山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案65第九章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第四講隨機(jī)事件的概率含解析

PAGE7-[練案65]第四講隨機(jī)事務(wù)的概率A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·湖北十市聯(lián)考)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事務(wù)是(D)A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”[解析]A中的兩個事務(wù)是包含關(guān)系，不是互斥事務(wù)；B中的兩個事務(wù)是對立事務(wù)；C中的兩個事務(wù)都包含“一個黑球一個紅球”的事務(wù)，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事務(wù)是互斥而不對立的關(guān)系．2．(2024·江西模擬)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各隨意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(C)A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)[解析]從A、B中各取一個數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6種狀況，其中和為4的有(2,2)，(3,1)，共2種狀況，所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，選C.3．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿?A)A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[解析]由題意得，甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).4．(2024·山東濱州)若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝4下方的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,9)[解析]試驗是連續(xù)擲兩次骰子，故共包含6×6＝36個基本領(lǐng)件．事務(wù)“點(diǎn)P(m，n)落在x＋y＝4下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)共3個基本領(lǐng)件，故P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).5．(2024·安徽模擬)若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會均等，則甲或乙被錄用的概率為(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(9,10)[解析]事務(wù)“甲或乙被錄用”的對立事務(wù)是“甲和乙都未被錄用”，從五位學(xué)生中選三人的基本領(lǐng)件個數(shù)為10，“甲和乙都未被錄用”只有1種狀況，依據(jù)古典概型和對立事務(wù)的概率公式可得，甲或乙被錄用的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).6．在一次班級聚會上，某班到會的女同學(xué)比男同學(xué)多6人，從這些同學(xué)中隨機(jī)選擇一人表演節(jié)目．若選到女同學(xué)的概率為eq\f(2,3)，則這班參與聚會的同學(xué)的人數(shù)為(B)A．12 B．18C．24 D．32[解析]設(shè)女同學(xué)有x人，則該班到會的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故該班參與聚會的同學(xué)有18人．故選B.7．(2024·赤峰模擬)先后拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是(D)A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)[解析]至少一次正面朝上的對立事務(wù)的概率為eq\f(1,8)，故P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).8．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5).二、多選題9．若干個人站成排，其中不是互斥事務(wù)的是(BCD)A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾”D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”[解析]排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不肯定在同一位置，可以同時發(fā)生，因此它們都不互斥，故選BCD.10．不透亮的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次隨意取出2張卡片，則與事務(wù)“2張卡片都為紅色”互斥而非對立的事務(wù)是(ABD)A．2張卡片都不是紅色B．2張卡片恰有一張紅色C．2張卡片至少有一張紅色D．2張卡片都為綠色[解析]從6張卡片中一次取出2張卡片的全部狀況有“2張都為紅色”“2張都為綠色”“2張都為藍(lán)色”“1張紅色1張綠色”“1張紅色1張藍(lán)色”“1張綠色1張藍(lán)色”，在選項給出的四個事務(wù)中與“2張卡片都為紅色”互斥而非對立的事務(wù)有“2張卡片都不是紅色”“2張卡片恰有一張紅色”“2張卡片都為綠色”，其中“2張卡片至少有一張紅色”包含事務(wù)“2張卡片都為紅色”，二者并非互斥事務(wù)．故選ABD.11．(原創(chuàng))下列結(jié)論不正確的是(ABCD)A．隨意事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)滿意0<P(A)<1B．概率為0的事務(wù)是不行能事務(wù)C．若A，B為互斥事務(wù)，則A的對立事務(wù)與B的對立事務(wù)肯定互斥D．若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，則事務(wù)A、B互斥[解析]事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)滿意0≤P(A)≤1，A錯；在半徑為R的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，取到圓心的概率為0，但不是不行能事務(wù)，B錯；記擲一只骰子出現(xiàn)1點(diǎn)為事務(wù)A，出現(xiàn)2點(diǎn)為事務(wù)B，明顯A、B互斥，而eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))不互斥，C錯；事務(wù)A：在實數(shù)集中任取x，x≥0，事務(wù)B：在實數(shù)集中任取y，y≤0，明顯P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1＝P(A∪B)，而A、B不互斥，D錯；故選ABCD.三、填空題12．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色不同的概率為eq\f(11,15).[解析]記取出的兩球顏色不同為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(11,15)(或P(A)＝1－P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(11,15))．13．(2024·浙江模擬)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是eq\f(9,10).[解析]所取3個球中至少有1個白球的取法可分為互斥的兩類：兩紅一白有6種取法；一紅兩白有3種取法，而從5個球中任取3個球的取法共有10種，所以所求概率為eq\f(9,10).另解：記取出的3個球中至少有一個白球為事務(wù)A，則P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).14．(2024·石家莊模擬)從一副混合后的撲克牌(52張，不含大小王)中，隨機(jī)抽取1張，事務(wù)A為“抽到紅桃K”，事務(wù)B為“抽得黑桃”．則P(A∪B)＝eq\f(7,26)(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．[解析]因為P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(14,52)＝eq\f(7,26).故填eq\f(7,26).四、解答題15．(2024·湖南益陽、湘潭統(tǒng)測)為了了解某校學(xué)生課外時間的安排狀況，擬采納分層抽樣的方法從該校的高一、高二、高三這三個年級中共抽取5個班進(jìn)行調(diào)查，已知該校的高一、高二、高三這三個年級分別有18、6、6個班級．(1)求分別從高一、高二、高三這三個年級中抽取的班級個數(shù)；(2)若從抽取的5個班級中隨機(jī)抽取2個班級進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對比，求這2個班級中至少有1個班級來自高一年級的概率．[解析](1)班級總數(shù)為18＋6＋6＝30，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，所以從高一、高二、高三這三個年級中分別抽取的班級個數(shù)為3,1,1.(2)從5個班級中隨機(jī)抽取2個班級共有Ceq\o\al(2,5)＝10種抽法，抽取的兩個班級中至少有一個班級來自高一年級的抽法有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝9種抽法．故所求概率P＝eq\f(9,10).16．某險種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，接著購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85a1.251.51.752隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險狀況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計值；(2)記B為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計值．[解析](1)事務(wù)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事務(wù)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85a1.251.51.752頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計值為1.1925aB組實力提升1．(2024·北京春考)在“二十四節(jié)氣入選非遺”宣揚(yáng)活動中，從甲、乙、丙三位同學(xué)中任選兩人介紹一年中時令、氣候、物候等方面的改變規(guī)律，那么甲同學(xué)被選中的概率為(D)A．1 B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]從甲、乙、丙三位同學(xué)中任選兩人有以下三種狀況：(甲，乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，其中含有甲的有兩種，所以甲同學(xué)被選中的概率為eq\f(2,3)，故選D.2．(2024·廣東湛江調(diào)研)從只讀過《飄》的2名同學(xué)和只讀過《紅樓夢》的3名同學(xué)中任取2人在班內(nèi)進(jìn)行讀后共享，則選中的2人都讀過《紅樓夢》的概率為(D)A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3[解析]P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).3．(2024·江西宜春中學(xué)二模)五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，全部人同時翻轉(zhuǎn)自己的硬幣．若硬幣正面對上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人接著坐著．那么，沒有相鄰的兩個人站起來的概率為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(15,32)C．eq\f(11,32) D．eq\f(5,16)[解析]設(shè)五個人的編號分別為1,2,3,4,5，由題意，全部事務(wù)共有25＝32種，沒有相鄰的兩個人站起來的基本領(lǐng)件有(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，(2,5)，(3,5)以及沒有人站起來，共11種狀況，所以沒有相鄰的兩個人站起來的概率為eq\f(11,32)，故選C.4．(2024·湖南五十校聯(lián)考)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場競賽，則田忌的馬獲勝的概率為(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)[解析]記齊王的三匹馬分別為a1，a2，a3，田忌的三匹馬分別為b1，b2，b3，齊王與田忌賽馬，其狀況有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)共9種；其中田忌的馬獲勝的狀況有(a2，b1)，(a3，b1)，(a3，b2)共3種．則田忌的馬獲勝的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故選A.5．(2024·課標(biāo)全國Ⅲ)某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量