2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練19

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練19一．選擇題（共10小題）1．（2024?安慶模擬）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點，，，是拋物線上兩個不同的點，且，則A． B． C． D．32．（2024?海州區(qū)校級模擬）過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，已知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，則A．2 B．4 C．6 D．83．（2024?成都三模）已知點，分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為A．6 B． C． D．4．（2024?李滄區(qū)校級一模）已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是A． B． C． D．5．（2024?啟東市校級模擬）已知點為拋物線的焦點，過的直線與交于，兩點，則的最小值為A． B．4 C． D．66．（2024?海陵區(qū)校級模擬）過拋物線焦點且斜率為的直線與交于、兩點，若為的內(nèi)角平分線，則面積最大值為A． B． C． D．167．（2024?廣東模擬）拋物線的焦點為，過的直線交該拋物線于、兩點，則的最小值為A．8 B．9 C．10 D．118．（2024?遼寧模擬）已知拋物線的焦點為，過點作兩條互相垂直的直線，，分別與拋物線相交于點，和點，，，是拋物線上一點，且，從點引拋物線的準線的垂線，垂足為，則的內(nèi)切圓的周長為A． B． C． D．9．（2024?海南模擬）已知過拋物線焦點的直線交于，兩點，點，在的準線上的射影分別為點，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則A． B．1 C．2 D．410．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點為，直線且交于，兩點，直線，分別與的準線交于，兩點，為坐標原點），下列選項正確的有A．且 B．且， C．且 D．且二．多選題（共5小題）11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點為，，、，是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準線的垂線，垂足為，則A．若，則直線的斜率為或 B．若，則 C．若和不平行，則 D．若，則的最大值為12．（2024?回憶版）拋物線的準線為，為上的動點，過作的一條切線，為切點，過點作的垂線，垂足為，則A．與相切 B．當，，三點共線時， C．當時， D．滿足的點有且僅有2個13．（2024?南關(guān)區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點為，準線為，點，在上在第一象限），點在上，以為直徑的圓過焦點，，則A．若，則 B．若，則 C．，則 D．，則14．（2024?永州三模）已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點（點在第一象限），過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準線相交于點，則A．的最小值為2 B．當直線的斜率為時， C．設(shè)直線，的斜率分別為，，則 D．過點作直線的垂線，垂足為，交直線于點，則15．（2024?姜堰區(qū)校級模擬）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，，，兩點，為坐標原點，拋物線的焦點為，則A． B．點與拋物線上任意一點的最短距離為4 C．的最小值為32 D．的最小值為11三．填空題（共5小題）16．（2024?合肥模擬）拋物線的焦點為，準線為，為上一點，以點為圓心，以為半徑的圓與交于點，，與軸交于點，，若，則．17．（2024?淮北模擬）已知拋物線準線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足：，，若，則實數(shù)．18．（2024?西城區(qū)校級模擬）設(shè)點，在拋物線上，已知，．若，則；若，則直線斜率的最小值為．19．（2024?雁峰區(qū)校級模擬）已知為拋物線上的動點，動點滿足到點的距離與到點是的焦點）的距離之比為，則的最小值是．20．（2024?河北一模）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，的中點為，以為直徑的圓與軸交于，兩點，當取最大值時，此時．四．解答題（共5小題）21．（2024?朝陽區(qū)校級模擬）已知為坐標原點，拋物線，過點的直線交拋物線于，兩點，．（1）求拋物線的方程；（2）若點，連接，，證明：；（3）已知圓以為圓心，1為半徑，過作圓的兩條切線，與軸分別交于點，且，位于軸兩側(cè)，求面積的最小值．22．（2024?昌樂縣校級模擬）如圖，為坐標原點，為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于，兩點，直線交拋物線的準線于點，設(shè)拋物線在點處的切線為．（1）若直線與軸的交點為，求證：；（2）過點作的垂線與直線交于點，求證：．23．（2024?四川模擬）已知拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，為的中點，且點到拋物線的準線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線在，兩點的切線相交于點，求點的橫坐標．24．（2024?安徽模擬）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上一點，直線的斜率為，的面積為．已知，，設(shè)過點的動直線與拋物線交于、兩點，直線，與的另一交點分別為，．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當直線與的斜率均存在時，討論直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．25．（2024?五蓮縣校級模擬）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，設(shè)拋物線在點，處的切線分別為和，已知與軸交于點，與軸交于點，設(shè)與的交點為．（1）證明：點在定直線上；（2）若面積為，求點的坐標；（3）若，，，四點共圓，求點的坐標．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練19參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?安慶模擬）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點，，，是拋物線上兩個不同的點，且，則A． B． C． D．3【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；整體思想；數(shù)學運算；綜合法【分析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解．【解答】解：已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，則，即拋物線的方程為，又點，，，是拋物線上兩個不同的點，且，則，即，即，即，則．故選：．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點考查了拋物線的定義，屬中檔題．2．（2024?海州區(qū)校級模擬）過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，已知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，則A．2 B．4 C．6 D．8【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】計算題；數(shù)學運算；整體思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】設(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法求弦長的表達式，再求線段的垂直平分線，由條件列方程求，可得結(jié)論．【解答】解：拋物線的焦點的坐標為，若直線的斜率為0，則直線與拋物線只有一個交點，不滿足條件，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，方程的判別式△，設(shè)，，，，則，所以，由已知，設(shè)的中點為，，則，，所以線段的垂直平分線方程為，因為在線段的垂直平分線上，所以，故，所以，．故選：．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．3．（2024?成都三模）已知點，分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為A．6 B． C． D．【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；直線與圓；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算【分析】設(shè)點的坐標為，，是軸上一點，令，可解得，進而，最后運用兩點的距離公式及三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：設(shè)點的坐標為，，是軸上一點，由拋物線的性質(zhì)知點的坐標為，則，，令，則，將，代入化簡得，即點滿足，所以，設(shè)點坐標為，，所以．故選：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查兩點的距離公式，考查三角形的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．4．（2024?李滄區(qū)校級一模）已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是A． B． C． D．【答案】【考點】拋物線的焦點與準線；圓與圓錐曲線的綜合【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學運算【分析】設(shè)，由取得最小值時，最大，最小即可求解．【解答】解：如圖所示：因為，，設(shè)，則，當時，取得最小值，此時，最大，最小，且．故選：．【點評】本題主要考查圓與拋物線的綜合知識，考查計算能力，屬于中檔題．5．（2024?啟東市校級模擬）已知點為拋物線的焦點，過的直線與交于，兩點，則的最小值為A． B．4 C． D．6【答案】【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】設(shè)過的直線的方程為，，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過根與系數(shù)關(guān)系及基本不等式，即可求解．【解答】解：拋物線方程為：，，，準線方程為，設(shè)過的直線的方程為，，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，，，，當且僅當，，即時等號成立，的最小值為．故選：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．6．（2024?海陵區(qū)校級模擬）過拋物線焦點且斜率為的直線與交于、兩點，若為的內(nèi)角平分線，則面積最大值為A． B． C． D．16【答案】【考點】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點與準線【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；綜合法；計算題【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點，的坐標，由內(nèi)角平分線可得，由此求出點的坐標滿足的關(guān)系，進而求出點到直線距離的最大值即可得解．【解答】解：拋物線焦點，直線的方程為，由，解得，，不妨令，則，由為的內(nèi)角平分線，得，設(shè)點，于是，整理得，顯然點在以點為圓心，2為半徑的圓上，因此點到直線距離的最大值為2，所以面積最大值為．故選：．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，借助三角形面積公式求出角平分線的性質(zhì)，進而求出角頂點的軌跡方程是解題之關(guān)鍵，是中檔題．7．（2024?廣東模擬）拋物線的焦點為，過的直線交該拋物線于、兩點，則的最小值為A．8 B．9 C．10 D．11【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】數(shù)學運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】設(shè)，，，．當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，然后利用及其基本不等式的性質(zhì)求出的最小值，當直線的斜率不存在時，直接求出即可．【解答】解：拋物線的焦點為，設(shè)，，，．當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，化為，則，，，當且僅當時取等號．又，，，當直線的斜率不存在時，．綜上，的最小值為9．故選：．【點評】本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題，基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8．（2024?遼寧模擬）已知拋物線的焦點為，過點作兩條互相垂直的直線，，分別與拋物線相交于點，和點，，，是拋物線上一點，且，從點引拋物線的準線的垂線，垂足為，則的內(nèi)切圓的周長為A． B． C． D．【答案】【考點】直線與拋物線的綜合【專題】綜合法；數(shù)學運算；圓錐曲線中的最值與范圍問題；對應(yīng)思想【分析】根據(jù)題意可知直線的斜率存在且設(shè)直線方程為，然后與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求得，同理求出，再由幾何關(guān)系，求得，設(shè)，，由拋物線焦半徑公式求得，從而可求解．【解答】解：如圖，由題意，得拋物線的焦點為，易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，代入，整理得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，又直線的方程為，同理，所以，所以，故拋物線，設(shè)點，，則，所以，所以，所以，所以的面積為，易知，或，則，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，內(nèi)心為點，則由，得，解得，所以的內(nèi)切圓的周長為．故選：．【點評】本題考查了直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2024?海南模擬）已知過拋物線焦點的直線交于，兩點，點，在的準線上的射影分別為點，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則A． B．1 C．2 D．4【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】首先求直線的傾斜角和直線方程，再聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理表示弦長，即可求解．【解答】解：如圖，過點作，由條件可知直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，由，，所以，設(shè)直線的直線方程為，聯(lián)立，得，易知△，則，而，得．故選：．【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．10．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點為，直線且交于，兩點，直線，分別與的準線交于，兩點，為坐標原點），下列選項正確的有A．且 B．且， C．且 D．且【答案】【考點】直線與拋物線的綜合【專題】數(shù)學運算；綜合法；整體思想；圓錐曲線中的最值與范圍問題；計算題【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，得，設(shè)，，，，由韋達定理可得，，再由向量的數(shù)量積逐一判斷．【解答】解：由，可得，設(shè)，，，，則，，，直線的方程為，由，可得，同理可得，所以，，對于，，只有當時，，此時，直線與軸垂直，不存在斜率，不滿足題意，所以，故錯誤；對于，因為，，故正確；對于，由得，而，所以，故錯誤；對于，由可知不存在且，使成立，故錯誤．故選：．【點評】本題考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點為，，、，是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準線的垂線，垂足為，則A．若，則直線的斜率為或 B．若，則 C．若和不平行，則 D．若，則的最大值為【答案】【考點】直線與拋物線的綜合【專題】數(shù)學運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，可判斷選項；利用拋物線的焦點弦公式可判斷選項；利用三角形三邊關(guān)系可判斷選項；利用余弦定理、基本不等式可判斷選項．【解答】解：易知拋物線的焦點為，對于選項，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，因為，則在直線上，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則△，由韋達定理可得，，因為，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此時，直線的斜率為，對；對于選項，當時，則在直線上，，則，對；對于選項，當和不平行時，則、、三點不共線，所以，，錯；對于選項，設(shè)，，當時，，由選項可得，所以，，即，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，對．故選：．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查圓錐曲線中的最值問題解決方法，是中檔題．12．（2024?回憶版）拋物線的準線為，為上的動點，過作的一條切線，為切點，過點作的垂線，垂足為，則A．與相切 B．當，，三點共線時， C．當時， D．滿足的點有且僅有2個【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算【分析】選項中，拋物線的準線為，判斷是圓的一條切線；選項中，當、、三點共線時，求出點，計算即可；選項中，當時，與并不垂直；選項中，由得出在的中垂線上，判斷該直線與拋物線有兩交點．【解答】解：對于，拋物線的準線為，是的一條切線，選項正確；對于，的圓心為，當、、三點共線時，，所以，選項正確；對于，當時，或，對應(yīng)的或，當時，，，與不垂直，當時，，，與不垂直，選項錯誤；對于，焦點，由拋物線的定義知，則等價于在的中垂線上，該直線的方程為，它與拋物線有兩交點，選項正確．故選：．【點評】本題考查了直線與拋物線方程應(yīng)用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．13．（2024?南關(guān)區(qū)校級模擬）已知拋物線的焦點為，準線為，點，在上在第一象限），點在上，以為直徑的圓過焦點，，則A．若，則 B．若，則 C．，則 D．，則【答案】【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑【專題】綜合法；數(shù)學運算；數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】過點，分別作準線的垂線，垂足分別為，，設(shè)準線與軸的交點為，結(jié)合拋物線的定義與向量的共線定理分析選項和；結(jié)合圓周角定理與三角形全等分析選項和．【解答】解：過點，分別作準線的垂線，垂足分別為，，設(shè)準線與軸的交點為，如圖所示，由拋物線的定義知，，，選項，若，則，即，所以，所以，即，故選項正確；選項，若，則，所以，所以，即，故選項錯誤；選項，因為以為直徑的圓過焦點，所以，又，，，所以△△，所以，所以，因為，所以，在等腰△中，，即選項正確；選項，由△△，知，所以，因為，所以△是等邊三角形，且，所以，即選項正確．故選：．【點評】本題主要考查拋物線焦半徑的求法，熟練掌握拋物線的定義與幾何性質(zhì)，平面向量共線定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．14．（2024?永州三模）已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點（點在第一象限），過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準線相交于點，則A．的最小值為2 B．當直線的斜率為時， C．設(shè)直線，的斜率分別為，，則 D．過點作直線的垂線，垂足為，交直線于點，則【答案】【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】對于，利用即可判斷；對于，將代入即可判斷；對于，求出與的斜率即可求解；對于，證明即可．【解答】解：由題意可設(shè)直線方程為，且，，，，由聯(lián)立得，故，；對于，由拋物線定義知，，故，當?shù)忍柍闪r，不符合題意，故錯誤；對于，由知，正確；對于，，，故，，故，由，，得，故正確；對于，直線的方程為，令，得，故，故為的中點，故正確．故選：．【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)以及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2024?姜堰區(qū)校級模擬）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，，，兩點，為坐標原點，拋物線的焦點為，則A． B．點與拋物線上任意一點的最短距離為4 C．的最小值為32 D．的最小值為11【答案】【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；圓錐曲線中的最值與范圍問題；綜合法【分析】．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷是否成立，即可得出結(jié)論；．設(shè)拋物線上任意一點，可得點與拋物線上任意一點的距離為，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論；，利用根與系數(shù)的關(guān)系并且結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論；．先求點，到直線的距離之和為，設(shè)線段的中點為，，即，，利用點到直線的距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．【解答】解：．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化為，△，，，則，，因此正確；．設(shè)拋物線上任意一點，則點與拋物線上任意一點的距離為，當時取等號，因此不正確；，時取等號，故的最小值為32，因此正確；．先求點，到直線的距離之和為，設(shè)線段的中點為，，即，，則，當時取等號，的最小值為11，因此正確．故選：．【點評】本題考查了拋物線的標準方程及性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?合肥模擬）拋物線的焦點為，準線為，為上一點，以點為圓心，以為半徑的圓與交于點，，與軸交于點，，若，則．【答案】．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算；綜合法【分析】求得拋物線的焦點和準線方程，由向量相等推得，由拋物線的定義推得四邊形為菱形，再由兩點的距離公式求得的縱坐標，可得所求值．【解答】解：拋物線的焦點為，準線為，設(shè)，，，由，可得，垂足為，且，由拋物線的定義可得，且四邊形為菱形，，，，．由，解得，則．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)，以及圓的性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．17．（2024?淮北模擬）已知拋物線準線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足：，，若，則實數(shù)2．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】數(shù)學運算；綜合法；對應(yīng)思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】由題設(shè)，，，共線，作，，垂足分別為，，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可．【解答】解：由題設(shè)知：，，，共線，且，如下圖，作，，垂足分別為，，則，，所以，又，則，所以，即，故．故答案為：2．【點評】本題考查了拋物線得性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024?西城區(qū)校級模擬）設(shè)點，在拋物線上，已知，．若，則3；若，則直線斜率的最小值為．【答案】3；1．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】數(shù)學運算；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，基本不等式，即可分別求解．【解答】解：拋物線的焦點為，又，在拋物線上，，；若，則，又，直線的斜率為，當且僅當，即時，等號成立，直線斜率的最小值為1．故答案為：3；1．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．19．（2024?雁峰區(qū)校級模擬）已知為拋物線上的動點，動點滿足到點的距離與到點是的焦點）的距離之比為，則的最小值是．【答案】．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題【分析】根據(jù)題意得到點的軌跡，然后將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，根據(jù)垂線段最短得到當，，三點共線時，最小，然后求最小值即可．【解答】解：由題意可得，等于點到準線的距離，如圖，過點作垂直準線于點，則，設(shè)動點，則，整理得，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以，所以當，，，四點共線時，最小，故．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．20．（2024?河北一模）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，的中點為，以為直徑的圓與軸交于，兩點，當取最大值時，此時．【答案】．【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法；數(shù)學運算；方程思想【分析】首先作輔助線于點，并設(shè)，利用坐標表示，并求的最小值，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解．【解答】解：如圖，由，可知，設(shè)，，，，，，易知，所以，過點作于點．設(shè)，則，所以當取最小值時，最小，因為，所以當最小時，最小，最大，又的最小值為1，所以，所以，可得．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?朝陽區(qū)校級模擬）已知為坐標原點，拋物線，過點的直線交拋物線于，兩點，．（1）求拋物線的方程；（2）若點，連接，，證明：；（3）已知圓以為圓心，1為半徑，過作圓的兩條切線，與軸分別交于點，且，位于軸兩側(cè)，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）8．【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】對應(yīng)思想；綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算；邏輯推理；綜合法【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再求出，再根據(jù)求出，即可求出拋物線的方程；（2）要證，即證平分，即證，結(jié)合（1）計算化簡即可得出結(jié)論；（3）記，分別與圓切于點，，連接，，，求出，結(jié)合切線長定理可得，，，再根據(jù)，求出，再結(jié)合基本不等式即可得解．【解答】解：（1）不妨設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，所以，此時，解得，則拋物線的方程為；（2）證明：要證，需證平分，即證，由（1）知，，所以，故；（3）記，分別與圓切于點，，連接，，，易知，由切線長定理可得，，，所以，因為，解得，所以，當且僅當，即時，等號成立，故面積的最小值為8．【點評】本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．22．（2024?昌樂縣校級模擬）如圖，為坐標原點，為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于，兩點，直線交拋物線的準線于點，設(shè)拋物線在點處的切線為．（1）若直線與軸的交點為，求證：；（2）過點作的垂線與直線交于點，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運動思想；數(shù)學運算【分析】（1）利用已知條件證明即可；（2）利用條件證明即可．【解答】解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，，（1）證明：不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，對于，的斜率為，的方程為，即為，令得，直線的方程為：，令得，所以，所以，即得證；（2）證明：過點的得垂線的方程為：，即，則，解得的縱坐標為要證明，因為，，，三點共線，只需證明：，，，所以成立，得證．【點評】本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系以及弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．23．（2024?四川模擬）已知拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，為的中點，且點到拋物線的準線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線在，兩點的切線相交于點，求點的橫坐標．【答案】（1）；（2）．【考點】直線與拋物線的綜合【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；整體思想；數(shù)學運算；綜合法【分析】（1）設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用焦點弦長公式出最小值即可求解；（2）設(shè)切線方程與拋物線聯(lián)立，由判別式等于0化簡切線方程，并求出交點坐標即可求解．【解答】解：（1）由題知直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，得，則△，，由拋物線的定義，知點到拋物線準線的距離，所以當時，，所以拋物線的方程為．（2）由題易知拋物線在，兩點處的切線與坐標軸不垂直，設(shè)在點，處的切線方程為，即，聯(lián)立，得，則△，即，解得，所以，即，同理可得拋物線在點，處的切線方程為，設(shè)，，由，得，由（1）知，所以，所以點的橫坐標為．【點評】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，重點考查了焦點弦長公式及直線的方程，屬中檔題．24．（2024?安徽模擬）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上一點，直線的斜率為，的面積為．已知，，設(shè)過點的動直線與拋物線交于、兩點，直線，與的另一交點分別為，．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當直線與的斜率均存在時，討論直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線過定點．【考點】拋物線的標準方程；拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】綜合法；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；方程思想【分析】（Ⅰ）求得直線的斜率和三角形的面積，解方程可得，進而得到拋物線的方程；（Ⅱ）分別求得直線，的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和三點共線的性質(zhì)，結(jié)合直線恒過定點可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)準線與軸的交點為，直線的斜率為，，又，，解得，故拋物線的方程為：．（Ⅱ）設(shè)，，，，過點的直線的方程為：．則聯(lián)立，整理得：，由韋達定理可得：，．又設(shè)，，，，可得的直線方程為：，由，，三點共線可得：，化簡可得：，同理，由，，三點共線可得：，可得，，綜上可得的直線方程為：，變形可得：，所以直線過定點．【點評】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．25．（2024?五蓮縣校級模擬）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于，兩點，設(shè)拋物線在點，處的切線分別為和，已知與軸交于點，與軸交于點，設(shè)與的交點為．（1）證明：點在定直線上；（2）若面積為，求點的坐標；（3）若，，，四點共圓，求點的坐標．【答案】（1）證明見解答；（2）點的坐標為或；（2）的坐標為，．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；直線與拋物線的綜合【專題】邏輯推理；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法；數(shù)學運算【分析】（1）設(shè)，，，，，，由，得，可求得與的方程，聯(lián)立可求得點的坐標；再將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，即可證得點在定直線上；（2）在，的方程中，令，得，，，，由，結(jié)合韋達定理，可求得的值，進而可求得點的坐標；（3）依題意，可求得直線的方程，再結(jié)合點在定直線上，聯(lián)立兩直線方程，即可求得點的坐標．【解答】解：（1）證明：設(shè)，，，，，，由，得，所以方程為：，整理得：，同理可得，的方程為：，聯(lián)立得：，．設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，故，，所以，，有，所以點在定直線上．（2）在，的方程中，令，得，，，，所以的面積，故，代入可得：，解得或，所以點的坐標為或．（3）拋物線焦點，由，得直線的斜率，所以，同理，所以是外接圓的直徑，若點也在該圓上，則．由，得直線的方程為：，又點在定直線上，聯(lián)立兩直線方程，解得點的坐標為，．【點評】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，考查方程思想與轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，考查推理能力與運算能力，屬于難題．

考點卡片1．拋物線的標準方程【知識點的認識】拋物線的標準方程的四種種形式：（1）y2＝2px，焦點在x軸上，焦點坐標為F（，0），（p可為正負）（2）x2＝2py，焦點在y軸上，焦點坐標為F（0，），（p可為正負）四種形式相同點：形狀、大小相同；四種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同．下面以兩種形式做簡單的介紹：標準方程y2＝2px（p＞0），焦點在x軸上x2＝2py（p＞0），焦點在y軸上圖形頂點（0，0）（0，0）對稱軸x軸焦點在x軸長上y軸焦點在y軸長上焦點（，0）（0，）焦距無無離心率e＝1e＝1準線x＝﹣y＝﹣2．拋物線的焦點與準線【知識點的認識】拋物線的簡單性質(zhì)：3．直線與拋物線的綜合【知識點的認識】直線與拋物線的位置判斷：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與拋物線相交?Δ＞0；直線與拋物線相切?Δ＝0；直線與拋物線相離?Δ＜0；【解題方法點撥】研究直線與拋物線的位置關(guān)系，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系求解，同時應(yīng)注意“設(shè)而不求”和“整體代入”方法的應(yīng)用．直線y＝kx+b與拋物線y2＝2px（p＞0）公共點的個數(shù)等價于方程組的解的個數(shù)．（1）若k≠0，則當Δ＞0時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當Δ＝0時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當Δ＜0時，直線與拋物線相離，無公共點．（2）若k＝0，則直線y＝b與y2＝2px（p＞0）