2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之填空題

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之填空題一．填空題（共25小題）1．（2024?楊浦區(qū)校級三模）對于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本、、、，記這個數(shù)的第百分位數(shù)為．若不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個，則的所有可能值組成的集合為．2．（2024?河南模擬）的展開式中的系數(shù)為．3．（2024?蜀山區(qū)校級模擬）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是．4．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)的最小值為，則．5．（2024?葫蘆島二模）已知實數(shù)，，則的最大值為．6．（2024?廣州模擬）已知橢圓的左右焦點為，．直線與橢圓相交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為．7．（2024?南湖區(qū)校級一模）展開式中的常數(shù)項是120，則實數(shù)．8．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5，其頂點和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為．9．（2024?河南模擬）已知△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，若，為中點，則．10．（2024?回憶版）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點，若，，則的離心率為．11．（2024?安徽模擬）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為．12．（2024?衡陽模擬）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），為坐標原點），，則．13．（2024?順義區(qū)校級模擬）為等邊三角形，且邊長為2，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為．14．（2024?錦州模擬）已知，，，，2，3，，，，，為，，，中不同數(shù)字的種類，如，1，4，，，4，4，，，2，2，與，2，1，視為不同的排列，則，，，的不同排列有個（用數(shù)字作答）；所有的排列所得，，，的平均值為．15．（2024?紅橋區(qū)一模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．16．（2024?孝南區(qū)校級模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則．17．（2024?南岸區(qū)模擬）．18．（2024?淅川縣校級三模）已知集合與集合，，求集合．19．（2024?芝罘區(qū)校級模擬）如圖，圓與軸的正半軸的交點為，點、在圓上，且點位于第一象限，點的坐標為，，若，則的值為．20．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．21．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點，若，，則雙曲線的離心率是．22．（2024?紅谷灘區(qū)校級模擬）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，正八面體就是其中之一．正八面體由八個等邊三角形構(gòu)成，也可以看作由上、下兩個正方錐體黏合而成，每個正方錐體由四個三角形與一個正方形組成．如圖，在正八面體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是．23．（2024?歷下區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為．24．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．25．（2024?渭南二模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之填空題參考答案與試題解析一．填空題（共25小題）1．（2024?楊浦區(qū)校級三模）對于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本、、、，記這個數(shù)的第百分位數(shù)為．若不在這組數(shù)據(jù)中，且在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個，則的所有可能值組成的集合為，．【答案】，．【考點】百分位數(shù)【專題】函數(shù)思想；分析法；概率與統(tǒng)計；數(shù)據(jù)分析【分析】根據(jù)是否為正整數(shù)分類討論，若為正整數(shù)，則5個數(shù)分別為，，，若不為整數(shù)，則5個數(shù)分別為，，，根據(jù)，的范圍分類計算．【解答】解：設(shè)，則不在這組數(shù)據(jù)，為正整數(shù)，，，在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個，故這個5個數(shù)分別為，，，即，當，6，7，當時，，，，即為，，，，共5個，符合；當時，，，，即為，，，，，，共6個，不符合；當時，，，，，，，，共7個，不符合，若為整數(shù)，可得，即有；若不為整數(shù)，故，其中為正奇數(shù)，設(shè)，其中為正整數(shù)，則，且，故，，，在區(qū)間，中的數(shù)據(jù)有且只有5個，這5個數(shù)分別為，，，，即，但當，，此時，，至少有6個，，6，7，當時，，，即為，，，，，共5個，符合，此時；當時，，，即為，，，，，，共6個，不符合；當時，，，即為，，，，，，，共7個，不符合．綜上，符合條件的為50，55．故答案為：，．【點評】本題考查百分位數(shù)的定義和集合的表示，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2024?河南模擬）的展開式中的系數(shù)為．【考點】二項式定理【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；二項式定理；綜合法【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得展開式中的系數(shù)．【解答】解：的展開式的通項公式為，令，求得，可得展開式中的系數(shù)為，故答案為：．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?蜀山區(qū)校級模擬）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是，．【答案】，．【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；交集及其運算【專題】轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)已知條件，推得，即可求出的取值范圍．【解答】解：，則，，，則，故實數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)的最小值為，則2．【考點】函數(shù)的最值；分段函數(shù)的應(yīng)用【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；運算求解【分析】由題意可知當時，，從而得當時，有最小值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：因為當時，，易知此時，，且在，上單調(diào)遞減，又因為函數(shù)的最小值為，所以當時，有最小值，令，則有，，當，即時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不能取到最小值；當，即時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，解得，又因為，所以．故答案為：2．【點評】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．5．（2024?葫蘆島二模）已知實數(shù)，，則的最大值為2．【答案】2【考點】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的最值【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；不等式的解法及應(yīng)用；函數(shù)思想【分析】將分式化簡，然后結(jié)合平方均值不等式與基本不等式的相關(guān)知識即可得到結(jié)論【解答】解：因為，因為，，所以根據(jù)平方均值不等式得：，當且僅當時等號成立，將上式化簡得：，當且僅當：時等號成立，即，又因為，所以當時取得最大值．故答案為：2【點評】本題主要考察了基本不等式的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)條件化簡可以知道，基本不等式的靈活運用是解題的關(guān)鍵6．（2024?廣州模擬）已知橢圓的左右焦點為，．直線與橢圓相交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為．【答案】．【考點】橢圓的幾何特征【分析】由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)橢圓的定義求出，，再在△中，利用余弦定理求出，的關(guān)系，即可得解．【解答】解：由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，則，由，得，因為，所以，又，所以，在△中，由余弦定理得，即，所以，即橢圓的離心率．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?南湖區(qū)校級一模）展開式中的常數(shù)項是120，則實數(shù)2．【答案】2．【考點】二項展開式的通項與項的系數(shù)【專題】綜合法；二項式定理；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；計算題；數(shù)學(xué)運算【分析】求出的通項公式，得到與，從而得到展開式常數(shù)項，得到方程，求出．【解答】解：展開式的通項公式為，令得，即．令得，即，展開式中的常數(shù)項為，故，解得．故答案為：2．【點評】本題考查的知識要點：二項展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5，其頂點和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為．【答案】．【考點】圓錐的體積【專題】整體思想；立體幾何；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】求出圓錐的底面半徑，結(jié)合錐體的體積公式可求得該圓錐的體積．【解答】解：取圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)圓錐的外接球為球，易知，且，，則，故圓錐的底面半徑為，因此該圓錐的體積為．故答案為：．【點評】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?河南模擬）已知△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，若，為中點，則．【考點】余弦定理；解三角形【專題】整體思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算【分析】由已知結(jié)合余弦定理先求出，然后結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為△中，，，，由余弦定理得，，即，所以，為中點，則，所以，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了余弦定理，向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024?回憶版）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點，若，，則的離心率為．【答案】．【考點】雙曲線的幾何特征【專題】對應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解【分析】由題意求出，，利用雙曲線的定義求出和、，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意知，，，所以，解得；又時，，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率為．故答案為：．【點評】本題考查了雙曲線的定義與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．11．（2024?安徽模擬）已知正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為．【答案】．【考點】求等差數(shù)列的前項和【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；整體思想【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)，基本不等式即可求解．【解答】解：正項等差數(shù)列中，，所以，則，當且僅當時等號成立．故答案為：．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?衡陽模擬）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），為坐標原點），，則．【答案】．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】方程思想；運算求解；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】由題意可得直線的斜率和直線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和拋物線的焦半徑公式，解方程可得，可得所求值．【解答】解：的焦點為，，準線方程為，由，可得直線的斜率為，直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即為，設(shè)，，，，可得，，由，可得，解得，，，則．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?順義區(qū)校級模擬）為等邊三角形，且邊長為2，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；平面向量及應(yīng)用；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)平面向量的夾角與數(shù)量積定義，平面向量的線性運算，函數(shù)思想即可求解．【解答】解：為等邊三角形，則與的夾角為的補角，即與的夾角大小為，，在以為圓心，1為半徑的圓上，又，為等邊三角形，且邊長為2，，且，設(shè)，則，，，，，時，，取得最小值，故答案為：；．【點評】本題考查平面向量的夾角與數(shù)量積定義，平面向量的線性運算，函數(shù)思想，屬基礎(chǔ)題．14．（2024?錦州模擬）已知，，，，2，3，，，，，為，，，中不同數(shù)字的種類，如，1，4，，，4，4，，，2，2，與，2，1，視為不同的排列，則，，，的不同排列有256個（用數(shù)字作答）；所有的排列所得，，，的平均值為．【答案】256；．【考點】排列組合的綜合應(yīng)用；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)【專題】數(shù)學(xué)運算；整體思想；綜合法；排列組合【分析】本題首先可以確定，，，的所有可能取值分別為1、2、3、4，然后分別計算出每一種取值所對應(yīng)的排列個數(shù)，進而得到每一種取值所對應(yīng)的概率，最后根據(jù)每一種取值所對應(yīng)的概率即可計算出，，，的平均值．【解答】解：由題意可知，，，，的不同排列有個，當，，，時，；當，，，時，，當，，時，；當，，，時，，綜上所述，所有的256個，的排列所得的，，，的平均值為：．故答案為：256；．【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了平均值的計算，屬于中檔題．15．（2024?紅橋區(qū)一模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．【答案】．【考點】復(fù)數(shù)的運算【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；整體思想【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算進行化簡即可求解．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?孝南區(qū)校級模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則44．【答案】44．【考點】等差數(shù)列的前項和【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算【分析】由已知條件，可推得，再結(jié)合等差數(shù)列前項和公式，求解即可．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，即，，．故答案為：44．【點評】本題考查了等差數(shù)列前項和公式和性質(zhì)，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?南岸區(qū)模擬）．【答案】．【考點】有理數(shù)指數(shù)冪及根式；對數(shù)的運算性質(zhì)【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可求解．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】本題主要考查了指數(shù)冪的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?淅川縣校級三模）已知集合與集合，，求集合．【考點】其他不等式的解法；交集及其運算【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；集合；集合思想【分析】先求出集合，再利用交集運算求解．【解答】解：由可得，且，解得，又集合，，集合．故答案為：．【點評】本題主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?芝罘區(qū)校級模擬）如圖，圓與軸的正半軸的交點為，點、在圓上，且點位于第一象限，點的坐標為，，若，則的值為．【考點】：任意角的三角函數(shù)的定義【專題】49：綜合法；15：綜合題；34：方程思想；56：三角函數(shù)的求值【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡即可得到結(jié)論．【解答】解：點的坐標為，設(shè)，，即，，，若，，則，則，故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)的輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．20．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．【答案】．【考點】古典概型及其概率計算公式【專題】數(shù)學(xué)運算；概率與統(tǒng)計；對應(yīng)思想；定義法【分析】記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，然后可解．【解答】解：由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合，，，中的元素有674個偶數(shù)，1350個奇數(shù)，記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，顯然集合共有個，集合共有個，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合共有個，又集合的非空子集共有個，所以中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．故答案為：．【點評】本題考查集合、二項式系數(shù)的性質(zhì)以及古典概型相關(guān)知識，屬于中檔題．21．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點，若，，則雙曲線的離心率是．【答案】．【考點】雙曲線的幾何特征【專題】方程思想；數(shù)學(xué)運算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)及勾股定理即可求解．【解答】解：設(shè)，，，，又，，又，，，，，，，又，，，，，，又，．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題．22．（2024?紅谷灘區(qū)校級模擬）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，正八面體就是其中之一．正八面體由八個等邊三角形構(gòu)成，也可以看作由上、下兩個正方錐體黏合而成，每個正方錐體由四個三角形與一個正方形組成．如圖，在正八面體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是．【答案】．【考點】異面直線及其所成的角【專題】空間角；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】根據(jù)正八面體的性質(zhì)，異面直線所成的角的定義即可得．【解答】解：取棱的中點，連接，．因為，分別是棱，的中點，所以，則或其補角是異面直線與所成的角．設(shè)，則，正方形中，，正三角形中，．在中，由余弦定理可得，則異面直線與所成角的余弦值是．故答案為：．【點評】本題考查正八面體的性質(zhì)，異面直線所成的角，屬于中檔題．23．（2024?歷下區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為，．【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)函數(shù)解析式特征，判斷其圖象關(guān)于點中心對稱；通過求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)為正得在上單調(diào)遞增；再利用對稱性將進行等價轉(zhuǎn)化，最后利用單調(diào)性求解抽象不等式即得．【解答】解：因為，所以，所以，即的圖像關(guān)于點中心對稱，因為，當且僅當時取等號，所以在上單調(diào)遞增，由，得，由可得，即，所以，解得．故答案為：，．【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．【答案】．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算【分析】根據(jù)題意易得，，，再作出底面圖形，根據(jù)向量共線定理，三棱錐的體積公式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，作出底面圖形，延長，交于點，如圖所示：由，可得，設(shè)，又，，又，，三點共線，，，，又，，，又，且，，．故答案為：．【點評】本題考查四面體的體積問題，向量的線性運算，向量共線定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．25．（2024?渭南二模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為11分．【答案】11分．【考點】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算；整體思想；綜合法【分析】根據(jù)題意，求出小明同學(xué)多選題所有可能總得分，再結(jié)合中位數(shù)的定義求解．【解答】解：由題意可知，小明同學(xué)三個多選題中第一小題得6分，第二小題可能得0分或4分或6分，第三小題可能得0分或2分或3分，所以小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：6分，8分，9分，10分，12分，13分，14分，15分，所以中位數(shù)為分．故答案為：11分．【點評】本題主要考查了中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

考點卡片1．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點的認識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．2．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．3．基本不等式及其應(yīng)用【知識點的認識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實例解析例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當0＜x＜1時，如何求的最大值．解：當x＝0時，y＝0，當x≠0時，＝，用基本不等式若x＞0時，0＜y≤，若x＜0時，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當且僅當x＝1時取“＝”號）技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．4．其他不等式的解法【知識點的認識】指、對數(shù)不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點就是學(xué)會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運算，下面以例題為講解．【解題方法點撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．證明：對任意的實數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當x＞1時，h'（x）＞0，h（x）為增，當x＜1時，h'（x）＜0，h（x）為減，當x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點其實是大家的計算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當a＞1時，有，解得2＜x＜3．當1＞a＞0時，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當1＞a＞0時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當然也可以右邊移到左邊，然后變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點其實主要是學(xué)會判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點考察學(xué)生的運算能力，也是一個比較重要的考點，希望大家好好學(xué)習(xí)．5．函數(shù)的最值【知識點的認識】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐標，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得．【解題方法點撥】①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較．【命題方向】本知識點是?？键c，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識點未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．6．奇偶性與單調(diào)性的綜合【知識點的認識】對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時能融會貫通，靈活運用．在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反例題：如果f（x）＝為奇函數(shù)，那么a＝．解：由題意可知，f（x）的定義域為R，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）?a＝1【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結(jié)，一定要重視這一個知識點．7．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識點的認識】根式與分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分數(shù)指數(shù)冪：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②負分數(shù)指數(shù)冪：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點撥】例1：下列計算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點評：本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，先分別判斷四個備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點評：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運算，解題時要熟練掌握基本的運算法則和運算性質(zhì)．8．對數(shù)的運算性質(zhì)【知識點的認識】對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．9．任意角的三角函數(shù)的定義【知識點的認識】任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝．2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）．【解題方法點撥】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：（1）角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x；（2）縱坐標y；（3）該點到原點的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況（點所在象限不同）．【命題方向】已知角α的終邊經(jīng)過點（﹣4，3），則cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣分析：由條件直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosα的值．解：∵角α的終邊經(jīng)過點（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故選：D．點評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．分段函數(shù)的應(yīng)用【知識點的認識】分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實當中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．【解題方法點撥】正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件元，預(yù)計年銷售量將減少p萬件．（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，政府對該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬元）故所求函數(shù)為y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時，稅收不少于16萬元．…（9分）（III）第二年，當稅收不少于16萬元時，廠家的銷售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是減函數(shù)∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大．這個典型的例題當中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無關(guān)．我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達式；第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．【命題方向】修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．11．等差數(shù)列的前n項和【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點評：此題考查了等差數(shù)列的前n項和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項為負，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點評：本題考查等差數(shù)列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識考察，特別是錯位相減法的運用．12．求等差數(shù)列的前n項和【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值代入前n項和公式，計算數(shù)列的前n項和．﹣推導(dǎo)公式：根據(jù)實際問題推導(dǎo)出數(shù)列的前n項和公式．﹣綜合應(yīng)用：將前n項和公式與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項和公式計算具體項，推導(dǎo)數(shù)列和公式，解決實際問題．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝a3，a4＝5，則Sn＝_____．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n?a1+?2＝n2﹣2n，故答案為：n2﹣2n．13．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當，方向相同時，＝||||；當，方向相反時，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）（4）cosθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．14．余弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．15．解三角形【知識點的認識】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝16．復(fù)數(shù)的運算【知識點的認識】復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則17．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．18．圓錐的體積【知識點的認識】圓錐的體積計算依賴于底面圓的半徑r和圓錐的高度h．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為．﹣實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的圓錐尺寸進行體積計算．【命題方向】﹣圓錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計算圓錐的體積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用圓錐的體積計算．19．異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：20．橢圓的幾何特征【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當且僅當a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．21．拋物線的焦點與準線【知識點的認識】拋物線的簡單性質(zhì)：22．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝023．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．24．用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)【知識點的認識】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點【解題方法點撥】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選?。海?）平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；（2）中位數(shù)不受極端值影響，有時用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）；（3）眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況（即多數(shù)水平）．根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點的橫坐標就是眾數(shù)．（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值．（3）平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點．平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底邊中點的橫坐標（組中值）之和．25．百分位數(shù)【知識點的認識】百分位數(shù)的定義：一般地，當總體是連續(xù)變量時，給定一個百分數(shù)p∈（0，1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點，總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p．四分位數(shù)：25%，50%，75%分位數(shù)是三個常用的百分位數(shù)．把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，這三個百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個部分，在這4個部分取值的可能性都是．因此這三個百分位數(shù)也稱為總體的四分位數(shù)．【解題方法點撥】一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一