山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九講函數(shù)與方程學(xué)案含解析

PAGE13-第九講函數(shù)與方程ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點一函數(shù)的零點1．函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．注：函數(shù)的零點不是點．是函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)，而不是y＝f(x)與x軸的交點．2．幾個等價關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點.3．函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．學(xué)問點二二分法1．對于在區(qū)間[a，b]上連綿不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步靠近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．2．給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε；(2)求區(qū)間(a，b)的中點c；(3)計算f(c)；①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)·f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))．(4)推斷是否達到精確度ε，即：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)(3)(4)．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論(1)若連綿不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．(2)連綿不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的全部函數(shù)值保持同號．(3)連綿不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．(4)由函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不肯定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．事實上，只有當(dāng)函數(shù)圖象通過零點(不是偶個零點)時，函數(shù)值才變號，即相鄰兩個零點之間的函數(shù)值同號．(5)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)，且f(x)的圖象是連綿不斷的一條曲線，則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在[a，b]上只有一個零點．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)兩個零點一個零點無零點eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論不正確的是(ABCD)A．函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點B．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連綿不斷)，則f(a)·f(b)<0C．若f(x)在區(qū)間[a，b]上連綿不斷，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點D．函數(shù)y＝2x與y＝x2只有兩個交點[解析]A．函數(shù)的零點是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．B．函數(shù)圖象若沒有穿過x軸，則f(a)·f(b)>0.C．若在區(qū)間[a，b]內(nèi)有多個零點，f(a)·f(b)>0也可以．D．y＝x2與y＝2x在y軸左側(cè)一個交點y軸右側(cè)兩個交點，如在x＝2和x＝4處都有交點．故選A、B、C、D．題組二走進教材2．(必修1P92AT2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連綿不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x12345f(x)－4－2147在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為(B)A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)[解析]由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x＝2與x＝3這兩個數(shù)字對應(yīng)的函數(shù)值的符號不同，即f(2)·f(3)<0，所以函數(shù)在(2,3)內(nèi)有零點，故選B．3．(必修1P92AT1改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是(C)[解析]A，B圖中零點兩側(cè)不異號，D圖不連續(xù)．故選C．4．(必修1P92AT4改編)為了求函數(shù)f(x)＝2x＋3x－7的一個零點，某同學(xué)利用計算器得到自變量x和函數(shù)f(x)的部分對應(yīng)值(精確度0.1)如下表所示：x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115則方程2x＋3x＝7的近似解(精確到0.1)可取為(C)A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3[解析]通過上述表格得知函數(shù)唯一的零點x0在區(qū)間(1.375,1.4375)內(nèi)，故選C．題組三考題再現(xiàn)5．(2024·安徽，5分)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是(A)A．y＝cosx B．y＝sinxC．y＝lnx D．y＝x2＋1[解析]y＝cosx是偶函數(shù)且有多數(shù)多個零點，y＝sinx為奇函數(shù)，y＝lnx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，y＝x2＋1是偶函數(shù)但沒有零點，故選A．6．(2024·全國卷Ⅲ，5分)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點個數(shù)為(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]f(x)＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)，令f(x)＝0，則sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0,2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故選B．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一函數(shù)的零點考向1確定函數(shù)零點所在區(qū)間——自主練透例1(1)若函數(shù)f(x)的圖象是連綿不斷的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，則下列命題正確的是(D)A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有零點D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)有零點(2)(多選題)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的零點位于區(qū)間可能為(BC)A．(－∞，a) B．(a，b)C．(b，c) D．(c，＋∞)[解析](1)因為f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一個小于0.若f(1)<0，則在(0,1)內(nèi)有零點，在(0,4)內(nèi)必有零點；若f(2)<0，則在(0,2)內(nèi)有零點，在(0,4)內(nèi)必有零點；若f(4)<0，則在(0,4)內(nèi)有零點．故選D．(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，則f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又該函數(shù)是二次函數(shù)，且圖象開口向上，可知兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選B、C．名師點撥?確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)＝0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，視察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來推斷．考向2函數(shù)零點個數(shù)的確定——師生共研例2(1)(2024·課標(biāo)Ⅲ，15)函數(shù)f(x)＝cos(3x＋eq\f(π,6))在[0，π]的零點個數(shù)為3.(2)(2024·云南昆明一中摸底)若函數(shù)f(x)＝|x|，則函數(shù)y＝f(x)－eqlog\s\do8(\f(1,2))|x|的零點個數(shù)是(D)A．5個 B．4個C．3個 D．2個(3)(2024·江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5|x－1|－1，x≥0,x2＋4x＋4，x<0))，則關(guān)于x的方程f2(x)－5f(x)＋4＝0的實數(shù)根的個數(shù)為(D)A．2 B．3C．6 D．7[分析] 畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象確定零點的個數(shù)，若方程f(x)＝0可解，也可干脆解方程求解．[解析](1)本題考查函數(shù)與方程．令f(x)＝0，得cos(3x＋eq\f(π,6))＝0，解得x＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,9)(k∈Z)．當(dāng)k＝0時，x＝eq\f(π,9)；當(dāng)k＝1時，x＝eq\f(4π,9)；當(dāng)k＝2時，x＝eq\f(7π,9)，又x∈[0，π]，所以滿意要求的零點有3個．(2)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)＝|x|、g(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))|x|的圖象，由圖可知選D．(3)解法一：由f2(x)－5f(x)＋4＝0得f(x)＝1或4.若f(x)＝1，當(dāng)x≥0時，即5|x－1|－1＝1，5|x－1|＝2解得x＝1±log52，當(dāng)x<0時，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或－3.若f(x)＝4，當(dāng)x≥0時，5|x－1|－1＝4，|x－1|＝1解得x＝0或2，當(dāng)x<0時即x2＋4x＝0，解得x＝－4.故所求實根個數(shù)共有7個．解法二：由f2(x)－5f(x)＋4＝0得f(x)＝1或4.由f(x)圖象可知：f(x)＝1有4個根，f(x)＝4有3個根．∴方程f2(x)－5f(x)＋4＝0有7個根．名師點撥?函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法(1)干脆求零點：令f(x)＝0，假如能求出解，那么有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必需結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)，或轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題．畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．〔變式訓(xùn)練1〕(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零點個數(shù)是2.(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)x2－2＝0，解得x＝±eq\r(2)，∵x<0，∴x＝－eq\r(2)，2x－6＋lnx＝0，設(shè)y＝lnx，y＝6－2x，分別畫函數(shù)圖象(圖略)可得一個交點，故原函數(shù)有兩個零點．(2)f(x)＝ex＋x－3在(0，＋∞)上為增函數(shù)，f(eq\f(1,2))＝eeq\s\up7(\f(1,2))－eq\f(5,2)<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一個零點，由奇函數(shù)性質(zhì)得f(x)在(－∞，0)上也有一個零點，又f(0)＝0，所以f(x)有三個零點，故選C．考向3函數(shù)零點的應(yīng)用——多維探究角度1與零點有關(guān)的比較大小例3已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－eqlog\s\do8(\f(1,2))x，h(x)＝log2x－eq\r(x)的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系為(D)A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1[解析]由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－eqlog\s\do8(\f(1,2))x＝0，h(x)＝log2x－eq\r(x)＝0，得2x＝－x，x＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x，log2x＝eq\r(x)，在平面直角坐標(biāo)系中分別作出y＝2x與y＝－x的圖象；y＝x與y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x的圖象；y＝log2x與y＝eq\r(x)的圖象，由圖可知：－1<x1<0,0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1.角度2已知函數(shù)的零點或方程的根求參數(shù)例4(2024·天津，5分)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))若關(guān)于x的方程f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a(a∈R)恰有兩個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍為(D)A．[eq\f(5,4)，eq\f(9,4)] B．(eq\f(5,4)，eq\f(9,4)]C．(eq\f(5,4)，eq\f(9,4)]∪{1} D．[eq\f(5,4)，eq\f(9,4)]∪{1}[解析]由題意畫出f(x)的圖象，如圖所示，當(dāng)直線y＝－eq\f(1,4)x＋a與曲線y＝eq\f(1,x)(x>1)相切時，方程eq\f(1,x)＝－eq\f(1,4)x＋a有一個解，x2－4ax＋4＝0，Δ＝(－4a)2－4×4＝0，得a＝1，此時f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a有兩個互異的實數(shù)解．當(dāng)直線y＝－eq\f(1,4)x＋a經(jīng)過點(1,2)時，即2＝－eq\f(1,4)×1＋a，所以a＝eq\f(9,4)，當(dāng)直線y＝－eq\f(1,4)x＋a經(jīng)過點(1,1)時，1＝－eq\f(1,4)×1＋a，得a＝eq\f(5,4)，從圖象可以看出當(dāng)a∈[eq\f(5,4)，eq\f(9,4)]時，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1))的圖象與直線y＝－eq\f(1,4)x＋a有兩個交點，即方程f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a有兩個互異的實數(shù)解．故選D．名師點撥?1．比較零點大小常用方法：(1)確定零點取值范圍，進而比較大??；(2)數(shù)形結(jié)合法．2．已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值常用的方法和思路：(1)干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后視察求解．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2024·安徽蚌埠月考)已知函數(shù)f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x3＋x的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為(B)A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)>b>c D．c>a>b(2)(角度2)(2024·課標(biāo)Ⅰ，9)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(C)A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)[分析](1)解法一：依據(jù)零點存在定理，確定a，b，c所在區(qū)間，進而比較大小；解法二：分別作出y＝3x、y＝log3x、y＝x3與y＝－x的圖象，比較其交點橫坐標(biāo)的大小即可．[解析](1)解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－eq\f(2,3)，f(0)＝1，∴a∈(－eq\f(2,3)，0)，又g(eq\f(1,3))＝log3eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(2,3)，g(1)＝1，∴b∈(eq\f(1,3)，1)，明顯c＝0，∴a<c<b，故選B．解法二：數(shù)形結(jié)合法，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝3x、y＝log3x、y＝－x的圖象，結(jié)合圖象及c＝0可知a<c<b，故選B．(2)本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的圖象．g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個零點等價于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0))與h(x)＝－x－a的圖象存在2個交點，當(dāng)x＝0時，h(0)＝－a，由圖可知要滿意y＝f(x)與y＝h(x)的圖象存在2個交點，須要－a≤1，即a≥－1.故選C．考點二二分法及其應(yīng)用——自主練透例5(1)用二分法探討函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個零點x0∈(0,0.5)，其次次應(yīng)計算f(0.25).(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一個近似解時，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可判定該根所在的區(qū)間為(eq\f(3,2)，2).(3)在用二分法求方程x2＝2的正實數(shù)根的近似解(精確度0.001)時，若我們選取初始區(qū)間是[1.4,1.5]，則要達到精確度要求至少須要計算的次數(shù)是7.[解析](1)因為f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一個零點x0∈(0,0.5)；其次次應(yīng)計算f(eq\f(0＋0.5,2))＝f(0.25)．(2)區(qū)間(1,2)的中點x0＝eq\f(3,2)，令f(x)＝x3－2x－1，f(eq\f(3,2))＝eq\f(27,8)－4<0，f(2)＝8－4－1>0，則根所在區(qū)間為(eq\f(3,2)，2)．(3)設(shè)至少須要計算n次，由題意知eq\f(1.5－1.4,2n)<0.001，即2n>100.由26＝64,27＝128，知n＝7.名師點撥?1．用二分法求函數(shù)零點的方法：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看，同號去，異號算，零點落在異號間．周而復(fù)始怎么辦？精確度上來推斷．2．利用二分法求近似解需留意的問題(1)在第一步中：①區(qū)間長度盡量小；②f(a)，f(b)的值比較簡單計算且f(a)·f(b)<0；(2)依據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的根是等價的．(3)雖然二分法未單獨考過，但有可能像算法中的“更相減損術(shù)”一樣，嵌入到程序框圖中去考查．

MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升函數(shù)零點的綜合問題例6(2024·安徽淮南第一次模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象，若函數(shù)g(x)＝[f(x)]2－kf(x)＋1恰有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是(B)A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(eq\f(4,e2)＋eq\f(e2,4)，＋∞)C．(eq\f(8,e2)，2) D．(2，eq\f(4,e2)＋eq\f(e2,4))(2)(2024·山西五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x≤0,－x2＋x，x>0))，若函數(shù)g(x)＝f(x)－a恰有三個互不相同的零點x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是(A)A．(－eq\f(1,32)，0) B．(－eq\f(1,16)，0)C．(0，eq\f(1,32)) D．(0，eq\f(1,16))[解析](1)∵g(x)＝[f(x)]2－kf(x)＋1恰有4個零點，∴關(guān)于t的方程t2－kt＋1＝0在(0，eq\f(4,e2))上有1個解，在(eq\f(4,e2)，＋∞)∪{0}上有1解，明顯t＝0不是方程t2－kt＋1＝0的解，∴關(guān)于t的方程t2－kt＋1＝0在(0，eq\f(4,e2))和(eq\f(4,e2)，＋∞)上各有1個解，∴eq\f(16,e4)－eq\f(4k,e2)＋1<0，解得k>eq\f(4,e2)＋eq\f(e2,4).故選B．(2)解法一：明顯x≤0時，－2x＝a，有一根不妨記為x1，則x1＝－eq\f(a,2)(a≥0)，當(dāng)x>0時－x2＋x＝a即x2－x＋a＝0有兩個不等正根，不妨記為x2，x3，則Δ＝1－4a>0，即a<eq\f(1,4)，從而－a2∈(－eq\f(1,16)，0)且x2x3＝a.∴x1x