2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之集合（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之集合（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，?UA＝{0，1，4}，則A＝（）A．{2，3，5} B．{2，5} C．{3，5} D．{2，3}2．集合A＝{（x，y，z）|x∈{0，1}，y，z∈{2，3，4}}中元素的個數(shù)為（）A．18 B．12 C．8 D．53．若集合P＝{x||x|＜1}，Q＝{﹣1，0，1，2}，則P∩Q＝（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}4．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m的值為（）A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或35．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪（?RQ）＝（）A．[2，3] B．（﹣2，3] C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）6．設(shè)集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或27．設(shè)集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，則M中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．68．設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2﹣1＜0}，則A∪B＝（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）9．設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，則（A∪B）∩C＝（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}10．下列五個寫法：①{0}∈{1，2，3}；②??{0}；③{0，1，2}?{1，2，0}；④0∈?；⑤0∩?＝?，其中錯誤寫法的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共5小題）11．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}至多有一個元素，則a的取值范圍是．12．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．若A∩B＝{1}，則實數(shù)a的值為．13．已知集合A＝{x|x2+x+m＝0}，若A∩R＝?，則實數(shù)m的取值范圍是．14．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，則集合A∪B中元素的個數(shù)為．15．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a+10b+c等于．三．解答題（共5小題）16．設(shè)A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，其中x∈R，如果A∩B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．17．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（Ⅰ）當(dāng)m＝3時，求集合A∩B，A∪B；（Ⅱ）若滿足A∩B＝B，求實數(shù)m的取值范圍．18．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．（1）當(dāng)a＝3時，求A∩B，A∪（?RB）；（2）若A∩B＝?，求實數(shù)a的取值范圍．19．已知集合A＝{x|3＜x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m+1}．（1）若m＝2，求A∩B，A∪B；（2）若A?B，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍．20．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若集合A是空集，求a的取值范圍；（2）若集合A中只有一個元素，求a的值，并寫出此時的集合A．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之集合（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，?UA＝{0，1，4}，則A＝（）A．{2，3，5} B．{2，5} C．{3，5} D．{2，3}【考點】補(bǔ)集及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合補(bǔ)集的定義，即可求解．【解答】解：全集U＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，?UA＝{0，1，4}，則A＝{2，3，5}．故選：A．【點評】本題主要考查補(bǔ)集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．2．集合A＝{（x，y，z）|x∈{0，1}，y，z∈{2，3，4}}中元素的個數(shù)為（）A．18 B．12 C．8 D．5【考點】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)集合定義結(jié)合分步計數(shù)原理即可求解．【解答】解：集合A＝{（x，y，z）|x∈{0，1}，y，z∈{2，3，4}}中元素的個數(shù)為2×3×3＝18．故選：A．【點評】本題考查集合中元素的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．若集合P＝{x||x|＜1}，Q＝{﹣1，0，1，2}，則P∩Q＝（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}【考點】交集及其運算．【專題】集合思想；定義法；集合；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】求出集合P，利用交集定義能求出P∩Q．【解答】解：集合P＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，Q＝{﹣1，0，1，2}，則P∩Q＝{0}．故選：A．【點評】本題考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m的值為（）A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3【考點】集合交并補(bǔ)混合關(guān)系的應(yīng)用．【專題】集合．【答案】B【分析】由題設(shè)條件中本題可先由條件A∪B＝A得出B?A，由此判斷出參數(shù)m可能的取值，再進(jìn)行驗證即可得出答案選出正確選項．【解答】解：由題意A∪B＝A，即B?A，又A={1，3，m}，∴m＝3或m=m，解得m＝3或m＝0及m＝1驗證知，m＝1不滿足集合的互異性，故m＝0或m＝3即為所求，故選：B．【點評】本題考查集合中參數(shù)取值問題，解題的關(guān)鍵是將條件A∪B＝A轉(zhuǎn)化為B?A，再由集合的包含關(guān)系得出參數(shù)所可能的取值．5．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪（?RQ）＝（）A．[2，3] B．（﹣2，3] C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【考點】交、并、補(bǔ)集的混合運算．【專題】集合思想；分析法；集合．【答案】B【分析】運用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的補(bǔ)集，再由兩集合的并集運算，即可得到所求．【解答】解：Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≥2或x≤﹣2}，即有?RQ＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，則P∪（?RQ）＝（﹣2，3]．故選：B．【點評】本題考查集合的運算，主要是并集和補(bǔ)集的運算，考查不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．6．設(shè)集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【考點】集合的確定性、互異性、無序性．【專題】集合．【答案】C【分析】分別由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入觀察即可．【解答】解：若1﹣a＝4，則a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，則a＝2或a＝﹣1，a＝2時，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1時，1﹣a＝2（舍），故選：C．【點評】本題考查了集合的確定性，互異性，無序性，本題是一道基礎(chǔ)題．7．設(shè)集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，則M中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】集合的確定性、互異性、無序性；集合中元素個數(shù)的最值．【專題】計算題．【答案】B【分析】利用已知條件，直接求出a+b，利用集合元素互異求出M中元素的個數(shù)即可．【解答】解：因為集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能為：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4個．故選：B．【點評】本題考查集合中元素個數(shù)的最值，集合中元素的互異性的應(yīng)用，考查計算能力．8．設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2﹣1＜0}，則A∪B＝（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）【考點】并集及其運算．【專題】計算題；集合思想；數(shù)學(xué)模型法；集合．【答案】C【分析】求解指數(shù)函數(shù)的值域化簡A，求解一元二次不等式化簡B，再由并集運算得答案．【解答】解：∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝（0，+∞），B＝{x|x2﹣1＜0}＝（﹣1，1），∴A∪B＝（0，+∞）∪（﹣1，1）＝（﹣1，+∞）．故選：C．【點評】本題考查并集及其運算，考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題．9．設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，則（A∪B）∩C＝（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}【考點】交、并、補(bǔ)集的混合運算．【專題】計算題；集合思想；數(shù)學(xué)模型法；集合．【答案】C【分析】直接利用交集、并集運算得答案．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）＝{1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，又C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C＝{﹣1，0，1}．故選：C．【點評】本題考查交集、并集及其運算，是基礎(chǔ)的計算題．10．下列五個寫法：①{0}∈{1，2，3}；②??{0}；③{0，1，2}?{1，2，0}；④0∈?；⑤0∩?＝?，其中錯誤寫法的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】閱讀型；數(shù)據(jù)分析．【答案】C【分析】據(jù)“∈”用于元素與集合；“∩”用于集合與集合間；判斷出①⑤錯，?是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判斷出②④的對錯；據(jù)集合元素的三要素判斷出③對【解答】解：對于①，“∈”是用于元素與集合的關(guān)系故①錯；對于②，?是任意集合的子集，故②對；對于③，集合中元素的三要素有確定性、互異性、無序性，所以{0，1，2}＝{1，2，0}，所以{0，1，2}?{1，2，0}，故③對；對于④，因為?是不含任何元素的集合故④錯；對于⑤，因為∩是用于集合與集合的關(guān)系，故⑤錯；故選：C．【點評】本題考查集合部分的一些特定符號、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．二．填空題（共5小題）11．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}至多有一個元素，則a的取值范圍是a≥9【考點】集合的確定性、互異性、無序性．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】集合A為方程的解集，集合A中至多有一個元素，即方程至多有一個解，分a＝0和a≠0進(jìn)行討論．【解答】解：a＝0時，ax2﹣3x+2＝0即x=23，Aa≠0時，ax2﹣3x+2＝0至多有一個解，Δ＝9﹣8a≤0，a綜上，a的取值范圍為a故答案為：a【點評】本題考查方程的解集問題和分類討論思想，屬基本題．12．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．若A∩B＝{1}，則實數(shù)a的值為1．【考點】交集及其運算．【專題】計算題；方程思想；定義法；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，B＝{a，a2+3}．A∩B＝{1}，∴a＝1或a2+3＝1，當(dāng)a＝1時，A＝{1，2}，B＝{1，4}，成立；a2+3＝1無解．綜上，a＝1．故答案為：1．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義及性質(zhì)的合理運用．13．已知集合A＝{x|x2+x+m＝0}，若A∩R＝?，則實數(shù)m的取值范圍是（14，+∞）【考點】集合的確定性、互異性、無序性．【專題】計算題；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】本題考查的是集合元素的分布以及集合與集合間的運算問題．在解答時可先根據(jù)A∩R＝?，讀出集合A在實數(shù)集當(dāng)中沒有元素，又集合A中的元素是由一元二次方程x2+x+m＝0的根構(gòu)成的，故問題可轉(zhuǎn)化為一元二次方程x2+x+m＝0在實數(shù)集上沒有實根．由Δ＜0解得m的范圍即可．【解答】解：根據(jù)A∩R＝?，可知，集合A在實數(shù)集當(dāng)中沒有元素，又集合A中的元素是由一元二次方程x2+x+m＝0的根構(gòu)成的，故問題可轉(zhuǎn)化為一元二次方程x2+x+m＝0在實數(shù)集上沒有實根．由Δ＜0，即Δ＝12﹣4×1×m＜0解得m＞即m的取值范圍是（14，+故答案為：（14，+【點評】本題考查的是集合元素的分布以及集合與集合間的運算問題．在解答的過程中要仔細(xì)體會集合運算的特點、幾何元素的特點、方程的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想在題目當(dāng)中的應(yīng)用．此題屬于集運算與方程于一體的綜合問題，值得同學(xué)們認(rèn)真反思和歸納．14．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，則集合A∪B中元素的個數(shù)為5．【考點】并集及其運算．【專題】集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出A∪B，再明確元素個數(shù)【解答】解：集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，則A∪B＝{1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的個數(shù)為5；故答案為：5【點評】題考查了集合的并集的運算，根據(jù)定義解答，注意元素不重復(fù)即可，屬于基礎(chǔ)題15．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a+10b+c等于201．【考點】集合的相等．【專題】集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)集合相等的條件，列出a、b、c所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出a、b、c的值后代入式子求值．【解答】解：由{a，b，c}＝{0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情況：當(dāng)a＝0時，b＝1、c＝2或b＝2、c＝1，此時不滿足題意；當(dāng)a＝1時，b＝0、c＝2或b＝2、c＝0，此時不滿足題意；當(dāng)a＝2時，b＝1、c＝0，此時不滿足題意；當(dāng)a＝2時，b＝0、c＝1，此時滿足題意；綜上得，a＝2、b＝0、c＝1，代入100a+10b+c＝201，故答案為：201．【點評】本題考查了集合相等的條件的應(yīng)用，以及分類討論思想，注意列舉時按一定的順序列舉，做到不重不漏．三．解答題（共5小題）16．設(shè)A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，其中x∈R，如果A∩B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先由題設(shè)條件求出集合A，再由A∩B＝B，導(dǎo)出集合B的可能結(jié)果，然后結(jié)合根的判別式確定實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：A＝{x|x2+4x＝0}＝{0，﹣4}，∵A∩B＝B知，B?A，∴B＝{0}或B＝{﹣4}或B＝{0，﹣4}或B＝?，若B＝{0}時，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有兩個相等的根0，則0+0=-2(a+1)0×0=若B＝{﹣4}時，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有兩個相等的根﹣4，則-4+(-4)=若B＝{0，﹣4}時，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有兩個不相等的根0和﹣4，則-4+0=-2(a+1)當(dāng)B＝?時，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0無實數(shù)根，Δ＝[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）＝8a+8＜0，得a＜﹣1，綜上：a＝1，a≤﹣1．【點評】本題考查集合的包含關(guān)系的判斷和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的合理應(yīng)用．17．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（Ⅰ）當(dāng)m＝3時，求集合A∩B，A∪B；（Ⅱ）若滿足A∩B＝B，求實數(shù)m的取值范圍．【考點】交、并、補(bǔ)集的混合運算．【專題】集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）把m＝3代入B確定出B，求出A中不等式的解集確定出A，求出A∩B，A∪B即可；（Ⅱ）由A與B的交集為B，得到B為A的子集，分B為空集與B不為空集兩種情況，求出m的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)m＝3時，B＝{x|4≤x≤5}，由A中不等式變形得：（x+2）（x﹣5）≤0，解得：﹣2≤x≤5，即A＝{x|﹣2≤x≤5}，則A∩B＝{x|4≤x≤5}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤5}；（Ⅱ）∵A∩B＝B，∴B?A，分B＝?與B≠?兩種情況考慮：當(dāng)B＝?時，則有2m﹣1＜m+1，即m＜2；當(dāng)B≠?時，則有2m-1≥m+12綜上，m的取值范圍為{m|m≤3}．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．18．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．（1）當(dāng)a＝3時，求A∩B，A∪（?RB）；（2）若A∩B＝?，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】交、并、補(bǔ)集的混合運算．【專題】集合思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）a＝3時求出集合A，B，再根據(jù)集合的運算性質(zhì)計算A∩B和A∪（?RB）；（2）根據(jù)A∩B＝?，討論A＝?和A≠?時a的取值范圍，從而得出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a＝3時，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}，A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}；又?RB＝{x|1＜x＜4}，∴A∪（?RB）＝{x|﹣1≤x≤5}；（2）A∩B＝?，當(dāng)2﹣a＞2+a，即a＜0時，A＝?，滿足題意；當(dāng)a≥0時，應(yīng)滿足2-a＞12+a＜綜上，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1）．【點評】本題考查了集合的基本運算以及不等式解法問題，注意等價變形的應(yīng)用，是中檔題．19．已知集合A＝{x|3＜x≤6}，B＝{x|m≤x≤2m+1}．（1）若m＝2，求A∩B，A∪B；（2）若A?B，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍．【考點】集合的含義；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）將m的值代入集合B，從而求出A和B的交集和并集；（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系，得到m≤3＜6≤2m+1，解出即可；（3）根據(jù)空集的定義判斷即可．【解答】解：（1）當(dāng)m＝2時：B＝{x|2≤x≤5}，∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，A∪B＝{x|2≤x≤6}；（2）若A?B，即（3，6]?[m，2m+1]，解得52≤m≤（3）若A∩B＝?，①B為空集，則m＞2m+1，m＜﹣1，②B不為空集，則m＞6或2m+1≤3且2m+1≥m，即m＞6或﹣1≤m≤1，綜上，m的范圍是{m|m＞6或m≤1}．【點評】本題考查了集合的運算性質(zhì)，考查空集的定義，是一道基礎(chǔ)題．20．已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若集合A是空集，求a的取值范圍；（2）若集合A中只有一個元素，求a的值，并寫出此時的集合A．【考點】集合的表示法．【專題】計算題；集合思想；定義法；集合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）A為空集，表示方程ax2﹣3x+2＝0無解，根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系，我們易得到一個關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A中只有一個元素，表示方程ax2﹣3x+2＝0為一次方程，或有兩個等根的二次方程，分別構(gòu)造關(guān)于a的方程，即可求出滿足條件的a值．【解答】解：（1）若A是空集，則方程ax2﹣3x+2＝0無解此時Δ＝9﹣8a＜0即a＞（2）若A中只有一個元素則方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一個實根當(dāng)a＝0時方程為一元一次方程，滿足條件當(dāng)a≠0，此時Δ＝9﹣8a＝0，解得：a=∴a＝0或a=若a＝0，則有A＝{23}若a=98，則有A＝{【點評】本題考查的知識點是元素與集合關(guān)系的判斷，根據(jù)題目要求確定集合中方程ax2﹣3x+2＝0根的情況，是解答本題的關(guān)鍵．

考點卡片1．集合的含義【知識點的認(rèn)識】1、集合的含義：集合是一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元，是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體．2、集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．（1）列舉法就是把集合中的每一個元素全部寫出來；描述法指的就是用詞匯或者用數(shù)學(xué)語言描述出集合中的元素；區(qū)間表示法就是用區(qū)間的形式來表示集合中的元素；圖示法（數(shù)軸表示法，韋恩圖法）用圖的形式來描述表示出集合的每一個元素．（2）有限集常用列舉法表示，而無限集常用描述法或區(qū)間表示法表示，抽象集常用圖示法表示．（有限集就是集合中的元素個數(shù)是能夠確定的．無限集是集合的元素個數(shù)無法精確．抽象集合就是只給出集合元素滿足的性質(zhì)，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和邏輯推理能力．）用描述法表示集合時，集合中元素的意義取決于它的“代表”元素的特征．【典型例題分析】題型一：判斷能否構(gòu)成集合典例1：下列研究對象能否構(gòu)成一個集合？如果能，采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎舅?）小于5的自然數(shù)；（2）某班所有個子高的同學(xué)；（3）不等式2x+1＞7的整數(shù)解．分析：根據(jù)集合元素的確定性，互異性進(jìn)行判斷即可．解答：（1）小于5的自然數(shù)為0，1，2，3，4，元素確定，所以能構(gòu)成集合．為{0，1，2，3，4}．（2）個子高的標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以集合元素?zé)o法確定，所以不能構(gòu)成集合．（3）由2x+1＞7得x＞3，因為x為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個數(shù)為無限個，所以用描述法表示為{x|x＞3，且x∈Z}．點評：本題主要考查集合的含義和表示，利用元素的確定性，互異性是判斷元素能否構(gòu)成集合的條件，比較基礎(chǔ)．典例2：下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}分析：利用集合的三個性質(zhì)及其定義，對A、B、C、D四個選項進(jìn)行一一判斷．解答：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示點的集合，N＝{3，2}，N表示數(shù)集，故不是同一集合，故A錯誤；B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示點的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直線x+y＝1的縱坐標(biāo)，是數(shù)集，故不是同一集合，故B錯誤；C、M＝{（4，5）}集合M的元素是點（4，5），N＝{（5，4）}，集合N的元素是點（5，4），故C錯誤；D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根據(jù)集合的無序性，集合M，N表示同一集合，故D正確；故選D．點評：此題主要考查集合的定義及其判斷，注意集合的三個性質(zhì)：確定性，互異性，無序性，此題是一道基礎(chǔ)題．題型二：集合表示的含義典例3：下面三個集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，請說說它們各自代表的含義．分析：根據(jù)集合的代表元素，確定集合元素的性質(zhì)，A為數(shù)集，B為數(shù)集，C為點集．解答：A是數(shù)集，是以函數(shù)的定義域構(gòu)成集合，且A＝R；B是數(shù)集，是由函數(shù)的值域構(gòu)成，且B＝{y|y≥1}；C為點集，是由拋物線y＝x2+1上的點構(gòu)成．點評：本題的考點用描正確理解用描述法表示集合的含義，要通過代表元素的特點正確理解集合元素的構(gòu)成．【解題方法點撥】研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時，注意弄清楚其元素表示的意義是什么．2．集合的確定性、互異性、無序性【知識點的認(rèn)識】集合中元素具有確定性、互異性、無序性三大特征．（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個對象都說明它是或者不是某個集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個集合．（2）互異性：一個給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}．（3）無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個集合．【解題方法點撥】解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個特性；一般利用分類討論逐一研究，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程的思想，解答問題，結(jié)果需要回代驗證，元素不許重復(fù)．【命題方向】本部分內(nèi)容屬于了解性內(nèi)容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合相等，含參數(shù)的集合的討論為主．3．集合的表示法【知識點的認(rèn)識】1．列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法．{1，2，3，…}，注意元素之間用逗號分開．2．描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號或式子等描述出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}3．圖示法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個集合．4．自然語言（不常用）．【解題方法點撥】在掌握基本知識的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，例如數(shù)軸的應(yīng)用，Venn圖的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化思想解答．注意解題過程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示實數(shù)x的范圍；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或點的坐標(biāo)．【命題方向】本考點是考試命題常考內(nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡易邏輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識相結(jié)合．4．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．5．判斷元素與集合的屬于關(guān)系判斷元素與集合的屬于關(guān)系6．集合的相等【知識點的認(rèn)識】（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個有限數(shù)集A＝B，則這兩個有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個集合的元素個數(shù)相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據(jù)．【解題方法點撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個集合是不是同一個集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運算相聯(lián)系，也可能與函數(shù)的定義域、值域聯(lián)系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時出現(xiàn)在大題的一小問．7．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．8．集合中元素個數(shù)的最值【知識點的認(rèn)識】求集合中元素個數(shù)的最大（?。┲祮栴}的方法通常有：類分法、構(gòu)造法、反證法、一般問題特殊化、特殊問題一般化等．需要注意的是，有時一道題需要綜合運用幾種方法才能解決．9．并集及其運算【知識點的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算形狀：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?