機(jī)器人建模與控制課件：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)器人建模與控制

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.1.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)的組成使兩個(gè)剛體直接接觸而又能產(chǎn)生一定相對(duì)運(yùn)動(dòng)的聯(lián)接稱為運(yùn)動(dòng)副

，

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)副也稱關(guān)節(jié)，連桿即指由關(guān)節(jié)所聯(lián)的剛體若運(yùn)動(dòng)副聯(lián)結(jié)的兩剛體之間為面與面的接觸，則稱運(yùn)動(dòng)副為低副。

六種常用的低副：3.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量本課程中的關(guān)節(jié)僅限轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副移動(dòng)副(滑動(dòng)關(guān)節(jié)或移動(dòng)關(guān)節(jié))轉(zhuǎn)動(dòng)副(轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié))平面副球面副螺旋副圓柱副串聯(lián)機(jī)構(gòu)：多個(gè)連桿通過關(guān)節(jié)以串聯(lián)形式連接成首尾不封閉的機(jī)械結(jié)構(gòu)3.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量本課程僅研究串聯(lián)機(jī)械臂(串聯(lián)機(jī)器人)非串聯(lián)機(jī)械臂串聯(lián)機(jī)械臂串聯(lián)機(jī)械臂從串聯(lián)機(jī)器人基座進(jìn)行編號(hào)?固定基座為連桿0?第一個(gè)可動(dòng)連桿為連桿1?以此類推，機(jī)器人最末端的連桿為連桿N?連桿0與連桿1通過關(guān)節(jié)1連接，

…

，連桿N-1與連桿N

通過關(guān)節(jié)N連接為了確定末端執(zhí)行器在3維空間的位置和姿態(tài)，串

聯(lián)機(jī)器人至少需要6個(gè)關(guān)節(jié)3.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量關(guān)節(jié)i連桿i

–

1關(guān)節(jié)i

–

1軸i軸i

–

1?用空間中的直線“軸i”表示關(guān)節(jié)i的軸線?軸i的正方向由設(shè)計(jì)者指定?旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)軸中心線?滑動(dòng)關(guān)節(jié)：滑動(dòng)方向中心線?連桿i繞(沿)軸i相對(duì)于連桿i

–

1運(yùn)動(dòng)3.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量3.1.2

連桿長(zhǎng)度與連桿轉(zhuǎn)角連桿ii

?1ii

?1iOi?1Pi

i

?1

i

Oi?1Pi連桿i

aii

?1ii

?1與軸i

夾角的值，此夾角即為連桿轉(zhuǎn)角

i

?1若軸

和軸

不平行，它們有唯一的公垂線段若軸

和軸

平行，它們的公垂線段不唯一，可按需取一條公垂線段公垂線段

的正方向?yàn)檩S

指向軸

，稱

為幾何連桿連桿轉(zhuǎn)角：過軸

作一個(gè)平面垂直于

，然后將軸

投影到該平面上，按照軸

繞旋轉(zhuǎn)到軸

投影的思路以右手螺旋法則確定軸時(shí)，我們并不將零長(zhǎng)度的

視為傳統(tǒng)的零向量，而是在與軸

和軸

同時(shí)垂直的方向中選一個(gè)作為

的正方向PiOi-1O

Pi?1

i

=

i?O

Pi?

i3.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量Oi?1Pii?

i?1

i連桿長(zhǎng)度：公垂線段

的長(zhǎng)度，表示為11i

?

iO

Pi?

ii1O

P連桿i-1

i-1軸i-1i-1Oi軸ia當(dāng)11aai?103.1.3

連桿偏距與關(guān)節(jié)角連桿偏距：從Pi

到Oi

的有向距離，記為di關(guān)節(jié)角：過Oi?1Pi

作一個(gè)平面垂直于軸i

，

然后將Oi

Pi+1

投影到該平面上，在平面內(nèi)

按照Oi?1Pi

繞軸i

旋轉(zhuǎn)到Oi

Pi+1

投影的思路

以右手螺旋法則確定Oi?1Pi

與Oi

Pi+1

夾角的

值，此旋轉(zhuǎn)角度即為關(guān)節(jié)角9i

連桿長(zhǎng)度ai?1、連桿轉(zhuǎn)角

i?1、

連桿偏距di

和關(guān)節(jié)角9i

都

稱為關(guān)節(jié)i

的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量i-1Oi-1

i

-1

軸i-1連桿i

ai

9i3.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量OiiPi軸id

連桿i-1a?

若關(guān)節(jié)1是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，取d1

=0

，而O0

P1

的方向則任取與軸1垂直的某個(gè)方向，取O0

P1

的方向就是決定O1P2

的零位方向連桿0?

若關(guān)節(jié)1是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，取91

=0，而O0

P1

的位置則任取軸1上的某個(gè)點(diǎn)，取O0

P1

的位置就是決定O1P2

的零位位置a91d1

O0

,P1O0

,P1軸13.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量3.1.4

首末關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量?

設(shè)定一個(gè)虛擬的軸0與軸1重合，即取a0

=0,0

=001?O

P

是一個(gè)固定不動(dòng)的幾何連桿O

1連桿1軸01?

軸N?1和軸N

存在，aN?1

和

N?1

已知，需要選取長(zhǎng)度任意的ON

PN+1軸N若關(guān)節(jié)N

是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，取9N

=0

，

而點(diǎn)ON

則任取軸N

上與連桿N

固連的某個(gè)點(diǎn)，ON

與PN

的相對(duì)

位移即決定了連桿偏距dN是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，取

，而的方向則任取與連桿

固連的某個(gè)方向，與

的夾角即是關(guān)節(jié)角NPN+1aON-13.1

串聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量dN

=0NOd連桿N-1連桿NPN+1軸N-1若關(guān)節(jié)NO

PN

N+1O

PN

N+1O

PN?1

N

NPON9??N-1N-1N9NN3.2.1

運(yùn)動(dòng)學(xué)參量表?ai?1和

i?1是固定不變的參數(shù)，不會(huì)隨著關(guān)節(jié)i的運(yùn)動(dòng)而變化?若關(guān)節(jié)i是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，則di是固定不變的參數(shù)，

θi是會(huì)隨著

關(guān)節(jié)i的運(yùn)動(dòng)而變化的關(guān)節(jié)變量，即：3個(gè)連桿參數(shù)ai?1

,

i?1

,di

1個(gè)關(guān)節(jié)變量θi?若關(guān)節(jié)i是滑動(dòng)關(guān)節(jié)，則θi是固定不變的參數(shù)，

di是會(huì)隨著

關(guān)節(jié)i的運(yùn)動(dòng)而變化的關(guān)節(jié)變量，即：?一個(gè)有N個(gè)關(guān)節(jié)的串聯(lián)機(jī)構(gòu)，有4N個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參量，其中3N

個(gè)是連桿參數(shù)、

N個(gè)是關(guān)節(jié)變量，它們包含了串聯(lián)機(jī)構(gòu)的

全部空間幾何信息3.2

建立坐標(biāo)系的非標(biāo)準(zhǔn)D-H(Denavit-Hartenberg)方法3個(gè)連桿參數(shù)ai?1

,

i?1

,θi1個(gè)關(guān)節(jié)變量di例2.8.1：下圖所示為一個(gè)3關(guān)節(jié)串聯(lián)機(jī)械臂，該臂的末端裝

有吸盤作為操作工具。試在此機(jī)構(gòu)上建立幾何連桿、寫出各

連桿參數(shù)的值并列出各關(guān)節(jié)變量3.2

建立坐標(biāo)系的非標(biāo)準(zhǔn)D-H(Denavit-Hartenberg)方法0.2m關(guān)節(jié)3關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)20.5m0.4m1.0m關(guān)節(jié)iαi?1(rad)ai?1(m)di(m)θi(rad)10001201023-π/20.5033.2

建立坐標(biāo)系的非標(biāo)準(zhǔn)D-H(Denavit-Hartenberg)方法軸軸1,軸0運(yùn)動(dòng)學(xué)參量表結(jié)果不唯一121運(yùn)動(dòng)學(xué)參量表2

軸323340.4m0.5m0.2m1.0mO

P29θθθO

P01O

POP399體(實(shí)物連桿)的聯(lián)體坐標(biāo)系?幾何連桿Oi?1Pi

與連桿i-1固連，Oi?1Pi

的

聯(lián)體坐標(biāo)系也是連桿i-1的聯(lián)體坐標(biāo)系3.2.2

連桿聯(lián)體坐標(biāo)系的配置?串聯(lián)機(jī)器人是一個(gè)多體系統(tǒng)(N+1個(gè)剛體)，描述機(jī)器人

的運(yùn)動(dòng)即是描述N+1個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，因此需要建立每個(gè)剛3.2

建立坐標(biāo)系的非標(biāo)準(zhǔn)D-H(Denavit-Hartenberg)方法Pi軸i連桿i-1連桿iOi-1軸i-1Oi軸i-1Matlab的Link函數(shù)的方法選項(xiàng)’modefied’為非標(biāo)準(zhǔn)D-H法；

’standard’或缺省為標(biāo)準(zhǔn)D-H法Oi?1為{i-1}的原點(diǎn)軸i-1為{i-1}的Z軸Oi?1Pi

為{i-1}的X軸3.2

建立坐標(biāo)系的非標(biāo)準(zhǔn)D-H(Denavit-Hartenberg)方法?非標(biāo)準(zhǔn)D-H

(Denavit-Hartenberg)方法建立連桿i-1的聯(lián)體坐標(biāo)系{i-1}Z八

?1

Oi

i?11X八右手定則定{i-1}的Y軸

-OiiZ八Pi軸i連桿i-1連桿iiX八i

i?13.2

建立坐標(biāo)系的非標(biāo)準(zhǔn)D-H(Denavit-Hartenberg)方法例2.8.2：采用改進(jìn)D-H方法建立例2.8.1的連桿聯(lián)體坐標(biāo)系軸2軸1,軸02334O

PO

PZ八2X八O3Z八0

,Z八1101O

P0X八0軸3O0

,O11X八12OPX八Z八

3O22332關(guān)節(jié)iαi?1(rad)ai?1(m)di(m)θi(rad)1000120L10230L2033O0

,

13.2

建立坐標(biāo)系的非標(biāo)準(zhǔn)D-H(Denavit-Hartenberg)方法非標(biāo)準(zhǔn)D-H方法建

立的連桿聯(lián)體坐標(biāo)

系不唯一例2.8.3：采用非標(biāo)準(zhǔn)D-H方法建立如圖機(jī)器人的連桿聯(lián)體坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)參量表系O

OθθθO2{i-1}經(jīng)四步變換成為{i}沿聯(lián)體X軸滑動(dòng)ai?1

繞聯(lián)體X軸旋轉(zhuǎn)

i?1沿聯(lián)體Z軸滑動(dòng)di

繞聯(lián)體Z軸旋轉(zhuǎn)θi「cos9i||L

0?sin9i

cos9i

cos

i?1

cos9i

sin

i?100?sin

i?1i?10ai?1

]?sini?1di

cos

i?1di

|「10

0i?1T

=

0

cos

i

?1

?sin

i

?1i

|0

sin

i

?1

cos

i

?1PiOi-13.3.1

相鄰連桿聯(lián)體坐標(biāo)系的變換「cos9i

?sin9i

0

sin9i

cos9i

00013.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)da=

|sin9i

cos

i?1|sin9i

sini?1|||||||

|||ai?1]0

0

1

」||L0

0

0

iii0

]

|

i

|1」|iZ八|

1

」000

i-10

|d

|i?1

Z八i?1cos

iOia9i-1i?1X八X八

Li3.3.2

正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題及其求解正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題：已知各關(guān)節(jié)變量的值，

以基座坐標(biāo)

系為參考系，求末端工具聯(lián)體坐標(biāo)系的位姿?sin9icos9i

cos

i?1

cos9i

sin

i?10「

cos9i||L

0i?1T

=

|sin9i

cos

i?1i

|sin9i

sin

i?1ai?1

]?sin

i?1di

cos

i?1di

|0?sin

i?1i?1

03.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)0T

=

0T

1Tn12n?1Tn|1

」解法：cos

為描述例2.8.1中的操作工具吸盤，建立了吸盤聯(lián)體坐標(biāo)系{4}，

其原點(diǎn)為吸盤中心、姿態(tài)與{3}相同「100|3T

|4

=

|00

1|

|L0

0

0

T(91,92

,93

)=T(91)T(92

)T(93

)T43322110403.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)Z八2X八3O0.2]||0.4|

|1

」|Z八0

,Z八110100X八00.2m0.4mO0

,O11X八0X八X八Z八4Z八3

4

OO42233423O4O0

,

1對(duì)2.8.3的機(jī)器人，建立工具的聯(lián)體坐標(biāo)系{4}，其原點(diǎn)為夾具末

端中點(diǎn)、姿態(tài)與{3}相同「100|3T

|4

=

|00

1|

|L0

0

0

T(91,92

,93

)=T(91)T(92

)T(93

)T43322110403.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)L3

]|00|

|

1

」|010O

OX八

3OL|442關(guān)節(jié)iαi?1ai?1diθi100012?90°002302 334?90°3 44590°0056?90°0063.3.3

PUMA560機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程6R機(jī)構(gòu)，軸4

、5

、6相互垂直且交于一點(diǎn)3.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)X?Z?D-H

連桿參數(shù)表ddaaθθθθθθX?5Z?5

56

660

]

「

c92

T

=

?

1」L

0s9202100求出每對(duì)相鄰坐標(biāo)系的齊次變換矩陣0]

「c930

2T

s930

|

3

=

|

0|

|1」|L0「c96|T

=

?s96L

065「c94|3

T

|

94=44

=0?s3.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)「c91|

T

=

L

00s9110?sin9i

cos9i

cosai

?1

cos9i

sin

ai?10「c95|T

=

95L

0s054「cos9i||

L

00?sinai

?1i?1

0?s93

c93

00?s96

0?c96

0?s92

0?c92

0?s94

0?c94

0?s91

c91

0

0ai?1

]?sinai

?1di

?s95

0

c95

0||cosai?1di

1

」0]|0

|0

||1」0]||0

||1」i?1T

=

|sin

9i

cosai

?1a3

]|d4

|

0

||

1

」|i

|sin

9i

sinai?10?1

00a2

]||d3

|01000100001000100100|1

」|cosa0000和T

相乘開始:「c5

c6|4

T

4

T

5

T

|s66

=

5

6

=

|s5

c665?s94

0?c94

0

94=44

=0?sa3

]|d4

|

0

||

1

」|3T

|「c94010|00?s95

0

c95

0T

=

95L

0s0540?1000

|

0

|

|「c950]|1」|「c4

c5

c6

?s4

s6T

=

T

T

=

s5

c6|

?s4

c5

c6

?

c4s6

|L

0644363?c4

c5s6

?s4

c6?s5s6s4

c5s6

?c4

c6

0「c96|T

=

?s96L

0653.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)?c5

s6c6?s

s0?s96

0?c96

0?c4s5

c5

s4s5

0?s50c5

00]||0

||1

」|0]||0

||1」a3

]d4

|0

|

1

」|從

T540100||L056000|因?yàn)殛P(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3是平行的，

所以

T

和

T

的乘積用和角公式得到一個(gè)簡(jiǎn)化的表達(dá)式，只要兩個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸平行就可以這樣處理，

因此得到:3221「c231

1

2

|

0|

?s23|L

00]

「c930

2T

s930

|

3

=

|

0|

|1」|L0「c92|

T

=

?s92L

0213.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)a2

c2

]d3

|?

a2s2

|

1

」|c23

=cos(92

+93

),s23

=sin(92

+93

)?s93

c93

00?s92

0?c92

0?s23

0?c23

03T

=

2T

3T

=|a2

]||d3

|010000100100|1

」|00|1r32

=s23

[c4

c5s6

+s4

c6

]+c23s5s6

1r13

=?c23

c4s5

?s23

c51r23

=s4s51r33

=s23

c4s5

?c23

c51px

=a2

c2

+a3

c23

?d4s231py

=d31pz

=?a3s23

?a2s2

?d4

c231r11

=c23

[c4

c5

c6

?s4s6

]?s23s5s6

1r21

=?s4

c5

c6

?c4s61r31

=?s23

[c4

c5

c6

?s4s6

]?c23s5

c6

1r12

=?c23

[c4

c5s6

+s4

c6

]+s23s5s6

1r22

=s4

c5s6

?c4

c6繼續(xù)矩陣相乘：「63

6|「c4

c5

c6

?s4

s6T

=

s5

c6|

?s4

c5

c6

?

c4

s6

|L

063?c4

c5s6

?s4

c6?s5s6s4

c5s6

?c4

c6

03.3

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)「c231

|

0|

?s23|L

0a2

c2

]

d

|?

a2s2

|1

」||

1T

=

1T

3T

=|?c4s5

c5

s4s5

0?s23

0?c23

01py

1pz

|1

」|a3

]d

|0

|1

」|1r13

1r23

1r3301r121r221r3201r111r211r31001001px

]3T

=|3

|4

||Lr11

=c1

[c23

(c4

c5

c6

?s4s5

)?s23s5

c5

]+s1

(s4

c5

c6

+c4s6

)

r21

=s1

[c23

(c4

c5

c6

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