獨立性檢驗課件（1）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.3.2獨立性檢驗（1）復(fù)習(xí)引入2.2×2列聯(lián)表定義一對分類變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如表所示：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d上表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y＝0}和{Y＝1}的

；最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X＝0}和{X＝1}的_；中間的四個數(shù)a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y(tǒng)}(x，y＝0,1)的

；右下角格中的數(shù)n是

.頻數(shù)頻數(shù)頻數(shù)樣本容量3.等高堆積條形圖等高堆積條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的

特征，依據(jù)_____________的原理，我們可以推斷結(jié)果.頻率頻率穩(wěn)頻率穩(wěn)定于概率例1：為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀;乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.回顧上節(jié)課的例1學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計711788依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率.探究二：獨立性檢驗課本126頁思考：你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？這一結(jié)論有可能是錯誤的.事實上，“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.這里，P(Y=1|X=0)表示從{X=0}中隨機選一個樣本點，該樣本點屬于{X=0,Y=1}的概率；P(Y=1|X=1)表示從{X=1}中隨機選一個樣本點，該樣本點屬于{X=1,Y=1}的概率.考慮以Ω為樣本空間的古典概型.設(shè)X和Y定義在Ω上，取值于{0,1}的成對分類變量.我們希望判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián).我們需要判斷下面的假定關(guān)系是否成立，通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè).抽象簡化列聯(lián)表如下：Y=0Y=1X=0X=0,Y=0X=0,Y=1X=1X=1,Y=0X=1,Y=1{X=1}與{Y=1}是否有關(guān)聯(lián)呢？注意到{X=0}與{X=1}對立，{Y=0}與{Y=1}對立,零假設(shè)或原假設(shè)：由條件概率的定義可知，零假設(shè)H0等價于由于{X=0}和{X=1}為對立事件，故有因此，零假設(shè)H0等價于{X=1}和{Y=1}獨立.Y=0Y=1X=0X=0,Y=0X=0,Y=1X=1X=1,Y=0X=1,Y=1根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的概率知識，下面的四條性質(zhì)彼此等價：{X=0}與{Y=0}獨立{X=0}與{Y=1}獨立{X=1}與{Y=0}獨立{X=1}與{Y=1}獨立②如果這些性質(zhì)成立，我們就稱分類變量X和Y獨立.因此，我們可以用概率語言，將零假設(shè)改述為

H0:分類變量X和Y獨立.思考：如何基于②中的四個等式及下列2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，對成對分類變量X和Y是否相互獨立作出推斷?XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋dXY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d{X=0,Y=0}發(fā)生的頻數(shù)的期望值(或預(yù)期值)為思考：如何衡量頻數(shù)的期望值Ea與實際值a的差別呢？如果零假設(shè)H0成立，下面四個量的取值都不應(yīng)該太大:反之，當(dāng)這些量的取值較大時，就可以推斷H0不成立.顯然，分別考慮上面四個差的絕對值很困難，我們需要找到一個既合理又能夠計算分布的統(tǒng)計量，來推斷H0是否成立.一般來說，若頻數(shù)的期望值較大，則差的絕對值也會較大；而若頻數(shù)的期望值較小，則相應(yīng)的差的絕對值也會較小.為了合理地平衡這種影響，我們將四個差的絕對值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計量:該表達(dá)式可化簡為上述表達(dá)式是χ2的計算公式，

χ2讀作“卡方”.卡方統(tǒng)計量思考：卡方統(tǒng)計量有什么用呢？隨機變量χ2取值的大小可作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立.χ2計算公式：思考：究竟χ2大到什么程度，可以推斷H0不成立呢?或者說，怎樣確定判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)呢?根據(jù)小概率事件在一次試驗中不大可能發(fā)生的規(guī)律，上面的想法可以通過確定一個與H0相矛盾的小概率事件來實現(xiàn).在假定H0的條件下，對于有放回簡單隨機抽樣，當(dāng)樣本容量

n充分大時，統(tǒng)計學(xué)家得到了χ2的近似分布.忽略χ2的實際分

布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值α，可以找到

相應(yīng)的正實數(shù)xα，使得下面關(guān)系成立：我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值就可以作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn).概率值α越小，臨界值xα越大.由P(χ2≥xα)=α可知，只要把概率值α取得充分小，在假設(shè)H0的情況下，事件{χ2≥xα}是不大可能發(fā)生的.根據(jù)這個規(guī)律，如果該事件發(fā)生，我們就可以推斷H0不成立.不過這個推斷有可能犯錯誤，但犯錯誤的概率不會超過α.xαα概率值α越小，臨界值xα越大.基于小概率值α的檢驗規(guī)則是:當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨立.這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828例如，對于小概率值α=0.05，我們有如下的具體檢驗規(guī)則:(1)當(dāng)χ2≥x0.05=3.841時，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05;(2)當(dāng)χ2<x0.05=3.841時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨立.解：零假設(shè)為H0:分類變量X與Y相互獨立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率無差異.例：依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗，分析例1（課本126）中的抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異?學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀(Y＝0)優(yōu)秀(Y＝1)甲校(X＝0)331043乙校(X＝1)38745合計711788α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異.例題課本131頁根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算得到思考：例1（課本126）和本例都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論，你能說明其中的原因嗎?事實上，如前所述，例1只是根據(jù)一個樣本的兩個頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒有考慮由樣本隨機性可能導(dǎo)致的錯誤，所以例1的推斷依據(jù)不太充分.在本例中，我們用χ2獨立性檢驗對零假設(shè)H0進(jìn)行了檢驗.

通過計算，發(fā)現(xiàn)χ2≈0.837小于α=0.1所對應(yīng)的臨界值2.706，因此認(rèn)為沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以接受H0，推斷出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有顯著差異的結(jié)論.這個檢驗結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個頻率的差異很有可能是由樣本隨機性導(dǎo)致的.

因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的.由此可見，相對于簡單比較兩個頻率的推斷，用χ2獨立性檢驗得到的結(jié)果更理性、更全面，理論依據(jù)也更充分.練習(xí)1.對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：手術(shù)心臟病合計又發(fā)作過未發(fā)作過心臟搭橋39157196血管清障29167196合計68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算χ2≈__________，能否根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗作出這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論________(填“能”或“不能”).1.779不能χ2＜2.076＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨立性檢驗，我們沒有充分的證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響無差別.課本134頁2.為考察某種藥物A對預(yù)防疾病B的效果，進(jìn)行了動物試驗，根據(jù)105個有放回簡單隨機樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表:依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，分析藥物A對預(yù)防疾病B的有效性.藥物A疾病B合計未患病患病未服用291544服用471461合計7629105α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：零假設(shè)為H0:藥物A與預(yù)防疾病B無關(guān)聯(lián)，即藥物A對預(yù)防疾病B沒有效果，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即可以認(rèn)為藥物A對預(yù)防疾病B沒有效果.則χ2約為（

）1.高二第二學(xué)期期中考試，按照甲、乙兩個班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：

優(yōu)秀及格合計甲班113445乙班83745合計197190隨堂檢測2.下表是某屆某校本科志愿報名時，對其中304名學(xué)生進(jìn)入高校時是否知道想學(xué)專業(yè)的調(diào)查表：

知道想學(xué)專業(yè)不知道想學(xué)專業(yè)合計男生63117180女生4282124合計105199304根據(jù)表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是______.(填序號)①性別與知道想學(xué)專業(yè)有關(guān)；②性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān)；③女生比男生更易知道所學(xué)專業(yè).②所以性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān).3.學(xué)校舉行運動會，為了搞好接待工作，組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運動，其余人不喜愛運動.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：

運動的喜好合計喜愛運動不喜愛運動

男10

16女6

14合計

30解：

喜愛運動不喜愛運動合計男10616女6814合計161430(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與喜愛運動有關(guān)？解：零假設(shè)為H0：喜愛運動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可得因為1.1575<2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為性別與喜愛運動無關(guān).4.為了探究學(xué)生選報文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科生對外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科生對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人.試根據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，分析學(xué)生選報文、理科與對外語的興趣是否有關(guān)？解：零假設(shè)為H0：選報文、理科與對外語的興趣無關(guān).列出2×2列聯(lián)表對外語興趣選報文、理科合計理文有13873211無9852150合計236125361代入公式得∵1.871×10－4＜2.706＝x0.1，根據(jù)小概率值α＝0.1的χ2獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即選報文、理科與對外語的興趣無關(guān).5.為了檢驗兩種不同的課堂教學(xué)模式對學(xué)生的成績是否有影響，現(xiàn)從高二年級的甲(實行“問題—探究式”模式)、乙(實行“自學(xué)—指導(dǎo)式”模式)兩個班中每班任意抽取20名學(xué)生進(jìn)行測試，他們的成績(總分150分)如下．甲班:88929598103108110112118118

120121126132134135140142146148乙班:9697104107108108114117119121124124125127132135135137138

147記成績在120分以上(包括120分)為優(yōu)秀，其他的成績?yōu)橐话?，試根?jù)小概率