2024年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U={x|?2≤x≤2}，集合A={x|?1≤x<2}，則?UA=(

)A.(?2,?1) B.[?2,?1] C.(?2,?1)∪{2} D.[?2,?1)∪{2}2.若復(fù)數(shù)z滿足zi=1+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是(

)A.?1?i B.1+i C.?1+i D.1?i3.已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若a1=2a2，公差d≠0A.4 B.5 C.6 D.74.已知向量a,b滿足|a|=2,b=(2,0)，且A.π6 B.π3 C.2π35.若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)A.x24?y2=1 B.x6.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條直線，且m?α，l⊥α.則“l(fā)⊥β”是“m//β”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知f(x)=x3,x≤0,lg(x+1),x>0.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，過(guò)點(diǎn)(0,2)與曲線y=f(x)相切的直線的條數(shù)為n，則A.1，1 B.1，2 C.2，1 D.2，28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊在第三象限.則(

)A.sinα?cosα≤tanα B.sinα?cosα≥tanα

C.sinα?cosα<tanα 9.函數(shù)f(x)是定義在(?4,4)上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，f(3)=0.設(shè)f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(x+1)?f′(x)≥0的解集是(

)A.[0,2] B.[?3,0]∪[3,4) C.(?5,0]∪[2,4) D.(?4,0]∪[2,3)10.某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線為對(duì)稱軸分叉(分叉的角度約為60°)，再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過(guò)程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿直線繁殖到A11，然后分叉向A21與A22方向繼續(xù)繁殖，其中∠A21A11A22=60°，且A11A21與A11AA.6 B.7 C.8 D.9二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知lnab=2，則lna12.已知⊙C：(x?1)2+y2=3，線段AB是過(guò)點(diǎn)13.若(x?2)4=a4x4+a14.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π4)sin2x，則f(515.已知函數(shù)f(x)=x3?x，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

②?k∈R，且k≠0，關(guān)于x的方程f(x)?kx=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

③已知P是曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)，A(?12,0)，則|AP|≥12；

④設(shè)M(x1,y1)為曲線y=f(x)三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題13分)

在△ABC中，bsinC+3ccosB=2c．

(Ⅰ)求∠B；

(Ⅱ)若a=23，17.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，M為BP的中點(diǎn)，AM//平面CDP．

(Ⅰ)求證：BC=2AD；

(Ⅱ)若PA⊥AB，AB=AP=AD=CD=1，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使四棱錐P?ABCD存在且唯一確定．

(i)求證：PA⊥平面ABCD；

(ⅱ)設(shè)平面CDP∩平面BAP=l，求二面角C?l?B的余弦值．

條件①：BP=DP；

條件②：AB⊥PC；

條件③：∠CBM=∠CPM．

注：如果選擇的條件不符合要求，第(i)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.(本小題13分)

某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過(guò)程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測(cè)試成績(jī)(百分制，且均為整數(shù))及相應(yīng)過(guò)程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：科普測(cè)試成績(jī)x科普過(guò)程性積分人數(shù)90≤x≤10041080≤x<903a70≤x<802b60≤x<701230≤x<6002(Ⅰ)當(dāng)a=35時(shí)，

(i)從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率；

(ⅱ)從該?？破諟y(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過(guò)程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(Ⅱ)從該?？破者^(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為Y1，上述100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為Y2.若根據(jù)表中信息能推斷Y119.(本小題15分)

已知橢圓G：x2+my2=m的離心率為22,A1,A2分別是G的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是G的右焦點(diǎn)．

(Ⅰ)求m的值及點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)P是橢圓G上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=2上，且20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=xea?12x．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=|f(x)+e?221.(本小題15分)

已知：Q：a1，a2，…，am2(m≥2,m∈N?)為有窮正整數(shù)數(shù)列，其最大項(xiàng)的值為m，且當(dāng)k=0，1，…，m?1時(shí)，均有akm+i≠akm+j(1≤i<j≤m).設(shè)b0=0，對(duì)于t∈{0,1,…,m?1}，定義bt+1=min{n|n>bt,an>t}，其中，minM表示數(shù)集M中最小的數(shù)．

(Ⅰ)若Q：3，1，2，2，1，3，1，2，3，寫出b1，b3參考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.B

8.C

9.D

10.C

11.4

12.2

13.16

?4014.?1

(?π4,0)(15.②③④

16.解：(Ⅰ)∵bsinC+3ccosB=2c，

∴由正弦定理得，sinBsinC+3sinCcosB=2sinC，

∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，

∴sinB+3cosB=2，

∴12sinB+32cosB=1，

∴sin(B+π3)=1，

∵B∈(0,π)，∴B+π3∈(π3,4π3)，

∴B+π317.解：(Ⅰ)證明：取PC的中點(diǎn)N，連接MN，ND，

因?yàn)镸為BP的中點(diǎn)，所以MN=12BC，MN/?/BC，

因?yàn)锳D//BC，所以AD/?/MN，所以M，N，D，A四點(diǎn)共面．

因?yàn)锳M/?/平面CDP，平面MNDA∩平面CDP=DN，所以AM/?/DN，

所以MN=AD.所以BC=2AD．

(Ⅱ)取BC的中點(diǎn)E，連接AE，AC，

由(Ⅰ)知BC=2AD，所以EC=AD．

因?yàn)镋C/?/AD，所以四邊形AECD是平行四邊形．

所以EC=AD=1，AE=CD．

因?yàn)锳B=CD=1，所以AE=1=12BC，所以∠BAC=90°，即AB⊥AC．

選條件①：BP=DP．

(i)證明：因?yàn)锳B=AD=1，PA=PA，所以△PAB≌△PAD，所以∠PAB=∠PAD．

因?yàn)锳B⊥PA，所以∠PAB=90°，所以∠PAD=90°，即AP⊥AD.所以AP⊥平面ABCD．

(ii)由(i)知AP⊥平面ABCD，所以AP⊥AC．

因?yàn)镻A⊥AB，AP=1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則P(0,0,1)，C(0,3,0)，D(?12,32,0)，

所以CD=(?12,?32,0)，PD=(?12,32,?1)，AC=(0,3,0)，

設(shè)平面PDC的法向量為n=(x,y,z)，則n?CD=0n?PD=0，即?12x?32y=0?12x+32y?z=0，

令x=3，則y=?1，z=?3，所以n=(3,?1,?3)，

因?yàn)锳C為平面PAB的法向量，且cos<AC，n>=AC?n|AC||n|=?77，

所以二面角C?l?B的余弦值為?77．

選條件③：∠CBM=∠CPM．

(i)證明：所以CB=CP.因?yàn)锳B=AP=1，CA=CA，所以△ABC≌△APC．

所以∠PAC=∠BAC=90°，即PA⊥AC.因?yàn)镻A⊥AB，所以PA⊥平面ABCD．

(ⅱ)由(i)知AP⊥平面ABCD，所以AP⊥AC．

因?yàn)镻A⊥AB，AP=1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則P(0,0,1)，C(0,3,0)18.解：(Ⅰ)當(dāng)a=35時(shí)，

(i)由表可知，科普過(guò)程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為10+35=45，

所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的頻率為45100=0.45，

所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率估計(jì)為0.45；

(ii)根據(jù)題意，從樣本中成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的頻率為3535+10=79，

所以從該校學(xué)生活動(dòng)成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，

這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的概率估計(jì)為79，

同理，從該校學(xué)生活動(dòng)成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為4分的概率估計(jì)為29，

由表可知X的所有可能取值為6，7，8，

P(X=6)=79×79=4981，19.解：(Ⅰ)由題意知m>1，設(shè)a2=m，b2=1，

則c2=a2?b2=m?1，

因?yàn)镚的離心率為22，

所以a2=2c2，

即m=2(m?1)，

所以m=2，c=1，

所以m的值為2，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；

(Ⅱ)由題意可設(shè)P(x0,y0)，P(x0,y0)(x0y0≠0)，Q(2,yQ)，M(xM,0)，則x0<2，x0≠xA，

x02+2y02=2，①

因?yàn)镻F⊥FQ，

所以(20.解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)=x?ea?12x，

所以f′(x)=ea?12x?x2?ea?12x=ea?12x(1?x2)，

令f′(x)=0，得x=2，

所以在(?∞,2)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

在(2,+∞)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞)．

(Ⅱ)令?(x)=f(x)+e?2a，則?′(x)=f′(x)，

由(Ⅰ)得，函數(shù)?(x)得單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞)，

所以?(x)在x=2處取得最大值?(2)=2ea?1+e?2a，

所以當(dāng)x>2時(shí)，?(x)=x?ea?12x+e?2a>e?2a=?(0)，

當(dāng)0<x<221.解：(Ⅰ)由Q：3，1，2，2，1，3，1，2，3，b0=0，

則b1=min{n|n>0,an>0}，故b1=1，

b2=min{n|n>1,an>1}，故b2=3，

b3=min{n|n>3,an>2}，故b3=6；

(Ⅱ)由題意知m≥3，

當(dāng)m=3時(shí)，因?yàn)閍1≥1，b0=0，所以b1=1，

因?yàn)閍2≠a3，且a2，a3均為正整數(shù)，

所以a2>1，或a3>1，

所以b2≤3，

因?yàn)閍4，a5，a6是互不相等的正整數(shù)，所以必有一項(xiàng)大于2，

所以b3≤6，

所以b1+b2+b3≤10，不合題意，

當(dāng)m=4時(shí)，對(duì)于數(shù)列Q：4，1，3，2，1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，有b1+b2+b3=