用一理想介質材料制作一天線罩。天線輻射的電磁波頻率為4GHz，近似地看作均勻平面電磁波，此電磁波垂直入射到天線罩理想介質板上。天線罩的電磁參數(shù)為εr=2.25，μr=1，求天線罩理想介質板厚度為多少時介質板上無反射。

解：因為所以，理想介質板中的電磁波波長天線罩兩側為空氣，故天線罩的最小厚度應為6.7均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射

6.7.1均勻平面電磁波向理想介質分界面的斜入射

1.相位匹配條件和斯奈爾定律

均勻平面電磁波向理想介質分界面z=0處斜入射時，將產(chǎn)生反射波和透射波，如圖6-16所示。

設入射波、反射波和透射波的傳播矢量分別依次為(6-82a)(6-82b)(6-82c)圖6-16入射線、反射線、透射線式中eki、ekr、ekt分別是入射波、反射波、透射波在傳播方向上的單位矢量。由6.1.3節(jié)，即向任意方向傳播的均勻平面波知，入射波、反射波、透射波的電場強度復矢量可寫為

Ei=Ei0e－jki·r

(6-83a)

Er=Er0e－jkr·r

(6-83b)

Et=Et0e－jkt·r

(6-83c)

下面由入射波和邊界條件確定反射波、透射波的傳播方向。因為分界面z=0處兩側電場強度的切向分量應連續(xù)，故有(6-84)式中上標t表示切向分量。此式對分界面上任意點都成立，因而有(6-85a)

式(6-85b)對不同的x、y均成立，故必有

kix=krx=ktx，kiy=kry=kty

(6-86)

式(6-86)表明入射波傳播矢量、反射波傳播矢量和透射波傳播矢量沿介質分界面的切向分量相等，這一結論稱為相位匹配條件。(6-85b)

2.反射系數(shù)和透射系數(shù)

斜入射的均勻平面電磁波，不論何種極化方式，都可以分解為兩個正交的線極化波：一個極化方向與入射面垂直，稱為垂直極化波；另一個極化方向在入射面內，稱為平行極化波，即

E=E⊥+E‖

因此，只要分別求得這兩個分量的反射波和透射波，通過疊加，就可以獲得電場強度矢量任意取向的入射波的反射波和透射波。

1)垂直極化波

取如圖6-17所示的坐標系，使分界面z=0，入射面為xoz平面(y=0)。圖6-17垂直極化的入射波、反射波和透射波在此坐標系中，入射波的電磁場為(6-92a)(6-92b)考慮到反射定律，反射波的電磁場為(6-93a)(6-93b)透射波的電磁場為(6-94a)(6-94b)根據(jù)分界面z=0處電場強度切向分量和磁場強度切向分量在分界面兩側必須連續(xù)的邊界條件，及式(6-92)、(6-93)和

(6-94)，有(6-95a)(6-95b)考慮到折射定律k1sinθi=k2sinθt，式(6-95)簡化為(6-96a)(6-96b)Ei0+Er0=Et0解之得(6-97a)(6-97b)?！秃蚑⊥分別是Ei垂直入射面時的反射系數(shù)和透射系數(shù)，即分界面處反射波電場及透射波電場與入射波電場之比。換句話說，此時電場只有平行于分界面的y分量，故?！秃蚑⊥也是電場切向分量之比。若以Ei0除式(6-96a)，則有

1+Γ⊥=T⊥

(6-98)

對于非磁性媒質，μ1=μ2=μ0，式(6-97)簡化為(6-99a)(6-99b)

2)平行極化波

取如圖6-18所示的坐標系，使分界面為z=0，入射面為xoz平面(y=0)。圖6-18平行極化的入射波、反射波和透射波此時的入射波電磁場：(6-100b)(6-100a)反射波電磁場(已經(jīng)考慮了反射定律)：(6-101b)(6-101a)透射波電磁場：(6-102b)(6-102a)應用分界面z=0處場量的邊界條件和折射定律有(6-103b)(6-103a)解之得反射系數(shù)、透射系數(shù)：(6-104b)(6-104a)Γ‖和T‖分別是Ei平行入射面時，分界面處的反射波電場及透射電場與入射波電場之比。與?！秃蚑⊥不同的是，它們不等于對應電場強度切向分量之比。以Ei0除式(6-103b)得(6-105)如果θi=0，那么θr=θt=0，故上式和垂直入射時導出的反射系數(shù)差一負號。這是由于對圖6-18所示的電場正方向，在θi=0時，Ei0和Er0方向相反之故。對于非磁性媒質，μ1=μ2=μ0，式(6-104)簡化為即(6-106a)(6-106b)即由此可見，透射系數(shù)T‖總是正值，反射系數(shù)?！瑒t可正可負。

3.媒質1中的合成電磁波

我們以垂直極化波為例，討論斜入射情況下媒質1中的合成電磁場。將入射波和反射波疊加，就可以獲得媒質1中的合成電磁波。由式(6-92)、(6-93)和(6-97a)可得(6-107a)(6-107b)上式中的因子e－j(k1sinθi)x=e－jkxx表明，E1和H1是向x方向傳播的行波，相移常數(shù)為

kx=k1sinθi相速為沿z方向，電磁場的每一分量都是傳播方向相反、幅度不相等的兩個行波之和，電磁場沿z方向的分布為行駐波。它們的相移常數(shù)、相速和相應的波長為由于E1僅有垂直于傳播方向x的分量，而H1有傳播方向的分量Hx，所以媒質1中的合成電磁場是沿x方向傳播的TE波。對平行極化波進行與上述類似分析知，媒質1中的合成電磁波與式(6-107)所示結論相似；沿x、z方向的相移常數(shù)、相速和相應的波長與上述TE波相同。但是，平行極化波是沿x方向傳播的TM波。6.7.2均勻平面電磁波向理想導體的斜入射

在圖6-17和圖6-18中，只要將媒質2看成理想導體，我們就獲得了均勻平面電磁波向理想導體斜入射的兩種基本形式：垂直極化和平行極化。理想導體的波阻抗η2=0，故令式(6-97)和式(6-104)中η2=0，有垂直極化的反射系數(shù)和透射系數(shù)：

?！?－1，T⊥=0

(6-108a)

平行極化的反射系數(shù)和透射系數(shù)：

?！?1，T‖=0

(6-108b)

由此可見，同垂直入射時一樣，斜入射電磁波也不能透入理想導體。

1.垂直極化

將式(6-108a)代入式(6-107)，便得經(jīng)區(qū)域2的理想導體表面反射后媒質1(z<0)中的合成電磁波：(6-109a)(6-109b)

2.平行極化

若Ei平行入射面斜入射到理想導體表面，類似于上面垂直極化的分析，我們獲知媒質1中的合成電磁波是沿x方向傳播的TM波，垂直理想導體表面的z方向合成電磁波仍然是駐波。

例6-12

如果定義功率反射系數(shù)、功率透射系數(shù)為證明：Γp+Tp=1即在垂直分界面的方向，入射波、反射波、透射波的平均功率密度滿足能量守恒關系。解：不論Ei垂直入射面還是平行入射面，均有上式中已經(jīng)考慮了eki·Ei0=0。類似地有(垂直極化和水平極化的反射系數(shù)和透射系數(shù)統(tǒng)一用Γ和T表示)將以上三式代入功率反射系數(shù)和功率透射系數(shù)的定義，并且考慮到

eki=exsinθi+ezcosθi

ekr=exsinθi－ezcosθi

ekt=exsinθt+ezcosθt

有

Γp=|Γ|2

(6-111)

和(6-112)將垂直極化或平行極化的反射系數(shù)和透射系數(shù)代入式(6-111)和式(6-112)，可得Γp+Tp=1

6.8均勻平面電磁波的全透射和全反射

上一節(jié)我們分析了均勻平面電磁波向平面分界面的斜入射。由分析的結論可知，對于非磁性媒質，不論垂直極化還是平行極化的斜入射，透射系數(shù)總是正值，而反射系數(shù)既可以是正值也可以是負值。因此，如果反射系數(shù)為零，那么斜入射電磁波將全部透入媒質2；如果反射系數(shù)的模為1，那么斜入射電磁波將被分界面全部反射。下面以均勻平面電磁波自空氣斜入射于聚苯乙烯(εr=2.7，μr=1)為例，計算垂直極化和平行極化斜入射時的功率反射系數(shù)、功率透射系數(shù)(定義參看例6-12)，計算結果如圖6-19所示。圖6-19斜入射的功率反射系數(shù)與透射系數(shù)6.8.1全透射

由平行極化斜入射的反射系數(shù)公式(6-106a)知，要使?！?0，必有解上式得此角度稱為布儒斯特角(BrewsterAngle)，記為θB。由式(6-106a)知，此時從而(6-114)或對于垂直極化的斜入射，其反射系數(shù)公式(6-99a)表明，Γ⊥=0發(fā)生于上式成立時要求ε2=ε1。因此，當ε2≠ε1時，以任何入射角向兩種不同非磁性媒質分界面垂直極化斜入射，都不會發(fā)生全透射。圖6-19也表明了這一結論。6.8.2全反射

均勻平面電磁波斜入射時的反射系數(shù)、透射系數(shù)不僅與媒質特性有關，而且依賴于入射波的極化形式和入射角。在一定條件下會產(chǎn)生全反射現(xiàn)象。當反射系數(shù)的模|Γ|=1時，功率反射系數(shù)Γp=|Γ|2=1，此時垂直于分界面的平