江蘇省南通市新高考基地學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省南通市新高考基地學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?x?3>0}，B={?2,?1,1,2,3}，則A∩B=A.{?2} B.{1,2} C.{?2,3} D.{?2,2,3}2.若1+z1?i=z1+i，則A.?12+12i B.13.已知向量a和b滿足(a+b)⊥b，|A.1 B.2 C.3 4.某人通過手機(jī)APP記錄鍛煉情況，得到11月份每天的鍛煉時(shí)間(單位：?)如下表：鍛煉時(shí)間小于0.5[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)不小于2天數(shù)261084據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論一定正確的是(

)A.30天鍛煉時(shí)間的中位數(shù)不超過1.2? B.30天鍛煉時(shí)間的平均數(shù)不低于1.1?

C.30天鍛煉時(shí)間的極差不超過2.5? D.30天鍛煉時(shí)間的眾數(shù)不低于1.5?5.已知圓錐的底面半徑和球的半徑相等，且它們的表面積相等，則該圓錐和球的體積之比為(

)A.13 B.14 C.26.記函數(shù)f(x)=sin2x，x∈[0,π2]的圖象為曲線段C，直線y=m與C交于A，B兩點(diǎn)，直線y=6m與C交于D，E兩點(diǎn).若|AB|=2|DE|A.12 B.14 C.187.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的左、右兩支上，AB//OF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))A.6+22 B.38.已知三次函數(shù)f(x)=2ax(x?b)2的定義域和值域都為[a,b]，則b=(

)A.?12 B.0 C.1 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA.A1C1//平面ABE B.AC1//平面BDE

C.BE⊥10.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)=f′(x).若f(x)是奇函數(shù)，且f(x)?g(x)=ax，(a>0且a≠1)則(

)A.f(x)+g(x)=a?x B.g(x)≤?1

C.g′(x)=f(x) 11.設(shè)曲線C:x4+4y2=4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)(PA.曲線C是軸對(duì)稱圖形 B.△PAB的面積小于2

C.曲線C圍成的封閉圖形面積小于π D.∠APB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知{an}是等比數(shù)列，若a4a5=3a13.若α和β都為銳角，cos(α+β)=22，cosαsin14.設(shè)m，n∈N?，m≤10，n≤10，函數(shù)f(x)=emx?nx(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.718).從有序?qū)崝?shù)對(duì)(m,n)中隨機(jī)抽取一對(duì)，使得f(x)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊為a，b，c，若B=2C，b:c=4:(1)求cosB的值(2)若a=11，求△ABC的面積．16.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°，PA=PD．

(1)證明：PC⊥AD;(2)若PA=AD=4，PB=27，求平面PAB與平面ABCD17.(本小題15分)已知數(shù)列{an}滿足：{an+an+1}(1)證明：{an(2)設(shè)b是方程2x3+3x?2=0的根，數(shù)列{ban}的前18.(本小題17分)在坐標(biāo)平面xOy中，已知拋物線C:y2=2px(p>0)，經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l平行于AB且與C切于點(diǎn)D.當(dāng)直線AB與x(1)求C的方程;(2)若直線OD與AB交于點(diǎn)M，求M的橫坐標(biāo);(3)求△ABD的面積的最小值．19.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)定義域都為區(qū)間I，A，B，C是曲線W:y=f(x)，x∈I上任意不同的三點(diǎn).若點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列，且W在點(diǎn)B處的切線的斜率大于直線AC的斜率，則稱f(x)在I上為“中值偏移”函數(shù)．(1)設(shè)f(x)=ae?①討論f(x)的單調(diào)性;?②若f(x)是R上的“中值偏移”函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)證明：g(x)=?x2+xlnx參考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.C

6.C

7.A

8.D

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.48

13.214.32015.解：(1)b:c=4：5，正弦定理sinB:sinC=4:5

∴sin2C:sinC=4:5，2sinCcosC:sinC=4:5

sinC≠0，∴cosC=255，∴cosB=cos2C=216.解：(1)取AD中點(diǎn)為E，連接AC，PE，CE，

∵菱形ABCD中，∠ADC=60°，

∴△ACD為正三角形，

又E為AD中點(diǎn)，∴CE⊥AD，

∵PA=PD，E為AD中點(diǎn)，∴PE⊥AD，

又PE、CE?平面PCE，PE∩CE=E，

故AD⊥平面PCE，又PC?平面PCE，故AD⊥PC；

(2)作PM⊥EC于M，連接MC，

由(1)知AD⊥平面PCE，又PM?平面PCE，故AD⊥PM，

又PM⊥EC，EC∩AD=E，EC、AD?平面ABCD，故PM⊥平面ABCD，

菱形ABCD中，∠ADC=60°，∴∠DCB=120°，

由(1)知∠DCE=30°，∴∠ECB=90°，即DC⊥CB，

由PA=AD=4，可得△PAD為等邊三角形，PE=4×32=23，

同理可得CE=23，

設(shè)PM=x，則EM=PE2?PM2=12?x2，

BM2=CM2+CB2=(23?12?x2)2+42，

又PB=27，Rt△PMB中，PM2+MB2=PB2，

則x2+(23?12?x2)2+42=(27)2，

解得x=3，此時(shí)EM=12?x2=3=12CE，即M為17.(1)證明：由題意，n?2時(shí)，an+an+1?(an+an?1)=6，所以an+1?an?1=6，

an+an+1+an+2?(an?1+an+an+1)=9，所以an+2?an?1=9，

所以an+2?an+1=3，

又a1=1，a3=7，a2=4，

所以{18.解：(1)當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)直線AB的方程為x=2，

代入拋物線C的方程得y2=4p，則y=±2p，

又OA⊥OB，所以2p=2，解得p=1，

所以C的方程為y2=2x；

(2)易知直線AB的斜率不為0，

設(shè)直線AB的方程為x=my+2，直線l的方程為x=my+t，

聯(lián)立x=my+ty2=2x消去x可得，y2?2my?2t=0，

因?yàn)橹本€l與C切于點(diǎn)D，

所以Δ=(?2m)2+8t=0，解得t=?m22，

所以直線l的方程為x=my?m22，切點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m22,m)，

因?yàn)榇嬖谥本€OD，所以m≠0，

直線OD的方程為y=2mx，

聯(lián)立x=my+2y=2mx，解得xM=?2，

所以M的橫坐標(biāo)為?2；

(3)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為x=my+219.(1)解：?①fx=aex?x，f′x=aex?1，

若a?0，則f′x<0，可知函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減；

若a>0，令f′x=aex?1=0，解得x=?lna，

當(dāng)x>?lna時(shí)，f′x>0；當(dāng)x<?lna時(shí)，f′x<0，

則函數(shù)fx在?∞,?lna上單調(diào)遞減，在?lna,+∞上單調(diào)遞增．

綜上可得，

當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx在?∞,?lna上單調(diào)遞減，在?lna,+∞上單調(diào)遞增．

?②不妨設(shè)點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)分別為x0?d、x0、x0+d，其中d>0，

則曲線y=fx在點(diǎn)B處的切線