2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納講練 22 解直角三角形模型之實(shí)際應(yīng)用模型 教師與學(xué)生版

專題22解直角三角形模型之實(shí)際應(yīng)用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關(guān)系的知識是解直角三角形的基礎(chǔ)。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解直角三角形時(shí)要注意三角函數(shù)的選取，避免計(jì)算復(fù)雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線,構(gòu)造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點(diǎn)講解解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用模型。模型1、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時(shí)，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關(guān)鍵.【重要關(guān)系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年四川省中考數(shù)學(xué)真題）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機(jī)用于航拍．在一次航拍時(shí)，數(shù)據(jù)顯示，從無人機(jī)A看建筑物頂部B的仰角為，看底部C的俯角為，無人機(jī)A到該建筑物的水平距離為10米，求該建筑物的高度．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）

例2．（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學(xué)樓的高度，借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．(1)求教學(xué)樓的高度．(2)若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線．

例3．（2023年湖北中考數(shù)學(xué)真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

例4．（2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)真題）無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機(jī)測最大樓的高度，無人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為，樓頂C點(diǎn)處的俯角為，已知點(diǎn)A與大樓的距離為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號）

模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構(gòu)造有公共直角的兩個(gè)三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵?！局匾攘筷P(guān)系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖1，嘉淇在量角器的圓心處下掛一鉛錘，制作了一個(gè)簡易測角儀．將此測角儀拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)樹的最高點(diǎn)．

(1)在圖1中，過點(diǎn)畫出水平線，并標(biāo)記觀測的仰角．若鉛垂線在量角器上的讀數(shù)為，求的值；(2)如圖2，已知嘉淇眼睛離地米，站在處觀測的仰角為（1）中的，向前走米到達(dá)處，此時(shí)觀測點(diǎn)的仰角為，求樹的高度．（注：，，）例2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在處測得河流左岸處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．例3．（2023年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學(xué)生進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，是燈桿．地面上三點(diǎn)D，E與C在一條直線上，，．該校學(xué)生在D處測得電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為，在E處測得電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為．此時(shí)點(diǎn)A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬的長度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）

例4．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為30米，在坡頂B處測得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點(diǎn)D，求的長（結(jié)果保留根號）．

模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵?！局匾攘筷P(guān)系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2023?包河區(qū)三模）如圖，校園內(nèi)兩棟教學(xué)樓AB和CD之間有一棵古樹EF，從樓頂C處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到教學(xué)樓AB的底部B點(diǎn)且俯角α為30°，從教學(xué)樓CD的底部D處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到教學(xué)樓AB的頂部A點(diǎn)，且仰角β為53°，已知樹高EF＝6米，求DF的長及教學(xué)樓AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場測量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測角儀放在G處（A、F、G三點(diǎn)在一條直線上），測得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測角儀放在H處（D、F、H三點(diǎn)在一條直線上），測得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時(shí)測得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結(jié)果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．例3．（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)真題）某數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架放在離樹適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架上的點(diǎn)E處，然后沿著直線后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量，，觀測者目高的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知于點(diǎn)D，于點(diǎn)F，于點(diǎn)B，米，米，米，米，則這棵樹的高度（的長）是米．

例4．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結(jié)果保留根號）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)到桌面的最大高度是（

）

A． B． C． D．2．（2022·浙江金華·中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A．B．C．D．3．（2023年山東省日照市中考數(shù)學(xué)真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測得燈塔最高點(diǎn)A的仰角，再沿方向前進(jìn)至C處測得最高點(diǎn)A的仰角，，則燈塔的高度大約是（

）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）

A． B． C． D．4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(

)A．(600－250)米B．(600－250)米C．(350＋350)米D．500米5．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長度為（）A． B． C． D．6．（2023·云南昆明·校考模擬預(yù)測）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測．某學(xué)校大門高6.5米，學(xué)生身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測有效識別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測得攝像頭A的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（）A．米 B．米 C．10米 D．5米7．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某飛機(jī)于空中處探測到某地面目標(biāo)在點(diǎn)處，此時(shí)飛行高度米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)的俯角為飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行米到達(dá)點(diǎn)時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，從點(diǎn)看到點(diǎn)的仰角為，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離約為米．（參考數(shù)據(jù)：）

8．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)踐．如圖，無人機(jī)從地面的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號）

9．（2023·浙江·?？既＃┤鐖D1是兩扇推拉門，AB是門檻，AD，BC是可轉(zhuǎn)動(dòng)門寬，且AB＝2AD＝2BC．現(xiàn)將兩扇門推到如圖2（圖1的平面示意圖）的位置，其中，且點(diǎn)A，C，D在一條直線上，測得A，C間的距離為cm，則門寬AD＝_______．如圖3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，點(diǎn)P在AB上，且AP＝54cm，點(diǎn)M是AD上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至M′，則CM′的最小距離是_______cm．10．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．(1)求的度數(shù)．(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）

11．（2023年浙江省溫州市中考數(shù)學(xué)真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測傾儀（如圖2）在，，三個(gè)位置觀測，測傾儀上的示數(shù)如圖3所示．

經(jīng)討論，只需選擇其中兩個(gè)合適的位置，通過測量、換算就能計(jì)算發(fā)射塔的高度．問題解決任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)觀測位置：點(diǎn)_________和點(diǎn)_________獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點(diǎn)之間的圖上距離．任務(wù)2推理計(jì)算計(jì)算發(fā)射塔的圖上高度．任務(wù)3換算高度樓房實(shí)際寬度為米，請通過測量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．注：測量時(shí)，以答題紙上的圖上距離為準(zhǔn)，并精確到1．12．（2023年浙江省麗水市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設(shè)備上增加一條管道，已知，，求管道的總長．

13．（2023年浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)真題）教室里的投影儀投影時(shí)，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

14．（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)真題）某綜合實(shí)踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡易測角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上兩點(diǎn)均在視線上時(shí)，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請直接用含的代數(shù)式示．(2)如圖3，為了測量廣場上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點(diǎn)分別測得氣球的仰角為，為，地面上點(diǎn)在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）15．（2023年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)真題）問題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁夾住橫梁，使得橫梁不能移動(dòng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．圖是長為，寬為的橫梁側(cè)面示意圖，三個(gè)凹槽都是半徑為的半圓．圓心分別為，縱梁是底面半徑為的圓柱體．用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì)．

探究：圖是“橋”側(cè)面示意圖，為橫梁與地面的交點(diǎn)，為圓心，是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn)．測得，點(diǎn)到的距離為．試判斷四邊形的形狀，并求的值．探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形．①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形，求的值；②若有根橫梁繞成的環(huán)（為偶數(shù)，且），試用關(guān)于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長．

16．（2023年浙江省嘉興（舟山）市中考數(shù)學(xué)真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識別的最遠(yuǎn)水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別．(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無法被識別．社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為（如圖3），此時(shí)小若能被識別嗎？請計(jì)算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)）17．（2022·浙江嘉興·中考真題）小華將一張紙對折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個(gè)軸對稱圖形，其示意圖如圖2．已知，，，，．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）。(1)連結(jié)，求線段的長．(2)求點(diǎn)A，B之間的距離．18．（2022·浙江紹興·中考真題）圭表（如圖是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”，當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表垂直圭，已知該市冬至正午太陽高度角（即為，夏至正午太陽高度角（即為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為4米．(1)求∠BAD的度數(shù)．(2)求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）19．（2022·浙江金華·中考真題）圖1是光伏發(fā)電場景，其示意圖如圖2，為吸熱塔，在地平線上的點(diǎn)B，處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點(diǎn)的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達(dá)吸熱器點(diǎn)F處．已知，在點(diǎn)A觀測點(diǎn)F的仰角為．（1）點(diǎn)F的高度為______m．（2）設(shè)，則與的數(shù)量關(guān)系是_______．20．（2023·浙江金華·?？家荒＃┙鹑A新金婺大橋是華東第一的獨(dú)塔斜拉橋，如圖1是新金婺大橋的效果圖．2022年4月13日開始主塔吊裝作業(yè)．如圖2，我們把吊裝過程抽象成如下數(shù)學(xué)問題：線段為主塔，在離塔頂10米處有一個(gè)固定點(diǎn)米．在東西各拉一根鋼索和，已知等于214米．吊裝時(shí)，通過鋼索牽拉，主塔由平躺橋面的位置，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與橋面垂直的位置．中午休息時(shí)，此時(shí)一名工作人員在離M米的B處，在位于B點(diǎn)正上方的鋼索上A點(diǎn)處掛彩旗．正好是他的身高米．（1）主塔的高度為_____米，（精確到整數(shù)米）（2）吊裝過程中，鋼索也始終處于拉直狀態(tài)，因受場地限制和安全需要，與水平橋面的最大張角在到之間即，的取值范圍是_____．（注：，）．

專題22解直角三角形模型之實(shí)際應(yīng)用模型解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關(guān)系的知識是解直角三角形的基礎(chǔ)。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵，通常是通過作高線或垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，在解直角三角形時(shí)要注意三角函數(shù)的選取，避免計(jì)算復(fù)雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線,構(gòu)造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點(diǎn)講解解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用模型。模型1、背靠背模型圖1圖2圖3【模型解讀】若三角形中有已知角時(shí)，則通過在三角形內(nèi)作高CD，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關(guān)鍵.【重要關(guān)系】如圖1，CD為公共邊，AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023年四川省中考數(shù)學(xué)真題）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機(jī)用于航拍．在一次航拍時(shí)，數(shù)據(jù)顯示，從無人機(jī)A看建筑物頂部B的仰角為，看底部C的俯角為，無人機(jī)A到該建筑物的水平距離為10米，求該建筑物的高度．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】該建筑物的高度約為米【分析】由題意可知，，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等角對等邊的性質(zhì)，得到米，再利用銳角三角函數(shù)，求出米，即可得到該建筑物的高度．【詳解】解：由題意可知，，，，，，米，在中，米，米，答：該建筑物BC的高度約為米．

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形——仰俯角問題，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握直角三角形的特征關(guān)鍵．例2．（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學(xué)樓的高度，借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

(1)求教學(xué)樓的高度．(2)若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線．【答案】(1)教學(xué)樓的高度為米(2)無人機(jī)剛好離開視線的時(shí)間為12秒【分析】（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：，米，，通過證明四邊形為矩形，得出米，進(jìn)而得出米，最后根據(jù)線段之間的和差關(guān)系可得，即可求解；（2）連接并延長，交于點(diǎn)H，先求出米，進(jìn)而得出，則，則米，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：，米，，∵，，，∴四邊形為矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵長為米，∴（米），答：教學(xué)樓的高度為米．（2）解：連接并延長，交于點(diǎn)H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵無人機(jī)以米/秒的速度飛行，∴離開視線的時(shí)間為：（秒），答：無人機(jī)剛好離開視線的時(shí)間為12秒．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．例3．（2023年湖北中考數(shù)學(xué)真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長約為10米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長約為10米．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．例4．（2023年山東省菏澤市中考數(shù)學(xué)真題）無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機(jī)測最大樓的高度，無人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為，樓頂C點(diǎn)處的俯角為，已知點(diǎn)A與大樓的距離為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號）

【答案】大樓的高度為．【分析】如圖，過作于，過作于，而，則四邊形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得．【詳解】解：如圖，過作于，過作于，而，

則四邊形是矩形，∴，，由題意可得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∴大樓的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義是解本題的關(guān)鍵．模型2、母子模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構(gòu)造有公共直角的兩個(gè)三角形求解，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵。【重要等量關(guān)系】如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖1，嘉淇在量角器的圓心處下掛一鉛錘，制作了一個(gè)簡易測角儀．將此測角儀拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)樹的最高點(diǎn)．

(1)在圖1中，過點(diǎn)畫出水平線，并標(biāo)記觀測的仰角．若鉛垂線在量角器上的讀數(shù)為，求的值；(2)如圖2，已知嘉淇眼睛離地米，站在處觀測的仰角為（1）中的，向前走米到達(dá)處，此時(shí)觀測點(diǎn)的仰角為，求樹的高度．（注：，，）【答案】(1)(2)樹的高度為5.25米【分析】(1)根據(jù)互余的性質(zhì)計(jì)算即可．(2)過點(diǎn)作，垂足為，則米．設(shè)米．解直角三角形求解即可．【詳解】（1）如圖1；；

（2）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則米．設(shè)米．在中，（米），在中，（米），（米），解得．答：樹的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角的解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的基本步驟是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在處測得河流左岸處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】河流的寬度約為64米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解、即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．則四邊形是矩形．∴，∵∴在中，∴，∴∴在中，，∴，∴，∴∴米答：河流的寬度約為64米．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于俯仰角的解直角三角形的問題．作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．例3．（2023年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題）太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學(xué)生進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板寬為，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，是燈桿．地面上三點(diǎn)D，E與C在一條直線上，，．該校學(xué)生在D處測得電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為，在E處測得電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為．此時(shí)點(diǎn)A、B與E在一條直線上．求太陽能電池板寬的長度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證和均為等腰直角三角形，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，設(shè)，則，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的長．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

依題意得：，，，又和均為等腰直角三角形，，，，，，，，，四邊形為矩形，，，，，為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，在中，，即：，，解得：，檢驗(yàn)：是原方程的根．，在等腰中，由勾股定理得：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，答：太陽能電池板寬的長度約為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形，理解題意，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形的，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)及勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵．例4．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為30米，在坡頂B處測得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點(diǎn)D，求的長（結(jié)果保留根號）．

【答案】的長為米【分析】作于點(diǎn)，首先根據(jù)坡度求出，并通過矩形的判定確定出，然后通過解三角形求出，即可相加得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，作于點(diǎn)，則由題意，四邊形為矩形，

∵在中，，，，∴，∵四邊形為矩形，∴，由題意，，，，，∴為等腰直角三角形，，設(shè)，則，在中，，∴，即：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是上述方程的解，且符合題意，∴，∴，∴的長為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造出直角三角形并求解是解題關(guān)鍵．模型3、擁抱模型圖1圖2圖3圖4【模型解讀】分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵?！局匾攘筷P(guān)系】如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2023?包河區(qū)三模）如圖，校園內(nèi)兩棟教學(xué)樓AB和CD之間有一棵古樹EF，從樓頂C處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到教學(xué)樓AB的底部B點(diǎn)且俯角α為30°，從教學(xué)樓CD的底部D處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到教學(xué)樓AB的頂部A點(diǎn)，且仰角β為53°，已知樹高EF＝6米，求DF的長及教學(xué)樓AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）【解答】解：由題意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，解得DF＝4.5，BF＝6，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB＝6+8≈19.8，∴DF的長約為4.5米，教學(xué)樓AB的高度約為19.8米．例2．（2022?巴中模擬）如圖，小明和小亮周末到巴人廣場測量兩棟樓AB和CD的高度，小明將木桿EF放在樓AB和CD之間（垂直于水平面），小亮將測角儀放在G處（A、F、G三點(diǎn)在一條直線上），測得樓AB頂部的仰角∠AGB＝30°，再將測角儀放在H處（D、F、H三點(diǎn)在一條直線上），測得樓CD頂部的仰角∠DHC＝60°，同時(shí)測得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面內(nèi)，結(jié)果精確到0.1米，≈1.732）（1）求樓AB的高度；（2）求樓CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG?tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴樓AB的高度約為12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG?tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC?tan60°＝16≈27.7（m）．∴樓CD的高度約為27.7m．例3．（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)真題）某數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架放在離樹適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架上的點(diǎn)E處，然后沿著直線后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量，，觀測者目高的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知于點(diǎn)D，于點(diǎn)F，于點(diǎn)B，米，米，米，米，則這棵樹的高度（的長）是米．

【答案】4.1【分析】過點(diǎn)作水平線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例解答即可．【詳解】過點(diǎn)作水平線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，

∵是水平線，都是鉛垂線．∴米，米，米，∴（米），又根據(jù)題意，得，∴，，即，解得：米，∴(米)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．例4．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺，已知，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在觀景臺C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結(jié)果保留根號）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，進(jìn)而可求解；②過點(diǎn)作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．即的長為．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，則.∴．即的長為．②如圖，過點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)到桌面的最大高度是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，利用解直角三角形可得，，根據(jù)點(diǎn)到桌面的最大高度，即可求得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，

在中，，在中，，點(diǎn)到桌面的最大高度，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形解決問題．2．（2022·浙江金華·中考真題）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)軸對稱圖形得性質(zhì)即可得BD=CD，從而利用銳角三角函數(shù)正切值即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，如圖所示：∵它是一個(gè)軸對稱圖形，∴m，，即，房頂A離地面的高度為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握利用正切值及一條直角邊求另一條直角邊是解題的關(guān)鍵．3．（2023年山東省日照市中考數(shù)學(xué)真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測得燈塔最高點(diǎn)A的仰角，再沿方向前進(jìn)至C處測得最高點(diǎn)A的仰角，，則燈塔的高度大約是（

）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，得出，設(shè)，則，，在中，根據(jù)正切得出，求解即可得出答案．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，，在中，，，，燈塔的高度AD大約是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關(guān)鍵是弄清有關(guān)的直角三角形中的有關(guān)角的度數(shù)．4．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(

)A．(600－250)米B．(600－250)米C．(350＋350)米D．500米【答案】B【詳解】解：如答圖，∵BE：AE=5：12，∴可設(shè)BE=5k，AE=12k，∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．設(shè)EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750．∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．∴山高CD為（600﹣250）米．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角和坡度坡角問題）；勾股定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；待定系數(shù)法的應(yīng)用．5．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用坡度的定義得出的長，再利用勾股定理得出的長．【詳解】∵，，∴，解得：，則．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．由坡度的定義得出AC的長是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·云南昆明·?？寄M預(yù)測）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測．某學(xué)校大門高6.5米，學(xué)生身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測有效識別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測得攝像頭A的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（）A．米 B．米 C．10米 D．5米【答案】B【分析】由題意得米，分別在和中，利用三角函數(shù)求出，即可得解．【詳解】解：由題意得，米，米，在中，，，在中，，，米．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用：仰角俯角問題，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．7．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某飛機(jī)于空中處探測到某地面目標(biāo)在點(diǎn)處，此時(shí)飛行高度米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)的俯角為飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行米到達(dá)點(diǎn)時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，從點(diǎn)看到點(diǎn)的仰角為，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離約為米．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】根據(jù)題意可得，，，，，，，如圖所述，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，根據(jù)正切的計(jì)算方法可求出的值，在中根據(jù)角的正切值可求出的值，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，，，，，∴如圖所述，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，即，且，，∴，∴四邊形是矩形，即，，在，，，∴，則，∴，在中，，，∴，則，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用仰俯角的正切值計(jì)算邊的長度，掌握構(gòu)成直角三角形，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．8．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)踐．如圖，無人機(jī)從地面的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號）

【答案】/【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，首先證明出四邊形是矩形，得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后利用角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，即可求解．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，

由題意可得，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵博雅樓頂部E的俯角為，∴，∴，∴，∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∴，由題意可得四邊形是矩形，∴，∵尚美樓頂部F的俯角為，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題．9．（2023·浙江·?？既＃┤鐖D1是兩扇推拉門，AB是門檻，AD，BC是可轉(zhuǎn)動(dòng)門寬，且AB＝2AD＝2BC．現(xiàn)將兩扇門推到如圖2（圖1的平面示意圖）的位置，其中，且點(diǎn)A，C，D在一條直線上，測得A，C間的距離為cm，則門寬AD＝_______．如圖3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，點(diǎn)P在AB上，且AP＝54cm，點(diǎn)M是AD上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至M′，則CM′的最小距離是_______cm．【答案】

90cm

【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB，根據(jù)，設(shè)CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三邊表示出來，再根據(jù)勾股定理可求出x，即可求解；（2）根據(jù)垂線段最短，可以連接CD，連接，判斷當(dāng)AP＝MP時(shí)，，此時(shí)最小，通過解直角三角形即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB，在Rt△BCE中，∵，∴設(shè)CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x﹣3x＝7x，在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，∴，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案為：90cm；（2）如圖，連接CD，可知∠ACB＝90°，當(dāng)AP＝MP時(shí)，，此時(shí)最小，∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴，點(diǎn)在AB邊上，連接，此時(shí)，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形進(jìn)行求解．10．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解；（2）延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，解，求得，根據(jù)與比較即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由如下．如圖，延長交于點(diǎn)，

∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2023年浙江省溫州市中考數(shù)學(xué)真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測傾儀（如圖2）在，，三個(gè)位置觀測，測傾儀上的示數(shù)如圖3所示．

經(jīng)討論，只需選擇其中兩個(gè)合適的位置，通過測量、換算就能計(jì)算發(fā)射塔的高度．問題解決任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)觀測位置：點(diǎn)_________和點(diǎn)_________獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點(diǎn)之間的圖上距離．任務(wù)2推理計(jì)算計(jì)算發(fā)射塔的圖上高度．任務(wù)3換算高度樓房實(shí)際寬度為米，請通過測量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．注：測量時(shí)，以答題紙上的圖上距離為準(zhǔn)，并精確到1．【答案】規(guī)劃一：[任務(wù)1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)；，，，測得圖上；[任務(wù)2]；[任務(wù)3]發(fā)射塔的實(shí)際高度為米；規(guī)劃二：[任務(wù)1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)．[任務(wù)2]；[任務(wù)3]發(fā)射塔的實(shí)際高度為米；【分析】規(guī)劃一：[任務(wù)1]選擇點(diǎn)和點(diǎn),根據(jù)正切的定義求得三個(gè)角的正切值，測得圖上[任務(wù)2]如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)．根據(jù)，，得出，．由，解得，根據(jù)，得出，即可求解；[任務(wù)3]測得圖上，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．由題意，得，解得，規(guī)劃二：[任務(wù)1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)．根據(jù)正切的定義求得三個(gè)角的正切值，測得圖上；[任務(wù)2]如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則，設(shè)．根據(jù)，，得出，．根據(jù)，得出，然后根據(jù)，得出，進(jìn)而即可求解．[任務(wù)3]測得圖上，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．由題意，得，解得，即可求解．【詳解】解：有以下兩種規(guī)劃，任選一種作答即可．規(guī)劃一：[任務(wù)1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)．，，，測得圖上．[任務(wù)2]如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，設(shè)．∵，，∴，．∵，∴解得，∴．∵，∴，∴．[任務(wù)3]測得圖上，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．由題意，得，解得，∴發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．規(guī)劃二：[任務(wù)1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)．，，，測得圖上．[任務(wù)2]如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則，設(shè)．

∵，，∴，．∵，∴，解得，∴．∵，∴，∴．[任務(wù)3]測得圖上，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．由題意，得，解得．∴發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023年浙江省麗水市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設(shè)備上增加一條管道，已知，，求管道的總長．

【答案】18m【分析】如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易得，進(jìn)而求得，再通過解直角三角形可得，然后求出即可解答．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意，得，∵，∴．∵，∴．∴．即管道的總長為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意求得是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023年浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)真題）教室里的投影儀投影時(shí)，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】的長約為【分析】在中，由，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，，，∴．∴的長約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練的利用銳角的正切求解直角三角形的邊長是解本題的關(guān)鍵．14．（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)真題）某綜合實(shí)踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡易測角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上兩點(diǎn)均在視線上時(shí)，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請直接用含的代數(shù)式示．(2)如圖3，為了測量廣場上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點(diǎn)分別測得氣球的仰角為，為，地面上點(diǎn)在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖所示，鉛垂線與水平線相互垂直，從而利用直角三角形中兩銳角互余即可得到答案；（2）根據(jù)題意，，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到；在中，，由，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：

由題意知，在中，，則，即，；（2）解：如圖所示：

，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到，在中，，由，即，解得，氣球離地面的高度．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及直角三角形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)和正切函數(shù)測高等，熟練掌握解直角三角形的方法及相關(guān)知識點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．15．（2023年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)真題）問題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁夾住橫梁，使得橫梁不能移動(dòng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．圖是長為，寬為的橫梁側(cè)面示意圖，三個(gè)凹槽都是半徑為的半圓．圓心分別為，縱梁是底面半徑為的圓柱體．用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì)．

探究：圖是“橋”側(cè)面示意圖，為橫梁與地面的交點(diǎn)，為圓心，是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn)．測得，點(diǎn)到的距離為．試判斷四邊形的形狀，并求的值．探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形．①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形，求的值；②若有根橫梁繞成的環(huán)（為偶數(shù)，且），試用關(guān)于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長．

【答案】探究1：四邊形是菱形，；探究2：①；②【分析】探究1：根據(jù)圖形即可判斷出形狀；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出長度，利用勾股定理即可求出長度，從而求出值．探究2：①根據(jù)十二邊形的特性可知，利用特殊角正切值求出長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長度，從而求得值．②根據(jù)正多邊形的特性可知的度數(shù)，利用特殊角正切值求出和長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長度，從而求得值．【詳解】解：探究1：四邊形是菱形，理由如下：由圖1可知，，，為平行四邊形．橋梁的規(guī)格是相同的，∴橋梁的寬度相同，即四邊形每條邊上的高相等，∵的面積等于邊長乘這條邊上的高，每條邊相等，為菱形．②如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，得，．∴．在中，，∴．∴．故答案為：．探究2：①如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，得，．．又四邊形是菱形，∴．∴．故答案為：．②如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，形成的多邊形為正邊形，外角．在中，．又，∴．形成的多邊形的周長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是一道生活實(shí)際應(yīng)用題，考查的是菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于將生活實(shí)際和有關(guān)數(shù)學(xué)知識有效結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．16．（2023年浙江省嘉興（舟山）市中考數(shù)學(xué)真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識別的最遠(yuǎn)水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別．(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無法被識別．社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為（如圖3），此時(shí)小若能被識別嗎？請計(jì)算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)(2)能，見解析【分析】（1）根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，從而求出蹲下的高度．（2）根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，即可求出長度，與踮起腳尖后的高度進(jìn)行比較，即可求出答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．．，．．，，小杜下蹲的最小距離．（2）能，理由如下：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，在中，．，，．，．小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹椋∪纛^頂超出點(diǎn)N的高度．小若墊起腳尖后能被識別．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到的知識點(diǎn)有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質(zhì)、三角形的全等，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實(shí)際題結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)知識．解題的重點(diǎn)在于熟練掌握相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法．17．（2022·浙江嘉興·中考真題）小華將一張紙對折后做成的紙飛機(jī)如圖1，紙飛機(jī)機(jī)尾的橫截面是一個(gè)軸對稱圖形，其示意圖如圖2