河北省邢臺(tái)市2024屆高三下學(xué)期一模試題 數(shù)學(xué) 含解析

邢臺(tái)市2024年高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，則（）A. B. C. D.3.在研究變量與之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.204.已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值5.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.66.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.7.如圖，正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒(méi)），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.8.傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)集合，則（）A.B.的元素個(gè)數(shù)為16C.D.子集個(gè)數(shù)為6410.已知內(nèi)角對(duì)邊分別為為的重心，，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為11.已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，過(guò)點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為_(kāi)_______．13.4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)_______．14.在直三棱柱中，，底面ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一點(diǎn)，是內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，且，，．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．16.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17.小張參加某知識(shí)競(jìng)賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫(kù)中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫(kù)中的題目數(shù)量足夠多，該知識(shí)競(jìng)賽需要小張從題庫(kù)中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題目中恰好回答正確k個(gè)（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時(shí)，最大？18.雙曲線上一點(diǎn)到左?右焦點(diǎn)的距離之差為6，（1）求雙曲線的方程，（2）已知，過(guò)點(diǎn)直線與交于（異于）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，19.定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)滿足曲線在和處的切線重合，則稱為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”.（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，若，證明：.邢臺(tái)市2024年高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后求出即可.【詳解】，所以在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角余弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】，故選：B3.在研究變量與之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】由回歸方程的性質(zhì)求出即可.【詳解】設(shè)未剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，因?yàn)樗裕瑒t，又這兩對(duì)數(shù)據(jù)為，所以，所以，所以故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于找到剔除前后的平均數(shù).4.已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值【答案】D【解析】【分析】觀察選項(xiàng)，設(shè)，從而表示出，再利用橢圓離心率的定義求得，進(jìn)而得到橢圓方程，從而配湊出關(guān)于的式子，由此得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，即，即，所以，故D正確，顯然ABC錯(cuò)誤.故選：D.5.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，可得，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然與均關(guān)于對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得與有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，故C正確.故選：C6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法確定斜率，再求出切線方程即可.【詳解】由給定定義得，對(duì)左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡(jiǎn)得方程為，故B正確.故選：B7.如圖，正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒(méi)），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算水的體積，再計(jì)算放入球后水和球的總體積，可得鐵球的體積，利用體積公式可得答案.【詳解】正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，正四棱臺(tái)容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長(zhǎng)為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長(zhǎng)10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長(zhǎng)為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A8.傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用焦半徑公式將所求弦長(zhǎng)用三角函數(shù)表示，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求出取值范圍即可.【詳解】首先，我們來(lái)證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對(duì)于一個(gè)拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)集合，則（）A.B.的元素個(gè)數(shù)為16C.D.的子集個(gè)數(shù)為64【答案】BCD【解析】【分析】解二次不等式化簡(jiǎn)集合，進(jìn)而求得集合，利用集合的交并運(yùn)算與常用數(shù)集的定義，結(jié)合集合子集個(gè)數(shù)的求法逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于ABC，因?yàn)?，所以，即，所以有個(gè)元素，故A錯(cuò)誤，BC正確；對(duì)于D，而有個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：BCD.10.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的重心，，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】利用重心性質(zhì)及向量線性運(yùn)算得，即可判斷A，此式平方后結(jié)合基本不等式，向量的數(shù)量積的定義可求得，的最大值，直接判斷B，再結(jié)合三角形面積公式、余弦定理判斷CD．【詳解】是的重心，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，A錯(cuò)；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值是，D錯(cuò)．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為D.【答案】AD【解析】【分析】利用函數(shù)對(duì)稱性的定義判斷A，利用周期性的定義判斷B，利用給定區(qū)間的函數(shù)解析式求解未知解析式判斷C，利用周期性對(duì)函數(shù)求和判斷D即可.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗约丛趨^(qū)間上的解析式為故C錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以，所?故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，過(guò)點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線方程為_(kāi)_______．【答案】①.1②.【解析】【分析】利用點(diǎn)在圓上求解參數(shù)解決第一空，利用得到的垂直關(guān)系求出需要求的斜率，結(jié)合直線上的已知點(diǎn)得到直線方程，求解第二空即可.【詳解】若過(guò)點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡(jiǎn)得直線方程，故答案為：1；13.4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)_______．【答案】144【解析】【分析】采用分步乘法原理和排列計(jì)算結(jié)合插空法求出.【詳解】4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，要求最左邊，中間，最右邊，共有3種，所以一共有種，故答案為：144.14.在直三棱柱中，，底面ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一點(diǎn)，是內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】分析題意，將題目轉(zhuǎn)化為求外接球半徑與點(diǎn)到球心距離和的問(wèn)題，求解即可.【詳解】若底面ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，則外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，設(shè)三棱柱外接球的半徑為，且已知，可得，解得，設(shè)三棱柱外接球的球心與內(nèi)切圓上一點(diǎn)的距離為，故，則的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是確定取得最大值的情況，然后將目標(biāo)式合理轉(zhuǎn)化，得到所要求的線段和即可．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，且，，．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理證明另一組線面垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面AEF的法向量，再求出面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可.【小問(wèn)1詳解】分別為的中點(diǎn),平面，面，平面【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面AEF的法向量為可得，故，令則解得，，得到平面的一個(gè)法向量為易得平面的一個(gè)法向量為由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.16.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到方程，求解公差即可.（2）得到所需求和的數(shù)列，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以為常數(shù)，所以解得，即公差為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗钥傻?，?7.小張參加某知識(shí)競(jìng)賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫(kù)中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫(kù)中的題目數(shù)量足夠多，該知識(shí)競(jìng)賽需要小張從題庫(kù)中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題目中恰好回答正確k個(gè)（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時(shí)，最大？【答案】（1）0.6（2）6【解析】【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法概率求出即可；（2）由二項(xiàng)分布中最大值的計(jì)算求出即可，可設(shè)，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率為0.6.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，設(shè)，即，所以，即，解得，又，所以時(shí)，最大.18.雙曲線上一點(diǎn)到左?右焦點(diǎn)的距離之差為6，（1）求雙曲線的方程，（2）已知，過(guò)點(diǎn)的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，【答案】（1）（2）是定值，定值為【解析】【分析】（1）利用雙曲線的定義與點(diǎn)在雙曲線上得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）假設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程得到，再由題設(shè)條件得到直線與的方程，推得兩者的交點(diǎn)在定直線上，從而得解.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設(shè)，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點(diǎn)在定直線上，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為定值，且定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)滿足曲線在和處的切線重合，則稱為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”.（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線