河南省TOP二十名校2025屆高三上學(xué)期調(diào)研考試四（12月）數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁河南省TOP二十名校2025屆高三上學(xué)期調(diào)研考試四數(shù)學(xué)試題（12月）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若p：?x≤0，ex≤1，則?p為(

)A.?x>0，ex>1 B.?x≤0，ex>1 C.?x>0，ex2.已知集合P=1,0,?1,?2，Q=xx≤0或x≥3，則A.0,?1,?2 B.1,0 C.?1,?2 D.0,33.已知向量m=(x,1)，n=(?2,4+x)，若m⊥n，則A.?2+3或?2?3 B.?4

C.4.若函數(shù)f(x)=lnx2?ax在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，則實數(shù)aA.[0,+∞) B.0,1 C.(?∞,0] D.(?∞,0)5.已知a=log53，b=log6A.

a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.b<a<c6.已知函數(shù)f(x)是定義在[?a,a]上的圖象連續(xù)不間斷的奇函數(shù)，且yy=f(x),x∈[0,a]=[m,M]，若M≥?m，則f(x)的值域是(

)A.[m,M] B.[?M,M] C.[m,?m] D.[?M,?m]7.如圖是函數(shù)f(x)的部分圖象，記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則下列選項中值最小的是(

)

A.f′(a) B.f(b) C.f(c) D.cf′(c)8.過拋物線Γ：x2=4y的焦點F作互相垂直的兩條直線，使得其中的一條與Γ相交于B1，B2，另外一條與Γ相交于C1，C2，設(shè)B0，C0分別是線段BA.2 B.3 C.4 D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知z1=i100?i，z2i=(1?i)z2+3?i，其中i為虛數(shù)單位，若aA.z1=1+i B.z2的虛部為?i C.a=110.函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,?π2<φ<π2的部分圖象如圖所示，直線y=12與f(x)A.ω=2 B.φ=?π3

C.fx+5π12的圖象關(guān)于y軸對稱 D.11.已知F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，M，N是坐標(biāo)平面上的兩個動點，t為正常數(shù)，設(shè)滿足MF1?MF2=t的點M的軌跡為曲線A.C1關(guān)于x軸、y軸均對稱

B.當(dāng)點M不在x軸上時，MF1?MF2>4

C.當(dāng)t=5時，點M的縱坐標(biāo)的最大值大于1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S3=9，S6=9S13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點A(1,0)，B(4,0)，C(1,?1)，且MAMB=12，則MC的取值范圍是14.從球O外一點P作球O表面的三條不同的切線，切點分別為A,B,C，∠APB=π3，∠BPC=π3，∠CPA=π2，若PA=2，則球四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在?ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acos(1)求B；(2)若a=1，c=3，D為AC邊的中點，求BD的長．16.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax?b(1)當(dāng)b=1時，求f(x)的圖象在x=1處的切線方程；(2)當(dāng)a=1時，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上存在極值，求b的取值范圍．17.(本小題15分)在平面圖形AEBCD(如圖1)中，已知AB⊥AD，AB//CD，AB=2AE=2CD=2，BE=AD=3，將?ABE沿著AB折起到?ABP的位置，使得CP=2，連接DP，得到四棱錐P?ABCD，如圖(1)求證：BP⊥DP；(2)求平面ADP與平面CDP夾角的余弦值．18.(本小題17分)已知雙曲線Γ：x2a2?y2b(1)若l與Γ的左、右兩支分別相交，求k的取值范圍；(2)當(dāng)λ=1，2時，對應(yīng)的曲線分別為Γ1，Γ2，設(shè)直線l與Γ1的左、右兩支依次相交于點A，B，直線l與Γ2的左、右兩支依次相交于點C，D，O為坐標(biāo)原點，證明：?OBC19.(本小題17分)在數(shù)列ak(1≤k≤n)中，設(shè)Sk是數(shù)列ak(1≤k≤n)的前k項和，并規(guī)定S0=0(1)在數(shù)列ak(1≤k≤8)中，若S1=?1，S2=?2，S3=2，S4=0，(2)若?C∈N?，滿足①證明：集合An②證明：當(dāng)?k∈1,2,3,?,n，ak<1時，card參考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.D

6.B

7.C

8.C

9.ACD

10.ABD

11.ACD

12.6

13.2?14.16π

15.解：(1)acosB?bcos由于sinC=故sinA所以2sin因為A∈0,π，所以sinA>0，故2cos因為B∈0,π(2)D為AC邊的中點，故BD=兩邊平方得BD2又a=1，c=3，B=π3，所以BD2

16.解：(1)當(dāng)b=1時，f(x)=x2+a所以f′(x)=x所以f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y?(1+a)=?a(x?1)，即ax+y?2a?1=0．(2)當(dāng)a=1時，f(x)=x2+1所以f′(x)=x因為f(x)在區(qū)間(0,1)上存在極值，所以f′(x)在(0,1)上必存在變號零點，令g(x)=x2?bx?1，則g(x)因為g(0)=?1<0，所以g(1)=?b>0，解得b<0，當(dāng)b<0時，g(1)>0，且g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，又g(0)<0，故存在x0∈(0,1)，使得所以當(dāng)x∈0,x0時，g(x)<0當(dāng)x∈x0,1時，g(x)>0所以f(x)在0,x0上單調(diào)遞減，在故x0為f(x)的極小值點，符合題意，故b的取值范圍為(?∞,0)

17.解：(1)四棱錐P?ABCD中，取AB的中點F，連接CF,PF，由AB=2AP=2CD=2，BP=AD=3，得APPF=AF=CD=1，又AB//CD，于是四邊形AFCD為平行四邊形，CF//AD，CF=AD=由CP=2，得PF2+CF2=4=CPAB∩PF=F,AB,PF?平面ABP，于是AD⊥平面ABP，又BP?平面ABP，則AD⊥BP，又AP⊥BP，AD∩AP=A,AD,AP?平面ADP，因此BP⊥平面ADP，而DP?平面ADP，所以BP⊥DP．(2)在平面ABP內(nèi)過點A作Az⊥AB，由(1)知AD⊥平面ABP，則直線AD,AB,Az兩兩垂直，以點A為原點，直線AD,AB,Az分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(0,2,0),C(AP=(0,設(shè)平面ADP的法向量m=(a,b,c)，則m?AP=1設(shè)平面CDP的法向量n=(x,y,z)，則n?DC=y=0n則cos?所以平面ADP與平面CDP夾角的余弦值是5

18.解：(1)因為雙曲線Γ的一條漸近線的斜率為2所以ba=聯(lián)立y=kx+1x2a2?因為l與Γ的左、右兩支分別相交，所以2?因為λ>0,k>0，所以2?k2>0即k的取值范圍為(0,(2)設(shè)Ax當(dāng)λ=1時，由(1)中(?)及韋達(dá)定理，得x1當(dāng)λ=2時，由(1)中(?)及韋達(dá)定理，得x3所以AB與CD中點的橫坐標(biāo)都為k2?k2.因為A，B，C，所以AB與CD

的

中點重合，設(shè)該中點為E，所以|EB|=|EA|,|EC|=|ED|，所以|EB|+|EC|=|EA|+|ED|，所以|BC|=|AD|，所以?OBC的面積與?OAD的面積相等．

19.解：(1)因為S0=0，S1=?1，S2=?2，S3=2，S4因為S8所以A所以cardA(2)①證明：由已知得Sn若對1,2,?,n?1中的任意正整數(shù)k，滿足Sk則Sn即Sn>S若在1,2,?,n?1中存在