2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之多選題

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之多選題一．多選題（共25小題）1．（2024?屯溪區(qū)校級(jí)模擬）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，則A．雙曲線的離心率 B．若，則的漸近線方程為 C．若，則的漸近線方程為 D．若，則的漸近線方程為2．（2024?湖北模擬）在中，，，所對(duì)的邊為，，，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是A．若，則 B．的最大值為 C． D．角的最小值為3．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點(diǎn)，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長(zhǎng)度為4．（2024?隨州模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為 C．過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為 D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為5．（2024?宜春模擬）已知，如果實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意的，都存在，使得，則稱(chēng)為集合的“開(kāi)點(diǎn)”，則下列集合中以0為“開(kāi)點(diǎn)”的集合有A．， B．， C． D．6．（2024?河池二模）若，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．7．（2024?浙江模擬）已知隨機(jī)變量，，其中，已知隨機(jī)變量的分布列如下表12345若，則A． B． C． D．8．（2024?滁州模擬）已知事件，滿足（A），（B），則下列結(jié)論正確的是A． B．如果，那么 C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨(dú)立，那么9．（2024?鹽湖區(qū)一模）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則10．（2024?江西模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，，，時(shí)，．下列結(jié)論正確的是A． B． C．是奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞增11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點(diǎn)為，，、，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則A．若，則直線的斜率為或 B．若，則 C．若和不平行，則 D．若，則的最大值為12．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是A．，，，四點(diǎn)共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面13．（2024?青島模擬）已知?jiǎng)狱c(diǎn)，分別在圓和上，動(dòng)點(diǎn)在軸上，則A．圓的半徑為3 B．圓和圓相離 C．的最小值為 D．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)最短為14．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則A．當(dāng)時(shí)，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為15．（2024?江西一模）下列說(shuō)法正確的是A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2 B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5 C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的分位數(shù)是17 D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為1616．（2024?石家莊模擬）某?！拔逡惶飶竭\(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說(shuō)法正確的是A．三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人 C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人17．（2024?江西一模）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可能是A． B． C．1 D．218．（2024?江西一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)（如圖），則下列說(shuō)法正確的是A．若點(diǎn)在線段上，則平面 B．平面平面 C．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線 D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三棱錐體積的取值范圍為19．（2024?隨州模擬）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值20．（2024?菏澤模擬）已知向量在向量方向上的投影向量為，向量，且與夾角，則向量可以為A． B． C． D．21．（2024?臨沂二模）已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是A．若，，則 B．若，則 C．若，則 D．若和都為遞增數(shù)列，則22．（2024?浙江一模）已知正方形在平面直角坐標(biāo)系中，且，則直線的方程可能為A． B． C． D．23．（2024?泰安二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C．為遞減數(shù)列 D．的前5項(xiàng)和為24．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)，，的平均數(shù)為6 B．?dāng)?shù)據(jù)，，的方差為9 C．?dāng)?shù)據(jù)，，，2的方差為1 D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為525．（2024?河南模擬）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是A．的最小正周期為 B．點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 C．若在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 D．若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之多選題參考答案與試題解析一．多選題（共25小題）1．（2024?屯溪區(qū)校級(jí)模擬）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，則A．雙曲線的離心率 B．若，則的漸近線方程為 C．若，則的漸近線方程為 D．若，則的漸近線方程為【答案】【考點(diǎn)】求雙曲線的離心率；雙曲線的幾何特征；求雙曲線的漸近線方程【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】利用，可得，與漸近線斜率相比較即可構(gòu)造不等式求得離心率，知正確；根據(jù)斜率關(guān)系可知直線為雙曲線的一條漸近線，利用可構(gòu)造方程求得正確；分別利用和可構(gòu)造方程求得正誤．【解答】解：對(duì)于，，，，，，，又與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，，即，，，正確；對(duì)于，由知：，又，，直線即為雙曲線的一條漸近線，，，又，，，，，，，整理可得：，即，，，即，解得：，的漸近線方程為，錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，，整理可得：，即，，，的漸近線方程為，正確；對(duì)于，，，，，，，，整理可得：，，，即，的漸近線方程為，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線離心率、漸近線的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠利用余弦定理和漸近線斜率構(gòu)造關(guān)于，，的方程，進(jìn)而求得雙曲線的離心率和漸近線方程．是中檔題．2．（2024?湖北模擬）在中，，，所對(duì)的邊為，，，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是A．若，則 B．的最大值為 C． D．角的最小值為【答案】【考點(diǎn)】正弦定理【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；解三角形；綜合法【分析】對(duì)于，由余弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．對(duì)于，由已知利用基本不等式可求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．對(duì)于，由題意可得，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理即可求解．對(duì)于，利用基本不等式可求得，利用余弦定理可求，結(jié)合范圍，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：對(duì)于，若，，，由余弦定理，可得，可得，所以的面積為，故正確；對(duì)于，因?yàn)椋傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，可得，所以的面積為，故正確；對(duì)于，因?yàn)檫吷系闹悬c(diǎn)為，可得，所以兩邊平方，可得，可得，解得，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，因?yàn)椋傻?，，所以的最大值為，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及余弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．3．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點(diǎn)，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長(zhǎng)度為【答案】【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】對(duì)于：利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值；對(duì)于：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，得出，，利用向量夾角公式即可求解；對(duì)于：求出平面的法向量為，0，，利用向量夾角公式即可求解；對(duì)于：由可得，即可求解．【解答】解：對(duì)于，（定值），故正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，1，，設(shè)，，，，則，對(duì)于，，與的夾角滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于，平面的法向量為，0，，直線與平面所成的角的正弦值為，故正確；對(duì)于，，2，，，由可得，化簡(jiǎn)可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，所以的軌跡的長(zhǎng)度為，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等體積法求體積以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024?隨州模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為 C．過(guò)點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為 D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；球的體積和表面積【專(zhuān)題】立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間角；對(duì)應(yīng)思想；向量法【分析】對(duì)于：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在△中即為異面直線與所成的角，即可判定；對(duì)于：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過(guò)作，此時(shí)取得最小值，即可判定；對(duì)于：過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在△中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長(zhǎng)，即過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)，即可判定；對(duì)于：取的中點(diǎn)，則，過(guò)作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計(jì)算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，，在△中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故正確；對(duì)于選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體，平面平面，則過(guò)點(diǎn)、、的平面必與與交于兩點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)、、的平面必與與分別交于、，過(guò)點(diǎn)、、的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，，，，，，，，解得，，，，，在△中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過(guò)點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為．故正確；對(duì)于選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過(guò)作，此時(shí)取得最小值，在△中，，，，在△中，，，，在△中，，，，如圖，在中，，即的最小值為，而的最大值為．故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過(guò)作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，，．故項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角以及利用空間向量法解決球體相關(guān)問(wèn)題，屬于中檔題．5．（2024?宜春模擬）已知，如果實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意的，都存在，使得，則稱(chēng)為集合的“開(kāi)點(diǎn)”，則下列集合中以0為“開(kāi)點(diǎn)”的集合有A．， B．， C． D．【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專(zhuān)題】綜合法；綜合題；集合；集合思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由開(kāi)點(diǎn)的定義和元素和集合的關(guān)系可求得結(jié)果．【解答】解：對(duì)于，對(duì)任意的，存在，使得，故正確；對(duì)于，假設(shè)集合，以0為“開(kāi)點(diǎn)“，則對(duì)任意的，存在，，使得，當(dāng)時(shí)，該式不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，假設(shè)集合以0為“開(kāi)點(diǎn)“，則對(duì)任意的，存在，使得，故正確；對(duì)于，集合，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，使得不成立，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．6．（2024?河池二模）若，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】等式與不等式的性質(zhì)；不等關(guān)系與不等式【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：，，，，即，故正確；不妨取，，，，，顯然，故錯(cuò)誤；，，，，即，故正確；，，，，，，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?浙江模擬）已知隨機(jī)變量，，其中，已知隨機(jī)變量的分布列如下表12345若，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量及其分布列【專(zhuān)題】整體思想；概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由已知結(jié)合概率的性質(zhì)及期望公式先檢驗(yàn)，，然后再由期望及方差的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由，可得，由，可得，從而得：，，故正確，錯(cuò)誤，，故項(xiàng)正確，因?yàn)?，所以．，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布列的求解，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?滁州模擬）已知事件，滿足（A），（B），則下列結(jié)論正確的是A． B．如果，那么 C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨(dú)立，那么【答案】【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；互斥事件與對(duì)立事件【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；方程思想【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式逐個(gè)分析判斷即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，如果，那么（A），故正確；對(duì)于選項(xiàng)，如果與互斥，那么（A）（B），故正確；對(duì)于選項(xiàng)，如果與相互獨(dú)立，那么，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（2024?鹽湖區(qū)一模）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則【答案】【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；綜合法【分析】根據(jù)空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，即可分別求解．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，，，或與相交或與異面，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，，，，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，，，與內(nèi)的某條直線平行，也平行該直線，又，，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，，，，，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10．（2024?江西模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，，，時(shí)，．下列結(jié)論正確的是A． B． C．是奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞增【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；抽象函數(shù)的周期性【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想【分析】令，可得；令及題意條件，可得（1）；令，可得當(dāng)時(shí)，；令，可得①，令，可得②，由①②可得，進(jìn)而可判斷的正誤；由及賦值即可判斷的正誤；由可得，解方程組即可判斷的正誤；令，，及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷的正誤．【解答】解：令可得：；令可得：（1）（1）．因?yàn)楫?dāng)，，時(shí)，，所以（1），所以（1）．令可得：，即，又因?yàn)楫?dāng)，，時(shí)，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，．令，可得①，所以，，兩式相加可得：．令，可得②．①②可得，化簡(jiǎn)可得，所以是奇函數(shù)，故正確；由，可得（2）（1），（3）（2），（4）（3），，，故錯(cuò)誤；由可得解得，故正確；令，，可得．令，則，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)樵谏蠟槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點(diǎn)為，，、，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則A．若，則直線的斜率為或 B．若，則 C．若和不平行，則 D．若，則的最大值為【答案】【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，可判斷選項(xiàng)；利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷選項(xiàng)；利用三角形三邊關(guān)系可判斷選項(xiàng)；利用余弦定理、基本不等式可判斷選項(xiàng)．【解答】解：易知拋物線的焦點(diǎn)為，對(duì)于選項(xiàng)，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，因?yàn)?，則在直線上，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則△，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此時(shí)，直線的斜率為，對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在直線上，，則，對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)和不平行時(shí)，則、、三點(diǎn)不共線，所以，，錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，由選項(xiàng)可得，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，對(duì)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法，是中檔題．12．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是A．，，，四點(diǎn)共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面【答案】【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面平行；平面的基本性質(zhì)及推論；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【專(zhuān)題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】由題意可得過(guò)，，三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，判斷出的真假；分別連接，和，，截面是等腰梯形，判斷出的真假；分別取，的中點(diǎn)，，易證顯然不平行平面，可判斷出的真假；平面，可判斷出的真假．【解答】解：對(duì)于：如圖經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，點(diǎn)在平面外，所以，，，四點(diǎn)不共面，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于：分別連接，和，，則平面即平面，截面是等腰梯形，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于：分別取，的中點(diǎn)，，則平面即為平面，由正六邊形，可知，所以不平行于，又，平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于：因?yàn)?，是等腰三角形，所以，所以，所以，因?yàn)?，是，的中點(diǎn)，易證，由正方體可得平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的證法及平面與平面垂直的證法，屬于中檔題．13．（2024?青島模擬）已知?jiǎng)狱c(diǎn)，分別在圓和上，動(dòng)點(diǎn)在軸上，則A．圓的半徑為3 B．圓和圓相離 C．的最小值為 D．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)最短為【答案】【考點(diǎn)】由圓與圓的位置關(guān)系求解圓的方程或參數(shù)【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】項(xiàng)，根據(jù)圓的方程即可得；項(xiàng)，計(jì)算圓心距與半徑之間的關(guān)系；項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得；項(xiàng)，利用勾股定理可得．【解答】解：的半徑為，錯(cuò)誤；圓和圓圓心距為，則圓和圓相離；項(xiàng)，作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，所以，錯(cuò)誤；項(xiàng)，點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)最小時(shí)，軸，圓心到軸的距離為2，切線長(zhǎng)的最小值為：，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．14．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則A．當(dāng)時(shí)，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為【答案】【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面所成的角；直線與平面垂直【專(zhuān)題】立體幾何；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】根據(jù)三垂線定理及線面垂直的判定定理，三棱錐的體積公式，線面角的求法，坐標(biāo)法求點(diǎn)面距，即可分別求解．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與重合，根據(jù)三垂線定理易證，，從而可得平面，即平面，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，與相交，到平面的距離不是定值，又的面積為定值，對(duì)任意，，三棱錐的體積不是定值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)易知平面，當(dāng)時(shí)，與重合，如圖，設(shè)，連接，，易知平面，又平面，平面平面，且平面平面，在平面的射影為，與平面所成角為，又易知，存在，，使得與平面所成的角為，選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)，正方體的外接球的球心為正方體的體心，且外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，，，當(dāng)時(shí)，為靠近的三等分點(diǎn)，建系如圖，則，0，，，2，，，，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，球心到平面的距離，平面截該正方體的外接球所得截面小圓半徑，平面截該正方體的外接球所得截面小圓的面積為，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，三棱錐的體積變化問(wèn)題，線面角的變化問(wèn)題，球的截面面積的求解，三垂線定理的應(yīng)用，坐標(biāo)法的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．15．（2024?江西一模）下列說(shuō)法正確的是A．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，個(gè)體被抽到的概率是0.2 B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5 C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的分位數(shù)是17 D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為16【答案】【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；整體思想【分析】利用概率的定義即可判斷；根據(jù)平均數(shù)求得的值，然后利用方差公式求解即可判斷；根據(jù)百分位數(shù)的求法即可判斷；利用方差公式求解即可判斷．【解答】解：對(duì)于，一個(gè)總體含有50個(gè)個(gè)體，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，故正確；對(duì)于，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)的方差是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，8個(gè)數(shù)據(jù)50百分位為，第50百分位數(shù)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，依題意，，則，所以數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為16，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)、百分位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?石家莊模擬）某校“五一田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說(shuō)法正確的是A．三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人 C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人【答案】【考點(diǎn)】圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【專(zhuān)題】集合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法【分析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合求解．【解答】解：設(shè)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目的集合分別為、、，則（A），（B），（C），，，，設(shè)，可得，解得，所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有3人，只參加400米比賽的有2人，只參加1500米比賽的有1人，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查韋恩圖、交集等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（2024?江西一模）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可能是A． B． C．1 D．2【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)抽象；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷對(duì)稱(chēng)性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性得出答案．【解答】解：因?yàn)?，所以，即函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；令，則，時(shí)，，，所以，所以為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)．因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024?江西一模）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)（如圖），則下列說(shuō)法正確的是A．若點(diǎn)在線段上，則平面 B．平面平面 C．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線 D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三棱錐體積的取值范圍為【答案】【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行；命題的真假判斷與應(yīng)用【專(zhuān)題】運(yùn)動(dòng)思想；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；綜合法【分析】證明面面平行，可得線面平行判定；由直線與平面垂直可得平面與平面垂直判斷；由雙曲線的定義求出點(diǎn)的軌跡判定；由運(yùn)動(dòng)思想求得三棱錐體積的取值范圍判斷．【解答】解：在正方體中，由，且，可得四邊形為平行四邊形，則，同理可得，由面面平行的判定可得平面平面，若點(diǎn)在線段上，則平面，得平面，故正確；由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得平面，又平面，平面平面，故正確；為定值，滿足的點(diǎn)在以為頂點(diǎn)，為軸的圓錐的側(cè)面上，又在平面上，且平面，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是雙曲線，故錯(cuò)誤；設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓，，，平面，則平面平面，設(shè)與圓的交點(diǎn)分別為，（點(diǎn)位于點(diǎn)，之間），可知當(dāng)點(diǎn)分別位于點(diǎn)，時(shí)，點(diǎn)到平面的距離分別取到最小值和最大值，且距離的最小值，距離的最大值．的面積，，．三棱錐體積的取值范圍為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，綜合性強(qiáng)，難度較大．19．（2024?隨州模擬）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由，根據(jù)，逐一判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：正實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)于，即有，可得，即有，即有時(shí)，取得最小值4，故正確；對(duì)于，由，可得有最大值，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由，可得時(shí)，取得最大值，故正確；對(duì)于，由可得，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故正確．綜上可得，，均正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?菏澤模擬）已知向量在向量方向上的投影向量為，向量，且與夾角，則向量可以為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義；平面向量的投影向量【專(zhuān)題】平面向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的投影公式，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解．【解答】解：向量，則，向量在向量方向上的投影向量為，與夾角，則，解得，故，對(duì)于，滿足，，符合題意，故正確；對(duì)于，，不符合題意，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，不符合題意，故錯(cuò)誤；對(duì)于，滿足，，符合題意，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的投影公式，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．21．（2024?臨沂二模）已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是A．若，，則 B．若，則 C．若，則 D．若和都為遞增數(shù)列，則【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，可判定錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定正確；由，求得，可判定正確；根據(jù)題意，求得任意的，，結(jié)合的正負(fù)不確定，可判定錯(cuò)誤．【解答】解：對(duì)于中，由，，可得，所以，又由，所以錯(cuò)誤；對(duì)于中，由，所以正確；對(duì)于中，由，所以，又因?yàn)?，則，所以正確；對(duì)于中，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得公差，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得，所以對(duì)任意的，，但的正負(fù)不確定，所以錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．22．（2024?浙江一模）已知正方形在平面直角坐標(biāo)系中，且，則直線的方程可能為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的性質(zhì)【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】直接利用直線的夾角公式求出結(jié)果．【解答】解：直線，整理得，由于直線的斜率為，設(shè)直線的斜率，利用直線的夾角公式，，解得或；故滿足條件的直線方程只有，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：直線的方程，夾角公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?泰安二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C．為遞減數(shù)列 D．的前5項(xiàng)和為【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；綜合法【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再逐項(xiàng)求解判斷即可．【解答】解：等差數(shù)列中，，解得，而，因此公差，通項(xiàng)，對(duì)于，，錯(cuò)誤；對(duì)于，，正確；對(duì)于，，為遞減數(shù)列，正確；對(duì)于，，所以的前5項(xiàng)和為，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)，，的平均數(shù)為6 B．?dāng)?shù)據(jù)，，的方差為9 C．?dāng)?shù)據(jù)，，，2的方差為1 D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為5【答案】【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)【專(zhuān)題】定義法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；方程思想【分析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)求解．【解答】解：樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，對(duì)于，數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，數(shù)據(jù)，，的方差為，故正確；對(duì)于，數(shù)據(jù)，，，2的方差為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，，，，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．25．（2024?河南模擬）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是A．的最小正周期為 B．點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 C．若在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 D．若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為【答案】【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；整體思想【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷出所給命題的真假．【解答】解：中，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，所以正確；中，因?yàn)?，，所以不正確；中，，，可得，，當(dāng)，時(shí)，有唯一解，當(dāng)，，且時(shí)，兩解，所以，時(shí)，有兩解，所以正確；中，，所以，，所以當(dāng)，時(shí)，即，，函數(shù)，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．元素與集合關(guān)系的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體稱(chēng)為集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集．元素一般用小寫(xiě)字母a，b，c表示，集合一般用大寫(xiě)字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的．即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對(duì)于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中的未知元素．（3）無(wú)序性：集合于其中元素的排列順序無(wú)關(guān)．這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類(lèi)討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過(guò)3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意．分類(lèi)討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題．2．Venn圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．Venn圖表示N∩（?UM）為：．【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】如圖，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，則陰影部分表示的集合是（）解：由題意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，故陰影部分表示的集合是?R（M∪N）＝[0，8]．3．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫(xiě)法，本題不應(yīng)將“非p”寫(xiě)成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．4．等式與不等式的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對(duì)稱(chēng)性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開(kāi)方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．5．不等關(guān)系與不等式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對(duì)于相等關(guān)系來(lái)說(shuō)的，比如與就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個(gè)式子，比方說(shuō)a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①對(duì)任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集為{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．這個(gè)題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這個(gè)題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個(gè)周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當(dāng)ab＞0時(shí)，a＞b?．證明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，則∴a＞b．這個(gè)例題就是上面定理的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯(cuò)的，直接舉個(gè)反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．6．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫(xiě)成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，＝，用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤，若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒(méi)有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問(wèn)題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．7．函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．8．抽象函數(shù)的周期性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類(lèi)函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類(lèi)問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一．【解題方法點(diǎn)撥】①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來(lái)，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通過(guò)賦特殊值法使問(wèn)題得以解決例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函數(shù)，也可以運(yùn)用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；【命題方向】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．9．函數(shù)恒成立問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)恒成立問(wèn)題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時(shí)，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說(shuō)某個(gè)參數(shù)的存在使得在有些情況下無(wú)法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡(jiǎn)化解題過(guò)程．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．一般恒成立問(wèn)題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問(wèn)題，常用的方法是分離參變量【命題方向】題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)恒成立問(wèn)題的理解和應(yīng)用能力．關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對(duì)x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴?x∈R，m＜恒成立，∵x2+x+1＝（x+）2+≥，∴0＜≤，∴m≤0．10．三角函數(shù)的周期性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】周期性①一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解題方法點(diǎn)撥】1．一點(diǎn)提醒求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號(hào)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才能把ωx+φ看作一個(gè)整體，代入y＝sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．兩類(lèi)點(diǎn)y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）．3．求周期的三種方法①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長(zhǎng)度．11．正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性正弦函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝kπ+，k∈z．【解題方法點(diǎn)撥】例：函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝．解：由于函數(shù)y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝，而函數(shù)y＝sint的對(duì)稱(chēng)軸為則，解得（k∈Z）則函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對(duì)稱(chēng)軸方程為故答案為．這個(gè)題很有代表性，一般三角函數(shù)都是先化簡(jiǎn)，化成一個(gè)單獨(dú)的正弦或者余弦函數(shù)，然后把2x﹣看成一個(gè)整體，最后根據(jù)公式把單調(diào)性求出來(lái)即可．【命題方向】這個(gè)考點(diǎn)非常重要，也很簡(jiǎn)單，大家熟記這個(gè)公式，并能夠理解運(yùn)用就可以了．12．三角函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝+cos（2x+）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2?＝+（cos2x﹣sin2x）＝+cos（2x+）．故答案為：+cos（2x+）．這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來(lái)．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是t＝∴當(dāng)t＝時(shí)函數(shù)有最小值，而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)或t＝1時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)∵t＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝12﹣1+3＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)y的值即sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的最大值為5．這個(gè)題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，在換元的時(shí)候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．【命題方向】求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)常考點(diǎn)，主要方法我上面已經(jīng)寫(xiě)了，大家要注意的是把一些基本的方法融會(huì)貫通，同時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域和相對(duì)應(yīng)的值域．13．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開(kāi)始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問(wèn)告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來(lái)了．第二問(wèn)判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．14．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見(jiàn)，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．15．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、向量的夾角概念：對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積，記做即：＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．注意：①表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cosθ決定；②符號(hào)“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一個(gè)數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長(zhǎng)：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||cosθ的積．16．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，＝||||；當(dāng)，方向相反時(shí)，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）（4）cosθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類(lèi)比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類(lèi)比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類(lèi)比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類(lèi)比得到“（）?＝”；⑥“”類(lèi)比得到．以上的式子中，類(lèi)比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類(lèi)比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類(lèi)比得到“?”，即③錯(cuò)誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類(lèi)比得到“||＝||?||”；即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類(lèi)比得到“（）?＝”，即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類(lèi)比得到，即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類(lèi)比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類(lèi)比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類(lèi)比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類(lèi)比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類(lèi)比得到．【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來(lái)說(shuō)也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．17．平面向量的投影向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】投影向量是指一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影．投影向量可以用來(lái)求兩個(gè)向量之間的夾角，也可以用來(lái)求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的分解．設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，考慮如下的變換：過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱(chēng)上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．向量在向量上的投影向量是．【解題方法點(diǎn)撥】投影，是一個(gè)動(dòng)作．投影向量，是一個(gè)向量．我們把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解為投影數(shù)量乘上一個(gè)方向上的單位向量．（1）向量在向量上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個(gè)向量，且與共線，其方向由向量和夾角θ的余弦值決定．（2）注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量為．【命題方向】（1）向量分解：將一個(gè)向量分解成與另一個(gè)向量垂直和平行的兩個(gè)部分．（2）向量夾角計(jì)算：通過(guò)求兩個(gè)向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問(wèn)題：求點(diǎn)到平面的距離．18．正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問(wèn)題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無(wú)解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無(wú)解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問(wèn)題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問(wèn)題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．（2）測(cè)量高度問(wèn)題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問(wèn)題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱(chēng)為俯角．19．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類(lèi)（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱(chēng)為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱(chēng)其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．20．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．21．球的體積和表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．球體：在空間中，到定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合稱(chēng)為球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球．其中到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用，常見(jiàn)結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．22．平面的基本性質(zhì)及推論【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．①推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．②推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．③推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線．【解題方法點(diǎn)撥】1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．3．公理3是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．23．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱(chēng)兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：24．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間兩條直線的位置關(guān)系：位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圖示相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)無(wú)異面直線不同時(shí)在任何一個(gè)平面內(nèi)無(wú)25．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)符號(hào)表示圖示直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a?α直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)a∩α＝A直線和平面平行無(wú)a∥α26．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類(lèi)，一類(lèi)與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類(lèi)與a異面，也有無(wú)數(shù)條．27．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說(shuō)直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．28．平面與平面之間的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面與平面之間的位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)符號(hào)表示圖示兩平面平行無(wú)α∥β兩平面相交有一條公共直線α∩β＝l29．平面與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．性質(zhì)定理4：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．30．直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問(wèn)題（空間問(wèn)題）是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問(wèn)題（平面問(wèn)題）來(lái)解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類(lèi)似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問(wèn)題．在求直線和平面所成