2025年菁優(yōu)高考數學壓軸訓練16

Page2025年菁優(yōu)高考數學壓軸訓練16一．選擇題（共10小題）1．（2024?葫蘆島模擬）光線從點射到軸上，經軸反射后經過圓上的點，則該光線從點到點的路線長的最小值是A．9 B．10 C．11 D．122．（2024?吉林模擬）過點與圓相切的兩條直線夾角為，則A． B． C． D．3．（2024?下陸區(qū)校級三模）已知在等腰直角三角形中，，點在以為圓心、2為半徑的圓上，則的最小值為A． B． C． D．4．（2024?襄城區(qū)校級模擬）已知點是直線和的交點，，，且點滿足恒成立．若，則的最小值為A． B． C． D．5．（2024?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級模擬）已知坐標原點在直線上的射影為點，，則為，必然滿足的關系是A． B． C． D．6．（2024?愛民區(qū)校級模擬）在直角坐標系中，已知點，，，動點滿足線段的中點在曲線上，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．57．（2024?青羊區(qū)校級模擬）在同一平面直角坐標系中，，分別是函數和函數圖象上的動點，若對任意，則最小值為A． B． C． D．8．（2024?赤峰模擬）在中，角、、的對邊分別為、、，已知，，，邊上的中線，相交于點，則直線，的夾角為A． B． C． D．9．（2024?普陀區(qū)模擬）直線經過定點，且與軸正半軸、軸正半軸分別相交于，兩點，為坐標原點，動圓在的外部，且與直線及兩坐標軸的正半軸均相切，則周長的最小值是A．3 B．5 C．10 D．1210．（2023?平湖市模擬）已知點，與直線，若在直線上存在點，使得，則實數的取值范圍是A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?遼寧一模）設直線系（其中，，均為參數，，，，，則下列命題中是真命題的是A．當，時，存在一個圓與直線系中所有直線都相切 B．存在，，使直線系中所有直線恒過定點，且不過第三象限 C．當時，坐標原點到直線系中所有直線的距離最大值為1，最小值為 D．當，時，若存在一點，使其到直線系中所有直線的距離不小于1，則12．（2024?回憶版）造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線的一部分，已知過坐標原點，且上的點滿足橫坐標大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則A． B．點，在上 C．在第一象限的縱坐標的最大值為1 D．當點，在上時，13．（2024?遼寧模擬）對平面直角坐標系中的兩組點，如果存在一條直線使這兩組點分別位于該直線的兩側，則稱該直線為“分類直線”．對于一條分類直線，記所有的點到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好．某學校高三（2）班的7位同學在2020年期間網購文具的費用（單位：百元）和網購圖書的費用（單位：百元）的情況如圖所示，現將，，和為第Ⅰ組點．將，和歸為第Ⅱ點．在上述約定下，可得這兩組點的分類效果最好的分類直線，記為．給出下列四個結論：①直線比直線的分類效果好；②分類直線的斜率為2；③該班另一位同學小明的網購文具與網購圖書的費用均為300元，則小明的這兩項網購花銷的費用所對應的點與第Ⅱ組點位于的同側；④如果從第1組點中去掉點，第Ⅱ組點保持不變，則分類效果最好的分類直線不是．其中所有正確結論的序號是A．① B．② C．③ D．④14．（2023?深圳模擬）設直線系，下列命題中的真命題有A．中所有直線均經過一個定點 B．存在定點不在中的任一條直線上 C．對于任意整數，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上 D．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等15．（2023?梅河口市校級三模）已知，，點滿足，則A．點在以為直徑的圓上 B．面積的最大值為 C．存在點使得 D．的最小值為三．填空題（共6小題）16．（2024?銅川一模）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營“將軍飲馬”的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為．17．（2024?天河區(qū)校級模擬）直線的斜率為，直線的斜率為，直線不與直線垂直，且直線和直線夾角的角平分線的斜率為，則的取值范圍是．18．（2024?新縣校級模擬）已知動點，分別在圓和曲線上，則的最小值為．19．（2024?滄州三模）光從介質1射入介質2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質2相對介質1的折射率．如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以的入射角從空氣中射入點，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為．20．（2024?曲靖模擬）設，是同一平面上的兩個區(qū)域，點，點，，兩點間距離的最小值叫做區(qū)域，間的距離，記作．若，，，則．21．（2024?東陽市模擬）已知半徑為1的圓經過點，則其圓心到直線距離的最小值為．四．解答題（共4小題）22．（2024?合肥模擬）在數學中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一，對平面直角坐標系中兩個點，和，，記，稱為點與點之間的“距離”，其中，表示，中較大者．（1）計算點和點之間的“距離”；（2）設，是平面中一定點，．我們把平面上到點的“距離”為的所有點構成的集合叫做以點為圓心，以為半徑的“圓”，求以原點為圓心，以為半徑的“圓”的面積；（3）證明：對任意點，，，，，，．23．（2024?蘭州模擬）定義：如果在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，，，那么稱為，兩點間的曼哈頓距離．（1）已知點，分別在直線，上，點與點，的曼哈頓距離分別為，，求和的最小值；（2）已知點是直線上的動點，點與點的曼哈頓距離的最小值記為，求的最大值；（3）已知點，，點，，，，是自然對數的底），當時，的最大值為，求的最小值．24．（2024?湖北模擬）在平面直角坐標系中，定義，，，兩點間的“直角距離”為．（Ⅰ）填空：（直接寫出結論）①若，，則，B）＝_____；②到坐標原點的“直角距離”等于1的動點的軌跡方程是_____；③記到，兩點的“直角距離”之和為4的動點的軌跡為曲線，則曲線所圍成的封閉圖形的面積的值為_____；（Ⅱ）設點，點是直線上的動點，求的最小值及取得最小值時點的坐標；（Ⅲ）對平面上給定的兩個不同的點，，，，是否存在點，同時滿足下列兩個條件：①，，，；②，，．若存在，求出所有符合條件的點的集合；若不存在，請說明理由．25．（2023?固鎮(zhèn)縣三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點．（1）求所在直線的一般式方程；（2）當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程．

2025年菁優(yōu)高考數學壓軸訓練16參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?葫蘆島模擬）光線從點射到軸上，經軸反射后經過圓上的點，則該光線從點到點的路線長的最小值是A．9 B．10 C．11 D．12【答案】【考點】直線與圓的位置關系；與直線關于點、直線對稱的直線方程【專題】直線與圓；計算題；綜合法；轉化思想；數學運算【分析】求出點關于軸的對稱點，則最短路徑的長為減去圓的半徑，計算求得結果．【解答】解：由題意可得圓心，半徑，點關于軸的對稱點，所以，該光線從點到點的路線長的最小值為．故選：．【點評】本題考查直線與圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．2．（2024?吉林模擬）過點與圓相切的兩條直線夾角為，則A． B． C． D．【答案】【考點】直線與圓的位置關系；圓的切線方程；兩直線的夾角與到角問題【專題】直線與圓；對應思想；數學運算；綜合法【分析】先求圓心和半徑，然后設出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出切線方程，再根據兩直線的夾角公式即可求出．【解答】解：如圖，化為標準方程為，圓心為，半徑為1，過點與圓相切的兩條直線夾角為，設切線為，則圓心到切線的距離，解得或，故切線為或，即一條切線為軸，如圖，所以，且易知一定為第一象限角，解得．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關系及直線的斜率問題，屬于中檔題．3．（2024?下陸區(qū)校級三模）已知在等腰直角三角形中，，點在以為圓心、2為半徑的圓上，則的最小值為A． B． C． D．【答案】【考點】兩點間的距離公式【專題】轉化思想；數學運算；直線與圓；綜合法【分析】利用，得出，將轉化為，再利用三點共線時距離最短解決．【解答】解：如圖所示，設圓與相交于點，取的中點為，連接，則，又，，，，則，即、、三點共線時最小，又，故選：．【點評】本題考查圓的有關性質，以及距離和最小問題，屬于中檔題．4．（2024?襄城區(qū)校級模擬）已知點是直線和的交點，，，且點滿足恒成立．若，則的最小值為A． B． C． D．【答案】【考點】兩點間的距離公式【專題】綜合法；轉化思想；數學運算；直線與圓【分析】由恒成立，結合，可得，再利用點到直線的距離公式即可求解．【解答】解：設．由題可知直線過定點，過定點，且，所以點的軌跡方程為，因為恒成立，所以恒成立，結合，可得，即，由題可知，直線的方程為，所以坐標原點到直線的距離為，所以在直線上存在兩個點，滿足，，或，，共線，所以，即的最小值為．故選：．【點評】本題考查軌跡方程及直線與圓的相關性質，屬于中檔題．5．（2024?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級模擬）已知坐標原點在直線上的射影為點，，則為，必然滿足的關系是A． B． C． D．【答案】【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系【專題】綜合法；直線與圓；計算題；轉化思想；數學運算；邏輯推理【分析】首先求出直線所經過的定點，由射影的意義可得點在以為直徑的圓上，進一步求出結果．【解答】解：直線，故在該直線經過點，由原點到直線上的射影點得到：，則點在以為直徑的圓上，該圓的圓心為，半徑為，所以，所滿足的關系式為．故選：．【點評】本題考查的知識點：定點直線系，圓的方程，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．6．（2024?愛民區(qū)校級模擬）在直角坐標系中，已知點，，，動點滿足線段的中點在曲線上，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】【考點】兩點間的距離公式【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；轉化思想；計算題；數學運算；綜合法【分析】設，由題意求出的軌跡方程，繼而結合拋物線定義將的最小值轉化為到直線的距離，即可求得答案．【解答】解：設，則的中點坐標為，代入，可得，故動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，由于，故在拋物線內部，過點作，垂足為，則，（拋物線的定義），故當且僅當，，三點共線時，最小，即最小，最小值為點到直線的距離，所以．故選：．【點評】本題考查拋物線的定義，拋物線的幾何性質，屬中檔題．7．（2024?青羊區(qū)校級模擬）在同一平面直角坐標系中，，分別是函數和函數圖象上的動點，若對任意，則最小值為A． B． C． D．【答案】【考點】兩點間的距離公式【專題】轉化思想；數學運算；計算題；綜合法；直線與圓【分析】畫出函數的圖象，根據圖象可知，最小值為圓心到直線的距離減去半徑．【解答】解：由，整理得，即在圓心，半徑為1的半圓上．，當且僅當時，等號成立，所以曲線的一條切線為，數形結合可知，當，分別為對應切點，且與兩切線垂直時取得最小值，即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即的最小值為．過圓心與垂直的直線方程，與直線平行的函數的切線方程為，，所以，當且僅當即時，取到最小值．綜上所述，．故選：．【點評】本題考查了利用數形結合法求最值，考查了數形結合思想，屬中檔題．8．（2024?赤峰模擬）在中，角、、的對邊分別為、、，已知，，，邊上的中線，相交于點，則直線，的夾角為A． B． C． D．【答案】【考點】余弦定理；兩直線的夾角與到角問題【專題】轉化思想；數學運算；計算題；綜合法；解三角形【分析】結合平面向量的線性運算和數量積的運算法則，利用向量的數量積公式，求解即可．【解答】解：，，，即，，，，，，所以與夾角為．故選：．【點評】本題考查解三角形，平面向量的運算法則是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．9．（2024?普陀區(qū)模擬）直線經過定點，且與軸正半軸、軸正半軸分別相交于，兩點，為坐標原點，動圓在的外部，且與直線及兩坐標軸的正半軸均相切，則周長的最小值是A．3 B．5 C．10 D．12【答案】【考點】直線的截距式方程【專題】數學運算；綜合法；整體思想；直線與圓【分析】先設動圓的圓心坐標為，，，結合直線與圓相切的性質可得，當圓與直線相切于點處時，圓半徑最小，結合兩點間距離公式即可求解．【解答】解：設動圓的圓心坐標為，即圓半徑，由題意，設，，圓與直線相切于點，則，，所以，即的周長為，所以的周長最小即為圓半徑最小，因為直線過定點，所以當圓與直線相切于點處時，圓半徑最小，此時，化簡得，則或5，當時，圓心在內，不合題意；當時，即圓半徑的最小值為5，周長的最小值為．故選：．【點評】本題主要考查了直線與圓相切性質的應用，直線方程的應用，屬于中檔題．10．（2023?平湖市模擬）已知點，與直線，若在直線上存在點，使得，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【考點】兩點間的距離公式【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數學運算【分析】利用直線和圓的位置關系建立不等量關系，進一步求出的取值范圍．【解答】解：設點，由于，所以，整理得，利用圓心到直線的距離，解得，即實數的取值范圍為．故選：．【點評】本題考查的知識要點：圓的方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題和易錯題．二．多選題（共5小題）11．（2024?遼寧一模）設直線系（其中，，均為參數，，，，，則下列命題中是真命題的是A．當，時，存在一個圓與直線系中所有直線都相切 B．存在，，使直線系中所有直線恒過定點，且不過第三象限 C．當時，坐標原點到直線系中所有直線的距離最大值為1，最小值為 D．當，時，若存在一點，使其到直線系中所有直線的距離不小于1，則【答案】【考點】點到直線的距離公式；恒過定點的直線【專題】數學運算；綜合法；直線與圓；轉化思想；計算題；邏輯推理【分析】直接利用點到直線的距離公式和直線的位置以及恒成立問題的應用判斷、、、的結論．【解答】解：對于，當，時，直線系方程為，原點到直線的距離，此時圓與直線系中所有直線都相切，故正確；對于，當時，直線系方程為，直線經過定點，當，，時，直線方程化為，顯然不過第三象限，當或或，直線，也不過第三象限，所以直線不過第三象限，故正確；對于，當時，直線系為，原點到直線系中所有直線的距離，當時，則直線系為，則原點到直線的距離，故錯誤；對于，當，時，直線系為，設，，故點，則點到直線系中所有直線的距離，設，故，解得，故，故正確故選：．【點評】本題考查的知識點：點到直線的距離公式的應用，恒成立問題的應用，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．12．（2024?回憶版）造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線的一部分，已知過坐標原點，且上的點滿足橫坐標大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則A． B．點，在上 C．在第一象限的縱坐標的最大值為1 D．當點，在上時，【答案】【考點】點到直線的距離公式【專題】綜合法；轉化思想；計算題；數學運算；直線與圓【分析】結合題中新定義的曲線的性質對選項一一判斷即可．【解答】解：對，因為在曲線上，所以到的距離為，而，所以有，，那么曲線的方程為，對，因為代入知滿足方程；錯，因為，求導得，那么有（2），，于是在的左側必存在一小區(qū)間，可以取無限小的數）上滿足，因此最大值一定大于1；對，曲線的方程為，可化為，即，因為．故選：．【點評】本題考查了點的軌跡方程，新定義問題，是中檔題．13．（2024?遼寧模擬）對平面直角坐標系中的兩組點，如果存在一條直線使這兩組點分別位于該直線的兩側，則稱該直線為“分類直線”．對于一條分類直線，記所有的點到的距離的最小值為，約定：越大，分類直線的分類效果越好．某學校高三（2）班的7位同學在2020年期間網購文具的費用（單位：百元）和網購圖書的費用（單位：百元）的情況如圖所示，現將，，和為第Ⅰ組點．將，和歸為第Ⅱ點．在上述約定下，可得這兩組點的分類效果最好的分類直線，記為．給出下列四個結論：①直線比直線的分類效果好；②分類直線的斜率為2；③該班另一位同學小明的網購文具與網購圖書的費用均為300元，則小明的這兩項網購花銷的費用所對應的點與第Ⅱ組點位于的同側；④如果從第1組點中去掉點，第Ⅱ組點保持不變，則分類效果最好的分類直線不是．其中所有正確結論的序號是A．① B．② C．③ D．④【答案】【考點】直線的一般式方程與直線的性質【專題】直線與圓；定義法；轉化思想；數學運算；邏輯推理；新定義【分析】由圖象寫出對應點的坐標，結合題意，對題目中的命題真假性進行分析、判斷正誤即可．【解答】解：由圖象知，，，，，，，；對于①，當直線為分類直線時，，當直線為分類直線時，，所以直線分類效果好，①錯誤；對于②，由圖知定位的位置由，，確定，所以直線過點，，的外心，設直線方程為，則由，解得，②正確；對于③，當到直線的距離與到的距離相等時為的臨界值，此時點在的右側，③正確；對于④，去掉點后，由，解得，這與原來不同，所以④正確．故選：．【點評】本題考查了直線方程應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．14．（2023?深圳模擬）設直線系，下列命題中的真命題有A．中所有直線均經過一個定點 B．存在定點不在中的任一條直線上 C．對于任意整數，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上 D．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等【答案】【考點】命題的真假判斷與應用；恒過定點的直線【專題】綜合法；直線與圓；數學抽象；方程思想【分析】由點到直線的距離公式說明的集合判斷；舉例說明正確；由任意正邊形都有內切圓判斷；畫圖說明錯誤．【解答】解：點到中每條直線的距離，即為圓的全體切線組成的集合，則中存在兩條平行直線，故錯誤；點不適合直線，存在定點不在中的任一條直線上，故正確；對任意、存在正邊形使其內切圓為圓，故正確；如圖：中邊能組成兩個大小不同的正三角形和，故錯誤．故選：．【點評】本題考查恒過定點的直線，考查邏輯思維能力與推理論證能力，是基礎題．15．（2023?梅河口市校級三模）已知，，點滿足，則A．點在以為直徑的圓上 B．面積的最大值為 C．存在點使得 D．的最小值為【答案】【考點】兩點間的距離公式【專題】轉化思想；方程思想；數學運算；計算題；綜合法；直線與圓【分析】設，根據題意能求出點的軌跡方程為，再求出以為直徑的圓的圓心和半徑，能判斷；根據題意求出直線的方程，再驗證圓的圓心在直線的方程上，從而得到點到直線的距離為圓的半徑時，的面積最大，進而求解即可判斷；根據，結合在直角三角形中，角對應的直角邊是斜邊的一半，從而即可判斷；設，則，再結合余弦定理可得，從而能判斷．【解答】解：設，則，，，，化簡得，點的軌跡方程是，對于，以為直徑的圓的圓心為，，半徑為，故錯誤；對于，依題意可得直線的方程為，即，圓的圓心在直線的方程上，點到直線的距離為圓的半徑時，的面積最大，面積的最大值為，故正確；對于，由，在直角三角形中，角對應的直角邊是斜邊的一半，又，則點在圓內，存在點使得，此時，故正確；對于，設，則，由余弦定理有，，當，即時，有，故正確．故選：．【點評】本題考查點的軌跡方程、圓、直線與圓的位置關系、余弦定理、兩點間距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．三．填空題（共6小題）16．（2024?銅川一模）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營“將軍飲馬”的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為．【考點】與直線關于點、直線對稱的直線方程【專題】整體思想；直線與圓；綜合法；數學運算【分析】由題可知，在的同側，設點關于直線的對稱點為，然后結合對稱性可求．【解答】解：由題可知，在的同側，設點關于直線的對稱點為，則，解得，，即，將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設將軍在河邊飲馬的地點為，則即為與的交點，聯立，解得，，即．故答案為：．【點評】本題主要考查了點關于直線的對稱性的應用，屬于中檔題．17．（2024?天河區(qū)校級模擬）直線的斜率為，直線的斜率為，直線不與直線垂直，且直線和直線夾角的角平分線的斜率為，則的取值范圍是．【答案】．【考點】兩直線的夾角與到角問題；直線的斜率【專題】數學運算；綜合法；轉化思想；計算題；直線與圓【分析】根據題意畫出圖形，再由兩條直線夾角的角平分線的斜率為，得到中的三線合一，即可求得的取值范圍．【解答】解：由于平移不影響斜率，不妨設兩條直線都過原點，設，分別交于，，角平分線交于點，所以，，又因為直線和直線夾角的角平分線的斜率為，所以直線的斜率，所以，則，所以為中點．由三線合一可得為以為底邊的等腰三角形，且，所以，因為，不垂直，所以不是直角．當為銳角時，則，夾角為，所以；當為鈍角時，則，夾角為的補角，，夾角的角平分線為軸，斜率不存在，故不符合題意．綜上，的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題考查了直線的斜率，直線的夾角問題，是中檔題．18．（2024?新縣校級模擬）已知動點，分別在圓和曲線上，則的最小值為．【答案】．【考點】兩點間的距離公式【專題】數學運算；轉化思想；轉化法；直線與圓【分析】設，則，得出圓心軌跡為，由函數與函數的圖象關于直線對稱，結合導數的幾何意義可得的最小值為，進而確定的最小值．【解答】解：因為圓，設，則，所以，即圓心在曲線上運動，易知，函數與函數的圖象關于直線對稱，而曲線與直線相切于點，曲線與直線相切于點，所以的最小值為，即的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查切線的應用，屬于中檔題．19．（2024?滄州三模）光從介質1射入介質2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質2相對介質1的折射率．如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以的入射角從空氣中射入點，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為．【答案】．【考點】與直線關于點、直線對稱的直線方程【專題】綜合法；直線與圓；計算題；轉化思想；數學運算【分析】根據折射定律求解折射角的正弦，進而求得直線斜率和經過的點，得到直線方程．【解答】解：如圖，入射角，，，．易知，．該光線再次返回空氣中時，其所在直線的斜率為．直線的方程為，整理得．故答案為：．【點評】本題主要是考查了光的折射，解答此類題目的關鍵是弄清楚光的傳播情況，畫出光路圖，通過光路圖根據幾何關系、折射定律進行分析，是中檔題．20．（2024?曲靖模擬）設，是同一平面上的兩個區(qū)域，點，點，，兩點間距離的最小值叫做區(qū)域，間的距離，記作．若，，，則．【答案】．【考點】兩點間的距離公式【專題】轉化思想；定義法；函數的性質及應用；數學運算【分析】方法一：表示函數圖象上的動點與函數圖象上動點的距離的最小值，利用互為反函數和點到直線的距離和構造函數的最小值，即．方法二：函數與互為反函數，函數圖象上任意點與圖象上任意點之間的最小值恰好等于點與之間的距離，再平移后求解最小值．【解答】解：方法一：表示函數圖象上的動點與函數圖象上動點的距離的最小值，即．由，得，所以，互換，得，因此與互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，則恰好等于函數圖象上的動點到直線的距離的最小值的2倍．點到直線的距離，設，則，當時，；當時，；函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以．方法二：函數與互為反函數，函數圖象上任意點與圖象上任意點之間的最小值恰好等于點與之間的距離，圖象向上平移2024個單位得到的圖象，圖象向右平移2024個單位得到的圖象．從而就等于點與點的距離，故．故答案為：．【點評】本題考查了新定義題的解法與應用問題，是中檔題．21．（2024?東陽市模擬）已知半徑為1的圓經過點，則其圓心到直線距離的最小值為1．【答案】1．【考點】直線與圓的位置關系；點到直線的距離公式【專題】計算題；數學運算；綜合法；邏輯推理；轉化思想；直線與圓【分析】先得出圓心的軌跡圓，再用軌跡圓的圓心到直線的距離減半徑即可．【解答】解：由題意知，半徑為1的圓經過點，所以圓心的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，到直線的距離為，所以圓心到直線距離的最小值為．故答案為：1．【點評】本題考查的知識點：圓的方程，點到直線的距離公式，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）22．（2024?合肥模擬）在數學中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一，對平面直角坐標系中兩個點，和，，記，稱為點與點之間的“距離”，其中，表示，中較大者．（1）計算點和點之間的“距離”；（2）設，是平面中一定點，．我們把平面上到點的“距離”為的所有點構成的集合叫做以點為圓心，以為半徑的“圓”，求以原點為圓心，以為半徑的“圓”的面積；（3）證明：對任意點，，，，，，．【答案】（1）；（2）圓的面積為4；（3）證明見解析．【考點】兩點間的距離公式【專題】直線與圓；綜合法；數學運算；計算題；轉化思想【分析】（1）直接根據“距離”的定義代入數據求解即可；（2）根據“距離”，“圓”的定義，求出圓的半徑，即可求得圓的面積；（3）根據“距離”的定義，代入化簡，結合絕對值不等式證明即可．【解答】解：（1）由題中“距離”的定義可得，（2）設是以原點為圓心，以為半徑的圓上任一點，則，若，則，；若，則有，，作出圖像如下：以原點為圓心，以為半徑的圓為一個正方形，邊長為2，面積為4；（3）證明：考慮函數，求導可得，所以函數在區(qū)間，上單調遞增．又由絕對值不等式，可得，當且僅當時，不等式取等，同理有，不妨設，則，，，故不等式成立．【點評】本題考查了兩點間的距離公式，新定義問題，絕對值不等式，是中檔題．23．（2024?蘭州模擬）定義：如果在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，，，那么稱為，兩點間的曼哈頓距離．（1）已知點，分別在直線，上，點與點，的曼哈頓距離分別為，，求和的最小值；（2）已知點是直線上的動點，點與點的曼哈頓距離的最小值記為，求的最大值；（3）已知點，，點，，，，是自然對數的底），當時，的最大值為，求的最小值．【答案】（1）的最小值為2，的最小值為1；（2）5；（3）．【考點】兩點間的距離公式【專題】計算題；數學運算；綜合法；函數的性質及應用；整體思想【分析】（1）根據題意，由曼哈頓距離的定義，代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，由曼哈頓距離的定義即可得到，從而得到的最大值；（3）根據題意，令，然后分別構造函數，，，即可得到，從而得到結果．【解答】解：（1），則，即的最小值為2；，則，即的最小值為1；（2）當時，，點為直線上一動點，則當時，，即；當時，，即；所以，又當時，，當時，，所以的最大值為5；（3）令，則，，，，令，，則在區(qū)間，內成立，則在區(qū)間，內單調遞增，則，令，，則在區(qū)間，內成立，則在區(qū)間，內單調遞減，則（e）（1），所以，所以，當且時，取最小值，的最小值．【點評】本題考查了新概念問題，屬于難題．24．（2024?湖北模擬）在平面直角坐標系中，定義，，，兩點間的“直角距離”為．（Ⅰ）填空：（直接寫出結論）①若，，則，B）＝_____；②到坐標原點的“直角距離”等于1的動點的軌跡方程是_____；③記到，兩點的“直角距離”之和為4的動點的軌跡為曲線，則曲線所圍成的封閉圖形的面積的值為_____；（Ⅱ）設點，點是直線上的動點，求的最小值及取得最小值時點的坐標；（Ⅲ）對平面上給定的兩個不同的點，，，，是否存在點，同時滿足下列兩個條件：①，，，；②，，．若存在，求出所有符合條件的點的集合；若不存在，請說明理由．【答案】見解答．【考點】兩點間的距離公式【專題】綜合法；數學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；分類討論【分析】（Ⅰ）對于①②③利用，代入即可，再結合方程畫出圖像求面積；（Ⅱ）設點的坐標，代入．利用絕對值性質求最值．（Ⅲ）分三種情況結合絕對值性質求解．【解答】解：（Ⅰ）填空：①；②即；③因為，所以，如圖：即封閉圖形的面積時一個正方形與兩個全等的三角形面積之和，即；（Ⅱ）因為點為直線上的動點，故可設點的坐標為，則，當且僅當時等號成立，故的最小值為此時點的坐標為，因為點為直線上的動點，故可設點的坐標為，則，①當時，當且僅當時取得等號；②當．，當且僅當時取得等號；③當時，當且僅當時取得等號；綜上，當且僅當時等號成立，故的最小值為此時點的坐標為．（Ⅲ）注意到點，與點，不同，下面分三種情況討論：（1）若，則，由條件②得，即所以，由條件①得，所以，所以，即，因此，所求的點為；（2）若則類似于前證，可得符合條件的點為；（3）若且時，不妨設，由條件①得，，，當且僅當與同時成立時取等號，即當且僅當與同時成立時條件①成立，若時，則由上述證明可知，要使條件①成立，則有，從而由條件②得，因此所求點的集合為，若時，類似地由條件①可得且，從而由條件②得，因此所求點的集合為．【點評】本題考查軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．25．（2023?固鎮(zhèn)縣三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點．（1）求所在直線的一般式方程；（2）當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程．【考點】直線的一般式方程與直線的性質；與直線有關的動點軌跡方程【專題】計算題；轉化思想【分析】（1）求出所在直線的向量，然后求出所在的直線方程；（2）設點的坐標是，點的坐標是，，利用平行四邊形，推出與坐標關系，利用當在線段上運動，求線段的中點的軌跡方程．【解答】（本小題滿分10分）解：（1），所在直線的斜率為：．所在直線方程是，即．（2）：設點的坐標是，點的坐標是，，由平行四邊形的性質得點的坐標是，是線段的中點，，，于是有，，點在線段上運動，，，即，．【點評】本題考查直線方程的求法，與直線有關的動點的軌跡方程的求法，考查轉化思想與計算能力．

考點卡片1．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．【命題方向】該部分內容是《課程標準》新增加的內容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現．2．余弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點撥】正余弦定理的應用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉化為應用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關長度和仰、俯角等構成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．3．直線的斜率【知識點的認識】1．定義：當直線傾斜角α≠時，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率．用小寫字母k表示，即k＝tanα．2．斜率的求法（1）定義：k＝tanα（α≠）（2）斜率公式：k＝．3．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯系（1）區(qū)別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫直線的方向，而斜率是從代數的角度刻畫直線的方向．（2）聯系：①當α≠時，k＝tanα；當α＝時，斜率不存在；②根據正切函數k＝tanα的單調性：當α∈[0，）時，k＞0且隨α的增大而增大，當α∈（，π）時，k＜0且隨α的增大而增大．【解題方法點撥】直線的斜率常結合直線的傾斜角進行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，也是用坐標法研究直線性質的基礎．在高考中多以選擇填空形式出現，是高考考查的熱點問題．【命題方向】（1）已知傾斜角范圍求斜率的范圍；（2）已知斜率求傾斜角的問題．（3）斜率在數形結合中的應用．4．直線的截距式方程【知識點的認識】直線的截距式方程：若直線l與x軸交點為（a，0），與y軸交點為（0，b），其中a≠0，b≠0，a為直線l在x軸上的截距，b為直線l在y軸上的截距，由兩點式：可推得直線的斜截距方程為：．#注意：斜截式適用于與兩坐標軸不垂直且不過原點的直線．5．直線的一般式方程與直線的性質【知識點的認識】直線方程表示的是只有一個自變量，自變量的次數為一次，且因變量隨著自變量的變化而變化．直線的一般方程的表達式是ay+bx+c＝0．1、兩條直線平行與垂直的判定對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率為﹣，y軸上截距為﹣的直線．（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時為0），則兩條直線的位置關系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時，則l1∥l2?；l1與l2重合?；l1與l2相交?．6．直線的一般式方程與直線的垂直關系【知識點的認識】1、兩條直線平行與垂直的判定對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1∥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率為﹣，y軸上截距為﹣的直線．（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時為0），則兩條直線的位置關系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時，則l1∥l2?；l1與l2重合?；l1與l2相交?．7．恒過定點的直線【知識點的認識】﹣定點：直線總是通過一個固定的點（x1，y1）的方程形式為：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0其中a和b是直線的方向向量分量．【解題方法點撥】﹣求方程：1．已知定點：將定點（x1，y1）代入直線方程．2．確定直線：確定直線方向向量，代入標準方程形式．3．標準方程：得到直線方程如：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0【命題方向】﹣定點直線：考查如何找到所有恒過一個定點的直線方程，通常涉及固定點和直線方程的轉換．8．與直線關于點、直線對稱的直線方程【知識點的認識】﹣對稱直線：﹣點對稱：直線l關于點（x0，y0）的對稱直線方程為：﹣直線對稱：給定直線l和對稱直線l'，可以利用垂直平分線的方程來確定l'的方程．【解題方法點撥】﹣求對稱直線方程：1．點對稱：將直線關于點對稱，得到對稱點和新直線方程．2．直線對稱：對直線關于另一條直線的對稱，先找到垂直平分線，再確定對稱方程．【命題方向】﹣對稱直線：?？疾槿绾卫命c對稱或直線對稱求得直線方程．9．兩點間的距離公式【知識點的認識】﹣距離公式：兩點（x1，y1）和（x2，y2）之間的距離由公式：這是平面直角坐標系中常用的距離計算公式．【解題方法點撥】﹣計算距離：1．代入公式：將兩點的坐標代入距離公式．2．簡化計算：計算平方差的和