對(duì)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》的教學(xué)思考與實(shí)踐

把握本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生的思維走向深入——對(duì)《異分母分?jǐn)?shù)加減法》的教學(xué)思考與實(shí)踐浙江省紹興縣華舍實(shí)驗(yàn)學(xué)校錢建軍《異分母分?jǐn)?shù)加減》的前一課時(shí)是《同分母分?jǐn)?shù)加減》，教材指導(dǎo)我們用轉(zhuǎn)化（即把異分母分?jǐn)?shù)通過通分轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)）的方法進(jìn)行教學(xué)。作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化在這里體現(xiàn)為把未知的知識(shí)轉(zhuǎn)變成學(xué)生已知的知識(shí)，但有時(shí)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)“想當(dāng)然地做錯(cuò)”，也反映出他們對(duì)于“已知與未知”的不理解。所以我認(rèn)為本課的重點(diǎn)不止是讓學(xué)生掌握異分母分?jǐn)?shù)加減的計(jì)算方法，更重要是弄清楚為什么要轉(zhuǎn)化的原因，只有這樣才算是把握了知識(shí)的本質(zhì)。為佐證我的認(rèn)識(shí)，我對(duì)已經(jīng)學(xué)過《異分母分?jǐn)?shù)加減法》的學(xué)生做了幾次訪談。師：1/2+1/3=？生：等于5/6.師：你是怎么想的？生：把1/2和1/3通分，轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，一個(gè)是3/6，一個(gè)是2/6，3/6+2/6=5/6。師：為什么要轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)？生：因?yàn)椴晦D(zhuǎn)化就算不來？師：怎么算不來？生：因?yàn)橹苯铀愕脑捑湾e(cuò)了。如果1+1,2+3,那樣就等于2/5了，越加越小了。師：那如果B/A+D/C=(B+D)/(A+C),你怎么就能知道越加越小了呢？生：因?yàn)樗鼈兊姆帜覆灰粯樱褪欠謹(jǐn)?shù)單位不一樣，不能直接相加？師：分?jǐn)?shù)單位不一樣，為什么就不能直接相加呢？生：（無語）……記得有位教育家說過，大凡“錯(cuò)誤的”肯定是一種經(jīng)歷，但“正確的”可能是一種模仿。“異分母分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)單位不一樣，所以不能直接相加減”，這樣的教學(xué)語言在我們的課堂中或多或少地出現(xiàn)過?！八砸旬惙帜阜?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，因?yàn)橥帜阜謹(jǐn)?shù)加法我們已經(jīng)會(huì)做了”，只要學(xué)生記住了這句話，就能夠解決異分母分?jǐn)?shù)加減法的問題了。但這樣上，我們只是在表面上解決了1/2+1/3的問題，沒有從根本上解決學(xué)生的心里困惑?；蛟S學(xué)生產(chǎn)生不了這種困惑，因?yàn)閷W(xué)生是很信任教師，相信教師的話沒錯(cuò)，不會(huì)去質(zhì)疑什么。其實(shí)如果回到同分母分?jǐn)?shù)加減法，我們的教學(xué)也只是解釋了同分母分?jǐn)?shù)因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)單位一樣，所以可以是分母不變，分子相加減，似乎也沒有讓學(xué)生十分明確：為什么分?jǐn)?shù)單位不一樣就不能直接相加減？這節(jié)課到底教什么呢？計(jì)算法則是必教內(nèi)容，那么計(jì)算法則的本質(zhì)是什么呢？化成同分母分?jǐn)?shù)實(shí)際上是為了統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位，為什么要統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位呢？其實(shí)統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位就是“統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”，分?jǐn)?shù)單位不同就是標(biāo)準(zhǔn)不同（下文教學(xué)設(shè)計(jì)中有圖示）。由此，我突然發(fā)現(xiàn)，表面上在學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法，實(shí)質(zhì)還是在深化對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。本單元的第一節(jié)課是“分?jǐn)?shù)的意義”：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。如果將兩個(gè)異分母的分?jǐn)?shù)相加，則產(chǎn)生了兩個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)，就沒有平均分，就不符合分?jǐn)?shù)的意義。同理，后續(xù)的分?jǐn)?shù)的大小比較、分?jǐn)?shù)小數(shù)的互化、同分母分?jǐn)?shù)加減等都是在不同角度、不同層面深化對(duì)分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)涵與外延的理解。再縱觀全套教材的整體編排，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了整數(shù)加（減）法和小數(shù)加（減）法，本單元的分?jǐn)?shù)加（減）法是小學(xué)生學(xué)習(xí)加（減）法的最后一個(gè)系列。從表現(xiàn)形式上看，計(jì)整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法的法則都不一樣，但更深入地思考，我們發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)上它們都是相同單位的數(shù)量相加，這也正是加法的本質(zhì)。作為小學(xué)加減法的最后一部分內(nèi)容，我們有必要將知識(shí)做一個(gè)歸結(jié)。基于以上的思考，我設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)教學(xué)片段，收到了很好的效果。片段A（在學(xué)生初步掌握異分母分?jǐn)?shù)加法（1/2+1/4=）的方法以后。）師：關(guān)于異分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算，老師做過一個(gè)調(diào)查，收集了兩種算法，請(qǐng)你判斷一下。算法1：1/2+1/3=1/（2+3）=1/5。生：不對(duì)，1/5比1/2要小了，越加越小了。師：算法2：1/2+1/3=（1+1）/（2+3）＝2/5。生：也不對(duì)，不能分子和分子加，分母和分母加。要先通分，化成分母是6的分?jǐn)?shù)。生：2/5要比1/2小，也是越加越小了。師：是呀，越加越小了，不符合常理，這樣做是不對(duì)的?？墒?，老師個(gè)別采訪這位同學(xué)，他是這樣說的——“1/2就是把單位‘1’平均分成2份，取了其中的1份，1/3就是把單位‘1’平均分成3份，取了其中的1份，這樣一共就被平均分成了5份，共取其中的2份，所以是2/5。哪里錯(cuò)了呢？”（現(xiàn)場(chǎng)描述：這時(shí)教室里一片安靜，沒有人舉手，約過了十幾秒鐘，有兩三個(gè)學(xué)生舉手了，漸漸地又多了三四個(gè)。）生：第一次平均分的每一份與第二次平均分的每一份是不一樣的，1+1不能夠加。（現(xiàn)場(chǎng)描述：這時(shí)剛才舉手的人都把手放下了，有些學(xué)生開始微微地點(diǎn)頭了，有些學(xué)生還在思考。）師：你說的是這個(gè)意思嗎？（圖示，如下。）大家看懂了嗎？生：我明白了，不光是分子每1份不一樣，不能直接相加，分母中的上面2份與下面3份也不一樣，也能不能直接相加。生：分?jǐn)?shù)的意義是講平均分，這里5份在一起，就沒有平均分了。（現(xiàn)場(chǎng)描述：這時(shí)學(xué)生的表情都很輕松了。）師：說的很好，這就是不能直接相加的原因。那么你是怎么想的呢？（學(xué)生交流。）師：1/2、1/3用圖形來解釋就是這樣的（如上左圖），把兩段青色部分直接合在一起，不能反映出結(jié)果是多少，因?yàn)檫@里的標(biāo)準(zhǔn)有兩個(gè)，一個(gè)以1/2中的1份為標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)以1/3中的1份為標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)有兩個(gè)就不好辦，怎么辦呢？我們用同一個(gè)單位（或者說標(biāo)準(zhǔn)）去度量它（如上右圖），這個(gè)單位就是1/6。這樣我們就知道了結(jié)果?，F(xiàn)在你知道為什么要先通分嗎？通分的目的是什么？生：通分實(shí)際上是為了統(tǒng)一單位。生：統(tǒng)一單位實(shí)際上就是統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。這里用數(shù)形結(jié)合的方法解釋了為什么異分母分?jǐn)?shù)加法不能直接相加的道理，符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，且結(jié)合圖形，用“統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”來給“統(tǒng)一單位”注釋，容易被學(xué)生所理解。片段B組織學(xué)生練習(xí)：下面的計(jì)算對(duì)嗎？為什么？判斷1：3/8+1/6=18/48+8/48=24/48。生：這里沒有約分，不對(duì)。師：嗯？生：18+8＝26，不是24。師：在大家的作業(yè)練習(xí)中，出錯(cuò)最多的是該化簡(jiǎn)的沒有化簡(jiǎn)，其次是把簡(jiǎn)單的加減法算錯(cuò)，所以檢查一定要仔細(xì)。判斷2：（訂正：）生：不對(duì)，沒有通分，不能這樣直接相加。師：嗯？生：就是分?jǐn)?shù)單位不一樣，標(biāo)準(zhǔn)不同，不能直接相加。判斷3：訂正：生：不對(duì)，個(gè)位和個(gè)位沒有對(duì)齊，不能這樣加？師：為什么2對(duì)齊4是錯(cuò)的呢？（指示。）生：2是2個(gè)萬，4是4個(gè)百，萬和百單位不同，不能直接相加。判斷4：訂正：生：不對(duì)，小數(shù)點(diǎn)沒有對(duì)齊，這樣算3加4，要比實(shí)際的結(jié)果小一些。師：為什么一定要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊呢？生：這里歸根究底，