山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第六講幾何概型學(xué)案含解析

PAGE1-第六講幾何概型ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測(cè)學(xué)問梳理學(xué)問點(diǎn)一幾何概型的定義假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的__長(zhǎng)度(面積或體積)__成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．學(xué)問點(diǎn)二幾何概型的特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．學(xué)問點(diǎn)三幾何概型的概率公式P(A)＝__eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積)__.學(xué)問點(diǎn)四隨機(jī)模擬方法(1)運(yùn)用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事務(wù)的概率的近似值的方法就是模擬方法．(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法．這個(gè)方法的基本步驟是：①用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并給予每個(gè)隨機(jī)數(shù)肯定的意義；②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；③計(jì)算頻率fn(A)＝eq\f(M,N)作為所求概率的近似值．重要結(jié)論幾種常見的幾何概型(1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)．(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本領(lǐng)件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題．(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題．雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論中正確的是(ABC)A．在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零B．幾何概型中，每一個(gè)基本領(lǐng)件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等C．隨機(jī)模擬方法是以事務(wù)發(fā)生的頻率估計(jì)概率D．從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P＝eq\f(1,9)題組二走進(jìn)教材2．(P140T1)有四個(gè)嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的嬉戲盤是(A)[解析]∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故選A．3．(P146B組T4)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(D)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π－2,2)C．eq\f(π,6) D．eq\f(4－π,4)[解析]如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的平面區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分(不包括eq\o\ac(AC,\s\up10(︵)))表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積為4－π.因此滿意條件的概率是eq\f(4－π,4)，故選D．題組三考題再現(xiàn)4.(2024·全國(guó)Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)[解析]不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知，所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B．5．(2024·福建龍巖質(zhì)檢)在區(qū)間[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使cosx≥eq\f(1,2)的概率為(B)A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)[解析]由y＝cosx在區(qū)間[－eq\f(π,2)，0]上單調(diào)遞增，在(0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞減，則不等式cosx≥eq\f(1,2)在區(qū)間[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的解為－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,3)，故cosx≥eq\f(1,2)的概率為eq\f(\f(2π,3),π)＝eq\f(2,3).KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型——自主練透例1(1)(2024·浙江模擬)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)(2)(2024·山東模擬)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋eq\f(1,2))≤1”發(fā)生的概率為(A)A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)(3)(2024·山東省青島市模擬)已知圓C：x2＋y2＝1和直線l：y＝k(x＋2)，在(－eq\r(3)，eq\r(3))上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)k，則事務(wù)“直線l與圓C相交”發(fā)生的概率為(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析](1)由題意知，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，故他只能乘坐8：00或8：30發(fā)的車，所以他等車的時(shí)間不超過10分鐘的概率為P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2).(2)不等式－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋eq\f(1,2))≤1可化為logeq\s\do8(\f(1,2))2≤logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋eq\f(1,2))≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4)．(3)直線l與C相交?eq\f(|2k|,\r(1＋k2))<1?－eq\f(\r(3),3)<k<eq\f(\r(3),3).∴所求概率P＝eq\f(\f(\r(3),3)－－\f(\r(3),3),\r(3)－－\r(3))＝eq\f(1,3).故選C．名師點(diǎn)撥?與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型假如試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度).〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2024·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域?yàn)镈．在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是__eq\f(5,9)__.(2)(2024·湖北模擬)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝__3__.[解析](1)D＝{x|6＋x－x2≥0}＝[－2,3]，∴所求概率P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).(2)由幾何概型知：eq\f(5,6)＝eq\f(m－－2,6)?m＝3.考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型——師生共研角度1與平面圖形有關(guān)的問題例2(1)(2024·湖北四地七校聯(lián)考)如圖，AB和CD是圓O兩條相互垂直的直徑，分別以O(shè)A，OB，OC，OD為直徑作四個(gè)圓，在圓O內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(A)A．1－eq\f(2,π) B．eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C．eq\f(2,π) D．eq\f(1,π)(2)設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(C)A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π) D．eq\f(1,2)－eq\f(1,π)[解析](1)依據(jù)圓的對(duì)稱性只需看四分之一即可，設(shè)扇形的半徑為r，則扇形OBC的面積為eq\f(1,4)πr2，連接BC，把下面的陰影部分平均分成了2部分，然后利用位移割補(bǔ)的方法，分別平移到圖中劃線部分，則陰影部分的面積為：eq\f(1,4)πr2－eq\f(1,2)r2，∴此點(diǎn)取自陰影部分的概率是eq\f(\f(1,4)πr2－\f(1,2)r2,\f(1,4)πr2)＝1－eq\f(2,π).故選A．(2)∵|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，其幾何意義表示為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓面，如圖所示，而y≥x所表示的區(qū)域如圖中陰影部分，故P＝eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).[引申]本例(1)中圖形改成下圖，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率為__eq\f(π－2,2π)__.[解析]不妨設(shè)大圓的半徑為2，則小圓的半徑為1，∴所求概率P＝eq\f(2\f(π,4)－\f(1,2),\f(1,4)×4π)＝eq\f(π－2,2π).角度2與線性規(guī)劃交匯的問題例3在滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面點(diǎn)集中隨機(jī)取一點(diǎn)M(x0，y0)，設(shè)事務(wù)A為“y0<2x0”，那么事務(wù)A發(fā)生的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]如圖所示，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－3≤0，,y≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC且A(1,2)，B(－1,0)，C(3,0)，明顯直線l：y＝2x過A且與x軸交于O，∴所求概率P＝eq\f(S△AOC,S△ABC)＝eq\f(|OC|,|BC|)＝eq\f(3,4).選B．名師點(diǎn)撥?解決與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事務(wù)對(duì)應(yīng)的幾何元素，必要時(shí)可依據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2024·唐山模擬)下圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為(B)A．8 B．9C．10 D．12(2)(2024·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”聯(lián)考)如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧得到的封閉圖形，在此圖形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形內(nèi)的概率為(B)A．eq\f(\r(3),2π－\r(3)) B．eq\f(\r(3),2π－2\r(3))C．eq\f(\r(3),π－\r(3)) D．eq\f(\r(3),4π－2\r(3))[解析](1)依據(jù)面積之比與點(diǎn)數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分的面積S＝4×4×eq\f(225,400)＝9，故選B．(2)設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則每個(gè)扇形的面積為S扇形＝eq\f(1,6)×π×a2＝eq\f(πa2,6)，S正三角形＝eq\f(\r(3)a2,4)，所以封閉圖形的面積為3S扇形－2S正三角形＝eq\f(πa2,2)－eq\f(\r(3)a2,2)，由幾何概型概率公式可得所求概率為P＝eq\f(\f(\r(3)a2,4),\f(πa2,2)－\f(\r(3)a2,2))＝eq\f(\r(3),2π－2\r(3)).故選B．考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型——師生共研例4(1)(2024·山西省模擬)以正方體各面中心為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)幾何體，從正方體內(nèi)任取一點(diǎn)P，則P落在該幾何體內(nèi)的概率為(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,6) D．eq\f(7,8)(2)已知正三棱錐S－ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是__eq\f(7,8)__.[解析](1)如圖以正方體各面中心為頂點(diǎn)的幾何體是由兩同底正四棱錐拼成，不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則GH＝eq\r(2)，∴所求概率P＝eq\f(VE－GHIJ－F,V正方體)＝eq\f(2×\f(1,3)×\r(2)×\r(2)×1,2×2×2)＝eq\f(1,6)，故選C．(2)如圖，由VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC知，P點(diǎn)在三棱錐S－ABC內(nèi)截面A0B0C0(其中A0，B0，C0分別為SA，SB，SC的中點(diǎn))的下方，故所求概率P＝1－eq\f(VS－A0B0C0,VS－ABC)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).名師點(diǎn)撥?求解與體積有關(guān)問題的留意點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事務(wù)的體積(事務(wù)空間)，對(duì)于某些較困難的問題常轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事務(wù)的概率問題求解．〔變式訓(xùn)練3〕一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，則蜜蜂“平安飛行”的概率為(C)A．eq\f(4π,81) B．eq\f(81－4π,81)C．eq\f(1,27) D．eq\f(8,27)[解析]由已知條件可知，蜜蜂只能在以正方體的中心為中心直棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型可得蜜蜂“平安飛行”的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).[引申]若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體8個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，則蜜蜂“平安飛行”的概率為__1－eq\f(4π,81)__.[解析]所求概率P＝eq\f(33－\f(4,3)π,33)＝1－eq\f(4π,81).考點(diǎn)四與角度有關(guān)的幾何概型——師生共研例5(1)(2024·陜西聯(lián)考)已知A是圓上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置上任取一點(diǎn)A′，則AA′的長(zhǎng)度小于半徑的概率為(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)(2)在等腰Rt△ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)作一條射線CD與線段AB交于點(diǎn)D，則AD<AC的概率為__eq\f(3,4)__.[解析](1)如圖，滿意AA′的長(zhǎng)度小于半徑的點(diǎn)A′位于劣弧eq\o\ac(BAC,\s\up10(︵))上，其中△ABO和△ACO為等邊三角形，可知∠BOC＝eq\f(2π,3)，故所求事務(wù)的概率P＝eq\f(\f(2,3)π,2π)＝eq\f(1,3).(2)在AB上取AC′＝AC，則∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.設(shè)事務(wù)A＝{在∠ACB內(nèi)部作一條射線CD，與線段AB交于點(diǎn)D，AD<AC}．則全部可能結(jié)果的區(qū)域角度為90°，事務(wù)A的區(qū)域角度為67.5°，∴P(A)＝eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4).名師點(diǎn)撥?與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法(1)若試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域角度,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的角度).(2)解決此類問題時(shí)留意事務(wù)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事務(wù)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，然后再利用公式計(jì)算．〔變式訓(xùn)練4〕(1)(2024·山西太原一模)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為__eq\a\vs4\al(\f(1,3))__.(2)如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，則BM<1的概率為__eq\f(2,5)__.[解析](1)當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，AP與BC有公共點(diǎn)，此時(shí)AP掃過△ABC，所以所求事務(wù)的概率P＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).(2)因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.記事務(wù)N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事務(wù)N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升轉(zhuǎn)化與化歸思想在幾何概型中的應(yīng)用例6(1)(2024·貴州遵義航天中學(xué)一模)在區(qū)間[0,2]上任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和大于3的概率是(A)A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(7,8) D．eq\f(3,4)(2)(2024·濟(jì)寧模擬)甲、乙兩人約定晚6點(diǎn)到晚7點(diǎn)之間在某處見面，并約定甲若早到則等乙半小時(shí)，而乙還有其他支配，若乙早到則不需等待，則甲、乙兩人能見面的概率為(A)A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]